Conexiones | Pablo Beltrán-Pellicer

El contexto, la vida cotidiana y las situaciones de aprendizaje

Tue, 26 Jul 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hasta hace poco no era consciente de que había cierto debate sobre a qué se le puede llamar situación de aprendizaje LOMLOE™️. Va un mini-hilo.

Que si no tiene contexto, no es situación de aprendizaje.
¿Ein?

Para que no lo tengáis que buscar, ya os lo pongo aquí. El Anexo III del RD 157/2022 de Enseñanzas Mínimas. Me centraré en las partes resaltadas, referentes al contexto y a la vida cotidiana. Y en Matemáticas.

Aunque debo decir que dejo aparcada la cuestión, por haberse tratado en anteriores episodios, de la vida cotidiana. Solo señalar que sería preferible hablar de situaciones cercanas y significativas para el alumnado.

Venga, vamos a verlo con un ejemplo. En efecto, las figuras geométricas se abstraen de formas y cuerpos del mundo real. Por eso, en el primer nivel de razonamiento (Van Hiele), podemos llegar a decir que un rectángulo es como una puerta o que un cuadrado es como una ventana.

Pero cuando progresamos en los niveles de razonamiento y queremos pasar a trabajar clasificaciones de cuadriláteros, lo haremos con entidades abstractas, no con puertas o ventanas.

Las actividades de clasificación de cuadriláteros y otras figuras con criterios exclusivos, primero, e inclusivos, después, ya os digo que bien planteadas son situaciones de aprendizaje en toda regla.

El caso es que el término «contexto» en matemáticas no implica algo real necesariamente. Y, cercano, no implica algo de la vida cotidiana, sino que sea significativo. Evidentemente, existe un problema cuando introducimos capas de abstracción innecesarias.

Si hay una escuela de didáctica centrada en el contexto, esa es la escuela holandesa, conocida como «Enseñanza Matemática Realista» (Realistic Mathematics Education).

¿¿¿ R E A L I S T A ???

Pues sí, porque en primer lugar, realista no implica real, sino que pueda ser imaginado.

Toda esta cita, de una de las autoras más representativas de la EMR nos viene que ni pintada, pero subrayo la conclusión.

Van Den Heuvel-Panhuizen, M. (2005). The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the learning of mathematics, 25(2), 2-23.

El mundo de la fantasía o de los cuentos de hadas e incluso el mundo formal de las matemáticas [¡anda!, como los cuadriláteros] pueden proporcionar contextos adecuados para un problema, siempre que sean reales en las mentes de los alumnos y puedan experimentarlos como tales.

Por si lo queréis leer completo, dejo el enlace.

Bueno, que esa es otra, también os podéis pasar por el imprescindible NRICH, a ver cuántas tareas/problemas/juegos tienen contexto «real». Y luego, a ver quién tiene narices de decir que no son situaciones de aprendizaje válidas. Por cierto, en su web tenemos los retos de verano. Cada día, del 18 de julio al 2 de septiembre:

Aquí enlace para los retos para Primaria.
Aquí los retos de verano para Secundaria.

Y para terminar, el Instituto Freudenthal (EMR) también tiene unos cuantos materiales. Aquí, sobre ecuaciones y gráficas.

Breve anexo sobre vida cotidiana y funciones

Dejo también un breve anexo sobre alguna de las repercusiones que puede tener el tomarse la vida cotidiana en sentido estricto. Lo puse en este hilo:

Ay, que me meo. “Otra concepción errónea sobre funciones tiene que ver con la causalidad […]. Se confunde dependencia con causalidad […]. Esto suele ocurrir en alumnado expuesto sobre todo a funciones relacionadas con contextos concretos de su vida cotidiana […]”

Reducir vida cotidiana siempre a cotidianidad estricta en lugar de a lo cercano y significativo es mala idea. Ah, el artículo clásico sobre funciones y gráficas de Leinhardt, Zaslavsky y Stein es maravilla.

Créditos

Imagen destacada de Unsplash

Más sobre la regla de tres

Mon, 18 Oct 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, de nuevo, recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

Ha vuelto a hablarse mucho de la regla de tres esta semana. Ocasión que aprovecho para escribir un poquito más sobre el asunto. Prometo que incluyo novedades respecto a episodios anteriores.

No es que esté obsesionado con el asunto particular de la regla de tres. O sí y me lo tengo que hacer mirar, yo qué sé Cara de loco. Tan solo es que me parece algo paradigmático. Lo que me quita realmente el sueño es el aprendizaje mecanicista e instrumental de las matemáticas.

Ñeñeñe, cómo que las matemáticas no son instrumentales. Mira, no vivo en burbuja. Ya sé el papel que juegan en otras disciplinas y en la vida cotidiana (y en esto último está sobrevalorado). Sin embargo, centrarse en lo instrumental es una receta para el desastre.

Pero eso es otra historia que debe ser contada en otra ocasión. A lo que íbamos, esta semana me animé a plantear un hilo interactivo, donde animaba a compartir problemas «de regla de tres», que me tuvo muy entretenido. Más de la cuenta, quizás, aunque sarna con gusto, no pica.

El hilo fue muy interesante porque aparecieron problemas de valor perdido o faltante, tentativas de comparación (donde no procede la regla de tres y sigue siendo proporcionalidad), repartos, pseudoproporcionalidad (que no tienen sentido), etc.:

Recuerdo que la regla de tres es una técnica que encuentra su justificación en las reglas del álgebra. Es decir, la justificación es sintáctica. $\cfrac{a}{x} = \cfrac{b}{c} \Rightarrow x = \cfrac{a \cdot c}{b}$

El «este por este entre este» sale de ahí.

Pues ya está, ¿no?
Pues no.

El caso es que los problemas «de regla de tres» son aritméticos. Y una característica esencial de la aritmética es que el control no es sintáctico, sino semántico. Es decir, radica en el significado de los números que intervienen. En cada momento.

He puesto problemas «de regla de tres» entre comillas porque técnicamente se conocen como de valor perdido o faltante (missing value problems). Es decir, se trata de encontrar uno de los cuatro valores de la proporción. No son los únicos problemas de proporcionalidad.

Están los de comparación, por ejemplo, donde no vale la regla de tres. O situaciones donde no tenemos números.

Entre las interacciones, aparecen variantes de esto:

No, es que siempre hay que comprobar si se puede aplicar. Con eso ya estaría evitando esa ilusión de linealidad.
¿Comprobar el QUÉ?

Para los nuevos, la ilusión de linealidad consiste en creer que una relación es de proporcionalidad cuando no lo es. El aprendizaje mecanicista basado en técnicas tipo producto cruzado o regla de tres la fomenta.

Lo fomenta por mucho que nos hagamos la pregunta, ¿es directa? ¿es inversa? Lo de comprobar si se puede aplicar se las trae. En primer lugar, para comprobar algo primero hemos de haberlo CONSTRUIDO. Y eso pasa por caracterizar muy bien a qué llamamos relación de proporcionalidad.

En lo que sigue me centraré en la proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa es un objeto muy alejado matemáticamente y daría para otro hilo. De todas formas, mucho de lo que comento aquí es, en esencia, extrapolable.

COMPROBAR. El qué.

¿Que a doble de una tengo doble de otra? ¿Y a triple?
¿Que a más, más, y a menos, menos? Esos argumentos como caracterización no valen. Pueden servir, una vez CONSTRUIDO el modelo en matemáticas, para ver si es sensato para estudiar un fenómeno físico.

Esa construcción es delicada y lo que está detrás como idea matemática es el significado del número racional. La proporcionalidad nos ofrece, quizás, el más abstracto de todos los objetos de la aritmética escolar.

Pensemos en los números naturales, que ya son abstracciones. Cuando «repartimos» una cantidad de magnitud entre otra para obtener una razón, esa razón es un nuevo tipo de objeto, con un nivel mayor de abstracción. Simboliza una relación. Aparece una nueva magnitud.

Si para una receta de limonada echo 3 litros de zumo por cada 10 de agua, puedo calcular las siguientes razones: 3/10 (tres décimos o 0,3, que son otras representaciones de dicha razón) y que significa los litros de zumo que echo por cada litro de agua.

10/3 de litro de agua que echo por cada litro de zumo. Aún podrían obtenerse más razones, como la cantidad de zumo por litro de limonada. O al revés. Bien, el caso es que el 3/10 es una cantidad de una nueva magnitud que no aparecía en el texto de la situación.

A veces, estas nuevas magnitudes tienen nombre propio. Cuando digo que María corre 10 km en 50 minutos, 10/50=1/5=0,2 es velocidad. Los km que recorre en cada minuto. Al revés, 50/10= 5 sería ritmo, minutos que tarda en recorrer un km.

Por supuesto, para poder hacer esas divisiones tengo que asumir una «condición de regularidad», sino no tiene sentido ni plantearla. En el caso de la limonada, que siempre se eche la misma cantidad de zumo por cada litro. Sobre esto ya he hablado en otros hilos.

A fin de cuentas, esta abstracción se traduce en verbalizar el significado de las razones implicadas (decir qué significa una «división»). Es muy importante, porque claro, luego están las conexiones que aparecen con funciones, análisis y con álgebra.

Vaya por delante que la aproximación vía el uso de estas razones ya es mucho más potente que la regla de tres para situaciones cotidianas. Si no lo piensas es porque te enseñaron así. Hay gente plenamente funcional a la que no se la enseñaron. Luego volvemos a esto.

Cuando nos vamos a identificar la relación de proporcionalidad desde funciones y gráficas, vuelve a aparecer el concepto clave que conecta todo, en este caso. La razón, tal y como la hemos introducido antes.

La representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen. ¿Y su pendiente?

Si no quiero reducir todo a una serie de ejercicios triviales, tendré que recurrir a darle significado, para además conectar con los conocimientos previos. Y aquí entra en juego el significado del racional como razón.

Significado que la regla de tres no desarrolla porque directamente lo ignora. Por lo tanto, si no lo he desarrollado y quiero conectar con esa idea, ¿qué? A ver, que el significado de estas cositas no se construye por arte de magia. Exige una planificación y cierta coherencia.

Esta idea de pendiente, razón… se conecta, mirando hacia el álgebra, con la constante de proporcionalidad. Y mirando hacia el análisis, con la tasa de variación media. Concepto sobre el que sustenta la derivada. ¿Vamos con los cimientos bien asentados?

Por supuesto, en el hilo ha habido quien detecta esta eliminación de la regla de tres como un ataque. Tanto docentes como familias. En este último caso, en un tuit me dicen que eliminemos lo que queramos, que en casa seguirán enseñando la regla de tres.

Aquí tenemos un problema de creencias, que se puede sintetizar en algo así:

A mí me enseñaron la regla de tres y aquí me tienes. No será tan mala. Además, la uso para todo. Controlo perfectamente cuándo se puede usar y cuándo no.

La divulgación en este sentido ha de ser cuidadosa y respetuosa. Lo mismo que en clase, no se trata de prohibir la regla y ya. Es cuestión de enfocarlo dando significado. Y que la evaluación sea coherente con lo que se hace.

Creo que pensar que el objetivo de fondo no es resolver un tipo concreto de problema, sino estudiar un tipo de relación y desarrollar el significado del racional como razón, ayuda.

Cuando terminé de responder a los problemas planteados en el hilo interactivo, me dio por poner este problemita.

https://twitter.com/pbeltranp/status/1448405548924293129

Se trata de la traducción de un problema utilizado por Cramer et al. (1993), quienes lo propusieron a una muestra de 33 futuros docentes de educación primaria.

32 de los 33 futuros docentes emplearon la proporción: 9/3 = x/15; 3x = 135; x = 45. Cabe observar que este problema es perfectamente resoluble, no como otros de pseudo-proporcionalidad (si hay 10 médicos en la planta 2, ¿cuántos habrá en la planta 5?).

De Bock et al. señalan que la cuestión con el problema de las corredoras es que se presenta en el formato clásico de un problema de valor faltante («de regla de tres»). Eso ocasiona que esta situación aditiva se interprete como multiplicativa.

En mi encuesta gana la opción correcta de 9 vueltas. Pero casi la cuarta parte opta por decir 5 vueltas, resultado que se obtiene aplicando la regla de tres o una estrategia multiplicativa.

La diferencia con el estudio original, donde casi todos contestaban 45 vueltas, puede tener que ver con el idioma o con la forma de plantear la regla o el producto.

Y nada más, que vaya turra. Más hilos como este, o con secuencias didácticas, en mi perfil. Sí, si os sabe a poco este, tengo alguno más sobre la regla de tres, proporcionalidad y número racional.

Epílogo 1

Como os habéis quedado con ganas, me parece muy pertinente este hilo de @RadiactivoMan. Realmente, el tema de la modelización en experimentales lo he mencionado ya, pero aprovecho para escribir un poquito más.

La modelización en matemáticas y experimentales sigue caminos opuestos. En matemáticas se construye y se abstrae ese modelo ideal, mientras que en experimentales se utiliza para predecir y conocer más de lo sensible.

Al hilo de lo que dice @RadiactivoMan, en experimentales se comprueba si el modelo matemático se ajusta o no a cierto fenómeno y bajo qué condiciones.

Tengo un PERO importante con respecto a los factores de conversión. Son muy fáciles de aplicar (tacha, tacha, tachán) y, de nuevo, ocultan la relación de proporcionalidad que hay detrás de, en muchos casos, un simple cambio de unidades.

Verbalizar esa relación, aunque cueste más, da un mayor control de lo que se está haciendo. Vamos, que no se trata de despejar de aquí y de allá, entiendo, sino de comprender a fondo cómo es la relación entre esas magnitudes.

Además, el uso de esos factores da la sensación de que el alumno en cuestión sabe lo que está haciendo. Cuando a lo mejor solo le interesa que “cuadre”.

Epílogo 2

Nada, como veo que hay quien se interesa por esto, aquí va una referencia fácil de leer de un clásico como Skemp sobre las matemáticas instrumentales y las relacionales.

Un saludo y… ¡feliz clase!

¿En serio pones este problema en 2º ESO?

Wed, 28 Jul 2021 00:00:00 +0000

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Este curso, después de trabajar el siguiente problema con los alumnos del máster ESOb, me preguntaron que si eso de verdad se lo planteaba a mis alumnos de secundaria.

Sí, me gusta verlo en 2º ESO.
Ah, ¿en serio?
A ver si mañana os puedo enseñar algo que hicimos en enero.

¿Y si antes de continuar pruebas a resolverlo? 😉

Se trata de que, si yo te pregunto por cuántos cuadraditos pasará en una retícula de $m \times n$, seas capaz de decírmelo. Coge una hoja cuadriculada y dale, que luego se vienen spoilers.

Aunque no voy a dar la solución, por lo menos de entrada, que hoy ya hay muchas pistas en el ambiente tuitero-matemático.

Si lo habéis intentado, habréis visto que tiene miga. De ahí la pregunta de los alumnos del máster. Al día siguiente, pregunté a una alumna de 2ºESO que si me dejaba hacerle una foto a lo que hizo con el problema, que quería enseñarla.

No llegó a la solución final, que es un poco lo de menos en este caso, pero actitudes hacia la resolución de problemas…

Aquí dibujando diferentes casos para luego conjeturar.

Más casos.

Aquí todas las observaciones que hizo en el proceso. Realmente, le faltó un pelo. Tenía prácticamente todos los ingredientes sobre la mesa. Y se intuía que el problema era de “divisibilidad”.

Muchos otros alumnos hicieron también observaciones muy interesantes que les llevaban, de una forma u otra, hacia la divisibilidad: pares, impares, primos, etc. Unos poquitos dieron con la solución general y unos poquitos menos fueron capaces de argumentar un poco más el porqué.

Es un problema muy majete. Ya estaba en los materiales que heredamos de Julio Sancho para el máster y es un problema que aparece en el librito del Shell Problems with patterns and numbers, descargable en https://mathshell.com

Yo tengo en papel la edición en español. Al contrario que con El lenguaje de funciones y gráficas, la traducción de este, que yo sepa, no está disponible gratuitamente en la web del ministerio.

También aparece, por lo menos, en uno de esos materiales fenomenales de finales de los años 90. Las guías Praxis. Pero eso ya… como no lo encontréis en vuestro departamento o en alguna biblioteca …

No os perdáis este hilo de @rober_fun (ha sido verlo y pensar en este problema, ya os decía que hoy había pistas 😉). Y, si sois docentes, dejad volar la imaginación en torno a las aplicaciones didácticas de lo que sale ahí. Bueno, o dejadlo para septiembre.

Elige tu propia aventura: un teorema célebre

Mon, 28 Jun 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. He aprovechado para eliminar alguna redundancia que siempre se me termina escapando al escribir en esa red, pero siempre quedará ese aroma a hilo. Por un lado, debo decir que me gusta el tipo de lenguaje que hay que emplear al escribir un hilo, porque obliga a ir al grano y sintetizar mucho. Sin embargo, por otro lado, también soy consciente de que es… peculiar.

Vamos con otro de los de elige tu propia aventura. Eres profe de mates y toca ponerse con «el teorema de Pitágoras», digamos en 2º ESO. Dos opciones:

A) $a^2+b^2=c^2$

B) Calcula el área de este cuadrado.

La opción A es propia de una enseñanza para la resolución de problemas. Presentas el teorema. Posiblemente, esperando que el alumnado se maraville ante un resultado tan maravilloso (lo es). Esa misma clase expones cómo aplicarlo para calcular distancias desconocidas.

Los problemas de aplicación que vengan después pueden ser más o menos interesantes. Sin embargo, ¿estaríamos tratando realmente el teorema de Pitágoras? ¿Qué implica este teorema como contenido? ¿Cómo se conecta con otros contenidos?

La opción B, que es la que desarrollaré, es una propuesta de actividades a través de la resolución de problemas. La principal diferencia con la A es que no se exponen las matemáticas, sino que se construyen con el alumnado.

Este vídeo está genial. Pero si empiezas con él, aunque haya indagación, es muy probable que la propuesta sea de tipo A. Por otro lado, el vídeo tiene su cabida en la B, pero más adelante. ¡Es un spoiler!

Si tienes muy claro que lo tuyo es la opción A, sáltate el hilo, porque con la B puedes estar casi dos semanas.

La secuencia de actividades se titula «Un teorema célebre». No me gusta adelantar acontecimientos. Ya bautizaremos el resultado al final. Si algún alumno conoce el teorema y las actividades empiezan a recordarle el asunto, no pasa nada.

Sí, por ahí van los tiros, ya verás.

El punto central de la propuesta es explotar la idea de que el teorema de Pitágoras es una relación de áreas. La situación-problema será el cálculo del área de cuadrados cuyos vértices se ubican en los puntos de una retícula cuadrada (geoplano cuadrangular).

Tareas troncales a realizar

Primera tarea (razón de ser)

Esto es un cuadrado de tipo $(3,5)$. El primer número es el desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo. El segundo, el desplazamiento en vertical. Y así tenemos un lado del cuadrado. Encuentra el área de este cuadrado y explica cómo lo has hecho.

Ponte en la piel de alguien que no conoce el teorema de Pitágoras y prueba a contestar antes de seguir, porque aquí empiezan a pasar cositas. Desde alumnos que señalan que el lado del cuadrado mide 5 unidades hasta diferentes tipos de descomposiciones.

Inciso: lo de que mida 5 u el lado o contar puntos en lugar de «huequitos». No me cansaré de decir lo importante que es el trabajo en magnitudes y medida. Con 13-14 años no conservan la longitud. Y para eso están estas secuencias. Si quieres saber más visita este post sobre una secuencia en torno a la medida.

Esto es el suelo bajo de la secuencia (ya veréis que el techo es alto). ¿Por qué el suelo es «bajo»? Porque es accesible para todos. Esta tarea podría llevármela a 4º de primaria y trabajarla tranquilamente allí.

Es más, esta tarea forma parte del trabajo en magnitudes y medida que se esperaría hacer en primaria. Por lo que, aparte de ser suelo bajo, es una oportunidad para establecer conexiones con conocimientos previos.

En el caso de estos alumnos, las conexiones más cercanas son con cosas que hicimos el curso pasado durante el confinamiento. Por un lado, la actividad que se describe en este post, donde se trabajan descomposiciones y recomposiciones de figuras planas para hallar su área.

Y con una secuencia que hicimos después de la actividad anterior, en torno al teorema de Pick. Secuencia en la que, llegar al teorema de Pick casi es lo de menos. Empezaba pidiendo calcular las áreas de estas figuras.

En clase normal habríamos discutido diferentes técnicas. En modo confinamiento, tal como lo planteamos nosotros, propusimos las siguientes:

Creo que las conexiones con lo que estábamos planteando se ven claras, ¿verdad? Es posible que la secuencia de Pick no la haya desarrollado por aquí, así que me lo apunto 😉. Os dejo un avance:

Volviendo a nuestro «cuadrado inclinado» $(3,5)$. La forma más habitual de enfrentarse fue inscribirlo en otro más grande de área conocida y restar los sobrantes, que son fáciles de obtener.

Pero hay pequeñas variantes, como esta. E incluso otras, recomponiendo el cuadrado, que ya no muestro por no extenderme. En clase hemos de estar atentos y procurar discutir todas. ¿Qué observas? ¿Cuál es más fácil en este caso? ¿Se te ocurre otra forma?

Siguientes tareas: hacia la generalización

Vamos a asegurarnos de que sabemos dibujar estos cuadrados inclinados y calcular el área. Hagamos el $(3,7)$ y el $(2,3)$.

Paso necesario, porque hubo alguna dificultad para dibujarlos. Por esto no me gustan los cuadernos especialmente pulcros, sin registro de lo que ha podido pasar.

Siguiente tarea. Nos dejamos de geoplano y empezamos el camino hacia la generalización. Conexiones, esta vez, con álgebra. Se trata de dibujar a mano alzada un cuadrado $(3,b)$ y calcular su área.

Aquí hay dos grandes dificultades. Por un lado, dibujar el cuadrado $(3,b)$ «general». Y, por otro, calcular su área, para la que les hacía falta la del cuadrado inscrito, que algebraicamente es $(b+3)^2$ y ya sabemos lo que supone. Hicimos ambas cosas meses antes, en álgebra. Por eso, esta tarea tiene especial valor. No pasa nada, nos detenemos, abordamos la cuestión y seguimos.

Siguiente tarea. Ahora vas a dibujar una secuencia de cuadrados $(a,b)$ en la que el valor de $b$ es siempre 1 y el valor de $a$ va cambiando de una en una unidad. El primero ya está dibujado. Intenta dibujar los 4 siguientes.

Cuestiones que tienen que responder y que luego discutimos.

a) ¿Puedes encontrar el área de cada uno?

b) Puedes encontrar un método para encontrar el área de cualquiera?

c) Calcula el área de los primeros 6 cuadrados obtenidos con el mismo método.

d) ¿Qué observas en esta serie de números que representan las áreas de estos cuadrados?

Estas preguntas son exploratorias. Básicamente, es dejarlos hacer y comparar entre ellos lo que van obteniendo. De hecho, ya hay alguno que se pispa del atajo para calcular las áreas.

La siguiente tarea estructura un poco más estas reflexiones y sugiere recopilar las áreas calculadas en una tabla como esta.

Estos están dibujados al revés, pero da un poco igual. Se comenta que es cuestión de la notación.

Es lo mismo, ¿no? Las áreas son iguales, solo tendría que girar la hoja…

Aquí la tabla a medio hacer. ¿Se intuye lo que está pasando? Los alumnos añadían sus comentarios a la derecha:

La fila esta es como la anterior sumando 4.
Aquí se está sumando $b^2$.

Preguntas que acompañan a la tabla y que luego se ponen en común:

a) ¿Puedes construir la siguiente fila (la que tiene para la $b$ el valor 5)?

b) ¿Y la fila correspondiente a $b$ con valor 10?

c) ¿Y ahora puedes escribir cuál será el área para un cuadrado $(a,b)$?

Observad que las respuestas aquí ya juegan mucho con la simbolización. Estamos formalizando ya la idea central del teorema de Pitágoras. Por lo menos, hemos resuelto el problema de inicio. Calcular el área de esos cuadrados inclinados.

Porque mira que es petardo el profesor de Matemáticas. No, nos puede dar el lado y ya. Nos pone el cuadrado inclinado. ¡Qué necesidad!

Es que si os doy el lado es una tontada de actividad…

Por si no ha quedado claro el asunto, se propone dibujar un cuadrado general $(a,b)$ y obtener el área.

El colofón

Vamos cerrando la construcción. Compara las áreas de la parte sombreada y explica tu método.

Preguntas. Empezamos suave:

a) Si las dos áreas analizadas arriba son iguales, entonces escribe las conclusiones que se pueden observar.

Y… la pregunta:

b) Si ahora pensamos en que el lado del cuadrado gris de la izquierda mide c, indica cuánto es el área de ese cuadrado y escribe de nuevo las conclusiones del apartado anterior.

Ahora sí. Pues había un matemático que se llamaba Pitágoras que, en torno al siglo VI a.C., le daba vueltas a estas cosas…

Las tareas realizadas hasta aquí son básicamente las que se proponen en la unidad «Discovering the Pythagorean Theorem» del Mathematics Assessment Project. Ya sabéis lo fan que soy del Shell.

¿Cómo continuamos?

Pues poniendo sobre la mesa diferentes pruebas de Pitágoras. La idea sale de otra fuente imprescindible de recursos: NRICH.

Se trata de proponer diferentes pruebas de Pitágoras y trabajarlas. Tampoco es necesario que todos los alumnos hagan todas. Aquí entré a clase con la idea de repartir por secciones de aula según mi criterio, pero como se pusieron al tajo por la que les dio la gana, me amoldé.

La presentación de la actividad. Ahora ya sabes que el teorema célebre se llama Teorema de Pitágoras. ¿Qué significa? Te vamos a proponer varias pruebas. ¿Cuál te parece más convincente? ¿Cuál te resulta más fácil de entender? ¿Cuál te resultaría más fácil de explicar?

Primera prueba. Los recortes. ¿Siempre podemos hacer esta descomposición?

Segunda prueba. En el link de nrich que he puesto antes hay un applet bastante majo de Geogebra. Lo usamos en clase, pero en la hoja les pusimos lo siguiente.

Con un poquito de andamiaje…

a) Escribe la expresión del área del cuadrado grande del paso 3.

b) Utiliza la expresión de a) para calcular el área del trapecio del paso 1.

c) Averigua el área del trapecio del paso 1 sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos del paso 1.

d) Utiliza los resultados de los apartados a, b y c para dar una prueba del teorema de Pitágoras explicando cada uno de los pasos.

Tercera prueba. Conexiones con proporcionalidad y asomándonos a la semejanza…

Aumenta el triangulito pequeño por un factor de escala a para hacer el triángulo rojo y por un factor de escala b para hacer el triángulo azul. Une ambos como se indica en la figura.

a) Demuestra que los podemos unir de esa manera y que ese triángulo es igual al original aumentado en un factor de escala c.

b) Utiliza lo observado en el apartado anterior para probar el teorema de Pitágoras.

Como última prueba, la «clásica» disposición. Que, realmente, ya estaba trabajada.

Problemas de aplicación

Finalmente, problemas de aplicación. Alguno que otro sacado de nrich y alguno que otro inventado (cálculo de distancias del fusor de una impresora 3D…).

Sí que hay tres de nrich que quiero dejaros por aquí.

Uno que parece una tontería, pero que tiene más jugo del que parece: Si dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 6 cm, ¿cuántas posibilidades hay para la longitud del tercer lado?

Otro que admite varias aproximaciones: El triángulo de la figura es isósceles. Se ha dibujado un cuadrado sobre cada uno de sus lados. La suma de las áreas de estos tres cuadrados es 72 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Y otro, también recogido en nrich, pero que llega desde el fantástico blog de Don Steward (DEP). Que, por cierto, no es nada inocente de entrada.

Ojo con este último porque es un ejemplo magnífico de techo alto. ¿Y si utilizamos variables? ¿Sabrías obtener la expresión algebraica? Puede que sea uno de los primeros problemas de optimización a los que se enfrenten.

La secuencia está abierta a mejoras o a incluir otras tareas, claro. Por ejemplo, se queda en el tintero el interesante camino que se abre al generalizar el teorema construyendo sobre los lados del triángulo rectángulo otras figuras que no sean cuadrados.

Confío en que hayáis disfrutado con el hilo. Para afinar la propuesta fueron indispensables las sesiones de trabajo con mi compañera de no-departamento Ana Martínez. (Esto de las no-cosas son cosas de los CPI de aquí).

Porque no se trata solo de plantear las tareas. Eso solo es el primer paso. Se trata de explotar las discusiones al máximo. Y, para ello, las conversaciones sobre cómo están yendo estas secuencias en clase son de lo mejor.

Pd1. Este es otro de los de «Elige tu propia aventura» porque, para los que me seguís hace poco, planteé el de la mediatriz de la misma manera. En cualquier caso, hay más hilos similares por mi perfil y, al poco, los dejo en mi blog.

Pd2. Es posible que más adelante os hable de la evaluación de esta secuencia. Como todo lo de este curso, basada en autoevaluaciones sistemáticas y en la mejora continua.

Material relacionado

La fundamentación de la secuencia está desarrollada en este artículo

Los materiales los dejo aquí por si vienen bien.

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas

Sun, 09 May 2021 00:00:00 +0000

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Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas.

Spoiler: no van al revés de nada.

¿Cómo localizamos puntos en la superficie terrestre? Con las coordenadas geográficas, que indican latitud y longitud.

Ea, pues ya está, como x e y. Abscisas y ordenadas. Horizontal y vertical.
Esto… no.

¿Qué es la latitud de un punto de la superficie de la Tierra? Imagina una recta que pase por dicho punto y el centro de la Tierra. El ángulo que forma dicha recta con el plano ecuatorial es la latitud. Por eso va acompañada de una N (si es hacia el Norte) o una S (Sur).

Cualquier punto del ecuador se corresponde con el paralelo 0°, el polo norte con 90°N y el polo sur con 90°S.

¿Y qué es la longitud? Ahora toca imaginar meridianos (semicircunferencias que pasan por el polo norte y por el polo sur). Se elige uno de referencia, el de Greenwich, y la longitud de un punto es el ángulo entre ese meridiano de referencia y el que pasa por este punto.

En la imagen, la latitud es el ángulo Φ y la longitud es el ángulo λ.

Medir la longitud es mucho más complicado que medir la latitud. Pensad que sois navegantes del s. XVI. Es más fácil percibir que te desvías hacia el Norte o hacia el Sur que en términos de longitud (E-O). Problemón que llevó al desarrolló del cronómetro y otros instrumentos. Enlace al museo virtual del CSIC

Además, resulta que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, por lo que podríamos añadir la altitud sobre el nivel del mar a nuestro sistema de coordenadas. Pero no lo liemos más.

📷ICGEM

Un alumno, o cualquier persona, puede pensar que las coordenadas geográficas van «al revés» porque primero se indica la latitud (Norte o Sur) y luego la longitud (Este u Oeste). Y claro, como Norte es arriba y Sur es abajo, ya la tenemos liada.

Ya la tenemos liada porque, en matemáticas, [modoironíaON], como todo el mundo sabe, eje X es horizontal y eje Y es vertical. Y los puntos en el plano son (x,y).

En el currículo nacional aparece esto de las coordenadas como contenido en Ciencias Sociales:

Coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Con su criterio «Identificar y manejar los conceptos de paralelos, meridianos y coordenadas geográficas» y su estándar «Localiza diferentes puntos de la Tierra empleando los paralelos y meridianos y las coordenadas geográficas.»

En Matemáticas aparece como contenido esto:

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos. Y un estándar que dice «Describe posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros.»

Para mi gusto, aparece muy ligada la idea de sistema de coordenadas cartesianas a la descripción de posiciones y movimientos, lo cual es un uso de los ejes. ¿De dónde salen los convenios en los ejes? ¿Cuáles son? ¿Cómo los usamos para representar cantidades de magnitud?

Mucha tela que cortar, como el problema de restringir la ‘x’ y la ‘y’ como etiquetas exclusivas. ¿Y si son ‘e’ y ’t' ya no son ejes cartesianos?

Todo esto se aborda con suma delicadeza en el librito del Shell «El lenguaje de funciones y gráficas». Os lo descargáis de aquí: https://sede.educacion.gob.es/publiventa/el-lenguaje-de-funciones-y-graficas/pedagogia/1065

Por ejemplo, si queremos hacer reflexionar al alumnado acerca de todo esto de los ejes, vamos a ponerles la altura en el eje horizontal.

Volviendo a lo nuestro, si el objetivo es comprender el concepto de coordenada geográfica, la secuencia didáctica no puede empezar con un mapa plano. Hemos de empezar con un globo terráqueo. Solo así quedará claro que para localizar un punto utilizo ángulos.

La cuestión es que claro, no vamos con un globo terráqueo en el bolsillo. Hoy en día casi, porque usamos el móvil y dispositivos que lo permitirían. Observa que cuando queremos presentar en 2D el globo terráqueo se produce una deformación. Probadlo con el Google Maps.

Estas deformaciones son diferentes según el tipo de proyección que se realice. Y unas conservan unas cosas y otras, otras. Paralelismo, perpendicularidad, distancias, áreas, etc. Enlace sobre tipos de proyecciones

Lo importante, si nos acercamos a esto en primaria, es comprender que necesito indicar los ángulos de latitud y longitud para localizar un punto. Que por convenio se suela decir antes la latitud es lo de menos. Eres igual de capaz de localizarlo si te doy la información al revés.

Ahora, si reduzco la secuencia didáctica a localizar puntos en un plano 2D a partir de latitudes y longitudes, pues igual no hace falta hacer nada.

Gracias @Jaimetimiraos por la conversación de esta mañana, donde me señalabas este posible conflicto.

El mundo loco de BlocksCAD

Tue, 30 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Imagina un mundo donde para construir una pirámide tienes que hacer primero un cilindro. Ese mundo loco existe y se llama BlocksCAD

Lo primero que llama la atención en BlocksCAD es que vas al menú de formas en 3D y ves: cubo, cilindro, esfera y toro. Obviamente piensas, voy a darle a F5 porque igual es que no se ha cargado el resto de primitivas.

Pues no, efectivamente solo tenemos cubos, cilindros, esferas y toros.

Y todo se vuelve un poco más raro cuando vemos que el cubo tiene más parámetros de los necesarios para hacer un cubo (vuelve al tuit anterior).

Como ya estaréis intuyendo, la primitiva cubo nos permite hacer prismas rectangulares.

¿Qué serán los dos parámetros de la primitiva cilindro? Vamos a explorar. Para ello, quitamos el candadito, porque así podemos modificar cada uno por separado.

Anda, un tronco de cono. Qué cosas. Entonces, se podrá entonces hacer un…

Tampoco es que haga falta ir explorando por uno mismo. El propio entorno tiene menús contextuales que facilitan esto.

Vale, pero en ese menú de formas solo teníamos el cubo, el cilindro, la esfera y el toro…

¿Cómo hacemos entonces una pirámide? En el menú de transformaciones tenemos un montón de bloques. Y hay uno que se llama “aristas” (en la versión en inglés, sides).

O sea, que puedo coger un cilindro, decir que me lo haga con radio superior cero, y luego decirle al programa que mejor que lo haga con cuatro aristas.

He descrito una pirámide con un uso del lenguaje que requiere un conocimiento profundo de estos cuerpos, además de pensamiento computacional e, incluso, una idea intuitiva de en el límite para hacer ese r2=0.

En ese menú de transformaciones se pueden hacer también traslaciones, simetrías, rotaciones, etc.

Luego tenemos un menú que realiza operaciones de conjuntos:

Unión: todos los puntos que están en alguno de los objetos.
Intersección: los puntos que están en todos los objetos.
Diferencia: todos los puntos que están en el primer objeto y no están en los demás.

Y una operación denominada envoltura convexa (hull) que da mucho juego. Con ella, por ejemplo, podría modelar un “cubo” poniendo miniesferas (o lo que sea) en las posiciones de sus vértices.

En realidad, BlocksCAD no deja de ser una interfaz gráfica de OpenSCAD al estilo de Scratch. La ventaja de la programación visual con bloques radica en que no tienes que preocuparte de si te dejas una coma o no has cerrado las llaves.

Es posible que lo que hayas codificado no haga lo que tú querías, pero eso es otra cosa. La programación por bloques te permite despreocuparte de la sintaxis (vaya, dónde está esa coma que seguramente me he olvidado de poner) y centrarte en lo fundamental.

Los programadores experimentados perciben estos entornos como menos potentes y capaces, pero esta transparencia y facilidad de uso permite que el alumnado los emplee directamente.

Prometo extender el hilo, que incluirá referencias para ampliar y mostraré algunas de las cosicas que surgieron en una práctica que hacemos en el máster de ESO en la Facultad de Educación de Zaragoza. Pero antes, un pequeño reto…

¿Quién se anima a modelar esta pieza de aquí? Como no lleva medidas de ningún tipo, me conformo con que sea aproximadamente igual. Enlace al editor

No creáis que os voy a estropear el reto anterior, pero voy a continuar el hilo. Es un desafío interesante porque se puede abordar de diversas maneras y algunas requieren de más bloques de código que otras.

Tampoco soy tan malo, que luego pondré referencias y enlaces y, entre ellos, podéis encontrar alguna solución. Nos faltaba algún menú por explorar.

En el de funciones podemos crearnos nuestros propios bloquecitos que hacen cosas. ¿Recordáis que más arriba decía que se podía modelar una especie de cubo usando la envoltura convexa (hull)? Aquí se ha hecho eso, creando antes una función para hacer los puntos.

Cuando resulta necesario realizar cálculos para establecer medidas, parámetros de traslaciones, etc., recurriremos a los bloques de matemáticas, donde se incluyen operaciones aritméticas, funciones trigonométricas y generadores de números aleatorios.

Los resultados de estas operaciones pueden introducirse directamente en los parámetros de las primitivas 3D o de las transformaciones o, por otro lado, asignarse a variables que luego pueden ser utilizadas para diferentes propósitos.

Lo de las variables es un puntazo. Una de las grandes ventajas de estos programas de modelado es que puedo parametrizar piezas. Por ejemplo, puedo hacerme una tuerca genérica, y luego redimensionarla para fabricarla de cualquier métrica.

La categoría de secuencias (loops) permite introducir bucles en los algoritmos, que pueden ser recursivos (OMG), mientras que la categoría lógica (logic) completa la paleta de instrucciones que se pueden añadir a los algoritmos.

En el máster de ESO de la Facultad de Educación de Zaragoza venimos haciendo una práctica que consiste en el diseño de un dado. Después de plantearla con TinkerCAD un par de años, desde hace dos iniciamos una línea de investigación entre José M. Muñoz y un servidor.

Esto del diseño y construcción de un dado es ya una fijación, algo que he hecho con alumnado de ESO, tanto usando herramientas tecnológicas como haciendo el dado con técnicas sencillitas de origami modular.

Da un juego tremendo porque permite articular los significados clásico y frecuencial de la probabilidad, así como poner de manifiesto diversos sesgos de razonamiento.

Además, las conexiones con otras disciplinas son muy interesantes. Con experimentales, cómo diseñar un entorno de laboratorio para probar el dado. Con tecnología, por el diseño en sí y por analizar qué aspectos del proceso de fabricación influyen en el sesgo del dado.

No es fácil en absoluto diseñar un dado. En Thingiverse hay hilos donde se pone de manifiesto que influye hasta cómo pones la pieza en la cama de la impresora 3D (si “recta” o a 45º).

A la hora de modelar el dado con BlocksCAD surge el problemilla de cómo lo redondeamos para que ruede un poquito. Y las soluciones que aparecen son muy curiosas.

Gracias a @napulido os puedo enseñar los dados fabricados. En la foto, diferentes intersecciones de cubo con esfera (las tres de la derecha). El de la izquierda es un hull de la intersección de 3 cilindros.

Esto de aquí es la intersección de tres cilindros, a la izquierda con la envoltura convexa (hull) y a la derecha sin ella.

Y aquí tenemos dos modelos en los que se ha tratado de compensar el material retirado de cada cara.

Si te interesa el tema, hace unos meses publicamos junto con Carlos Rodríguez y José M. Muñoz el siguiente artículo en la revista SUMA.

Aquí enlace a un taller para docentes con Carlos Rodríguez en la III JEMA.
Y aquí enlace al taller para el Taller de Talento Matemático con Carlos Rodríguez, que también sirve para un taller en 4º ESO para el programa Conexión Matemática.

Algunas conexiones con el juego del 24

Tue, 23 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Mis alumnos de 2º ESO me habían pedido hace días jugar al 24. Lo recuerdan del curso pasado y les encanta. Me gusta porque permite:

Incidir en cómo escribimos la expresión.
Trabajar cálculo mental.
Y lo mejor… establecer conexiones con cosas que hemos hecho en enteros.

También tiene su punto gracioso.

¿Qué número tenía que darnos al final?
23, porque por eso se llama juego del 24. 😉

Bromas aparte, en la tarjeta del ejemplo tenemos:

$(8-5+1) \cdot 6=24$

Yo tengo otra, profe:

$(8-(5-1))\cdot 6=24$

Pero… ¿son la misma?
No, bueno, sí, es que en la segunda ese restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1.

Para jugarlo en clase he utilizado esta página, que incluye la posibilidad de sacar tarjetas por nivel.

Se me olvidaba. Les he recordado que el curso pasado estas expresiones, muchos, las escribían mal:

No, si lo hacíamos mal no nos lo recuerdes, que nos liaremos.
Si es que, mirad:

$8-5=3+1=4 \cdot 6=24$

💀 Mentira cochina. ¿3=4? ¿A que no?

Hemos terminado poniendo también esto sobre la mesa. Es un clásico.

📷 Fuente