Funciones | Pablo Beltrán-Pellicer

Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Mon, 06 Apr 2026 00:00:00 +0000

An exploratory analysis of online videos on quadratic functions

Abstract

The use of online educational videos by students and some teachers justifies their study from the perspective of mathematics education. This paper presents a qualitative study aimed at analysing the epistemic suitability of 18 YouTube videos on quadratic functions. We consider as categories the problem-situations, the languages—registers and linguistic representations—and the epistemic conflicts, using tools from the Ontosemiotic Approach. The results indicate that in most of the videos, the object of study is presented in its symbolic and graphical registers, with relevant conceptual inaccuracies and errors identified when addressing quadratic functions.

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. PNA, 20(3), 243-272. https://doi.org/10.30827/pna.v20i3.33454

YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 +0000

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. Entorno Abierto, 62, 30-36.

Diseño e implementación de una experiencia formativa para futuros profesores de matemáticas sobre variación lineal

Fri, 02 Jun 2023 00:00:00 +0000

Design and implementation of an educational experience on linear variation for prospective mathematics teachers

Abstract

Objective This paper discusses the design, implementation, and analysis of an educational experience focused on linear variation, aimed at prospective secondary school mathematics teachers. The objective of this experience is to improve the prospective teachers’ didactic-mathematical knowledge and to contribute to the development of their onto-semiotic analytical skills. Linear variation is an important topic because it is present in different educational moments through multiple approaches and meanings – arithmetic, algebraic, and functional. As a complex mathematical object, it can generate teaching and learning conflicts, which can be studied to provide useful information about improvement of educational activities. Methodology This is a qualitative investigation, based on the preliminary study, design, implementation, and analysis of 5 didactic activities according to the theoretical principles of the Onto-semiotic Approach. The data gathered for the investigation included video recordings of classes, field notes and written answers provided by nine prospective teachers in the eighth semester of a Licentiate’s Degree in Secondary Education program, specializing in Mathematics. Results The results indicate that linear variation is indeed a complex issue, and deficiencies were found in the didactic-mathematical knowledge of prospective teachers. Likewise, difficulties in terms of knowledge and skills were found when participants were asked to analyze hypothetical responses to tasks related to the concept of linear variation. Conclusions The results of this investigation indicate that experiences such as these can be a valuable resource in educational programs for teachers to acquire knowledge and skills for the appropriate treatment of mathematical content.

Cítese como:

Herrera-García, K., Dávila-Araiza, T., Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2023). Diseño e implementación de una experiencia formativa para futuros profesores de matemáticas sobre variación lineal. Uniciencia, 37(1), 1-23. http://dx.doi.org/10.15359/ru.37-1.16

Volando voy (Graphing Bee): final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO

Mon, 30 Jan 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2023). Volando voy (Graphing Bee): Final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO. Entorno Abierto, 50, 4-7.

¿Las Matemáticas de Bachillerato son propedéuticas? Pues lo que no debería pasar es esto

Tue, 13 Dec 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y este otro.

Matemáticas de Bachillerato. Propedéuticas. Vale. Pues algo que no debería pasar es lo siguiente.

Hace unos meses un amigo me pasó un audio de una compañera de trabajo, sobre una duda, más bien inquietud, matemática, que podría haber surgido en una oficina comercial cualquiera.

Quiero saber cuál es la relación gráfica entre las derivadas y las integrales. ¿Cómo puede ser que si yo derivo una función el área debajo de la… entre la función y el eje de coordenadas tenga alguna relación con la función primitiva? O sea, ¿por qué existe esa relación?

Estaba preguntando por el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Una de las construcciones matemáticas más bellas, potentes y profundas de la historia. El equivalente, yo qué sé, a preguntarse por qué El Quijote es una obra maestra de la literatura.

Pongo la mano en el fuego por que esta persona hizo derivadas e integrales a cascoporro. La técnica, que qué pasa con la técnica, por dios. Que sí, que no nos olvidamos de ella. Ahora, ¿en serio hacen falta tantas técnicas en Bachillerato?

No sé, es que igual nos encontramos luego en un galeón en medio del océano y tenemos que hacer no sé qué cuentas porque si no vamos a perder la guerra de turno o algo.

Primero, habrá que ver qué técnicas contribuyen a ganar comprensión sobre el objeto matemático en cuestión. Y luego, que tipo de campos de problema resultan de interés. Eso sí, aprender el teorema fundamental del cálculo tiene, entre otras, una clara finalidad CULTURAL.

Porque mola.

Y bueno, con los nuevos currículos, que tendrán sus cosas, no es que no podamos trabajar técnicas. Es que sobre todo hay que evaluar su comprensión y uso significativo.

Ya sabéis que no soy muy de vídeos, pero aquí os dejo un par de Jim Fowler, por si tenéis curiosidad. Está en inglés, pero los subtítulos funcionan de maravilla. Este no es más que la pregunta inicial.

Y este, la respuesta.

Esta reflexión combina muy bien con esta otra: ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre?. Y con la historia del avioncito y el sesgo del superviviente también. Las técnicas.

Ya llegará la comprensión 🤦🏻‍♂️.

Si es que llega.🙃

Cuando se dice que no pasa nada por aprender técnicas de memorieta porque la comprensión puede llegar después, lo primero que hay que hacer es dejar de pensar en el estudiante que fuimos.

Ya que el tema de los mitos gusta tanto, aquí va artículo de dos clásicos en educación matemática, Clements y Sarama. Desde chiquitines, por dios, comprensión. Y si no hay tiempo pa tó, decide qué privilegias. En concreto, vistazo a estos dos:

Lo del sesgo. Hala, Javi, que te voy a desgastar el hilo.

Ayer escribía sobre lo que no debería pasar. Por ejemplo, que recuerdes que hiciste nosecuántasderivadas y nosecuántasintegrales del derecho y del revés, pero no recuerdes qué narices implica el teorema fundamental del cálculo.

A lo mejor, esto último pasó por la pizarra, sí, ay, la pizarra. Pero el énfasis está claro dónde estuvo puesto. No recuerdas esa conexión maravillosa, no. Recuerdas que hiciste mogollón de derivadas y mogollón de integrales.

Créditos

La imagen destacada es una captura de uno de los vídeos de Jim Fowler.

Faceta epistémica de los conocimientos didáctico-matemáticos de futuros profesores de secundaria sobre variación lineal

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Herrera-Garcia, K. J., Dávila-Araiza, M. T., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Faceta epistémica de los conocimientos didáctico-matemáticos de futuros profesores de secundaria sobre variación lineal. En A. M. Rosas Mendoza (Ed.), Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas (pp. 1-19). Editorial Lectorum.

Una propuesta de secuencia didáctica sobre variación lineal para la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria.

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

A proposal for a didactic sequence on linear variation for the initial secondary school mathematics teachers education

Abstract

Linear variation constitutes a complex mathematical object involving different representations. At the curricular level, it takes elements of arithmetic and allows to progress and strengthen algebraic and functional thinking. Therefore, it is reasonable that different teacher education programs consider training programs to consider learning experiences that address the various facets of professional knowledge and competences involved in linear variation. In this paper we present some activities of a didactic proposal that considers the development of didactic-mathematical knowledge and competences, based on the mathematical content, the design of tasks and the analysis of student responses.

Cítese como:

Herrera-Garcia, K. J., Dávila-Araiza, M. T., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Una propuesta de secuencia didáctica sobre variación lineal para la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 108, 263-289.

La idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función

Wed, 07 Oct 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

A partir de esto de aquí, si os apetece os cuento algo sobre la idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función:

No hubo muchas interacciones, pero todas tienen en común lo mismo que las escenas del estupendo «Graphing Stories» de Desmos. A ver si descubrís qué es antes de continuar.

Efectivamente, todas las respuestas a mi tweet, al igual que las escenas de Desmos, presentan la magnitud tiempo como variable para el eje horizontal.

Vale, el día anterior había propuesto yo mismo una interpretación de gráfica que sí que llevaba el eje X etiquetado como tiempo. Y pedir inventarse una «historia» puede sugestionar demasiado en ese sentido, lo admito. Mea culpa.

Pero imaginad, como indica en el «Lenguaje de funciones y gráficas» del Shell Centre, que el eje X fuera hambre y el eje Y fuera ansiedad. Tratándose de un paseo por el campo, cuenta una historia diferente al «subir despacio, estar un rato en la cima, y bajar rápido».

Podría ser que la ruta fuera difícil, el GPS no nos funcionase y no consiguiéramos ver las señales en el camino (ansiedad creciente). Al cabo de un rato, vimos una referencia clara que nos puso en el camino correcto de vuelta. ¡Pero se nos habían olvidado los bocadillos!

Se podrían haber inventado muchas otras historias, considerando cosas como la batería del móvil, la preocupación de alguien que espera nuestro regreso, etc.

A lo que íbamos, Janvier (1998) introduce la idea de crónica. Una crónica, aquí, viene a entenderse como un registro de eventos ordenados en el tiempo. A Janvier le llamaba la atención lo que ocurría al pedir a los estudiantes completar e interpretar gráficos como este.

Se trata del Bacteria Puzzle de Karplus (1979). Cada punto, representa el estado final de un cultivo de bacterias que ha crecido bajo unas condiciones de temperatura determinadas. Cuando los estudiantes lo completan tenemos algo así.

Al interpretarlo, un grupo lo hace bien, usando el gráfico para determinar el efecto de las condiciones de temperatura en el crecimiento del cultivo. Observemos que para hacer el gráfico ideal necesitaríamos infinitos puntos, uno para cada hipotético experimento posible.

Sin embargo, otro grupo no escapa a la ‘trampa’, y lo interpretan como una población microbiana que crece durante cierto período de tiempo, y luego muere.

Janvier señala también las dificultades para interpretar las curvas de oferta y demanda. Representan una situación que se mantiene estable (salvo sucesos como huelgas, desastres, etc.), pero tanto profesores como estudiantes se ven tentados a usar crónicas en sus razonamientos.

La curva no cambia durante una transacción. Así que cuando se dicen cosas como que ‘si compras más, cada artículo te costará menos’ se cae en una excesiva simplificación de la gráfica.

La investigación de Janvier le llevó a clasificar este tipo de obstáculos como epistemológicos (que dependen de la naturaleza del objeto matemático en cuestión, ni ontogenéticos ni didácticos).

Una tarea que propuso fue la del ‘Vuelo de París a Montreal’. Os animo a que antes de continuar, la penséis. “Dibuja en los siguientes ejes cómo varía la duración del vuelo de un avión que va de Montreal a París con respecto a su velocidad”.

Estos son los tipos de respuestas que obtuvo:

Como piden t respecto a v, lo suyo es poner la v en el eje horizontal. Pero vemos que en la 2.e) cambian los ejes. Eso es porque realmente están contestando a otra pregunta (¡obstáculo epistemológico!): ‘cómo cambia la velocidad del avión respecto al tiempo durante el vuelo’.

De una muestra de 226 alumnos de instituto (antes de dar cálculo, ¿4ºESO?, la mayoría no da con la gráfica correcta (2.a). Muchos (35%) tienden a esbozar una recta (ilusión de linealidad, ¿necesidad de mostrar un viaje-trayecto?) y un 15% caen en el obstáculo de crónica.

No nos olvidemos de trabajar gráficas y relaciones funcionales variadas para dar significado a la idea de función y de variable, y preparar para situaciones de cambio que desembocarán en la noción de derivada.

Ni de restar importancia a la interpretación de gráficas y a la conversión entre diferentes registros, frente al omnipresente mundo algebraico.

Para terminar, si nos paramos a pensarlo, la gráfica ansiedad vs hambre, tal como la hemos contado al principio, es otra especie de crónica. No aparece la variable tiempo, pero usamos un marco temporal para ordenar los eventos.

Así que os emplazo a retomar la historia de la excursión por el monte y ver una ‘historia’ que no sea realmente una ‘crónica’.

Un par de referencias para profundizar, porque el artículo de Janvier da para tres o cuatro hilos.

Janvier, C. (1998). The notion of chronicle as an epistemological obstacle to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 79–103.

Glazer, N. (2011). Challenges with graph interpretation: A review of the literature. Studies in Science Education, 47(2), 183–210.

Respuestas del examen de funciones que son oro puro (tos y caca mediante)

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estoy corrigiendo el examen de 3ESO de la semana pasada, que incluye funciones, y las respuestas a esta pregunta son oro puro.

Los que se van a reír son mis alumnos cuando les diga el interés que muestran los profes de mates por un hilo sobre caca (y funciones, sí, pero sobre caca).

Dentro hilo con los highlights.

El fenómeno (científico) del desastre. «Las ganas de cagar siguen un patrón más o menos regular, mientras que la tos sigue un patrón muy irregular. Tras un tiempo coinciden y ocurren a la vez. A este fenómeno se le llama “desastre”»

Concisa. «En ese punto es cuando tienes muchas ganas de cagar y justo toses mucho, pues al toser se te escapa la caca.»

Todos tememos. «Contra (sic) más ganas de cagar y tos tengas, llegará un momento en el que coincidirán en un punto exacto y se desatará el desastre que todos tenemos.»

Todo en un día, montaña rusa de sensaciones. «Durante un día una persona tiene diarrea y le dan ataques de tos. El problema es que el momento en el que coinciden, al toser relaja el ano y cae la caca.»

El control es fundamental. «La tos es inesperada y no la controlas (no decido cuándo toser). Las ganas de cagar son constantes y reguladas. La tos, como es incontrolable, no sabes cuándo sale y si aparte te entran ganas de cagar, ocurre el desastre.»

«Ganas de cagar: una persona tiene un punto exacto en el que se hace caca, sigue siempre un patrón. Cuando acaba de comer, se caga, y luego por la noche no, y así todos días. Comer-noche-Comer-… (croquis) Tos: está con catarro y tiene mucha tos, pero de manera irregular…

El chiste describe la rutina de la persona y explica que cuando a la persona le entran ganas de cagar y tose mucho ese punto es un desastre (punto señalado en el gráfico) porque que te pasen las dos cosas a la vez es horrible.»

El sujeto.

«Como podemos observar, la línea de “ganas de cagar” va repitiendo su forma constantemente […], pero la línea de “tos” no va así, […]. Hay un momento donde la tos y las ganas de cagar coinciden lo que le lleva al sujeto a cagarse encima.»

Una reflexión. «Pues que parecen dos variables que no tienen mucho que ver pero en el punto “desastre” juntas las “ganas de cagar” y la “tos” con la fuerza de la tos es muy probable que te cagues encima. »

Los que parece que no saben de qué va. «Si toses siempre en el mismo momento, primero toses una vez, pasa un rato, y toses dos veces, pasa otro rato, y toses otra vez, pasa un poco más y toses otra vez, pero a la vez te vienen ganas de cagar.»

Otra simplemente descriptiva.

«Ganas de cagar->Constante. Hay un punto donde se juntan porque le toca tener ganas de defecar y también tiene tos de repente.»

▶️Comentarios◀️

Siempre les pongo algún meme en los exámenes para relajar tensión. Ellos lo esperan. En este, echaron un vistazo a la hoja y exclamaron:

¿Y el meme? ¿No has puesto? Halaaa.
Mirad la pregunta 9.

En esos momentos iniciales, una alumna me dijo que no lo entendía. Que en serio, que no lo entendía. Puede que fueran los nervios, pero aquí hace falta saber interpretar gráficas.

A la hora de evaluar, aspectos que busco:

La periodicidad de las ganas de cagar, que hace que vayan alternando máximos y mínimos de forma regular. Crece, decrece, crece, decrece…
El desastre (si tienes un baño lejos) se produce cuando coinciden los máximos de las funciones que describen las ganas de cagar y la tos.
Es 3ºESO, no se pide especificar que las ganas de cagar se han modelado con f(x)=sen(x)
Un error o imprecisión ha sido la confusión entre periodicidad, ritmo o frecuencia y ganas constantes. O no comentar nada sobre esto.
Se pide interpretar y explicar, no solo describir. Esto exige una mayor comprensión.

Ha habido un poco de todo, pero esto me da pistas para mejorar la secuencia e incorporar más situaciones. Sigo pensando que hay que trabajar más este aspecto de las funciones, pues creo que no todos han podido disfrutar del chiste en su plenitud.

No tengo claro que esto sean #perlasdeexamen, pero seguro que a @envozalta_libro le resulta interesante.

Si eres profe de mates y has leído hasta aquí, a lo mejor te interesan las actividades del librito del Shell Centre 🔚

Una actividad de interpretación de puntos

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

El otro día en 1°ESO tuvimos una interesante charla a partir de una actividad de interpretación de puntos tomada del libro “El lenguaje de funciones y gráficas” del Shell Centre. Comento brevemente.

Se trata de situar en cada gráfica, de forma aproximada, un montón de deportistas. Hay saltadores de altura, levantadores de peso y lanzadores de dardos. El eje horizontal es el peso del deportista. Los verticales: altura que saltan, peso que levantan y puntuación en los dardos.

Las fotos son producciones de los alumnos. Se ven diferentes notaciones (letras, colores) y distribuciones curiosas que pudimos comentar (para entender su significado y adecuación al contexto), como esa sinusoide para los de los dardos.

Tuvimos nuestra pequeña discusión sobre qué hacer con los de los dardos. Ahí que nos ves en clase buscando vídeos de campeonatos de dardos.

En el cuaderno anotan las razones que les llevan a colocar los puntos. El lenguaje aquí importa, y mucho.

Lo mejor, este tipo de actividades permite trabajar directamente sobre los significados personales de los alumnos y progresar, incorporando vocabulario y contenido de funciones y desarrollando la competencia de interpretación de gráficas.

A lo mejor me repito mucho, pero el libro, con un toque retro encantador, es la esencia de la enseñanza y aprendizaje de las funciones. Más info aquí

Valoración de la idoneidad didáctica de una experiencia formativa sobre variación lineal con futuros profesores de secundaria

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Herrera-García, K. J., Dávila-Araiza, T., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). Valoración de la idoneidad didáctica de una experiencia formativa sobre variación lineal con futuros profesores de secundaria. Póster. En J. M. Marbán, M. Arce, A. Maroto, J. M. Muñoz-Escolano y Á. Alsina (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXIII (pp. 503-512). Valladolid: SEIEM.

Una introducción a Desmos

Sat, 13 Oct 2018 00:00:00 +0000

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea. Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:

Una calculadora gráfica.
Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
Una calculadora científica.
Una herramienta de geometría dinámica.

Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas.

El mecanismo es similar al de otras aplicaciones, como Kahoot. Creamos un código de clase para la actividad y, a partir de ese momento, al docente le aparece un enlace en su lista de actividades para gestionar la misma a través de su dashboard. Este código es el que tienen que introducir los estudiantes en https://student.desmos.com, aunque también se genera un enlace que conduce directamente a la instancia de la actividad. Si los alumnos están registrados en Desmos, podrán volver a la sesión más adelante, pero no es un requisito.

En Las canicas, todo un manipulable virtual, los alumnos deben modificar la expresión de una recta, añadir otras rectas o definir restricciones a un nuevo dominio, de manera que consigan crear un circuito de canicas para que estas pasen por unos puntos predefinidos de antemano por medio de unas estrellitas. Realmente, se puede trabajar esta actividad con rectas o parábolas, ya que tenemos Marbleslides: Lines y Marbleslides: Parabolas y, en cualquier caso, el programa no restringe la función a utilizar.

Por ejemplo, en la Figura 2 basta con extender el dominio, definiendo la función para x<6 en lugar de para x<4, para que la fuerza de la gravedad haga su trabajo y la canica llegue a pasar por la estrellita que está en las cercanías del punto (10,1). Esta solución se muestra en la figura anterior, a la izquierda, y la expresión que hay que introducir es la siguiente:

$$y=-0.4x+6\left\{x<6\right\}$$

Sin embargo, otros alumnos podrían haber planteado:

$$y=-0.4x+6\left\{x<10\right\}$$

$$y=x-9$$

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

El escritorio del profesor (dashboard) ofrece información para gestionar el desarrollo de la secuencia. De esta manera, el profesor puede observar el avance de cada uno de los alumnos (o parejas, si lo estamos haciendo por pequeños grupos). Además, puede detener la actividad para las puestas en común o momentos de institucionalización.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

Al igual que las canicas,esta actividad forma parte del linear bundle, una secuencia más extensa sobre funciones lineales. Aquí se trata de encontrar la ecuación de la recta que representa la trayectoria óptima para el aterrizaje de un avión. Las primeras pantallas se dedican a explorar el entorno o implican cambiar únicamente algún parámetro, mientras que más adelante se ofrece menos guía al alumno y se plantean cuestiones para la reflexión.

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no.

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Esta actividad está inspirada en la madre de todos los recursos para el aprendizaje de las funciones. Bueno, puede que exagere. O no. Me estoy refiriendo al librito de Swan (1985) titulado The language of functions and graphs, del* *Shell Centre. Hay una versión traducida por Alayo (1990), *El lenguaje de funciones y gráficas, *publicada por el Ministerio de Educación que se puede descargar gratuitamente.

Si en el libro de Swan aparecen circuitos de carreras y otros ejemplos a los que hay que asociar o crear una gráfica, en este caso el valor añadido radica en que se trata de vídeos. Este hecho, junto con la posibilidad de ir representando gráficamente la función que describe cada situación según avanza el vídeo, aumenta el rango de contextos y situaciones que podemos utilizar en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Las tareas que contempla la secuencia, por otro lado, no se limitan a representar cada función, sino que antes de ello se incluyen preguntas para detenerse en las magnitudes involucradas, las unidades de medida apropiadas, etc.

Unos comentarios finales

Aunque el diseño de estas actividades está específicamente pensado para ser llevado a cabo en el aula con la guía del profesor, bien sea con portátiles, dispositivos móviles o en una sala de informática; también es posible asignar actividades de Desmos como tareas para casa. Esto es algo que tiene sentido, por ejemplo, con las actividades para practicar. Algo que solo hemos mencionado por encima es que Desmos permite que los usuarios (profesores) suban modificaciones a muchas de las actividades por defecto y otras nuevas. No resulta complicado modificar actividades ya existentes. Para ello, en la propia web hay bastante material de ayuda.

Dejamos para otra ocasión la experiencia de utilizar las funciones de edición avanzadas de Desmos. Al igual que hace Google con su Google Labs, al marcar las opciones de Desmos Labs accedemos a funcionalidades en estado beta que, en este caso, permiten crear tus propias Marbleslides, utilizar la herramienta de geometría en el constructor de actividades e, incluso, utilizar la capa de computación, con la que se puede utilizar un lenguaje de programación para diseñar actividades más sofisticadas.

Referencias

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

¿De dónde sale el número e?

Fri, 24 Apr 2015 00:00:00 +0000

Cualquier matemático te dirá que sale hasta en la sopa. Y es verdad, hay varios caminos que apuntan hacia ese número llamado e. Sin embargo, aquí nos vamos a centrar en uno que puede seguirse sin problemas en una clase de secundaria donde, quizá en el último curso, aparezcan los logaritmos por primera vez.
Pensemos que ingresamos 1 euro en el banco. Pero no en un banco cualquiera, sino en uno que me da el 100% de interés anual. Vamos, que al final del año voy a tener:
\[1+1=2 \]
Ahora, voy a sacar el dinero a mitad de año, cobrando los intereses correspondientes a ese medio año:
\[1+\cfrac{1}{2}\cdot 1 = 1,5 €\]
Y lo vuelvo a ingresar, obteniendo:
\[\left(1+\cfrac{1}{2}\right)+\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{1}{2}\right) = \left(1+\cfrac{1}{2}\right)^2 = 2,25 €\]
¡Anda! ¡Esto es todavía mejor! ¿Y si saco el dinero todos los meses, cobrando los intereses y volviendo a ingresar el monto total? Entonces, el dinero que obtengo al final de año es:
\[ \left(1+\cfrac{1}{12}\right)^{12}=2,613 € \]
Aquí hay gato encerrado, yo esperaba cobrar más. ¡Espera! ¡Ya sé lo que tengo que hacer! Voy a sacar el dinero todos los días:
\[ \left(1+\cfrac{1}{365}\right)^{365}=2,71456748 €\]
Pues creo que no compensa el esfuerzo. No voy a pasar de 3 €. En realidad, si fuésemos capaces de hacer infinitos reingresos, tendríamos:
\[ \left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995\ldots\]
Número que se puede demostrar que tiene infinitos decimales no periódicos y que, por lo tanto, es irracional. Pero es tan real como el 0, el 1, o su amigo $$\pi$$.

Referencias

La foto de las monedas es de Jason Rogers y se puede descargar de aquí.