Geometría | Pablo Beltrán-Pellicer

Manipulativos virtuales en tierradenumeros.com

Thu, 06 Aug 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y de este hilo de BlueSky.

Llevo unos días trasteando con la inteligencia artificial para crear manipulativos y juegos para matemáticas. Algunos, pequeñas variaciones (o no) de lo que hay por ahí. Otros, más difíciles de encontrar, al menos para mí, como las geotiras (geo strips). Os cuento. 🧵

Tu navegador no soporta la reproducción de videos.

Las que tenemos por la facultad son de las originales de Invicta Education, que todavía se pueden encontrar porque la firma sigue activa. En la guía de su web se pueden ver las medidas de cada tira. Y sí, eso que se ve en la imagen son encuadernadores.

En efecto, si te recuerdan a las de un meccano, estás en mi equipo. Es lo primero que pensé la primera vez que las vi. De hecho, hoy en día hay juegos de meccano o similares que, valga la redundancia, darían un juego similar en clase.

El manipulativo permite jugar libremente con las geotiras y plantear las actividades que se quieran. En particular, vienen muy bien para explorar relaciones de propiedades geométricas de figuras planas. Aquí he pillado dos iguales y las he unido por el centro.

Con lo cual, estoy generando una familia de figuras que comparten que son cuadriláteros cuyas diagonales son iguales y se cortan por el punto medio. Si hay que ponerle nombre a esa familia, ¿qué nombre le ponemos?

En efecto, son rectángulos. Eventualmente, si a las propiedades anteriores se le añade que las diagonales, además, son perpendiculares, será un cuadrado. Pero forma parte de la misma familia, por lo tanto, también es un rectángulo. Es solo un ejemplo de actividad que se puede hacer con estas geotiras. En particular, favorece pasar de un nivel de análisis (Van Hiele) a uno de clasificación en donde unas propiedades se deducen de otras y las clasificaciones pasan de ser particionales a jerárquicas.

Pero a lo que iba. Este manipulativo y otros que iré comentando los he dejado en un apartado de mi web, que iré ampliando. Todos se pueden abrir a pantalla completa en una pestaña aparte. Permiten guardar lo realizado para recuperarlo otro día. tierradenumeros.com/manipulativos/

Manipulativos virtuales | Pablo Beltrán-Pellicer

O, en el caso de los poliminós, se me ocurre que puedo querer crear puzles y luego recuperarlos otro día. Iré comentando todos, a ver qué os parecen. Además, para el que le guste trastear, los he dejado en un repositorio en GitHub. github.com/pbeltranp/tierradenumeros

GitHub - pbeltranp/tierradenumeros-manipulativos: Manipulativos virtuales para educación matemática

Así se pueden crear issues, modificar y hacer forks o, yo que sé, si alguien quiere embeberlo en un moodle, que pille el html directamente.

Y ya, es que estos días mi casa parece un bootcamp tecnológico y me he dejado llevar. Antes de que me preguntéis, lo que he usado es @claudeai. Ya me diréis qué os parecen. ☺️

Concurso de aviones de papel: Una propuesta STEM en la formación inicial del profesorado

Mon, 30 Mar 2026 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Pozuelo Muñoz, J., Begué, N., & Terrado, E. (2026). Concurso de aviones de papel: Una propuesta STEM en la formación inicial del profesorado. En M. Díez Ojeda & M. Á. Queiruga Dios (Eds.), Reimaginando el aprendizaje para un mundo en cambio—Reimagining learning for a changing world (pp. 279-283). Universidad de Burgos. https://doi.org/10.36443/9791387585280

Dibuja un triángulo y pinta los ángulos

Mon, 23 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Lo mejor de la semana? El por qué que soltó una alumna en un taller de origami y matemáticas en Primaria. Dibujad triángulos. Mejor si somos creativos. Pintamos los ángulos y los rompemos.

¿Cómo? Sí, y tratamos de juntar los vértices en un punto. A ver qué observamos.

Ahí no hay nada de origami, vale. Es el aperitivo. Y ya en lo de ser creativos dibujando triángulos había matemáticas. Porque salirse de los estereotipos en geometría… Pero ¡¡¡por qué pasa eso, si nos has dejado dibujar el triángulo que quisiéramos!!!

No habrá origami todavía, pero matemáticas hay un rato. Observar, conjeturar de manera bastante sólida que está pasando algo muy curioso con cualquier puñetero triángulo, tiene un valor tremendo ya. Para dar respuesta a ese por qué tendríamos que iniciar un caminito de comparación de ángulos y cómo esto se relaciona con la idea de paralelismo. Pero… yo lo que venía a hacer aquí es otra cosa.

Esto era curioso, ¿verdad? Pues ahora el reto:

¿Seríamos capaces de juntar los tres vértices en un punto, sin cortar, para mostrar qué se forma igualmente un ángulo llano?

Esto último es un ejercicio para los lectores. Es algo que se ve menos que el aperitivo, que es un clásico que debería ser habitual. No vale ver el dibujico en un libro de texto y hala, los ángulos de cualquier triángulo suman 180º.

¿Hay geometría en los Numberblocks?

Fri, 30 Dec 2022 00:00:00 +0000

Is there any geometry in the Numberblocks?

Abstract

We approach in this volume the Numberblocks series again just to reflect upon a couple of episodes in which questions of geometry are addressed. In this way, we intend to show that, despite the fact that numbers are the protagonists of this production, other mathematical content is also adequately represented. Some of the issues that we will discuss are the problem of obtaining all the different polyminoes that can be done for a given N; or the definitions of 2D- figures and classifications of quadrilaterals.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2022). ¿Hay geometría en los Numberblocks? Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 11(2), 109-118. https://doi.org/10.24197/edmain.2.2022.109-118

Sobre la revista

Dialnet métricas

El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas

Mon, 21 Feb 2022 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

The Pythagorean theorem is undoubtedly one of the most fascinating mathematical objects in compulsory education. Its teaching cannot be reduced to the application of the formula $a^2 + b^2 = c^2 $, where $a$ and $b$ are the lengths of the legs of a right triangle, and $c$ that of the hypotenuse. Many authors agree in emphasizing the opportunity it offers to work on conjecture and proof in mathematics. In this article we reflect first on its meaning, reviewing some teaching proposals and research results. Later, we describe in detail the design and implementation of a didactic proposal for 2nd ESO, paying special attention to the planning of the scaffolding and interaction in the classroom, relying on student productions for this.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemass. La Gaceta de la RSME, 25(1), 149-169.

Enlace al número de La Gaceta: http://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=119

Una experiencia formativa con BlocksCAD con futuros docentes de matemáticas en secundaria

Sun, 10 Oct 2021 00:00:00 +0000

A training experience using BlocksCAD with future high school teachers of mathematics

Abstract

Some of the software tools used in the modelling and manufacturing processes of 3D objects and parts offer an excellent opportunity for the development of mathematical knowledge and skills, while allowing the establishment of inter and intra-disciplinary connections. This article describes an experience with 22 future secondary school teachers, students of the Master’s Degree of Teaching in Secondary Education. The task proposed to the participants was the modelling of a dice considering those factors that may affect its bias, using the BlocksCAD block programming environment. This software allows for the description of parts using geometric primitives, transformations and logical operations. Once the modelling was finished, the participants were asked to propose didactical sequences that establish the aforementioned connections. The written productions of the participants were collected and analysed, as well as the xml files with the construction of the dice. The results show three different types of modelling, as well as a great variety when using the available blocks. The establishment of connections in the didactic sequences is, in general, weak, which opens the door to the need for similar experiences where connections with other subjects are made explicit.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2021). Una experiencia formativa con BlocksCAD con futuros docentes de matemáticas en secundaria. Didacticae: Revista de Investigación en Didácticas Específicas, 10, 71-90.

Elige tu propia aventura: un teorema célebre

Mon, 28 Jun 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. He aprovechado para eliminar alguna redundancia que siempre se me termina escapando al escribir en esa red, pero siempre quedará ese aroma a hilo. Por un lado, debo decir que me gusta el tipo de lenguaje que hay que emplear al escribir un hilo, porque obliga a ir al grano y sintetizar mucho. Sin embargo, por otro lado, también soy consciente de que es… peculiar.

Vamos con otro de los de elige tu propia aventura. Eres profe de mates y toca ponerse con «el teorema de Pitágoras», digamos en 2º ESO. Dos opciones:

A) $a^2+b^2=c^2$

B) Calcula el área de este cuadrado.

La opción A es propia de una enseñanza para la resolución de problemas. Presentas el teorema. Posiblemente, esperando que el alumnado se maraville ante un resultado tan maravilloso (lo es). Esa misma clase expones cómo aplicarlo para calcular distancias desconocidas.

Los problemas de aplicación que vengan después pueden ser más o menos interesantes. Sin embargo, ¿estaríamos tratando realmente el teorema de Pitágoras? ¿Qué implica este teorema como contenido? ¿Cómo se conecta con otros contenidos?

La opción B, que es la que desarrollaré, es una propuesta de actividades a través de la resolución de problemas. La principal diferencia con la A es que no se exponen las matemáticas, sino que se construyen con el alumnado.

Este vídeo está genial. Pero si empiezas con él, aunque haya indagación, es muy probable que la propuesta sea de tipo A. Por otro lado, el vídeo tiene su cabida en la B, pero más adelante. ¡Es un spoiler!

Si tienes muy claro que lo tuyo es la opción A, sáltate el hilo, porque con la B puedes estar casi dos semanas.

La secuencia de actividades se titula «Un teorema célebre». No me gusta adelantar acontecimientos. Ya bautizaremos el resultado al final. Si algún alumno conoce el teorema y las actividades empiezan a recordarle el asunto, no pasa nada.

Sí, por ahí van los tiros, ya verás.

El punto central de la propuesta es explotar la idea de que el teorema de Pitágoras es una relación de áreas. La situación-problema será el cálculo del área de cuadrados cuyos vértices se ubican en los puntos de una retícula cuadrada (geoplano cuadrangular).

Tareas troncales a realizar

Primera tarea (razón de ser)

Esto es un cuadrado de tipo $(3,5)$. El primer número es el desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo. El segundo, el desplazamiento en vertical. Y así tenemos un lado del cuadrado. Encuentra el área de este cuadrado y explica cómo lo has hecho.

Ponte en la piel de alguien que no conoce el teorema de Pitágoras y prueba a contestar antes de seguir, porque aquí empiezan a pasar cositas. Desde alumnos que señalan que el lado del cuadrado mide 5 unidades hasta diferentes tipos de descomposiciones.

Inciso: lo de que mida 5 u el lado o contar puntos en lugar de «huequitos». No me cansaré de decir lo importante que es el trabajo en magnitudes y medida. Con 13-14 años no conservan la longitud. Y para eso están estas secuencias. Si quieres saber más visita este post sobre una secuencia en torno a la medida.

Esto es el suelo bajo de la secuencia (ya veréis que el techo es alto). ¿Por qué el suelo es «bajo»? Porque es accesible para todos. Esta tarea podría llevármela a 4º de primaria y trabajarla tranquilamente allí.

Es más, esta tarea forma parte del trabajo en magnitudes y medida que se esperaría hacer en primaria. Por lo que, aparte de ser suelo bajo, es una oportunidad para establecer conexiones con conocimientos previos.

En el caso de estos alumnos, las conexiones más cercanas son con cosas que hicimos el curso pasado durante el confinamiento. Por un lado, la actividad que se describe en este post, donde se trabajan descomposiciones y recomposiciones de figuras planas para hallar su área.

Y con una secuencia que hicimos después de la actividad anterior, en torno al teorema de Pick. Secuencia en la que, llegar al teorema de Pick casi es lo de menos. Empezaba pidiendo calcular las áreas de estas figuras.

En clase normal habríamos discutido diferentes técnicas. En modo confinamiento, tal como lo planteamos nosotros, propusimos las siguientes:

Creo que las conexiones con lo que estábamos planteando se ven claras, ¿verdad? Es posible que la secuencia de Pick no la haya desarrollado por aquí, así que me lo apunto 😉. Os dejo un avance:

Volviendo a nuestro «cuadrado inclinado» $(3,5)$. La forma más habitual de enfrentarse fue inscribirlo en otro más grande de área conocida y restar los sobrantes, que son fáciles de obtener.

Pero hay pequeñas variantes, como esta. E incluso otras, recomponiendo el cuadrado, que ya no muestro por no extenderme. En clase hemos de estar atentos y procurar discutir todas. ¿Qué observas? ¿Cuál es más fácil en este caso? ¿Se te ocurre otra forma?

Siguientes tareas: hacia la generalización

Vamos a asegurarnos de que sabemos dibujar estos cuadrados inclinados y calcular el área. Hagamos el $(3,7)$ y el $(2,3)$.

Paso necesario, porque hubo alguna dificultad para dibujarlos. Por esto no me gustan los cuadernos especialmente pulcros, sin registro de lo que ha podido pasar.

Siguiente tarea. Nos dejamos de geoplano y empezamos el camino hacia la generalización. Conexiones, esta vez, con álgebra. Se trata de dibujar a mano alzada un cuadrado $(3,b)$ y calcular su área.

Aquí hay dos grandes dificultades. Por un lado, dibujar el cuadrado $(3,b)$ «general». Y, por otro, calcular su área, para la que les hacía falta la del cuadrado inscrito, que algebraicamente es $(b+3)^2$ y ya sabemos lo que supone. Hicimos ambas cosas meses antes, en álgebra. Por eso, esta tarea tiene especial valor. No pasa nada, nos detenemos, abordamos la cuestión y seguimos.

Siguiente tarea. Ahora vas a dibujar una secuencia de cuadrados $(a,b)$ en la que el valor de $b$ es siempre 1 y el valor de $a$ va cambiando de una en una unidad. El primero ya está dibujado. Intenta dibujar los 4 siguientes.

Cuestiones que tienen que responder y que luego discutimos.

a) ¿Puedes encontrar el área de cada uno?

b) Puedes encontrar un método para encontrar el área de cualquiera?

c) Calcula el área de los primeros 6 cuadrados obtenidos con el mismo método.

d) ¿Qué observas en esta serie de números que representan las áreas de estos cuadrados?

Estas preguntas son exploratorias. Básicamente, es dejarlos hacer y comparar entre ellos lo que van obteniendo. De hecho, ya hay alguno que se pispa del atajo para calcular las áreas.

La siguiente tarea estructura un poco más estas reflexiones y sugiere recopilar las áreas calculadas en una tabla como esta.

Estos están dibujados al revés, pero da un poco igual. Se comenta que es cuestión de la notación.

Es lo mismo, ¿no? Las áreas son iguales, solo tendría que girar la hoja…

Aquí la tabla a medio hacer. ¿Se intuye lo que está pasando? Los alumnos añadían sus comentarios a la derecha:

La fila esta es como la anterior sumando 4.
Aquí se está sumando $b^2$.

Preguntas que acompañan a la tabla y que luego se ponen en común:

a) ¿Puedes construir la siguiente fila (la que tiene para la $b$ el valor 5)?

b) ¿Y la fila correspondiente a $b$ con valor 10?

c) ¿Y ahora puedes escribir cuál será el área para un cuadrado $(a,b)$?

Observad que las respuestas aquí ya juegan mucho con la simbolización. Estamos formalizando ya la idea central del teorema de Pitágoras. Por lo menos, hemos resuelto el problema de inicio. Calcular el área de esos cuadrados inclinados.

Porque mira que es petardo el profesor de Matemáticas. No, nos puede dar el lado y ya. Nos pone el cuadrado inclinado. ¡Qué necesidad!

Es que si os doy el lado es una tontada de actividad…

Por si no ha quedado claro el asunto, se propone dibujar un cuadrado general $(a,b)$ y obtener el área.

El colofón

Vamos cerrando la construcción. Compara las áreas de la parte sombreada y explica tu método.

Preguntas. Empezamos suave:

a) Si las dos áreas analizadas arriba son iguales, entonces escribe las conclusiones que se pueden observar.

Y… la pregunta:

b) Si ahora pensamos en que el lado del cuadrado gris de la izquierda mide c, indica cuánto es el área de ese cuadrado y escribe de nuevo las conclusiones del apartado anterior.

Ahora sí. Pues había un matemático que se llamaba Pitágoras que, en torno al siglo VI a.C., le daba vueltas a estas cosas…

Las tareas realizadas hasta aquí son básicamente las que se proponen en la unidad «Discovering the Pythagorean Theorem» del Mathematics Assessment Project. Ya sabéis lo fan que soy del Shell.

¿Cómo continuamos?

Pues poniendo sobre la mesa diferentes pruebas de Pitágoras. La idea sale de otra fuente imprescindible de recursos: NRICH.

Se trata de proponer diferentes pruebas de Pitágoras y trabajarlas. Tampoco es necesario que todos los alumnos hagan todas. Aquí entré a clase con la idea de repartir por secciones de aula según mi criterio, pero como se pusieron al tajo por la que les dio la gana, me amoldé.

La presentación de la actividad. Ahora ya sabes que el teorema célebre se llama Teorema de Pitágoras. ¿Qué significa? Te vamos a proponer varias pruebas. ¿Cuál te parece más convincente? ¿Cuál te resulta más fácil de entender? ¿Cuál te resultaría más fácil de explicar?

Primera prueba. Los recortes. ¿Siempre podemos hacer esta descomposición?

Segunda prueba. En el link de nrich que he puesto antes hay un applet bastante majo de Geogebra. Lo usamos en clase, pero en la hoja les pusimos lo siguiente.

Con un poquito de andamiaje…

a) Escribe la expresión del área del cuadrado grande del paso 3.

b) Utiliza la expresión de a) para calcular el área del trapecio del paso 1.

c) Averigua el área del trapecio del paso 1 sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos del paso 1.

d) Utiliza los resultados de los apartados a, b y c para dar una prueba del teorema de Pitágoras explicando cada uno de los pasos.

Tercera prueba. Conexiones con proporcionalidad y asomándonos a la semejanza…

Aumenta el triangulito pequeño por un factor de escala a para hacer el triángulo rojo y por un factor de escala b para hacer el triángulo azul. Une ambos como se indica en la figura.

a) Demuestra que los podemos unir de esa manera y que ese triángulo es igual al original aumentado en un factor de escala c.

b) Utiliza lo observado en el apartado anterior para probar el teorema de Pitágoras.

Como última prueba, la «clásica» disposición. Que, realmente, ya estaba trabajada.

Problemas de aplicación

Finalmente, problemas de aplicación. Alguno que otro sacado de nrich y alguno que otro inventado (cálculo de distancias del fusor de una impresora 3D…).

Sí que hay tres de nrich que quiero dejaros por aquí.

Uno que parece una tontería, pero que tiene más jugo del que parece: Si dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 6 cm, ¿cuántas posibilidades hay para la longitud del tercer lado?

Otro que admite varias aproximaciones: El triángulo de la figura es isósceles. Se ha dibujado un cuadrado sobre cada uno de sus lados. La suma de las áreas de estos tres cuadrados es 72 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Y otro, también recogido en nrich, pero que llega desde el fantástico blog de Don Steward (DEP). Que, por cierto, no es nada inocente de entrada.

Ojo con este último porque es un ejemplo magnífico de techo alto. ¿Y si utilizamos variables? ¿Sabrías obtener la expresión algebraica? Puede que sea uno de los primeros problemas de optimización a los que se enfrenten.

La secuencia está abierta a mejoras o a incluir otras tareas, claro. Por ejemplo, se queda en el tintero el interesante camino que se abre al generalizar el teorema construyendo sobre los lados del triángulo rectángulo otras figuras que no sean cuadrados.

Confío en que hayáis disfrutado con el hilo. Para afinar la propuesta fueron indispensables las sesiones de trabajo con mi compañera de no-departamento Ana Martínez. (Esto de las no-cosas son cosas de los CPI de aquí).

Porque no se trata solo de plantear las tareas. Eso solo es el primer paso. Se trata de explotar las discusiones al máximo. Y, para ello, las conversaciones sobre cómo están yendo estas secuencias en clase son de lo mejor.

Pd1. Este es otro de los de «Elige tu propia aventura» porque, para los que me seguís hace poco, planteé el de la mediatriz de la misma manera. En cualquier caso, hay más hilos similares por mi perfil y, al poco, los dejo en mi blog.

Pd2. Es posible que más adelante os hable de la evaluación de esta secuencia. Como todo lo de este curso, basada en autoevaluaciones sistemáticas y en la mejora continua.

Material relacionado

La fundamentación de la secuencia está desarrollada en este artículo

Los materiales los dejo aquí por si vienen bien.

La suela de la zapatilla: ¿qué observas? ¿qué te preguntas?

Fri, 28 May 2021 00:00:00 +0000

Esto da para empezar una clase. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas

Sun, 09 May 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas.

Spoiler: no van al revés de nada.

¿Cómo localizamos puntos en la superficie terrestre? Con las coordenadas geográficas, que indican latitud y longitud.

Ea, pues ya está, como x e y. Abscisas y ordenadas. Horizontal y vertical.
Esto… no.

¿Qué es la latitud de un punto de la superficie de la Tierra? Imagina una recta que pase por dicho punto y el centro de la Tierra. El ángulo que forma dicha recta con el plano ecuatorial es la latitud. Por eso va acompañada de una N (si es hacia el Norte) o una S (Sur).

Cualquier punto del ecuador se corresponde con el paralelo 0°, el polo norte con 90°N y el polo sur con 90°S.

¿Y qué es la longitud? Ahora toca imaginar meridianos (semicircunferencias que pasan por el polo norte y por el polo sur). Se elige uno de referencia, el de Greenwich, y la longitud de un punto es el ángulo entre ese meridiano de referencia y el que pasa por este punto.

En la imagen, la latitud es el ángulo Φ y la longitud es el ángulo λ.

Medir la longitud es mucho más complicado que medir la latitud. Pensad que sois navegantes del s. XVI. Es más fácil percibir que te desvías hacia el Norte o hacia el Sur que en términos de longitud (E-O). Problemón que llevó al desarrolló del cronómetro y otros instrumentos. Enlace al museo virtual del CSIC

Además, resulta que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, por lo que podríamos añadir la altitud sobre el nivel del mar a nuestro sistema de coordenadas. Pero no lo liemos más.

📷ICGEM

Un alumno, o cualquier persona, puede pensar que las coordenadas geográficas van «al revés» porque primero se indica la latitud (Norte o Sur) y luego la longitud (Este u Oeste). Y claro, como Norte es arriba y Sur es abajo, ya la tenemos liada.

Ya la tenemos liada porque, en matemáticas, [modoironíaON], como todo el mundo sabe, eje X es horizontal y eje Y es vertical. Y los puntos en el plano son (x,y).

En el currículo nacional aparece esto de las coordenadas como contenido en Ciencias Sociales:

Coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Con su criterio «Identificar y manejar los conceptos de paralelos, meridianos y coordenadas geográficas» y su estándar «Localiza diferentes puntos de la Tierra empleando los paralelos y meridianos y las coordenadas geográficas.»

En Matemáticas aparece como contenido esto:

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos. Y un estándar que dice «Describe posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros.»

Para mi gusto, aparece muy ligada la idea de sistema de coordenadas cartesianas a la descripción de posiciones y movimientos, lo cual es un uso de los ejes. ¿De dónde salen los convenios en los ejes? ¿Cuáles son? ¿Cómo los usamos para representar cantidades de magnitud?

Mucha tela que cortar, como el problema de restringir la ‘x’ y la ‘y’ como etiquetas exclusivas. ¿Y si son ‘e’ y ’t' ya no son ejes cartesianos?

Todo esto se aborda con suma delicadeza en el librito del Shell «El lenguaje de funciones y gráficas». Os lo descargáis de aquí: https://sede.educacion.gob.es/publiventa/el-lenguaje-de-funciones-y-graficas/pedagogia/1065

Por ejemplo, si queremos hacer reflexionar al alumnado acerca de todo esto de los ejes, vamos a ponerles la altura en el eje horizontal.

Volviendo a lo nuestro, si el objetivo es comprender el concepto de coordenada geográfica, la secuencia didáctica no puede empezar con un mapa plano. Hemos de empezar con un globo terráqueo. Solo así quedará claro que para localizar un punto utilizo ángulos.

La cuestión es que claro, no vamos con un globo terráqueo en el bolsillo. Hoy en día casi, porque usamos el móvil y dispositivos que lo permitirían. Observa que cuando queremos presentar en 2D el globo terráqueo se produce una deformación. Probadlo con el Google Maps.

Estas deformaciones son diferentes según el tipo de proyección que se realice. Y unas conservan unas cosas y otras, otras. Paralelismo, perpendicularidad, distancias, áreas, etc. Enlace sobre tipos de proyecciones

Lo importante, si nos acercamos a esto en primaria, es comprender que necesito indicar los ángulos de latitud y longitud para localizar un punto. Que por convenio se suela decir antes la latitud es lo de menos. Eres igual de capaz de localizarlo si te doy la información al revés.

Ahora, si reduzco la secuencia didáctica a localizar puntos en un plano 2D a partir de latitudes y longitudes, pues igual no hace falta hacer nada.

Gracias @Jaimetimiraos por la conversación de esta mañana, donde me señalabas este posible conflicto.

El mundo loco de BlocksCAD

Tue, 30 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Imagina un mundo donde para construir una pirámide tienes que hacer primero un cilindro. Ese mundo loco existe y se llama BlocksCAD

Lo primero que llama la atención en BlocksCAD es que vas al menú de formas en 3D y ves: cubo, cilindro, esfera y toro. Obviamente piensas, voy a darle a F5 porque igual es que no se ha cargado el resto de primitivas.

Pues no, efectivamente solo tenemos cubos, cilindros, esferas y toros.

Y todo se vuelve un poco más raro cuando vemos que el cubo tiene más parámetros de los necesarios para hacer un cubo (vuelve al tuit anterior).

Como ya estaréis intuyendo, la primitiva cubo nos permite hacer prismas rectangulares.

¿Qué serán los dos parámetros de la primitiva cilindro? Vamos a explorar. Para ello, quitamos el candadito, porque así podemos modificar cada uno por separado.

Anda, un tronco de cono. Qué cosas. Entonces, se podrá entonces hacer un…

Tampoco es que haga falta ir explorando por uno mismo. El propio entorno tiene menús contextuales que facilitan esto.

Vale, pero en ese menú de formas solo teníamos el cubo, el cilindro, la esfera y el toro…

¿Cómo hacemos entonces una pirámide? En el menú de transformaciones tenemos un montón de bloques. Y hay uno que se llama “aristas” (en la versión en inglés, sides).

O sea, que puedo coger un cilindro, decir que me lo haga con radio superior cero, y luego decirle al programa que mejor que lo haga con cuatro aristas.

He descrito una pirámide con un uso del lenguaje que requiere un conocimiento profundo de estos cuerpos, además de pensamiento computacional e, incluso, una idea intuitiva de en el límite para hacer ese r2=0.

En ese menú de transformaciones se pueden hacer también traslaciones, simetrías, rotaciones, etc.

Luego tenemos un menú que realiza operaciones de conjuntos:

Unión: todos los puntos que están en alguno de los objetos.
Intersección: los puntos que están en todos los objetos.
Diferencia: todos los puntos que están en el primer objeto y no están en los demás.

Y una operación denominada envoltura convexa (hull) que da mucho juego. Con ella, por ejemplo, podría modelar un “cubo” poniendo miniesferas (o lo que sea) en las posiciones de sus vértices.

En realidad, BlocksCAD no deja de ser una interfaz gráfica de OpenSCAD al estilo de Scratch. La ventaja de la programación visual con bloques radica en que no tienes que preocuparte de si te dejas una coma o no has cerrado las llaves.

Es posible que lo que hayas codificado no haga lo que tú querías, pero eso es otra cosa. La programación por bloques te permite despreocuparte de la sintaxis (vaya, dónde está esa coma que seguramente me he olvidado de poner) y centrarte en lo fundamental.

Los programadores experimentados perciben estos entornos como menos potentes y capaces, pero esta transparencia y facilidad de uso permite que el alumnado los emplee directamente.

Prometo extender el hilo, que incluirá referencias para ampliar y mostraré algunas de las cosicas que surgieron en una práctica que hacemos en el máster de ESO en la Facultad de Educación de Zaragoza. Pero antes, un pequeño reto…

¿Quién se anima a modelar esta pieza de aquí? Como no lleva medidas de ningún tipo, me conformo con que sea aproximadamente igual. Enlace al editor

No creáis que os voy a estropear el reto anterior, pero voy a continuar el hilo. Es un desafío interesante porque se puede abordar de diversas maneras y algunas requieren de más bloques de código que otras.

Tampoco soy tan malo, que luego pondré referencias y enlaces y, entre ellos, podéis encontrar alguna solución. Nos faltaba algún menú por explorar.

En el de funciones podemos crearnos nuestros propios bloquecitos que hacen cosas. ¿Recordáis que más arriba decía que se podía modelar una especie de cubo usando la envoltura convexa (hull)? Aquí se ha hecho eso, creando antes una función para hacer los puntos.

Cuando resulta necesario realizar cálculos para establecer medidas, parámetros de traslaciones, etc., recurriremos a los bloques de matemáticas, donde se incluyen operaciones aritméticas, funciones trigonométricas y generadores de números aleatorios.

Los resultados de estas operaciones pueden introducirse directamente en los parámetros de las primitivas 3D o de las transformaciones o, por otro lado, asignarse a variables que luego pueden ser utilizadas para diferentes propósitos.

Lo de las variables es un puntazo. Una de las grandes ventajas de estos programas de modelado es que puedo parametrizar piezas. Por ejemplo, puedo hacerme una tuerca genérica, y luego redimensionarla para fabricarla de cualquier métrica.

La categoría de secuencias (loops) permite introducir bucles en los algoritmos, que pueden ser recursivos (OMG), mientras que la categoría lógica (logic) completa la paleta de instrucciones que se pueden añadir a los algoritmos.

En el máster de ESO de la Facultad de Educación de Zaragoza venimos haciendo una práctica que consiste en el diseño de un dado. Después de plantearla con TinkerCAD un par de años, desde hace dos iniciamos una línea de investigación entre José M. Muñoz y un servidor.

Esto del diseño y construcción de un dado es ya una fijación, algo que he hecho con alumnado de ESO, tanto usando herramientas tecnológicas como haciendo el dado con técnicas sencillitas de origami modular.

Da un juego tremendo porque permite articular los significados clásico y frecuencial de la probabilidad, así como poner de manifiesto diversos sesgos de razonamiento.

Además, las conexiones con otras disciplinas son muy interesantes. Con experimentales, cómo diseñar un entorno de laboratorio para probar el dado. Con tecnología, por el diseño en sí y por analizar qué aspectos del proceso de fabricación influyen en el sesgo del dado.

No es fácil en absoluto diseñar un dado. En Thingiverse hay hilos donde se pone de manifiesto que influye hasta cómo pones la pieza en la cama de la impresora 3D (si “recta” o a 45º).

A la hora de modelar el dado con BlocksCAD surge el problemilla de cómo lo redondeamos para que ruede un poquito. Y las soluciones que aparecen son muy curiosas.

Gracias a @napulido os puedo enseñar los dados fabricados. En la foto, diferentes intersecciones de cubo con esfera (las tres de la derecha). El de la izquierda es un hull de la intersección de 3 cilindros.

Esto de aquí es la intersección de tres cilindros, a la izquierda con la envoltura convexa (hull) y a la derecha sin ella.

Y aquí tenemos dos modelos en los que se ha tratado de compensar el material retirado de cada cara.

Si te interesa el tema, hace unos meses publicamos junto con Carlos Rodríguez y José M. Muñoz el siguiente artículo en la revista SUMA.

Aquí enlace a un taller para docentes con Carlos Rodríguez en la III JEMA.
Y aquí enlace al taller para el Taller de Talento Matemático con Carlos Rodríguez, que también sirve para un taller en 4º ESO para el programa Conexión Matemática.

Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas

Tue, 19 May 2020 00:00:00 +0000

Abstract

BlocksCAD is a scratch-like programming environment to create 3D objects, which offers a web-based interface for the open-source OpenSCAD 3D modeling software. With this tool, bodies in space are described by algorithms that include the use of a few primitives, such as prisms and spheres; geometric transformations and logical and set operations. This article introduces the resource and proposes examples of tasks that have been implemented with students in the second cycle of secondary education in Spain.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Rodríguez-Jaso, C., & Muñoz-Escolano, J. M. (2020). Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas. Suma, 93, 39-48.

Atención a la diversidad a través de la resolución de problemas

Sat, 16 May 2020 00:00:00 +0000

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Un aspecto que me fascina de la enseñanza a través de la resolución de problemas es cómo permite la inclusión y la atención a la diversidad. Os cuento algo al respecto.

Si queremos atender a la diversidad, la opción, por sistema, de dar unas fichas para los que van más rezagados y material extra para los que tienen mayor capacidad, no hace sino excluir dentro del aula.

La inclusión y la igualdad de oportunidades tiene lugar cuando la tarea de clase es la misma para todos. Lo que se consigue con actividades del tipo “suelo bajo y techo alto” (low floor high ceiling).

El otro día puse el ejemplo de la actividad de la mediatriz, o del punto de encuentro. Empieza con tareas muy sencillas que puede abordar todo el mundo. Colocar un punto, medir distancias, observar…

De hecho, esa parte, que podría plantearse en primaria, no sobra para nadie. Porque contribuye a desarrollar el significado de mediatriz como lugar geométrico.

Conforme avanza la secuencia de actividades, hay puntos, como el que voy a comentar, que denotan que el aprendizaje no es el mismo para todos (no puede ser de otra manera).

En una de las actividades, se trata de averiguar el circuncentro de algunos cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

El del trapecio rectángulo no se puede hacer, claro, si trazas las mediatrices no se cortan en el mismo punto. Aquí es donde una alumna de 1º ESO ha realizado la siguiente observación. Interesante es poco.

En clase presencial puedes animar a los alumnos a realizar este tipo de observaciones, eligiendo bien las preguntas. Sin embargo, la interacción online es muchísimo más reducida. Por eso me alegro tanto cuando veo estos indicios.

Le pregunté que cómo podía estar segura de lo que decía, y que se animara a utilizar las herramientas de medida de geogebra.

Después, le propuse pensar acerca del porqué de que ocurra, que implica propiedades de la mediatriz y de ángulos, así como aspectos de perpendicularidad y semejanza.

En fin, que solo venía a compartir esta pequeña alegría en tiempos de crisis. Porque las matemáticas serán maravillosas, pero también pueden ser muy segregadoras, separando entre los que controlan y los que no.

Un aprendizaje inclusivo no implica que todos terminen aprendiendo lo mismo. Se trata de equidad y de permitir y buscar el máximo desarrollo de cada uno.

La mediatriz a través de la resolución de problemas

Sun, 12 Apr 2020 00:00:00 +0000

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Eres profe de mates y toca introducir “la mediatriz”, digamos en 1º ESO. Elige tu propia aventura.

A. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

B. Coloca 5 o 6 puntos en el mapa que estén a la misma distancia de dos amigos.

Si has optado por A, has elegido una enseñanza PARA la resolución de problemas. En principio, ahora toca explicar el procedimiento para dibujarla y, después, plantear unos ejercicios para ver si el alumnado ha “entendido”.

Estos ejercicios pueden ser, dados dos puntos A y B por sus coordenadas, trazar el segmento que los une. Luego, pueden venir ejercicios de aplicación, tal vez problemas.

Por ejemplo: si m es la mediatriz del segmento AB y C es un punto de la recta m, ¿cuál es la distancia del punto C al punto A, sabiendo que la distancia de C a B es 4 cm?

Por supuesto, aquí, una muestra variada de situaciones enriquecerá algo la propuesta. Pero veamos qué pasa si optamos por la B.

La opción B forma parte de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Que, como ya hemos dicho aquí, no es dejar al alumnado en la selva. Hay descubrimiento guiado, y hay un andamiaje.

Se les proporciona a los alumnos un geogebra con un mapa y dos puntos fijos. Sin ejes ni cuadrícula. No cuesta nada maquearlo para su localidad ( enlace a ggb).

Ana y María están en los puntos de la localidad que tienes marcados en la foto. Tienes que encontrar varios puntos (al menos cuatro) que estén a la misma distancia de las dos. Puedes comprobar las distancias midiendo con Geogebra. Marca los puntos en la hoja.

Esta actividad puede servir como introducción a geogebra. Colocar puntos, medir, arrastrar…

Una vez que tienes situados al menos cuatro puntos, contesta:

¿Qué tipo de forma o figura se formará al dibujarlos todos?
¿Podrías encontrarlos todos?

¿Qué nombre recibe el conjunto de puntos que has encontrado?
Escribe una definición de este conjunto de puntos.
¿Podrías escribir otra definición diferente?

Observemos que, hasta ahora, a los alumnos no se les ha mencionado el nombre de “mediatriz”, ni siquiera está en el título. Sin embargo, en la pregunta 3 ya aparece. Es posible que algún alumno lo conozca y asocie esta actividad con algo anterior.

Atención a las preguntas 4 y 5. En lugar de dar una definición, no se da ninguna. Y no contentos con eso, preguntamos por otra definición. ¿Estamos locos?

Para nada. Aquí la idea es que surjan dos definiciones. Una, relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico, que es lo que subyace intuitivamente en la tarea. Ejemplo de respuesta: “Es la recta que tiene puntos que están a la misma distancia de otros dos”.

Otra, relacionada con alguna propiedad. “Es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento”. Aquí se les suele olvidar el adjetivo perpendicular. Ocasión de oro para hablarlo en el aula.

Pero también hay respuestas curiosas, e interesantes por lo que nos cuentan acerca de las creencias de los alumnos. Alguno, ante la pregunta de si hay otra definición, dice que no. Que solo hay una. Claro. Ya.

En las puestas en común, el profesor puede institucionalizar el lenguaje. Así, puede hablar, explícitamente, de lugar geométrico. La diferencia está en que venimos de verlo intuitivamente y solo hay que poner nombre a las cosas

Es muy importante captar la esencia de recta como lugar geométrico. No es trivial. Que luego vienen esas dificultades para identificar la solución de un sistema como punto en común de dos rectas.

Vamos con la segunda tarea. Se vuelve a trabajar con el mismo archivo ggb. Y se les pide repetir la tarea, pero utilizando la herramienta “mediatriz”.

Tercera tarea. Ahora lo mismo, pero con tres amigos ( enlace al ggb).

Preguntas que se hacen.

¿Cuántas rectas has empleado para hallar ese punto? ¿Cómo se llaman?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con menos rectas?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con más rectas?

Las preguntas dos y tres son para discutir si hacen falta dos o tres rectas. Con dos es suficiente, claro. Hay que argumentar por qué.

Cuarta tarea. Institucionalizamos ese punto que está a la misma distancia de los tres amigos. Se llama circuncentro (el nombre se dice, pero no es lo más importante) y podemos dibujar una circunferencia (llamada circunferencia circunscrita) que pase por los tres.

Observemos que, cuando decimos que la enseñanza a través de la resolución de problemas permite atender a la diversidad, tiene que ver con esto. Hemos empezado con algo muy intuitivo. Y poco a poco vamos introduciendo todo el contenido matemático. Las formalizaciones, además, llegan después de trabajar las ideas, y no suponen un obstáculo. Lo fundamental aquí es seguir enfatizando la idea de lugar geométrico.

Quinta tarea. ¿Qué ocurre con el circuncentro cuando el triángulo que forman los tres amigos es acutángulo? ¿Y si es obtusángulo? ¿O rectángulo? Prueba a mover los puntos. Aquí se pasa el ggb con los puntos sin fijar ( enlace al ggb).

Maravilloso. Geogebra para explorar y conjeturar.

Sexta tarea. ¿Qué ocurre si añadimos un cuarto amigo? ¿Te valdría el circuncentro como punto a la misma distancia de los cuatro?

Séptima tarea. ¿Puedes encontrar el circuncentro (punto a la misma distancia de todos los vértices) en el caso de que los cuatro amigos formen las siguientes figuras? Cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

Se les proporcionan los ggb de cada figura. Tienen que hacer las comprobaciones abriendo el archivo correspondiente y construyendo el circuncentro, cuando sea posible.

- Cuadrado. - Rectángulo. - Trapecio isósceles. - Trapecio rectángulo.

Octava tarea. Más problemas. ¿Puedes encontrar dónde puede estar el tercer amigo si tenemos como dato la ubicación de dos de los amigos y el circuncentro del triángulo formado por los tres? Se vuelve a proporcionar un ggb. Es importante dibujar y justificar el razonamiento ( enlace al ggb).

Novena tarea. Trata de encontrar el circuncentro sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”.

Terminando. Recordad que veníamos de elegir la opción B (a través de la resolución de problemas), que he desarrollado a lo largo de todo el hilo.

Una actividad relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico es trazar la mediatriz en geogebra, sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”. Pero no hacerlo y ya, sino argumentar por qué se traza tal o cual arco.

Por ejemplo: trazo este arco desde este punto para encontrar todos los puntos que están a la misma distancia de él. Ahora, trazo este otro arco desde el otro punto, para ver cuántos… Y el corte está a la misma distancia de ambos…

Aquí se plantea en la tarea 9, pero debería ser el núcleo de otra actividad, donde se enfatice el porqué del procedimiento de construcción de la mediatriz.

Todo esto viene de una práctica que se hace desde hace tiempo en el área de Didáctica de la matemática de la Facultad de Educación de Zaragoza, en Didáctica de la geometría, en Magisterio de Educación Primaria. También la tratamos en el máster de ESO.

El otro día, con @lolamenting comentábamos la actividad que hay en Desmos sobre la mediatriz, y cómo la introducían ahí. Con esto cumplo mi autopromesa de escribir sobre el tema 😊.

Hasta aquí, que hacía mucho que no me daba por hacer un hilo de estos. Espero que lo hayáis disfrutado.

Y bueno, si os interesan más propuestas a través a resolución de problemas, las voy dejando en el tuit fijado de mi perfil o en mi blog.

Matemáticas y papiroflexia: un triángulo equilátero

Sun, 01 Mar 2020 00:00:00 +0000

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Matemáticas y papiroflexia #origami. Ayer, uno de mis padawans me pidió un triángulo equilátero para plegar el monicaco de Luis Bas del “Libro de las pajaritas de papel” (Grupo Riglos).

No es lo habitual (ortodoxo), que es empezar por un cuadrado, aunque siempre es interesante explorar estas variaciones. Bueno, al lío. Al comienzo del libro aparece el método para hacer un triángulo equilátero. En cambio, le dije, vamos a pensarlo un poquito a ver si nos sale.

¿Qué sabemos del triángulo equilátero?
Que los lados son iguales.
¿Te parece que uno de los lados sea este [el borde inferior]?
Sí
Bien, vamos a doblar por la mitad. ¿Qué le pasa a este punto?
Está en el medio.
Eso es, está a la misma distancia de las esquinas.

Queremos que otro lado quede más o menos por ahí. Así que tenemos que llevar la distancia de lado inferior ahí. ¿Cómo lo hacemos?
¿Con la regla?

Mejor, con el compás. Mira. Y mejor aún, ya que estamos con un pliegue.

Marcamos el pliegue correspondiente para hacer el otro lado, desplegamos y ya tenemos ahí un maravilloso triángulo equilátero.

Este de aquí:

Un libro con muchos resultados y conexiones entre matemáticas y papiroflexia es el de Jesús de la Peña.

¿Tienes un cuadrado irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto?

Sun, 09 Feb 2020 00:00:00 +0000

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¿Tienes un pedazo irregular de papel y quieres hacer un cuadrado perfecto? Atento al método de Fröbel. #origami y #matemáticas

Doblamos por en medio, por donde nos venga bien para aprovechar al máximo el papel. Bien, tenemos una línea recta, cosa que no teníamos antes.

Volvemos a doblar de forma perpendicular a la línea recta creada en el punto anterior.

Plegamos siguiendo un ángulo en 45° tomando como vértice el ángulo recto recién formado.

Ahora marcamos con la tijera en un punto. La distancia entre este punto y el vértice será media diagonal del cuadrado final.

Doblamos por el pliegue ya hecho (el de los 45°), de manera que trasladamos esa distancia sobre la línea recta correspondiente a la otra diagonal. Cortamos entre esos dos puntos, equidistantes al vértice del ángulo recto.

Se trata de una construcción que parte de que el cuadrado es un cuadrilátero cuyas diagonales son de igual medida, perpendiculares y se cortan por la mitad.

Lo he contado tal y como aparece en “Origami para expertos” (Origami for the Connoisseur) de Kasahara y Takahama. También sale en las obras completas de Friedrich Fröbel.

Para posibles ojos expertos que vean estas fotos. Sí, todavía no dominamos la técnica de hacer papel sándwich. Estamos en vías de conseguir plantillas cuadradas de metacrilato para facilitar el corte y no recurrir al bueno de Fröbel. Y prometemos mejorar el tema de las arrugas.

El patrón de marcas que queda en el cuadrado final es así.

¿Por qué es tan especial la rosa de Kawasaki?

Sun, 29 Dec 2019 00:00:00 +0000

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¿Que por qué la rosa de Kawasaki es tan especial? Un hilo sobre matemáticas y origami.

Welcome to the garden!

Primero, por qué es especial para mí. Allá por los 90 plegaba ya alguna cosita cuando llegó a mis ojos la inconfudible estampa de la susodicha. Claro, tuve que hacerme con el libro “Papiroflexia para expertos” (Origami for the Connoisseur), de Kunihiko Kasahara y Toshie Takahama.

Se trata de una traducción de “Top Origami”, la continuación de “Viva! Origami”, títulos editados en japonés. Hablamos de 1985. La mayoría de los libros de origami son simplemente una colección de modelos, con sus diagramas y ya. Quizás, una breve introducción. Este no.

Este te abre la mente, te hace pensar. Te deja la sensación de estar asomándote a un mundo diferente. Kasahara y Takahama, además de seleccionar papirolas muy representativas del estado del arte, arman un texto delicioso. Alimenta la creatividad.

Hay figuras de Brill, Maekawa, Engel, Takahama, Kasahara, Sonobè, Montroll, Fushimi, Matsumoto, Hosoya, Fujimoto. Y unas cuantas de un tal Toshikazu Kawasaki. Esos nombres huelen a papiroflexia y lo sabe cualquiera que haya plegado un poco.

Hoy toca centrarse en Kawasaki. Nacido en 1955, es conocido principalmente por su rosa, aunque su producción papiroflecta es extensa. Profesor de matemáticas, en el libro presenta y explora el método de plegado iso-área. Dejo entrevista @BritishOrigami.

El iso-área permite que cada cara de la figura final ofrezca la misma cantidad de área de cada cara del papel original. En Origami^3, Jun Maekawa lo formaliza en el capítulo “The Definition of Iso-Area Folding”.

Básicamente, viene a decir que los pliegues iso-área presentan una simetría rotacional inversa. El artículo cuenta más cosas, y seguro que hará las delicias de los apasionados de las matemáticas que estén leyendo esto.

Sirva como ejemplo de iso-área este cubo de Kawasaki. Me ha quedado un poco pocho, lo sé. No obstante, sirve a su propósito. Aprovecho para decir que, aunque me gusta mucho esto del origami, no me considero experto para nada y funciono por etapas.

Pero vayamos a la rosa. Hoy en día, si tienes una duda en algún paso de casi cualquier modelo, puedes echar mano de Internet y, concretamente, de YouTube. Pero en los 90, la cosa no era tan fácil. Imprescincible, pues, el libro que he mencionado. Me alegro.

Matemática y sensibilidad por lo estético. Arte. En ese libro encontramos modelos de pura inspiración geométrica y otros que indagan esa relación entre arte y matemáticas. Porque en la rosa partimos de esta retícula. Nada fuera de la normalidad, una serie de pliegues comunes.

Pero enseguida llegamos a un pliegue diferente. De lo de antes, sin ninguna doblez nueva, tenemos que llegar a esto de aquí. Es la técnica conocida como twist-fold o plegado girado, en palabras de Shuzo Fujimoto.

Para entenderlo. Ese cuadradito central que se veía en la retícula inicial hay que mantenerlo elevado, a la vez que se gira, utilizando los pliegues diagonales.

Y ahora enlazamos con el momento en donde se pasa de una figura plana a una tridimensional. Sin marcar ningún pliegue nuevo, vamos a llegar a esta cosita de aquí.

El papel, prácticamente, no quiere hacer otra cosa. Los pliegues que tienen que estar en valle, están en valle. Y los que tienen que estar en montaña, están en montaña. Se dice que el papel “colapsa”.

Vaya, ya estoy usando tecnicismos. Esto es un pliegue “en valle”:

Y esto, uno “en montaña”:

Son términos muy bien elegidos. Y sí, es el mismo papel por un lado y por el otro.

Si es que el papel está predestinado a convertirse en rosa. Observemos que, de momento, todos los pliegues son rectilíneos. Vamos con la última secuencia antes de pasar a la zona de curvas.

El resultado de lo anterior es esto. Aquí es donde a mí me gusta humedecer el papel. Para curiosos, esta rosa la estoy haciendo con Canson Mi-Teintes.

La líneas rectas se abren, y se curvan, abriendo los pétalos. Es primavera para el papel.

Y ya tenemos la rosa terminada.

Aquí otra en blanco, en un papel ligeramente traslúcido.

Aunque este hilo ha mostrado de pasada alguno de los pasos, no es un tutorial. En Internet se pueden encontrar diferentes versiones de los diagramas de la rosa y vídeos explicativos. Encontrarás hasta una versión con cinco pétalos, que se hace partiendo de un pentágono.

Hay una película checa que se titula “Kawasaki’s Rose”, en alusión, parece ser, a la complejidad de esta pieza. Digo parece ser, porque confieso que no la he visto (tarea pendiente). En cualquier caso, no creo que sea una figura compleja, lo que no implica que sea fácil.

Hablando de fácil-difícil. Mientras preparaba este hilo, mis peques han plegado estos gatitos, también de Kawasaki y que aparecen igualmente en el libro. Son sencillos, pero logran capturar la esencia. Es la máxima aspiración de una figura, porque logran transmitir mucho con poco.

El origami es a la vez inocencia y sofisticación. Nos conecta con el niño que plegaba pajaritas, pero nos lleva mucho más lejos que cualquier avión. Nos lleva a lo más íntimo de la mente de un artista, a su forma de ver y comprender el mundo.

Me arriesgo al afirmar que no hay muchas disciplinas artísticas en las que ocurra esto. La música sería el ejemplo por excelencia. La pieza musical de un compositor se interpreta, ¿no? Algo parecido ocurre con los diagramas de papiroflexia.

Además, es un arte muy “blanco”, al menos en occidente, ajeno a los programas iconográficos de las estructuras de poder, que se han basado en la pintura, escultura, arquitectura y música. De ahí que tenga sentido reivindicar su papel como transmisor de valores universales.

La paloma de antes es un modelo de József Zsebe, plegada en húmedo.

En el primer tweet sale un diseño de camiseta que le propuse pintar a mi hermanita. Así que toca sección teletienda, porque quiero que me siga pintando camisetas. Echad un vistazo a su página de la tostadora, creo que la de las rosas la pondrá en breve. https://latostadora.com/beajara/

Nada más. Hasta aquí el hilo, que ya vale 😊. Si te has quedado con ganas, te invito a que pruebes a plegar la rosa. Como he dicho, hoy en día no hay excusas.

Actividades para ver si sabemos contar

Sun, 15 Dec 2019 00:00:00 +0000

El problema de los triángulos

¿Cuántos triángulos pueden verse en el dibujo? Los triángulos deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo.

La solución a este… aquí:

El problema de los cuadrados y de los rectángulos

¿Cuántos cuadrados pueden verse en el dibujo? Los cuadrados deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo. ¿Y si contamos cuántos rectángulos?

Nota: un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.

Actividad scaffolding en geometría para desarrollar habilidades de argumentación y clasificación en futuros maestros de Educación Infantil

Sat, 21 Sep 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Ricart, M., Beltrán-Pellicer, P., & Estrada, A. (2019). Actividad scaffolding en geometría para desarrollar habilidades de argumentación y clasificación en futuros maestros de Educación Infantil. En J. M. Marbán, M. Arce, A. Maroto, J. M. Muñoz-Escolano y Á. Alsina (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXIII (pp. 503-512). Valladolid: SEIEM.

Cosas que hicimos para el día Pi 2019 en el proyecto Pi is travelling Europe

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Voy a contar las cosicas -bastante sencillitas- que hemos hecho en el #piday2019 @IESValdesparter en el #eTwinning #piistravellingeurope.

Al principio de clase, hemos contado qué íbamos a hacer. Básicamente, bajar al patio a medir. ¿El qué? ¿Qué creéis que vamos a medir si hoy es el π-day? ¡Círculos! ¡Circunferencias! Tenéis 15' para ir rellenando todas las columnas menos la última.

Ficha para descargar

La última la haremos después en clase, con la calculadora. Como ayuda, unos metros de papel y algún metro más profesional. Se ha hecho hincapié en utilizar también unidades de medida no estándar, como palmos, pies, etc.

Aprovechando que había un grupo haciendo Educación Física…

Luego en clase, hemos calculado las razones. Los más cuidadosos han tenido premio. Se podía oler el número π.

Aunque ha quedado poco tiempo, hemos empezado la segunda actividad. «Ecstasy of π». Es la escena final de «El bueno, el feo y el malo» (música espectacular), y se trata de estimar el número de tumbas. Porque parece que el cementerio es… ¡circular!

Ficha para descargar

Y eso es todo. Bastante sencillito. Pero que incide en el significado de π más allá del trescomacatorce. 🔚

Dados griegos, sesgos de razonamiento probabilístico y actividad de modelado en 3D

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Estos dados griegos (s. V-IV aC) de la exposición del CaixaForum en Zaragoza me recuerdan mucho a los que diseñaron algunos de mis alumnos de 2ºESO de Matemáticas cuando les propuse diseñar, imprimir en 3D y probar un dado impresión3D. Dentro hilo.

La consigna de la actividad fue: diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados.

Conste que diseñar un dado no es nada fácil. No hay más que pasarse por esta discusión en thingiverse.

Una vez diseñado el dado les preguntaba

¿Es este el dado que diseñaste? ¿Te gusta cómo ha quedado?
¿Lo usarías para jugar a algún juego de mesa?
¿Cómo sabrías si es un buen dado? ¿Hacemos la prueba?

Ningún alumno vio nada raro en su dado que le llevase a pensar que no fueran adecuados para ser utilizados en algún juego. Pero prácticamente todos tenían graves sesgos. Por ejemplo:

No retiraban la misma cantidad de material en todas las caras.
Parecido si en lugar de retirar material, se añade (lo que ya es raro de por sí)
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado, si se hace con puntitos (tiene que ver con el error de tipo 1)
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

El dado griego chiquitín es un claro error de tipo 5 (cogerían la piedra o el hueso que les viniera bien). Y el grandote es un intento de cubo con esquinas muy pronunciadas, que apenas rodaría. Lo otro es una canica 😊

No es fácil diseñar un dado. Los sesgos vistos con el alumnado de 2º de ESO en esta experiencia son los mismos que los de los artesanos griegos de hace más de 2400 años.

No es fácil tampoco el aprendizaje de la #probabilidad. Hay multitud de investigaciones que muestran los sesgos de razonamiento tanto en edad escolar como adulta. Es necesario plantear experiencias de aula y reflexionar sobre lo que está pasando.

Es una pena que muchas veces sea lo primero en caerse porque no da tiempo. Históricamente, esta rama tan “fácil” no empezó a estudiarse en condiciones hasta el siglo XVI (Cardano) y XVII (Pascal y Fermat). Vaya trío de ases.

Si has llegado hasta aquí y te interesa saber más sobre la experiencia de #impresión3D del dado, la describí en thalesepsilon

¡Saludos y feliz clase!

Papiroflexia y arte

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Por fin. Hoy he ido con uno de mis renacuajos a la exposición Matemáticas y papiroflexia en origamizaragoza (hasta el 2 de diciembre). Tenemos un museo en Zaragoza que es una auténtica joya, con ARTE entre sus paredes. Como a muchos solo les parece una curiosidad… Dentro hilo

Si no te emocionas con la expresividad del plegado esencial de Yoshizawa es que no tienes alma. Tampoco si no te dicen nada los plegados geométricos y teselaciones o si no te asombras ante la imponencia de una esponja Menger de nivel 3.

Pero el diálogo del artista con el público es especialmente rico en la papiroflexia. Hemos de distinguir a los creadores de los plegadores. Ambos hacen arte, pero los creadores, a través de los diagramas, permiten que otras personas (plegadores) participen de ese proceso.

Así, un diseño, al igual que un teorema (ver «Las matemáticas son para siempre» de @edusadeci), es eterno. Ahí es donde yo veo la verdadera relación con las matemáticas, más allá de ángulos y lugares geométricos (que también, claro).

Pero cada vez que se pliega, el plegador pone también un poquito de su parte. Participa de las ideas del diseñador, y las interpreta. Los buenos plegadores dotan a sus piezas de una expresividad que es única.

Casi acabando. En la exposición actual verás matemáticas, como en la permanente. Con especial atención al plegado modular, teselaciones maravillosas y plegados geométricos que te llevan al infinito.

Es imperdonable no visitar el @origamizaragoza. Pero claro, aunque yo no esté al nivel de estos plegadores (con los que puedes tener enriquecedoras charlas que agradezco desde aquí), puedo estar sesgado porque también he hecho mis pinitos. Estas cositas las tengo en casa 😊

Por si alguien duda todavía, la visita al @origamizaragoza está recogida en @TripAdvisorES como la segunda mejor cosa que hacer en Zaragoza, después de la visita al Pilar.

Perdón, me dicen que es segundo, por detrás de los “Juegos de escape” y por encima de la Basílica. tripadivsor

On Squares, Rectangles, and Square Roots

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). On Squares, Rectangles, and Square Roots. Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact, 15. 10.4169/convergence20181128

El problema de contar cubitos

Sun, 18 Nov 2018 00:00:00 +0000

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

La tarea

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque…¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con esta herramienta del NCTM, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización.

Vamos a contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.

Descargables

Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Una introducción a Desmos

Sat, 13 Oct 2018 00:00:00 +0000

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea. Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:

Una calculadora gráfica.
Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
Una calculadora científica.
Una herramienta de geometría dinámica.

Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas.

El mecanismo es similar al de otras aplicaciones, como Kahoot. Creamos un código de clase para la actividad y, a partir de ese momento, al docente le aparece un enlace en su lista de actividades para gestionar la misma a través de su dashboard. Este código es el que tienen que introducir los estudiantes en https://student.desmos.com, aunque también se genera un enlace que conduce directamente a la instancia de la actividad. Si los alumnos están registrados en Desmos, podrán volver a la sesión más adelante, pero no es un requisito.

En Las canicas, todo un manipulable virtual, los alumnos deben modificar la expresión de una recta, añadir otras rectas o definir restricciones a un nuevo dominio, de manera que consigan crear un circuito de canicas para que estas pasen por unos puntos predefinidos de antemano por medio de unas estrellitas. Realmente, se puede trabajar esta actividad con rectas o parábolas, ya que tenemos Marbleslides: Lines y Marbleslides: Parabolas y, en cualquier caso, el programa no restringe la función a utilizar.

Por ejemplo, en la Figura 2 basta con extender el dominio, definiendo la función para x<6 en lugar de para x<4, para que la fuerza de la gravedad haga su trabajo y la canica llegue a pasar por la estrellita que está en las cercanías del punto (10,1). Esta solución se muestra en la figura anterior, a la izquierda, y la expresión que hay que introducir es la siguiente:

$$y=-0.4x+6\left\{x<6\right\}$$

Sin embargo, otros alumnos podrían haber planteado:

$$y=-0.4x+6\left\{x<10\right\}$$

$$y=x-9$$

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

El escritorio del profesor (dashboard) ofrece información para gestionar el desarrollo de la secuencia. De esta manera, el profesor puede observar el avance de cada uno de los alumnos (o parejas, si lo estamos haciendo por pequeños grupos). Además, puede detener la actividad para las puestas en común o momentos de institucionalización.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

Al igual que las canicas,esta actividad forma parte del linear bundle, una secuencia más extensa sobre funciones lineales. Aquí se trata de encontrar la ecuación de la recta que representa la trayectoria óptima para el aterrizaje de un avión. Las primeras pantallas se dedican a explorar el entorno o implican cambiar únicamente algún parámetro, mientras que más adelante se ofrece menos guía al alumno y se plantean cuestiones para la reflexión.

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no.

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Esta actividad está inspirada en la madre de todos los recursos para el aprendizaje de las funciones. Bueno, puede que exagere. O no. Me estoy refiriendo al librito de Swan (1985) titulado The language of functions and graphs, del* *Shell Centre. Hay una versión traducida por Alayo (1990), *El lenguaje de funciones y gráficas, *publicada por el Ministerio de Educación que se puede descargar gratuitamente.

Si en el libro de Swan aparecen circuitos de carreras y otros ejemplos a los que hay que asociar o crear una gráfica, en este caso el valor añadido radica en que se trata de vídeos. Este hecho, junto con la posibilidad de ir representando gráficamente la función que describe cada situación según avanza el vídeo, aumenta el rango de contextos y situaciones que podemos utilizar en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Las tareas que contempla la secuencia, por otro lado, no se limitan a representar cada función, sino que antes de ello se incluyen preguntas para detenerse en las magnitudes involucradas, las unidades de medida apropiadas, etc.

Unos comentarios finales

Aunque el diseño de estas actividades está específicamente pensado para ser llevado a cabo en el aula con la guía del profesor, bien sea con portátiles, dispositivos móviles o en una sala de informática; también es posible asignar actividades de Desmos como tareas para casa. Esto es algo que tiene sentido, por ejemplo, con las actividades para practicar. Algo que solo hemos mencionado por encima es que Desmos permite que los usuarios (profesores) suban modificaciones a muchas de las actividades por defecto y otras nuevas. No resulta complicado modificar actividades ya existentes. Para ello, en la propia web hay bastante material de ayuda.

Dejamos para otra ocasión la experiencia de utilizar las funciones de edición avanzadas de Desmos. Al igual que hace Google con su Google Labs, al marcar las opciones de Desmos Labs accedemos a funcionalidades en estado beta que, en este caso, permiten crear tus propias Marbleslides, utilizar la herramienta de geometría en el constructor de actividades e, incluso, utilizar la capa de computación, con la que se puede utilizar un lenguaje de programación para diseñar actividades más sofisticadas.

Referencias

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

Introduciendo el modelado y la impresión 3D en el aprendizaje de matemáticas

Sat, 11 Aug 2018 00:00:00 +0000

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:

Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.

Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Otra actividad implementada por @crjaso, esta vez con un alumnos de 2º de ESO, fue la realización de un taller sobre los sólidos platónicos. Los objetivos eran conocer estos cuerpos y deducir cuáles son sus propiedades fundamentales, evitando la enseñanza de tipo memorística y ausente de significado. Las tareas que se plantearon utilizaron como recurso una impresora 3D y palos de brochetas. Los alumnos se organizaron en grupos de 3 o 4 integrantes, teniendo lugar la experiencia durante dos sesiones de clase de 50 minutos, incluyendo las siguientes tareas:

Tarea 1: fórmula de Euler para el cubo

A partir de la imagen mental, dibujos u objetos cotidianos.

Tarea 2: fórmula de Euler para el resto de sólidos platónicos

En este caso, a los alumnos con dificultades se les dejó un poliedro físico para facilitarles la comprobación.

Tarea 3: impresión de los vértices necesarios

Ahora los alumnos proceden a construir los poliedros correspondientes. Los vértices los tenía impresos el profesor de antemano, ya que es algo que puede consumir bastante tiempo. Lo interesante del modelo de vértice escogido (de W. Adams, disponibles en http://www.thingiverse.com/thing:9359 es que es un diseño paramétrico y, por tanto, permite adaptar el modelo al grosor del objeto que seleccionemos como arista (los palos de brocheta, en nuestro caso) posibilitando el hacer poliedros de gran tamaño.

Tarea 4: montaje de los poliedros

El uso de palos de brochetas como aristas conlleva una manipulación. Hay que cortarlas para que sean todas iguales y, pese a que al alumnado se le pidió que fuera riguroso, siempre hay alumnos que cuando pasan a la fase de montaje se dan cuenta que necesitan nuevas aristas de la longitud correcta.

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

*La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo. *

El mismo día de presentación de la actividad, se introdujo a los alumnos brevemente en el manejo de la aplicación online TinkerCad, y durante esa misma semana fueron entregando sus diseños.

Posteriormente, se les citó individualmente para hacerles una breve entrevista basada en las siguientes preguntas: ¿es este el dado que diseñaste? ¿te gusta cómo ha quedado? ¿lo usarías para jugar a algún juego de mesa? ¿cómo sabrías si es un buen dado? ¿hacemos la prueba? En la experiencia que realizamos se observó cómo, casi ninguno de ellos, intenta ni siquiera que las caras de los dados pesen lo mismo.

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Hemos esbozado diferentes opciones de introducir el modelado y la impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas. Los diferentes paquetes de software mencionados poseen características que complementan otros entornos de geometría dinámica, como Geogebra, que ya son habituales en las aulas, permitiendo articular álgebra y geometría y facilitando la manipulación y visualización de las piezas.

Por otro lado, el disponer de una impresora en el centro educativo abre las puertas a la introducción de la robótica. Si bien existen modelos de robots orientados al ámbito educativo, el abanico de posibilidades se extiende al poder diseñar piezas nuevas, modificar diseños existentes e imprimirlos directamente.

Referencias

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:

Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudioexploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras quela mía es el clon #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Análisis inicial de los dibujos animados de Peg+Gato

Mon, 15 Jan 2018 00:00:00 +0000

Tras haber dedicado el primer artículo de la sección Matemáticas animadas de la revista EDMA0-6 a una serie con un claro contenido matemático como Equipo Umizoomi, la idea era continuar con ejemplos de cómo aparecen ciertos objetos matemáticos en producciones sin esa intención didáctica. Sin embargo, resulta que, durante el verano pasado, llegó una serie a las pantallas españolas que también tiene a las matemáticas como protagonista. Se trata de Peg+Gato. Al estar todavía emitiéndose y con nuevas temporadas en producción, estamos ante una buena oportunidad para dar a conocer esta serie, analizando la estructura de los episodios y el contenido matemático que aparece.

Al igual que Equipo Umizoomi, Peg+Gato es una serie de dibujos que se distribuye en canales de entretenimiento, pero tiene tanto contenido matemático que es innegable que posee cierta intención didáctica. Su producción es estadounidense-canadiense y en 2016 obtuvo dos premios Emmy, a la mejor dirección y composición musical y al mejor guion de series de animación infantiles.

¿Cuál es el público objetivo?

Está dirigido para edades de entre tres y cinco años, según la productora y el canal de distribución original PBS Kids. En Latinoamérica, Peg+Gato la distribuye Discovery Kids, que se hace eco de dicha clasificación. En cambio, en España, Clan TV la recomienda para preescolar, categoría que define para edades comprendidas entre 0 y 3 años. Esto no deja de ser chocante, porque tanto el contenido matemático como las historias que cuenta son claramente para mayores de 3 años. Según el sistema de clasificación de Clan TV, el término infantil se reserva para edades entre 4 y 6 años y junior para referirnos a mayores de 7 años. Por lo tanto, sería más apropiado clasificar Peg+Gato en la categoría que Clan TV llama infantil.

Narrativa transmedia: serie de dibujos, actividades, apps…

Realmente, para ser precisos, Peg+Gato es lo que hoy en día se conoce como narrativa transmedia. Es decir, la serie de dibujos en sí es solamente una pieza de un puzle mucho mayor, que se completa con la aplicación para dispositivos móviles, juegos en línea, actividades para descargar, los propios libros, etc. Para la producción de la serie han tenido en cuenta, como consultor matemático, a Francis (Skip) Fennell, quien fuera presidente del NCTM de 2006 a 2008 y autor de diversas publicaciones en didáctica de las matemáticas. Por otro lado, Moorthy, Hupert, Llorente y Pasnik (2014) llevaron a cabo un estudio, como evaluadores externos de la iniciativa Ready to Learn del Departamento de Educación de los EE. UU. La muestra estaba compuesta por 59 niños de 4 años que interactuaron en cinco sesiones de menos de una hora de duración con una serie de vídeos de Peg+Gato y juegos interactivos. Los investigadores analizaron tres dimensiones: el aprendizaje de los niños, las expectativas de los padres y la motivación o compromiso (engagement) hacia las actividades. Aunque los resultados fueron mejores en el post-test que en el pre-test, no son concluyentes. Solamente algunos ítems, como la identificación de una forma 3D (en concreto, cilindros) fueron significativamente superiores en el post-test. Los investigadores del estudio señalan que la causa posiblemente sea que se dedica un tiempo mayor al tratamiento de este contenido a lo largo de la sesión. Finalmente, podemos decir que, si bien los resultados son ciertamente positivos, varían dependiendo del episodio elegido y, por lo tanto, de la atención que recibe cada objeto matemático. Lo ideal, desde nuestro punto de vista, es que el visionado promueva interacciones y situaciones que permitan profundizar en el tratamiento del contenido matemático.

Características de Peg+Gato

Los objetos matemáticos aparecen entrelazados perfectamente con la historia que se cuenta en cada episodio, cuya duración es de unos 12 minutos. Una de las cosas que llama enseguida la atención, a los ojos de una persona adulta, es la intencionalidad educativo-matemática. Esta primera impresión se justifica, sin lugar a duda, por los elementos gráficos que componen las sucesivas escenas. Prácticamente en todo momento, observamos un papel cuadriculado como fondo, con complicadas expresiones matemáticas a medio borrar y nubes dibujadas como símbolos de infinito. En los libros originales, este ambiente matemático va un paso más allá, ya que los números que indican las páginas no son tales, sino pequeñas expresiones. Por ejemplo, 25+1=26.

Sin embargo, la realidad es bien distinta. Todo ese trasfondo matemático resulta, en su mayor parte, transparente para los niños a los que va dirigida. Los símbolos de infinito son meras nubes y las complicadas fórmulas son simples garabatos. Obviamente, si a un niño se le pregunta si salen matemáticas en Peg+Gato, contestará afirmativamente, ya que, en varias ocasiones, Peg o Gato remarcan esta presencia de forma literal: “Las matemáticas nos han ayudado a resolver el problema”. Además, muchos contenidos coinciden con los que se trabajan en la escuela, como recitados, conteos, medida, formas, etc.

Personajes

Los personajes principales son Peg y Gato. Peg es una niña que siempre lleva un gorro de color rojo, donde oculta una pequeña esfera azul que le ayuda a pensar. Ella es la encargada, en cada episodio, de explicar la situación inicial a los niños espectadores. La rotura de la cuarta pared presenta diferencias con respecto al que se da en Dora, la exploradora y otras series similares. En Peg+Gato es más sutil, no se espera a que los niños puedan dar una respuesta. Por otro lado, una característica de Peg es que utiliza las expresiones “tenemos un gran problema” o “tenemos un problema muy, muy grande” para anunciar las situaciones principales. Gato es el mejor amigo de Peg y le encantan los círculos, además de la lana y los punteros láser, como dice en alguna ocasión. Normalmente, ayuda a Peg a encontrar la solución a los problemas, aunque muchas veces no se da cuenta de ello. También se encarga de recordarle a Peg que debe calmarse cuando se pone nerviosa (“me estoy volviendo loca de remate”). En dichos casos, la técnica suele consistir en recitar hacia atrás desde el 5, aunque también aparecen recitados regresivos desde el 10 de 2 en 2, o de otras formas.

Además de Peg y Gato, hay otros personajes secundarios y que aparecen de forma recurrente en la serie. Ramón, por ejemplo, suele intervenir para ayudar a Peg en la resolución de alguna situación, aportando ideas más técnicas.

Un contenido primario y otro secundario en cada episodio

Cada programa de Peg+Gato se compone de dos episodios. En lo que sigue, para facilitar la búsqueda del episodio en cuestión, utilizaremos la codificación de producción, que se encuentra disponible en el espacio web que la cadena PBS ofrece como guía para las familias. El guion de cada uno de los episodios aborda un contenido matemático primario y uno secundario, y además aparecen otros objetos de forma más colateral. Por ejemplo, en el episodio 102a, El problema de la habitación desordenada, en el que Peg tiene que recoger la habitación antes de que llegue una visita, el contenido primario está relacionado con la clasificación (según ciertos atributos o propiedades) y el secundario son las formas de algunas figuras planas y cuerpos en el espacio. Además, hay otros elementos, como el recitado regresivo (normalmente desde 5) que efectúa Peg como técnica de relajación.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017).Beltrán-Pellicer, P. (2017). Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida. EDMA0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(2), 72-79.

Alumnos como profesores: una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Alumnos como profesores: Una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas. Entorno Abierto, 21, 12-14.

Construcciones en blocksCAD para analizar el conocimiento en geometría

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Sobre camiones monstruo, medida, ángulos y STEM

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

About monster trucks, measurement, angles and STEM

Abstract

This time it’s the turn of a cartoon series in which mathematics are present, but within what is known as STEM. We introduce Blaze and the Monster Machines, in which some trucks, with the help of two human characters and a helmet of augmented reality, solve problems with the help of mathematics, science and technology. We describe roughly this production and we focus on the most explicit mathematical contents: measurement throughout the first season, where extensive and intensive magnitudes appear; and the angles

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Sobre camiones monstruo, medida, ángulos y STEM. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 7(1), 99-108. https://doi.org/10.24197/edmain.1.2018.99-108

Un calendario con forma de dodecaedro rómbico

Tue, 19 Dec 2017 00:00:00 +0000

Vamos a dejar aquí un regalo para el nuevo año. Se trata de un calendario que se construye con los módulos rómbicos de Nick Robinson. Como en todo buen diseño de papiroflexia modular, no hace falta pegamento ni nada. Y además, existe una web con un formulario maravilloso para poder generar el calendario y personalizar cosas como el idioma, el día de comienzo de la semana (hay gente por el mundo que empieza la semana en domingo…). Lo que devuelve es un fichero ps, pero se convierte fácilmente a pdf. Se trata de un uno de los sólidos de Catalan y tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos, al igual que los hexágonos teselan el plano.

Las instrucciones de los módulos son de Nick Robinson y se pueden descargar en su web o aquí o aquí (fuente: creased.com).
El formulario para generar los calendarios está en toddsplace. A día de 10 de diciembre de 2025 está caído, pero…
Dejo un ejemplo de 2025 listo para imprimir que he conseguido descargar: dos meses por hoja

En el Centro Diffusione Origami (Associazione italiana sull’arte di piegare la carta) tienen una página dedicada a calendarios con plantillas para este y otros modelos (algunas en español y otros idiomas, algunas solo en italiano)

Para nostálgicos:

2024 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2023 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2022 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2021 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2020 (tamaño A4): blanco.
2019 (tamaño A4): blanco, azul.
2018 (tamaño A4): azul, blanco, verde, plata, otro verde.

Como hemos dicho, lo que devuelve es un archivo .ps (postscript), que se puede convertir a pdf en ps2pdf.com.

En pleno proceso de preparación.

Ya que estamos en un blog de educación matemática, añadimos aquí alguna sugerencia para trabajarlo en clase de matemáticas, porque se pueden abordar diferentes niveles y contenidos:

Trabajar sobre el lenguaje. Punto, recta, bisectriz, paralela, punto medio, etc.
Deducir los ángulos que se forman en el módulo plano.
Deducir los anguloides que se forman cuando se ensamblan los módulos.
Calcular las dimensiones necesarias del papel original para que el dodecaedro ensamblado tenga una altura determinada.

Primer calendario de estos que monté, en papel «piel de elefante».

Para que se vea que no resulta excesivamente complicado, aquí van unas fotos de un niño de 6 años realizando los pliegues pertinentes:

Los superpoderes del equipo Umizoomi

Sun, 26 Nov 2017 00:00:00 +0000

La relación de las matemáticas con las películas y series de ficción va más allá de lo puramente anecdótico, no hay más que pasarse -por ejemplo- por la web de J. M. Sorando, Matemáticas en tu mundo. En los dibujos animados orientados a un público infantil también nos vamos a encontrar matemáticas: conteos, aritmética, medidas, azar, geometría, etc., muchas veces inmersas en situaciones cotidianas. O no tan cotidianas, como aventuras con naves espaciales, hadas y duendes, o animales que hablan. Sin embargo, este tipo de situaciones sí que resultan cercanas para los niños y van a constituir un recurso muy interesante, además de jugar un papel fundamental en la progresiva construcción de los significados personales y las creencias de los niños sobre las matemáticas.

Equipo Umizoomi (Kim y Smith, 2010-2015) es una serie de dibujos animados del ámbito del entretenimiento, pero que presenta una clara intencionalidad educativa. Está dirigida a un público de entre 4 y 7 años aproximadamente y tiene entre su equipo de asesores pedagógicos a investigadores en educación matemática como L. English y H. Ginsburg. Los protagonistas son dos superhéroes diminutos llamados Milli y Geo, que siempre van acompañados por el robot Bot. Los tres tienen una serie de habilidades denominadas “los superpoderes matemáticos”:

Así, Milli posee el superpoder de dibujo, que le permite, por ejemplo, replicar formas como si fueran teselados y efectuar alguna transformación, como cambios de color o de posición. Además, sus dos coletas pueden estirarse a su voluntad, lo que le lleva a utilizarlas para medir en diversas situaciones. Geo es el experto en geometría, con el poder denominado super figuras. Es capaz de recrear objetos tridimensionales a partir de formas en dos dimensiones. En la imagen anterior, por ejemplo, se le ve justo antes de terminar de construir una tabla de windsurf a partir de un triángulo y una elipse. Precisamente, este tratamiento de la geometría exige una especial atención, ya que no resulta clara la distinción entre figuras planas (2D) y cuerpos en el espacio (3D). Por último, Bot aporta su panza-panza-pantalla, una suerte de pantalla que recubre su abdomen, con la que se comunica con los niños que solicitan ayuda del equipo Umizoomi y que, de vez en cuando, añade datos adicionales sobre la situación a resolver.

Para saber más

[

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Un equipo matemático para resolver problemas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 75-81.

Una interesante actividad sobre probabilidad (y geometría) con la impresora 3D

Sun, 16 Jul 2017 00:00:00 +0000

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo.

Consideraciones en el diseño de dados

El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse. Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

Errores de los alumnos

Los errores de diseño que se identifican en los diseños de los alumnos, y que se prueban experimentando, son los siguientes:

Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

Para saber más

Todo esto se explica con detalle en: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad.Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Las tijeras, un gran recurso en geometría

Wed, 14 Jun 2017 00:00:00 +0000

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente ( sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m2 necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:

$$6 \times 4,5 \times 2,50$$

Lo cual es un volumen, expresado en m3, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

Vamos a clase con una caja de galletas, o de lo que sea, vacía. Y con unas tijeras. De hecho, lo mejor es planificar la actividad y pedir que cada alumno (o grupo de alumnos) traiga una caja y tijeras. Una sugerencia de secuencia podría ser la siguiente:

Antes de romperla, medir cada una de las aristas y calcular el volumen. Anotarlo en el cuaderno.
Antes de romperla, tratar de dibujar en el cuaderno cómo quedaría “desplegada”, de forma que pudiera plegarse de nuevo para formar la caja. Anotar las longitudes de las aristas y calcular el área de esa figura.
Romper la caja, cortando por las aristas que se quiera, pero de forma que quede “desplegada”. Estudiar la relación entre los rectángulos (caras) del cartón y los que se han dibujado en el cuaderno y calcular el área del cartón.
Comprobar si el área calculada antes de romper la caja coincide. Si no es así, ¿en dónde hemos cometido algún error?

En cualquier caso, es buena idea que el profesor repita la actividad en otro momento si detecta que sigue produciéndose esta confusión.

Modelado e impresión 3D en... educación infantil

Tue, 18 Apr 2017 00:00:00 +0000

No es que vayamos a poner a diseñar piezas complejas a los niños, ni que haya que introducir obligatoriamente en el aula la impresión en 3D si nos queremos llamar innovadores, simplemente porque sea una tendencia de moda. Mi visión es que se trata de otro recurso didáctico, que puede introducirse perfectamente como algo natural, pues poco a poco imprimir objetos en 3D será tan cotidiano como imprimir en una hoja de papel. Además, todo esto tiene su interés desde el punto de vista de la educación científica, y de las matemáticas en particular.
Un ejemplo podría ser la situación que se ilustra en las fotografía, que se realizó con un niño de 5 años de edad, escolarizado en segundo curso de Educación Infantil. La tarea, guiada en todo momento por uno de los autores, consistió en construir un juego sobre los animales de los polos (tema del trimestre), para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y una impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos lógico-matemáticos, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Las siluetas bidimensionales de los animales se buscaron en Internet, eligiendo el niño las que más le gustaban de cada animal, teniendo en cuenta las restricciones que se le dieron (que fueran completamente negras, que no tuvieran muchos huecos en el interior, etc. para facilitar su impresión). Posteriormente, se importaban estas siluetas en Tinkercad y se extruían para darles volumen, siendo algo que hacía el niño de forma guiada. Por último, a cada figurita se le añadía un cilindro hueco, seleccionándolo desde las formas predefinidas y modificando el tamaño a conveniencia, uniendo ambos objetos para obtener la figura final.

El uso y la intencionalidad de las prácticas era claro, el diseño y construcción de un juego sobre los animales de los polos. Y algunos objetos matemáticos que se ponen en juego son:

Conceptos: planta (“silueta”), volumen, traslación, semejanza, cilindro, unión, diferencia lógica.
Procedimientos: modelado de figuras tridimensionales a partir de la planta (silueta) de un objeto, composición de cuerpos en el espacio uniendo otros más sencillos.

Para saber más, el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

Circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro de un triángulo con Geogebra

Thu, 09 Mar 2017 00:00:00 +0000

Inauguramos una sección con construcciones geométricas en Geogebra. Aunque lo realmente interesante de esta herramienta, desde el punto de vista de la didáctica, sea el que los estudiantes la manejen para elaborar sus propias escenas, también resulta conveniente disponer de construcciones ya hechas. Así, se pueden emplear para explicar algo sobre ellas en el aula o manipularlas para sacar alguna conclusión.

En este post dejamos el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro de un triángulo y un montón de gifs. Sí, desde Geogebra… ¡se pueden exportar gifs!

Circuncentro de un triángulo

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Se define como el punto de corte de las mediatrices; es decir, de las rectas perpendiculares a cada lado por sus puntos medios. Es el centro de la circunferencia en la que se inscribe el triángulo.

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Baricentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las medianas. Recordemos que la mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Es el centro de masas del triángulo.

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Ortocentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las alturas de un triángulo; es decir, de las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto.
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Incentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las bisectrices; es decir, de las rectas que dividen cada ángulo en dos ángulos iguales. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (interior y tangente a los lados).

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Perspectiva en la pintura y matemáticas I: Prehistoria y Antigüedad

Thu, 19 Jan 2017 00:00:00 +0000

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente. Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

En el Antiguo Egipto no mejoraron mucho las cosas. Es clásica la representación de las figuras en perfil absoluto, de manera que tanto personas como animales parecen adoptar posturas algo forzadas. Eso sí, algo se ganó en colorido.

Para saber más

Ruiz Redondo, A. (2010). La representación de la tercera dimensión en el arte paleolítico cantábrico: análisis de la perspectiva de las figuras zoomorfas.

Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

3D Modelling and Printing in the Teaching of Mathematics: An exploratory study

Abstract

3D printers are finding their place in educational institutions, as innovative and creative teachers use them to propose activities in their lessons. Usually, they are teachers of technology and computer science in secondary education, or of certain specialties in professional training. In these cases, the tasks involve designing and printing solid pieces as a means of achieving the learning objectives. The purpose of this paper is to justify using this resource in the teaching of mathematics at different educational levels. Method: We adopt a descriptive and exploratory qualitative methodology, first depicting 3D printing technology and the usual software applications to model 3D objects. Then, considering several classroom experiences, we analyse possible tasks that can be proposed in order to verify/confirm thatmathematical knowledge is activated/used, applying the notion of the configuration of objects and mathematical meanings. Results: The objects and meanings configurations for each of the situations show mathematical content aligned with the curricular level of the students. Conclusions: It is appropriate, from an epistemic point of view, to consider teaching and learning proposals, which involve 3D modelling and printing.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: Un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28. https://doi.org/10.30827/Digibug.44193

Sólidos platónicos en la impresora 3D

Tue, 27 Dec 2016 00:00:00 +0000

Recientemente, para seguir enriqueciendo mi colección de trastos del profesor de matemáticas, me he imprimido un set de sólidos platónicos. A los alumnos siempre les ayuda el poder tenerlos entre las manos y darles vueltas para contar caras, vértices y aristas.

En Thingiverse hay un montón de diseños. He optado por uno normalito, imprimiéndolos en PLA azul con un relleno del 5%, más que suficiente.

Ya en el aula, el tenerlos permite trabajar algo de vocabulario, descubrir la fórmula de Euler para poliedros y plantear situaciones con un soporte manipulativo.