Historia de las matemáticas | Pablo Beltrán-Pellicer

Ay, la nostalgia de las matemáticas modernas

Fri, 29 Jul 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hala, pues vamos a hablar un poco de la «new math», aquí llamadas «matemáticas modernas». Si hiciste la EGB, es posible que te suenen cosas como esta (de mi libro de séptimo).

Buaf, eso sí que era nivel, no como ahora.
Es que a ver cómo quieren que veamos probabilidad sin teoría de conjuntos con rigor.
Rigor, eso es lo que hace falta. Yo demuestro, eh, a mí que no me miren, que luego llegan a primero de carrera sin haber visto una demostración.

Ay, la nostalgia, otra vez la nostalgia… (un poco de banda sonora)

Cada vez que se menciona el asunto de las matemáticas modernas por aquí es habitual ver interacciones parecidas a las anteriores. Tranquilidad, que no va a ser tan destroyer la cosa, pero sí que pediría tomar distancia. Somos supervivientes y podemos estar sesgados.

Dibujar un diagrama de Venn no es ver teoría de conjuntos

Antes de entrar en faena sí que diré un par de cosas para quitármelas de encima. Usar diagramas de Venn no es ver teoría de conjuntos, así que aparquemos por favor lo de que por dios qué hacemos con la probabilidad en secundaria.

Anda, mira, una actividad de clasificación la mar de maja con diagramas de Venn en infantil.

📷 Howse, T. D., & Howse, M. E. (2014). Linking the Van Hiele Theory to Instruction. Teaching Children Mathematics, 21(5), 304-313.

En la mente del docente claro que puede estar la idea de clase de equivalencia, conjunto de referencia, etc. ¡Debe estar! Pero a la hora de llevar al terreno la actividad, pues tiene lugar un proceso de transposición didáctica (Chevallard).

Vamos, que el objeto a nivel académico se trata con el rigor que se quiera, pero para su enseñanza en la etapa X, se adapta.

La otra cosa que quería quitarme de encima es el «yo demuestro, eh, que ahora es que no se demuestra nada de nada». Los que tienen que desarrollar la capacidad (competencia, pero parece que esto a veces produce urticaria) de conjeturar y probar es el alumnado.

Parece una tontería, pero no. ¿Habéis probado a demostrar a palo seco la fórmula de la ecuación de 2º grado «delante» del alumnado? No se enteran más que dos o tres, y uno de ellos se limitaría a repetirte la demostración.

Pues eso no es porque no se hagan nunca demostraciones delante de ellos, sino porque no se les ha puesto en la tesitura de conjeturar anteriormente ni de elaborar pruebas con un rigor relajado.

¿Una ida de olla?

Venga, que decía que no iba a ser tan destroyer. Y es verdad, no es justo quitarse de encima la matemática moderna diciendo que era una ida de olla que nunca tuvo que haber ocurrido, que cómo estaban las cabezas, etc.

Ocurrió porque se produjo una conjunción del estructuralismo de Bourbaki con los estudios de Piaget y con que la didáctica de la matemática no estaba desarrollada (surge a finales de los 70 y a «consolidarse» a mitad de los 80, aunque lleva teniendo que justificarse desde entonces).

Además, ocurrió porque se quiso mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, ofreciendo a todos algo más que lo básico. Pero estoy corriendo mucho y me estoy dando cuenta de que a lo mejor no todos los lectores saben muy bien qué fue esto de la new math.

Pues fue un movimiento que intentó cambiar la forma en la que se veían las matemáticas escolares, desde mediados de los años 50 a mediados de los años 70, llegando a los años 80 en ciertos lugares. Nos podemos imaginar esto como un péndulo.

Se partía de una situación en la que el contenido en la escuela primaria se reducía prácticamente a la aritmética básica y, en la secundaria, a álgebra tradicional, algo de geometría euclídea y trigonometría. También, un enfoque muy del yo explico y tú repites.

Se quiso introducir álgebra moderna (conjuntos, funciones, vectores, etc.), matemáticas computacionales (otras bases), geometría moderna (transformaciones) y probabilidad y estadística.

Fuente: Kilpatrick (2012)

¿Y esta necesidad de cambio? Pues es la misma que lleva a los muchachos de un pueblecito de EE.UU. a hacer un cohete para una feria científica en la película Cielo de octubre: el lanzamiento del Sputnik.

En el contexto de la Guerra Fría, se quiso mejorar la enseñanza de las matemáticas a ambos lados del atlántico. Esto lo recoge Kilpatrick (2012) en su artículo en la ZDM.

Espera que en la captura de antes he visto las siglas malditas de la OCDE. ¿Cómo? Curioso que ahora haya quien critique a esta organización por querer una enseñanza más ¿competencial? ¿utilitarista? cuando en tiempos buscaba lo más lejano posible.

Las conspiraciones y opiniones sobre las políticas comerciales mundiales me las guardáis para otros hilos, porfa. Con el anterior tuit solo resalto una curiosidad.

Es verdad que los esfuerzos reformistas estuvieron dirigidos primero a cursos de la secundaria orientados a la preparación universitaria, pero no tardó en extenderse el movimiento a la escuela primaria y a países fuera de la OCDE.

¿En la Unión Soviética qué se estaba haciendo? Allí fue Kolmogorov quien, a principios de los 60, sentó las bases de los nuevos currículos. Si bien estos incluían algo de teoría de conjuntos, ni de lejos tanto ni en un lugar tan central como en la new math de la OCDE.

De momento vemos que la motivación de la new math incluye un factor político nada desdeñable. Pronto surgieron dificultades, como en la adaptación de los materiales a los diferentes contextos educativos de los diversos países.

Llegan las críticas

Y llegan las críticas, tanto de personajes no implicados en el movimiento reformista de la matemática moderna, como de otros dentro de las comisiones e, incluso, parte de Bourbaki.

La más sonada fue, quizás, la de Kline (1973), con su Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math. Pero antes, en 1962, Kline, Bers, Polya (sí, el del modelo de resolución de problemas) y Schiffer ya habían escrito un memorando firmado por otros 61 matemáticos.

Se titulaba «On the Mathematics Curriculum of the High School» y venía a señalar que el currículo debía abordar unas matemáticas para todos y no solo para los que fueran a hacer matemáticas en la universidad.

Esto es un poco confuso, porque precisamente la new math tenía un lema que rezaba «unas matemáticas para todos». Los objetivos eran loables, sí, pero el énfasis en las estructuras matemáticas generales y los conceptos teóricos fundamentales jugaban en su contra.

Hace poco hablaba de Chevallard y a cómo usaba el término monumentalismo para referirse a ese tipo de enseñanza que se reduce a presentar una especie de obra ya construida que el alumnado solo puede visitar, sin participar de ella. Y que tiene que maravillarse, claro.

Ese estructuralismo también fue fuertemente criticado por Freudenthal, quien lo calificó de «inversión antididáctica». Es decir, no hay nada didáctico en dar todo ya construido de forma estática y axiomática.

Todo esto no se sabía entonces, claro. Antes hablaba del movimiento pendular, aunque en el fondo no es muy apropiado, ya que es un problema multidimensional. Pero estirémoslo un poquito. Las críticas ocasionaron una reacción llamada «back to basics», la vuelta a lo básico.

Es decir, déjate de tonterías y vamos a la matemática para la vida real, junto con el enfoque del «yo explico y tú repites» (que, ojo, era el elefante en la habitación y tampoco se abandonó durante la matemática moderna).

Luego llegarían los nuevos movimientos reformistas y las math wars, pero eso es otra historia. Que la nostalgia por la matemática moderna debería estar superada no quiere decir que no tuviera su relevancia. Antes de ella se pensaba que las matemáticas escolares eran las que eran.

A pesar de que los reformistas de la new math no sabían gran cosa de diseño curricular (pero esto no lo sabían), pusieron sobre la mesa cuestiones importantes y ya nada volvió a ser lo mismo.

Además, calificar de fracaso a la matemática moderna no es tampoco justo. Davis (2003) pone en duda que existiera algo como tal, ya que la cosa varió mucho de un cole o instituto a otro, al menos en EE.UU. Incluso, que hubo muchos centros que apenas se vieron influidos.

Davis, de hecho, va más lejos y se anima a señalar que hubo centros donde el programa se implementó de forma cuidadosa por docentes muy bien formados, y que comprendían lo que se traían entre manos, obtuvieron buenos resultados.

Yo qué sé, tomemos la actividad que ponía al principio de los diagramas de Venn para clasificar bloques lógicos. No hay capas de abstracción innecesarias ni formalismos que oculten la chicha. Las ideas potentes están ahí.

Ese era el problema que tan bien describen, aunque escueza, Chevallard o Freudenthal. No habrá capas de abstracción extra, pero esos niños y niñas identifican características y clasifican con criterios lógicos. Trabajan con el material, se familiarizan con él, discuten y piensan.

A nosotros, como docentes que conocemos la maravillosa construcción que son las matemáticas nos puede tentar el exponerla así. Tenemos que superar ese síndrome de Stendhal. No solo eso, sino asumir que son eso, una construcción, donde los procesos son muy importantes.

Epílogo y referencias

Pero, ¿se habla alguna vez de esto en los congresos de didáctica? @carlosyedma lleva un tiempo fuera de Twitter, pero en tiempos comentaba esto, que es ilustrativo. Básicamente, que una vuelta a la teoría de conjuntos ni se contempla:

El año pasado asistí en un congreso de Didáctica de las Matemáticas a una comunicación (en una sesión no evaluada por pares) en la que proponían recuperar la teoría de conjuntos. Produjo tanto bochorno que al final no hubo preguntas ni comentarios. En instantes quedó la sala así.

Aquí un documento gráfico que me llega vía @chussiabaleston

Justo hoy, @mallemar hablaba del sesgo del superviviente. Si viviste como alumno la matemática moderna y te ha resultado útil, ¿cómo no?

@totipm tiene unos hilos muy personales narrando su experiencia vital con todo este tema que merece la pena leer.

Teorema, lema o algo

A modo de teorema, lema o algo. El talento prospera en las condiciones más insospechadas. ☺️

Tom Lehrer

@CMCI2M nos recuerda esta canción de Tom Lehrer.

Recreación de algunos personajes

En este hilo, podéis poner gifs a los personajes de esta historia.

Algunas referencias

Kilpatrick, J. (2012). The new math as an international phenomenon. ZDM, 44(4), 563-571.

Phillips, C. J. (2015). The new math: A political history. The University of Chicago Press.

¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir?

Mon, 31 Jan 2022 00:00:00 +0000

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¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir? Haz la prueba con unos cuantos.

Al escribir usamos un sistema posicional regular de base diez. Para ello, se utilizan 10 símbolos, que llamamos cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y, al hablar, qué. Porque al leer 3200 no se dice tres-dos-cero-cero.

Tampoco se lee cero-cero-dos-tres, como apunta @arivero por los comentarios. 11 por ejemplo se lee ‘once’ y eso es una irregularidad, porque no se dice ‘dieciuno’. Pero más aún, cuando hablamos, ¿usamos realmente un sistema posicional?

Venga, que después de recuperarnos de lo de Nadal y mientras se la juegan los hispanos… Nuestro sistema oral va a ser que lo que se puede llamar un sistema híbrido de base 10 pero con irregularidades.

¿Qué es un sistema híbrido? Pues tenemos el ejemplo del chino tradicional (o del japonés, o como apuntaba @bpalop por los comentarios, el coreano nativo). En el chino tenemos estos símbolos. Es decir, no hay símbolo para el cero, porque no va a hacer falta.

Hay símbolos para la unidad (1), la base (10), para las potencias de la base (100, 1000, 10000, etc.) y para todos los números entre la unidad y la base (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

O sea, que para escribir 50347, lo que hay que hacer es pensar (y escribir) algo así:

5 veces diez mil, 3 veces cien, 4 veces diez y 7.

Y por qué nos vamos al chino para hablar de cómo decimos nosotros los números. Como decíamos, es muy parecido. El nuestro hablado también es híbrido.

Observemos que hay símbolos para los números entre la unidad y la base (dos, tres, cuatro, …, nueve) y también para la base (diez) y sus potencias (cien o ciento, mil). 3200 lo leemos como ‘tres mil doscientos’. 3 MIL 2 CIENTOS.

Pero tiene irregularidades, vaya que si las tiene. Como apuntaba antes, 11 se lee ‘once’ y no ‘diez y uno’ que sería lo normal si el sistema fuese regular. Esto ocurre hasta el quince (hablo del español, eh).

Además, decimo ‘veinte’ y no ‘dos-dieces’ o ‘dos-decenas’. Es decir, hay palabras específicas para las decenas: veinte, treinta, … noventa.

Con las centenas, la cosa empieza regular (regular de bien, de lógica, 😉): dosCIENTOS, tresCIENTOS, cuatroCIENTOS. Pero tenemos la cosa esta del quinientos, donde se pierde un poquito este principio multiplicativo.

Por otro lado, no todas las potencias de la base (10) tienen su propia palabra específica. 10000 es diez mil. Sin embargo, luego 1000000 es ‘millón’.

En el aprendizaje de la lectura y escritura de números hay que tener todo esto en cuenta, porque no es trivial en absoluto. En vocabulario técnico, tenemos que pasar de un sistema posicional a un sistema híbrido. O al revés, claro.

Si queréis profundizar sobre todo esto, os dejo link al capítulo de Cid, Godino y Batanero sobre sistemas numéricos en el proyecto Edumat-maestros.

Y bueno, qué mejor referencia sobre sistemas de numeración que el libro de G. Ifrah, From One to Zero.

Algunas actividades sobre sistemas de numeración al comienzo de la secundaria en este enlace.

Relacionado

@smargeli mencionó una interesante actividad de Fisher y Vince en Investigando las matemáticas. ¿Sabrías rellenar los huecos?

¿Qué pasa con los números romanos?

Fri, 02 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Esto que se levanta uno y ve el tuiter on fire con los números romanos. Y entonces, el tuiter se divide en dos clases de personas. Resulta que en el aprendizaje de las matemáticas hay por lo menos dos factores que se relacionan con los sistemas históricos de numeración. Mini Hilo

Uno, la apreciación de las matemáticas. Como producto cultural, por su belleza, relación con el progreso, formas de pensamiento, etc. Otro, con el desarrollo del sentido numérico y la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Al final enlazaré ejemplos de actividades sobre numeración.

Los números romanos tienen una preponderancia excesiva y ocurre que no es el sistema histórico más apropiado con el que empezar a «comparar» nuestro sistema posicional.

Pareciera que están en el currículo para saber leer siglos, reyes y relojes. Y para eso no hace falta un tema entero.

No conviene empezar con los romanos porque presentan muchas peculiaridades. Primero habrá que distinguir el papel que juega la base de numeración, por ejemplo. Y qué es un sistema aditivo. Los números egipcios son un sistema aditivo de base 10 sin excepciones.

Los romanos tienen dos bases. 10 como principal y 5 como auxiliar. Y a eso se añaden sus conocidas excepciones para reducir la cantidad de símbolos escritos. Todo eso hace que su enseñanza muchas veces se centre en esa sintaxis.

Propuestas alrededor de los sistemas históricos se pueden hacer muchas y muy interesantes. Hoy en día nos parece muy sencillo nuestro sistema de numeración, pero no lo será tanto cuando costó muchísimo que apareciera. Incluso ya llegado a Europa, costó su aceptación.

Esta actividad no falla. Contar no es algo tan fácil. Enlace
Continuación sobre sistemas de numeración. Enlace
Y pequeñas ocurrencias que surgen alrededor de estas cosicas. ¿Qué sistema de numeración usa este juego?

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

¿Quieres conocer cómo se usaba un libro de cuentas ajustadas?

Tue, 14 Jul 2020 00:00:00 +0000

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¿Quieres conocer cómo se usaba un libro de cuentas ajustadas?

Hay que ponerse, en este caso, las gafas de la primera mitad del siglo XX. La primera edición de ese libro data de 1908-1910, pero se editaba también en la década de los años 50.

Desconozco la fecha de mi ejemplar de “El contador universal”, de Emilio Delclós y Ragón, pero usado está un rato. Mi madre recuerda que este era de mi bisabuelo.

No me diréis que el título no parece el de una novela de Asimov.

Tres hojitas con letra, explicando cómo usar el libro. Sin embargo, la gente que lo usaba podía ser analfabeta. Mi bisabuelo, por ejemplo, no sabía leer letras, pero sí números.

Por ponernos en contexto. Aquí las cifras de analfabetismo según censos. Fuente: El analfabetismo en España, hoy. Joaquín Tena Artigas.

En cuanto al libro, que cubre las cuatro operaciones básicas y la regla de interés. El autor, consciente del público al que va dirigido, insta al vendedor a explicar su funcionamiento. Se viene arriba y hace algo de marketing: sin erratas en las cuentas, no como otros.

Venga, al lío. ¿Cómo se suma con este libro? Ejemplo: 590+59.

Pues nada, allá que vamos. Efectivamente, para hacer 590+59 vamos a la página del 59, y en la segunda columna buscamos 590. Debajo está el resultado de la suma. 549.

Vamos con la resta, que ejemplifica con una deuda.

Para hacer 1260-63 procedemos parecido a la suma. Vamos a la página del menor, en este caso 63, y buscamos en la segunda columna el 1260. Arriba tenemos el resultado, 1197.

¿Y la multiplicación? Leed los ejemplos porque son curiosos.

Para hacer 40x18 vamos a la página del 40 y buscamos en la primera columna el 18, a su derecha, en la segunda columna está 720, el resultado. Esto es así porque lo que va poniendo el libro en cada hoja es el número de cabecera multiplicado por los números del 1 al 500.

Si lleva quebrados la multiplicación, es decir, decimales, se hacen por separado parte entera y parte decimal y luego se suman. Aquí el texto de la explicación tiene una pequeña erratilla.

Multiplicación “decimal”. Realmente, las 4 operaciones pueden hacerse así. Se trata de ignorar la coma y ponerla después. Para hacer 1,23x77 hacemos 123x77, que si lo buscamos como antes es 9471. Como dice el libro, separamos las cifras con el pensamiento. 94,71.

Es fácil imaginar cómo se divide. Para hacer 300:25, vamos a la página del 25 y buscamos en la segunda columna el 300. A su izquierda está 12, que es el resultado.

La joya de la corona, la regla de interés, que es igual que la multiplicación. Para hacer el 7 por 100 de 900 duros vamos a la página del 900 y buscamos el 7 en la primera columna. A la derecha está el resultado, 6300. Quitamos con la mente las dos últimas cifras.

El libro viene con una pequeña ampliación, específica para calcular pago de jornales o compraventas.

El funcionamiento de esta ampliación es sencillo. Basta ir mirando el resultado que interesa.

Terminando. Pienso que conocer sobre este tipo de herramientas te hacen pensar lo que hemos avanzado en educación.

Y en fin, que tengo en mis manos un libro que, de hablar, contaría una historia mucho mejor que la de este hilo. ¿No es bonito que haya conocido también otros usos?

Una propuesta para números en 1º y 2º de ESO

Wed, 11 Dec 2019 00:00:00 +0000

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Más cosas sobre números que hemos hecho en 1º y 2º de ESO en una enseñanza a través de la resolución de problemas. Sobre sistemas de numeración, estimación, potencias… Hilo #AcRiMates

En esa actividad les indico que los símbolos egipcios fueron variando según las épocas. También tienen los chinos y los hindúes.

Las tareas consisten en interpretar esos ejemplos y responder a las siguientes preguntas, que enfatizan el uso de símbolos para representar números. De paso, potencias naturales.

Son pequeñas tareas en las que el alumnado tiene la responsabilidad de ponerse a trabajar sobre ellas. Sin más explicación que la consigna de la tarea. ¿Quién no sabe “contar” en 1º de ESO? ¿Quién no puede ver que una flor de loto egipcia vale mil?

¿De verdad no se ve en el ejemplo que los chinos no ponen 7 veces el símbolo del 10000, sino que ponen su símbolo del 7 y después el del 10000, una sola vez? ¿O que los hindúes del s. III aC no tenían el cero?

Sin embargo, hay dificultades, ¡claro que las hay! Las espero, de hecho. Porque no están acostumbrados a pensar en clase. Y este tipo de tareas rompe el contrato didáctico establecido, que no es otra cosa que la creencia de cómo debe ser una clase de mates.

Esta creencia está perfectamente descrita en la p.98 del libro “Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas” (@Matias_ArceSan, @Lau_Conejo y JM Muñoz) :

«Que el profesor debe debe presentar los hechos, reglas y procedimientos para aplicar en las actividades, y que, especialmente en los estudiantes con bajo autoconcepto, el aprendizaje de las matemáticas se liga a la memorización de estos hechos y procedimientos y la repetición rutinaria de actividades prototípicas.»

¿Qué hacemos entonces cuando vamos con este enfoque a una clase habituada a otra cosa? No voy a volver a insistir. Relentless consistency.

Otras tareas que hemos hecho y que implican pensar. Parece increíble cómo van surgiendo cada vez más alumnos que aportan razonamientos, tanto en la puesta en común como en su trabajo de cuaderno.

En el primero, solo hay que hacer cuentas para comprobar.

Tiene que ser base 9. Base 8 o menos no puede ser, porque aparece el 8. Y 11 tampoco porque las cifras son más grandes…

Para el segundo. Basta con probar las tres únicas posibilidades.

No me he inventado este tipo de tareas. Para nada. Estas actividades están sacadas de prácticas que hacemos en magisterio en @FacultadEducaUZ (Rafael Escolano, Eva Cid) y del libro Números y algoritmos de Gairín y Sancho.

Esta me encanta. Anda, si para hacer el 60 vuelven a utilizar el símbolo del 1. ¿Qué magia es esta?

Pero lo han puesto en otro sitio…

Y cuando en la discusión ves que al principio dicen aditivo pero que luego hay algo raro… ves que las cosas van bien. ¡Es la posición lo que me permite reutilizar los dos símbolos!

No es tan raro. ¿Cuántos segundos hay en 33 horas, 10 minutos y 2 segundos? 😉 Pues eso, los 119492 que hemos sacado en la tarea de antes.

Por cierto, gracias @followero por este regalo. Lo he puesto en alguna clase para discutir, entre todos, que no leemos los números igual que los escribimos. Leemos incluyendo un principio multiplicativo-aditivo (y cosas más raras) y escribimos simbólicamente en posicional.

En algún grupo, con más calma y porque surgió así. Cosas curiosas y divertidas.

Al mismo tiempo, cálculo mental y juego del 24 (en este último, obligatorio escribir bien la operación con sus paréntesis y su sintaxis).

También hemos trabajado la actividad de estimar cuántos granos de arroz hay en cierto recipiente, que ya comenté en su día.

Estrategias distintas que siempre dan lugar a charlas de aula muy interesantes.

Esto del arroz, es una tarea abierta, rica y abre una puerta que terminaremos de cruzar cuando lleguemos a proporcionalidad. Y me permite, por raro que suene, empezar a ver qué saben sobre divisibilidad vía los esti-misterios de @SteveWyborney

En 2º, para lo de las potencias de exponente negativo, que es algo que cuesta comprender. Lo hemos abordado de esta manera, intentado conectar diferentes representaciones simbólicas.

Y en 1º ESO, ahora estamos terminando unas tareas con policubos sobre divisibilidad. Ahora sigo con unas reflexiones, que se me acaba la tinta… —–>

Por si alguien tiene curiosidad, veníamos de hacer actividades de este tipo. Todo muy conectado.

Vamos terminando el hilo con alguna reflexión. Ayer nos reunimos unos cuantos profes de la @SAPMciruelos para discutir sobre el currículo de bachillerato. Y discusión hubo poca.

Es un problema grave que muchos estudiantes con 13 y pico de media lleguen a carreras tecno-científicas sin una mínima actitud matemática. Reflexionar sobre el resultado de un problema, ver si es posible o no, atacarlo de alguna manera, etc.

Igualmente inconcebible es que estudiantes en el otro polo del rendimiento académico salgan sin esa misma formación. Que luego nos echamos las manos a la cabeza con ciertos fenómenos. Siempre hay objetores, claro.

Sí, tal como está la EvAU (con v en unos sitios y b en otros) lo que se pide es una instrucción a base de recetas en un bachillerato con un currículo muy extenso y poco profundo. Pero es que a la ESO no llega la sombra de esa prueba y pasa lo mismo. Y en Primaria, también.

Si sumas la Primaria y Secundaria son diez años en donde algo se podría haber hecho, digo yo. Que luego, tal como están las cosas, vienen dos cursos bastante desaprovechados por el carácter de la EvAU… vale. Pero no echemos balones fuera todo el rato.

Lo de teoría->ejercicios->“problemas” hace que la mayoría de la clase esté con encefalograma plano gran parte del tiempo de clase. Mandar la teoría a casa tampoco es solución. Que no pasa nada por hacer algo que se salga del libro de texto. De verdad, no son el currículo.

Le he oído decir a @dsierraruiz decir, con razón, que los libros de 1º y 2º son, muchas veces, indistinguibles. Tanto, que puedes ir con el de 1º a 2º sin darte cuenta y no pasar nada. Por otro lado, se siguen tan al dedillo en tantos sitios que puedes saber con una elevada probabilidad lo que están haciendo en cualquier aula en cierto momento del año. Que una cosa es en espiral y otra en círculo. 🔚

On Squares, Rectangles, and Square Roots

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2019). On Squares, Rectangles, and Square Roots. Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact, 15. 10.4169/convergence20181128

Una mirada al Paraninfo de la Universidad de Zaragoza

Sat, 04 Aug 2018 00:00:00 +0000

Un paraninfo es la sala de una universidad destinada a la celebración de actos públicos. Por ejemplo, los actos protocolarios de comienzo de curso, premios extraordinarios o cosas por el estilo. En otras palabras, más musicales, es el lugar donde suele cantarse el gaudeamus igitur. El Paraninfo de la Universidad de Zaragoza, inaugurado el 18 de octubre de 1893, es el edificio más antiguo de dicha institución. Sí, el más antiguo, a pesar de que esta institución fue fundada en 1542 por Pedro Cerbuna. Tal vez por este motivo, se ha convertido en uno de los emblemas actuales de la universidad, junto con el escudo.

No pretendo extenderme demasiado con la descripción de nuestro querido Paraninfo, pues para ello basta acudir a la bibliografía que cito al final, en particular, a los detallados trabajos del profesor Fatás. Sin embargo, ya que hace un año tuvimos que documentarnos un poquito para ejercer de guías en el XXI Simposio de la SEIEM, voy a dejar aquí alguna de las anotaciones de entonces. Sobre todo, porque así completo una de las anécdotas que cuento todos los años: *¿no has visto el teorema de Pitágoras en el Paraninfo? *

Edificio y fachadas

El arquitecto fue Ricardo Magdalena, y el escultor de casi todas las obras, Dionisio Lasuén. De Jaime Lluch son, al menos, las estatuas de Piquer y Delhuyar de la entrada principal. Y la impresionante escultura de Ramón y Cajal, ya dentro y gobernando las imponentes escaleras, es obra de Mariano Benlliure, a la sazón uno de los artistas más importantes de entonces (esa estatua, cosa rara en el artista, va firmada en una de las esquinas inferiores).
En la entrada principal, bajo la mirada de Atenea (Minerva), diosa de la Sabiduría entre otras cosas, se encuentran las estatuas de: Andrés Piquer (médico turolense), Miguel Servet (teólogo y científico oscense), Jordán de Asso (naturalista, jurista e historiador zaragozano) y de Fausto Delhuyar (químico e ingeniero de minas de Logroño).
En los medallones de las fachadas no encontramos a ninguna mujer. Tampoco están, por ejemplo, Darwin (y sí Lamarck) ni Leibniz.
Antiguamente, la universidad de Zaragoza se encontraba en el barrio de la Magdalena. Fue durante Los Sitios de la Guerra de la Independencia cuando se volaron muchos de los edificios, quedando en estado ruinoso.
La ley Moyano no permitía que hubiera facultades de ciencias fuera de Madrid. Fue gracias a su derogación que pudo contruirse la Facultad de Ciencias y Medicina (ahora Paraninfo).
El Paraninfo, en el momento de su inauguración, se encontraba extramuros.
Visto de frente, el edificio dedica el ala izquierda a la medicina y el ala derecha a las ciencias. En el interior se mantiene esta división.

El paraninfo del Paraninfo

El paraninfo (la sala en sí) tiene algunos cuadros procedentes del Museo del Prado. Dos son retratos reyes castellanos, dos óleos de María Luisa de la Riva y un cuadro que muestra al rey godo Sisenando, obra de Bernardino Montañes.
El cuadro de Sisenando es el único que guarda algún tipo de relación con Zaragoza, ya que fue el primer rey godo coronado en Zaragoza el 26 de marzo del año 631, justo el mismo año en que San Braulio (patrón de la universidad) comenzó a gobernar la diócesis y el mismo día que le correspondería en el santoral.

Museo de Ciencias Naturales de la Universidad de Zaragoza

En el sótano se encuentra el Museo de Ciencias Naturales, inaugurado el 11 de diciembre de 2015. Esto es visita obligada en nuestra familia, ya que a nuestros peques les encanta. Lo están dinamizando mucho y organizan diversas actividades, como concursos de dibujo. Tiene página de Facebook. La exposición principal muestra el camino de la evolución desde el origen del universo hasta la aparición del Homo Sapiens.

Realmente, el museo incluye dos colecciones, la de paleontología de la propia Universidad de Zaragoza y la “Longinos Navás”, depositada por la Compañía de Jesús en 1988, con animales naturalizados, insectos y conchas. Y un par de cuernos de unicornio ;), entre otras cosas. Los ejemplares de esta última colección fueron reunidos entre finales del siglo XIX y comienzos del XX por el científico jesuita Longinos Navás Ferrer, profesor de Historia Natural durante 46 años en el Colegio del Salvador.
En la colección de paleontología, destacan los restos de un Arenysaurus, especie descubierta en Arén (Huesca), que data del Cretácico Superior (67 millones de años) y los del cocodrilo de Ricla, un cráneo completo de este animal marino del Jurásico, único en el mundo (170 millones de años).

Para saber más

Fatás, G. (2009). Del patrono de la Universidad de Zaragoza y de cómo fue destruida en 1809. Universidad de Zaragoza. Fatás, G. (2009). El edificio Paraninfo de la Universidad de Zaragoza. Historia y significado iconográfico, 2ª edición. Prensas de la Universidad de Zaragoza. Laguía M. P. (1985). La iconografía científica en la antigua Facultad de Medicina y Ciencias de Zaragoza. Cuaderno de Historia J. Zurita, 51-52, 161-291. Institución Fernando El Católico, DPZ, Zaragoza. Lomba, C. (2013). El Paraninfo, símbolo de la cultura universitaria. Artigrama, 28, 191-209. Sorando, J. M. (2012). Homenajes a la ciencia en Zaragoza. conCIENCIAS, 9. Universidad de Zaragoza.

Agradecimientos:
A Antonio Oller por el rato que compartimos disfrutando del Paraninfo los días previos al XXI Congreso de la SEIEM, así como a los conserjes y responsables del edificio, muy amables en todo momento con nosotros.

Introducción histórica a los números complejos

Thu, 20 Apr 2017 00:00:00 +0000

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

Perspectiva en la pintura y matemáticas I: Prehistoria y Antigüedad

Thu, 19 Jan 2017 00:00:00 +0000

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente. Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

En el Antiguo Egipto no mejoraron mucho las cosas. Es clásica la representación de las figuras en perfil absoluto, de manera que tanto personas como animales parecen adoptar posturas algo forzadas. Eso sí, algo se ganó en colorido.

Para saber más

Ruiz Redondo, A. (2010). La representación de la tercera dimensión en el arte paleolítico cantábrico: análisis de la perspectiva de las figuras zoomorfas.

La dulce muerte de Euler

Mon, 20 Apr 2015 00:00:00 +0000

Las biografías de muchos matemáticos o científicos relevantes podrían sorprender a más de uno. Baste como ejemplo Galois y su muerte en duelo, al que sin duda habrá que dedicarle un artículo más adelante.
Puede que la vida de Leonhard Euler (1707-1783) no sea épica en absoluto. Eso sí, siempre que descontemos sus prodigiosas facultades mentales, pues se cuenta que su memoria era tal que podía recitar cualquier parte de la Ilíada. Además de ser un genio, Euler era un incansable trabajador, cosa que le llevó a dejarnos un legado que todavía no ha sido superado por matemático alguno. Para hacernos una idea de la magnitud de su obra, la revista de la Academia de San Petersburgo siguió publicando artículos atrasados de Euler hasta 48 años después de su muerte.
Y no es que lo tuviera fácil el bueno de Leonhard. Ya en 1735 se quedó prácticamente ciego del ojo derecho debido a unas fiebres. Para colmo, más tarde padecería cataratas en el ojo sano y terminaría completamente ciego los últimos años de su vida. Sin embargo, eso no frenó su producción matemática. Le leían lo necesario y escribían por él. Le resultaba tan fácil hacer matemáticas como a cualquiera de nosotros hablar sobre el tiempo.

Hace poco me regalaron el libro Euler. El maestro de todos los matemáticos (Dunham, W., 1999). Me permito reproducir aquí el fragmento donde narra el último día de Euler. A punto estuve de llorar al terminar de leer la página en cuestión. La historia de cómo me llegó ese libro también es de las de llorar, pero esa historia necesita un artículo propio.

Euler se casó tres años después de la muerte de su mujer con la hermanastra de ésta, encontrando una compañera con la que compartir sus últimos años, que se extendieron hasta el 18 de septiembre de 1783. Ese día, pasó un rato con sus nietos y luego se puso a trabajar en cuestiones matemáticas relativas al vuelo de los globos, ya que éste era un tema de interés por el reciente ascenso de los hermanos Montgolfier sobre el cielo de París…
Después de comer, Euler hizo algunos cálculos sobre la órbita del planeta Urano, ya que sin duda habría encontrado en el comportamiento del planeta Urano una rica fuente de nuevos problemas. En las siguientes décadas, la peculiar órbita del planeta, analizada a la luz de las ecuaciones que Euler había depurado, llevó a los astrónomos a buscar, y a descubrir, el todavía más distante planeta Neptuno. Si Euler hubiera tenido tiempo hubiera disfrutado del reto de buscar matemáticamente un nuevo planeta.
Pero no iba a tener tal oportunidad. A media tarde de esa típica jornada atareada, tuvo una hemorragia masiva que le provocó la muerte en el acto. Llorado por su familia, por sus colegas de la Academia y por la comunidad científica mundial, Leonhard Euler fue enterrado en San Petersburgo. Sólo entonces se detuvo ese gran motor de las matemáticas.

El libro del que está extraída la cita es una excelente pequeña ventana al mundo de Euler. La única pega, quizá, es que el título en inglés es mucho más contundente: Euler. The Master of Us All (el maestro de todos nosotros).