Racionales y proporcionalidad | Pablo Beltrán-Pellicer

¿Cuál es el siguiente a 1,29 euros?

Sun, 03 May 2026 00:00:00 +0000

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¿Es el sistema monetario un manipulativo excelente para aprender sobre «números decimales»? Si estás meneando afirmativamente la cabeza, la pregunta clave es: ¿Cuál es el siguiente precio a 1,29 €?

En la tienda, el «siguiente» precio a 1,29 € es 1,30 €, pero la respuesta a cuál es el número siguiente a 1,29 no es 1,30. Resulta que entre 1,29 y 1,3 puedo encontrar infinitos números. Por ejemplo, 1,29001 es mayor que 1,29 y es menor que 1,3. Podría seguir intercalando números eternamente. Y esto es algo que distingue al número racional del número natural. He puesto antes «números decimales» entre comillas porque de lo que se está hablando en realidad es del número racional, eso sí. Y de su representación decimal.

Así que una cosa es aprender sobre sistema monetario y otra sobre representación decimal de los números racionales. Los racionales no hacen falta para abordar problemas alrededor de sistema monetario, con los naturales sobra (basta con pensar en el céntimo de € como la unidad). De hecho, cuando se ejercitan -habitualmente de manera bastante pobre- algoritmos de las operaciones con cantidades que expresan valores económicos, los algoritmos son los mismos que para naturales.

Se pierde el foco en las propiedades de ese nuevo tipo de números, los racionales, a los que nos vamos asomando progresivamente en la primaria y al comienzo de la secundaria. P. ej., esa idea de densidad de los racionales, que comentaba antes y que los distingue de los naturales. Pero cambian muchas más cosas, ya desde la misma representación. Con los naturales, un número más largo que otro es mayor. Ahora no. Y desde las operaciones, que un número puede ser más pequeño cuando lo multiplicas.

Por lo tanto, el sistema monetario, billetes y monedas, no sirve como manipulativo o contexto adecuado para la representación decimal de los racionales. De hecho, mucho énfasis en esto provoca la falsa ilusión de que si sé sobre monedas, sé sobre «números decimales».

En el fondo (y en la superficie), veo que estoy diciendo lo mismo que hace unos años en este otro post. 🤭

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Una práctica muy especial en Magisterio de Educación Primaria y reflexiones sobre medida

Fri, 20 Sep 2024 00:00:00 +0000

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Decimos que somos conservadores para cierta magnitud no por nuestra ideología, sino porque somos conscientes de que la cantidad de esa magnitud no cambia cuando sí lo hacen características irrelevantes del objeto. Os cuento una de las prácticas que hacemos en la Facultad de Educación de Zaragoza.

Esta práctica lleva años haciéndose en Didáctica de la aritmética II, asignatura dedicada a la didáctica del número racional. Empezamos con magnitudes y medida, lo que nos permite dotar de significado a fracciones, decimales y proporcionalidad.

En la práctica, nuestros estudiantes, en grupos y con material manipulativo, realizan una serie de situaciones didácticas en torno a masa y capacidad/volumen (la anterior práctica era similar, pero con longitud y área).

Deben discutir y escribir el proceso que se efectúa en cada una de esas situaciones. Posteriormente, clasificarlas según una categorización que les pasamos. Si quieres saber más, pásate por aquí

Este año le propuse a Chus Siaba que realizara alguna de las actividades. Más que nada, porque aunque TODO lo que hacemos en la asignatura está relacionado con el trabajo de aula de un/a maestro/a de Primaria, siempre hay alguien que dice que no. Que a lo mejor es alguien que no ha venido a clase o ha estado de cuerpo, pero no de mente presente, eh. O que en Prácticas Escolares cae no se dónde y ve lo que sea. Yo qué sé. El caso es que Chus, en cero coma, se hizo con un kit.

Y en sesión y pico de clase trabajó un par de esas actividades. Nosotros en la práctica trabajamos 14 y avisamos que claro, que eso en Primaria no va así, pero que todo son gérmenes de diversas situaciones de enseñanza y aprendizaje (AKA situaciones de aprendizaje™️).

La actividad: Cada alumno dispone de dos pastillas de plastilina iguales. Reciben la siguiente consigna: “Coge una pastilla de plastilina y realiza con ella una bola. ¿Qué pesa más, la bola o la pastilla de plastilina?”

Muy poquitos, en un 3º de Primaria, dicen que pesan lo mismo. Y las discusiones son deliciosas. A nuestros estudiantes les damos algún dato de estudios de hace años sobre conservación, pero nada como una conexión en directo, aprovechando la disponibilidad de @chussiabaleston para hablar con él. Esa charla también nos sirvió para que nos hablara de la gestión de aula que hace al estilo thinking classrooms.

Una reflexión con la que me gustaría se quedaran mis estudiantes es la siguiente. Ese alumnado de 3º EP, a priori, si siguiera el currículo de facto (según lo que sale en libros usuales de texto), enseguida estaría haciendo cambios de unidades dentro del sistema métrico decimal.Con escaleras, trucos nemotécnicos y cancioncillas, claro. Cuentas. Porque claro, trabajar situaciones de conservación, comparación y medida directa con unidades arbitrarias parece que es perder el tiempo.

¿Qué sentido tiene ponerlos a pasar de decagramos a centigramos? Especialmente cuando les faltan experiencias y reflexión sobre la magnitud.

Si has llegado hasta aquí y te interesa todo esto de la medida y por qué medir en matemáticas, te invito a escuchar nuestro podcast Ábacos y geoplanos, en iVoox y otras plataformas. Los dos primeros episodios van dedicados a esto. Link: ¿Por qué medir en matemáticas?

Reflexiones ante el uso de manipulativos para el número racional (fracciones, decimales, etc.)

Sun, 29 Oct 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y este otro hilo. También en BlueSky aquí y aquí

Algo característico de una didáctica específica, como la de las matemáticas, es que tiene muy presente el objeto de aprendizaje y su naturaleza. Ejemplo: si nos planteamos usar las regletas de Cuisenaire para construir el racional (fracciones…), ocurren cositas.

Hay que tener claro q son material estructurado y discreto. Y que, por lo tanto, no son lo mejor para trabajar con magnitudes continuas, como la longitud, cuya medida es lo que hace que emerja la necesidad del número racional positivo.

No es la primera vez que doy la turra con esto, ni será la última. Me fascina reflexionar sobre el uso de manipulativos. Desde luego, esto no es un alegato en contra del uso de manipulativos, ni mucho menos. Son esenciales. Pero hay que planificar su uso y ver cuál es el más adecuado. Unas simples tiras de papel aquí lo hacen estupendamente ( ver esta publicación).

¿Y con los “números decimales”?

Los bloques multibase vienen bien para cositas del sistema decimal posicional con naturales (ej., 10 u hacen 1 d). Conectan genial con técnicas intuitivas de conteo. Pero, si presento esto para q el “output” sea 3,24, ¿estaremos trabajando una representación del número racional?

Los números decimales no existen. En todo caso, hablamos de la representación decimal de los números racionales (de ahí las comillas). Y no es sencilla. Y hay que tener en cuenta propiedades de ese conjunto numérico (densidad, especialmente, pero no solo), para que no estemos trabajando con pseudonaturales en lugar de con racionales.

No puedo evitar mencionar el gran trabajo de aula en Primaria de docentes como Manuel Siaba Lestón. En este hilo muestra reflexiones profundas sobre representaciones decimales en un contexto de reparto:

Curso 2022 5º . Recomiendo SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS UN ESTUDIO CON MAESTROS EN FORMACIÓN (Tesis J. M. Gairín Sallán). Y sí ,ahora, el reparto fuera de 5 tortillas 11 personas 🤔

La reflexión más interesante q surge en este momento es q los números q admiten una representación decimal finita también admiten otra infinita, disminuyendo la última cifra significativa y añadiendo una «cola» infinita de nueves.

Para ampliar

Grupo de Telegram sobre racionales

Si estás interesado/a en una aproximación con significado a todo lo que tiene que ver con el número racional (medida, magnitudes, fracciones, decimales, proporcionalidad, etc.) este es tu grupo de Telegram: https://t.me/+BBaYf0FZZlszYTc8

Lee el post fijado porque ya hay mucha información y materiales. Internivelar Primaria/ESO.

¡Salu2!

Medir es una actividad matemática: Hay que tomar medidas

Tue, 20 Jun 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Begué, N., Martínez-Juste, S., Mengual, E., Oller-Marcén, A. M., & Escolano, R. (2023). Medir es una actividad matemática: Hay que tomar medidas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 100, 30-36. https://www.grao.com/revistas/especial-100-numeros-de-uno-73791?contenido=451189

Matemáticas en la piscina: de la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal

Wed, 26 Apr 2023 00:00:00 +0000

Mathematics in the swimming pool: from proportionality to modular sexagesimal arithmetic

Abstract

The swimming pool stopwatch is an instrument used in the practice of swimming that helps to mark training rhythms. In this way, the instructions given by the coaches must be correctly interpreted by the swimmers, who, in addition, can use the stopwatch to individually control the start and finish times in each repetition. In this article we describe the use of this stopwatch, as well as other issues related to this real context that swimming provides. Likewise, we propose ideas to elaborate classroom proposals in which the context becomes realistic, that is, imaginable for the students, since it will only be daily for swimmers. Also, even for the latter, much of the homework will also be realistic, because who does algebra while swimming?

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2023). Matemáticas en la piscina: De la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal. Epsilon, 113, 49-55.

La fracción a través de la conexión entre el sentido de la medida y el sentido numérico

Fri, 30 Dec 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Martínez-Juste, S., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). La fracción a través de la conexión entre el sentido de la medida y el sentido numérico. En V. Cunil, A. Fuentes, F. T. González, M. V. Monserrat, T. Pizà, & A. Quilez (Eds.), Viaje didáctico por el cuerpo y la mente: Experiencia desde la abstracción científico-matemática a la educación física (pp. 708-730). Dykinson. https://www.dykinson.com/libros/viaje-didactico-por-el-cuerpo-y-la-mente-experiencia-desde-la-abstraccion-cientifico-matematica-a-la-educacion-fisica/9788411224956/

Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender números decimales

Sat, 26 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender «números decimales». Porque, ¿cuál es el siguiente a dos euros y tres céntimos?

Como la respuesta es dos euros y cuatro céntimos, queda demostrada la proposición inicial.

Ocurre que los «números decimales» son una representación simbólica de los números racionales. Y una propiedad fundamental de estos es su densidad. Vaya, que no hay siguiente. Ni anterior.

¿Cuál es la unidad cuando digo «dos euros y tres céntimos»? ¿El euro? ¿Seguro? ¿O el céntimo? Se trata, sin más, de una manera de expresar el valor económico con cantidades compuestas. Daría lo mismo que el céntimo se llamase penique, real o lacito de chocolate.

Vamos, que en Primaria se aprende sobre sistema monetario, pero los decimales implican meterse en asuntos del racional. Si nos empeñamos en que «decimales = sistema monetario» luego no nos extrañemos de que los traten como a los naturales.

Este fenómeno, tratarlos como naturales, con todos los obstáculos asociados, está más que identificado en la literatura científica. Algunos autores, como Ni y Zhou (2005) le ponen nombre propio: natural number bias.

Y ya está. No era más que una reflexión que quería dejar por aquí después de una charla de pasillo con Rafael Escolano.

Reflexión añadida

Ponemos «números decimales» entre comillas porque… ¿eso qué es? Aquí hay cierto abuso del lenguaje, ya que técnicamente se trata de representaciones decimales.

Al hilo de lo que señalaba @SergioMJGR, no se trata tanto de no trabajar el sistema monetario como de ser conscientes lo que estamos trabajando y los obstáculos que pueden surgir.

Aunque dentro de unos años nos podemos volver a hacer esta pregunta, porque a ver qué pasa con monedas y billetes y cómo medimos el valor económico.

Aprovecho para recordaros a los frikis de la medida, el reparto, la proporcionalidad desde la razón y estas aproximaciones al racional que comparto por aquí, que tenemos un grupo de Telegram.

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Dictados de representaciones gráficas

Fri, 18 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Una de las actividades que trabajamos en el HelloMath de Zaragoza la semana pasada son los dictados de representaciones gráficas. Mucho lenguaje, muchas matemáticas y pensamiento computacional unplugged. ¿Vamos con ello?

Por parejas o pequeño grupo. Consiste en que todos nos inventamos un problema que se resuelve con una operación de fracciones (nos restringimos a suma, resta o multiplicación, dejando la división para otro día, jeje).

Y hacemos una representación gráfica de la operación que lo resuelve. Todo esto sin que nos vean los compañeros. Luego, uno actúa como codificador (hablando de dictados, dictador suena feo 🤭), debiendo dar instrucciones para que el los demás reproduzcan su representación.

No solo reproducir la representación, sino averiguar cuál es la operación que da solución al problema y su resultado. Eventualmente, inventarse un problema que se resuelva con dicha operación.

Se puede hacer de muchas maneras, nosotros pedimos que el codificador no viera la producción hasta haber terminado de describir la representación.

Antes de ponerla en práctica hice una prueba con unos sujetos que tengo cerca y que, en algunas ocasiones, son susceptibles de ponerse con estas historias. Sin darle al scroll, ¿qué creéis que dije para que el otro sujeto llegase a esto?

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 porciones iguales.
Añade una división más.
…

Alegría (la del codificador, yo) 🤭😂, esto… vamos a empezar de nuevo 🤪

Lo que hay detrás de todo esto es que se ponen en juego un montón de consideraciones al respecto de estas representaciones. No solo eso, sino cómo se relacionan estas con los significados del racional, dando libertad para que afloren significados personales.

Si alguien está leyendo esto y le recuerda a otro tipo de actividad, sí. Está inspirado en los dictados geométricos, donde lo que hay que describir es una figura geométrica. Y lo hemos hecho con fracciones, pero es extrapolable a otros contextos.

Retomemos la imagen inicial. Dejo como ejercicio para que deis rienda suelta a vuestra imaginación. ¿Qué operación aparece aquí representada? ¿Qué instrucciones pude haber dado? Os leo.

¿Vamos con la puesta en común? Hilo aquí.

En primer lugar, es una actividad muy abierta y que permite establecer importantes conexiones entre registros lingüísticos. Así que todas las interacciones que hubo (porfa, visitad el hilo original porque son geniales) son valiosas.

Si antes de seguir leyendo una pista más quieres, la raya diagonal que cruza la figura en cuenta deberás tener.

Las instrucciones fueron algo tal que así. Prometo que esta vez dejé que hiciera antes de ver el resultado.

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 partes iguales
Añade otra parte como una de esas.🤔🤪
Sombrea de verde el rectángulo del principio.
Divide toda la figura por la mitad.
Sombrea de rosa una de las dos mitades.

Antes de ir a por la operación que estamos representando, el sombreado de verde, en la cabeza del codificador es para marcar la unidad de medida.

El rosa, para marcar la cantidad de magnitud de interés. Antes de continuar, ¿ya está más clara la operación que estaba en la cabeza del codificador?

En efecto, $\frac{5}{4}:2$ ó $\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}$, lo que da como resultado $\frac{5}{8}$. ¿Se ven los $\frac{5}{8}$ en la figura?

Si os animáis a hacerla en clase, este plato combina muy bien con la invención de problemas (problem posing).

Pd1. Lo de por qué de es multiplicar también lo trabajamos un poquito, pero eso lo dejo para otra ocasión.

Pd2. En la cabeza del codificador, obviamente, la cuestión de las particiones (todas) y los sombreados estaba de diferente manera. 🤭

Aventuras y desventuras con la proporcionalidad

Sat, 01 Oct 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Martínez-Juste, S., & Oller-Marcén, A. M. (2022). Aventuras y desventuras con la proporcionalidad. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 98, 49-55.

Reflexiones de profesores en servicio sobre la idoneidad didáctica de videos educativos

Fri, 01 Jul 2022 00:00:00 +0000

Reflections of in-service teachers on the didactic suitability of educational videos

Abstract

The notion of didactic suitability has been introduced, within the framework of the onto-semiotic approach, as a tool to guide global reflection on didactic practice, its assessment and progressive improvement. This paper describes a training experience with thirteen inservice secondary school mathematics teachers aimed at developing their competence to analyze and assess the didactic suitability of mathematical study processes. The analysis of four selected educational videos from YouTubeTM is used as a context for reflection, since these constitute a resource widely accepted by the student community as a means of learning mathematics. The participants were initially asked to analyze and assess on a scale of 0 to 10, four videos on directly proportional distributions, previously selected and assessed by a team of researchers. In a second moment, they discussed together what could be the necessary criteria to undertake analyzes of this type. Finally, the didactic suitability tool was presented, showing the detailed analysis carried out by the research team. As a result, it is observed that, although the global criteria given by the participants to assess the videos are very similar to those given by the researchers, certain aspects such as errors and inaccuracies are overlooked. It is concluded that there is a need to carry out specific training actions so that the mathematics teacher knows this tool and acquires competence for its pertinent use.

Cítese como:

Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Verón, A. (2022). Reflexiones de profesores en servicio sobre la idoneidad didáctica de videos educativos. Caminhos da Educação Matemática em Revista (Online), 12(2), 200-212.

Sobre la regla de tres y la proporcionalidad aritmética

Wed, 08 Jun 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Martínez-Juste, S., Oller-Marcén, A.M., Muñoz-Escolano, J.M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Sobre la regla de tres y la proporcionalidad aritmética. La Gaceta de la RSME, 25(2), 353-371.

Enlace al número de La Gaceta: https://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=120

La vida cotidiana de las hormigas

Mon, 18 Apr 2022 00:00:00 +0000

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Supongamos que hacen falta tres hormigas para arrastrar una bola de papel de aluminio de 2 cm de diámetro. ¿Cuántas harán falta para arrastrar una bola de 4 cm de diámetro? 🤪

La pregunta directa ya tiene su chicha. Pero ya va apareciendo por los comentarios alguna extensión 😍. ¿Hay un tamaño de bola que sea imposible de transportar para las hormigas? Si tienes que hacer suposiciones, adelante. Básate en la imagen que se proporciona e indícalas.

Os recomiendo bucear por las interacciones del hilo y guardar la imagen de las hormiguitas. ¿Por qué querrían llevar una bola de papel de aluminio? Pues mira, eso os lo puedo decir. Es parte del envoltorio de una tableta de chocolate. Se iban a llevar un chasco, eso sí.

Recuerdos del ayer

Thu, 30 Dec 2021 00:00:00 +0000

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«Recuerdos del ayer» (Takahata, 1991) es una película preciosa de Ghibli. Pero es que se marca la escena más impactante sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de la historia del cine. Visionado obligado. Y punto. Va hilo.

Dedicado a los que cuando se habla de comprensión (relacional) preguntan que qué problema hay con la mecanización. O que no pasa nada por ver primero la técnica y luego ya, si eso. Que si se pierde tiempo.

O que por qué entonces desde la mecanización hay alumnos que avanzan y progresan estupendamente (a pesar de y de aquella manera, diría yo). Etc.

Pongamos primero un poco de contexto. «Recuerdos del ayer» no puede decirse que sea una película para el público infantil. Desde luego, no solo. No porque haya violencia o imágenes poco apropiadas para los más pequeños, pues no hay nada de eso.

Sino porque se trata de una película serena, sosegada e intimista, que aborda temas que exigen cierta madurez. Podría decirse que el tema central es la nostalgia, aunque eso sería simplificar mucho las cosas.

Hay espacio para poner en juego el contraste entre el mundo rural y el urbano (temas clásicos en Ghibli), la relación de la civilización con la naturaleza o, como veremos, la ideología que subyace a los objetivos que nos planteamos en la educación, sean explícitos o implícitos.

Taeko, la protagonista, es una joven de 27 años que vive en Tokyo. Solicita un permiso de vacaciones para poder pasar unos días trabajando en el campo, donde pasó algunos de los momentos más felices de su vida.

La película irá intercalando el presente con los recuerdos del pasado de Taeko, cuando tenía 10 años. En este sentido, hay que reconocer la labor de Takahata, ya que desde el punto de vista narrativo no resulta sencillo hilvanar ambos períodos temporales y que el relato fluya.

Y lo consigue, vaya que si lo consigue. Cada recuerdo de Taeko surge del presente y, al mismo tiempo, presiona para tambalear su vida, llegando un momento en el que ya no sabe qué hacer. Es entonces cuando su nostalgia se vuelve fuerza transformadora.

En cierto momento de la película, Taeko conversa con Toshio, un joven del pueblo con el que entabla amistad y comparte muchos de sus recuerdos y reflexiones, y le saca el tema de las matemáticas escolares. Es algo que hace completamente a bocajarro.

No esperas que alguien te pregunte si aprendiste con facilidad a dividir fracciones, ¿no?

Por cierto, Toshio, cuando ibas a la escuela ¿aprendiste enseguida a dividir fracciones?
¿Ein?
Sí, lo de intercambiar numerador y denominador para después multiplicarlo.

¿Que a qué viene esa pregunta? Atención a la bomba que deja caer la buena de Taeko, como si nada:

Creo que los que pueden dividir fracciones sin dificultades después tienen pocos problemas en la vida. ¿Y eso?
Tenía una compañera que no era muy buena en matemáticas, pero intercambiaba numerador y denominador como le decían y sacó un 10. Creció haciendo caso de lo que le decían y no tuvo ningún problema. Ahora es madre de dos niños. Yo era muy mala en eso.

Taeko señala que no era especialmente lista 🤷‍♀️. Pero sí que le gustaba preguntar y cuestionarse. La película no se limita a mencionar el asunto de la división de fracciones, sino que, en consonancia con su estilo intimista, se deleita en ello.

Entonces Takahata vuelve al ayer de Taeko y nos muestra sus intentos por comprender la división. Rememora aquel día en que suspendió un examen de matemáticas y su madre instó a su hermana mayor a que se lo explicara.

Veamos qué significa dividir fracciones para Yaeko y por dónde empieza su explicación.

Siéntate. Dime las tablas de multiplicar.
¿Las tablas? Ya me las sé, que estoy en quinto.
Entonces si te las sabes por qué te has equivocado.
Lo que se me da mal es dividir fracciones.

Yaeko lo ve tan sencillo que no entiende qué le pasa a Taeko.

Tienes que intercambiar el numerador con el denominador. Y luego lo multiplicas. Solo eso, te lo han enseñado en el colegio, ¿no? Entonces, ¿por qué te has equivocado?

Y aquí viene la pregunta clave que lanza Taeko y que descoloca a su hermana.

¿Qué sentido tiene dividir una fracción por otra?
¿Ein?
Si dos tercios de una manzana los dividimos entre un cuarto… Es decir, si dos tercios de una manzana los dividimos entre 4 personas, se trata de saber cuántos trozos de manzana le tocarán a cada una, ¿no? Entonces, 1, 2, 3, 4, 5… Les toca una sexta parte de la manzana.

Claro, esto a Yaeko le vuela la cabeza.

No, no, no, ¡eso es multiplicar!
¿Sí? ¿Por qué? ¿Cómo va a ser más pequeño un número cuando lo multiplicas?
Mira, dos tercios de una manzana dividido por un cuarto significa que…

CRI CRI

Lo que estamos viendo es que Yaeko, la hermana mayor no posee el conocimiento especializado del contenido.

¡Eso no importa! No te compliques pensando en manzanas, solo memoriza esto. Al multiplicar lo dejas igual, al dividir lo inviertes.

Y YA ESTÁ

Esto de las fracciones es una excusa para tratar temas que van desde el papel de la mujer en la sociedad nipona de aquellos años hasta cómo nos dejamos abrazar, a veces, por la seguridad reconfortante de saber que estamos haciendo simplemente lo que nos piden, sin cuestionarlo.

Más adelante, Taeko vuelve a recordar el episodio de las fracciones, mostrando cómo se resistía a darlo por imposible, por mucho que le dijera su hermana. Y es que actitudes como la de Taeko son inhibidas en multitud de ocasiones sin darnos cuenta.

Desconocemos si el profesor o profesora de Taeko era capaz de proponer una situación que diese significado a la división de fracciones. Es decir, no sabemos si carecía de conocimiento didáctico-matemático para ello o que, simplemente, se dedicaba a enseñar la técnica.

Lo que está claro es que en clase no se le había dotado de significado a la división de fracciones. Y que, desde luego, su hermana Yaeko tampoco era capaz de darle significado, aunque a ella no le importaba. Asumía el contrato didáctico.

La división de fracciones tiene miga. Es curioso el paralelismo que encontramos con algo que escribió Ma acerca de esto en su libro, cuya primera edición data de 1999, sobre las matemáticas fundamentales para la enseñanza, tanto en China como en EE.UU. a modo de comparación.

Uno de los ejemplos que más le llama la atención a Ma es, precisamente, la división de fracciones. Y, ya en la introducción hace referencia a la sorpresa que le causaron las dificultades que mostraban los docentes de EE.UU para calcular el resultado de la operación 1¾ : 1/2.

No nos distraigamos por el hecho de que aparezca un número mixto, ya que en ambos países están acostumbrados a ellos. Ma señala que prácticamente todos los docentes chinos calculaban el resultado sin vacilar, mientras que en EE.UU. solo lo hacían correctamente la mitad.

Ma sitúa el origen de estas dificultades en que los docentes estadounidenses no habían llegado a construir un significado adecuado de la división de fracciones, debido a que su conocimiento al respecto carecía de conexiones y relaciones.

En otras palabras, no era una comprensión relacional, sino que se basaba únicamente en una idea: el modelo partitivo de la división entera. ¿Acaso no es complejo entender la división de fracciones? Claro que sí.

Probad a pensar en situaciones contextualizadas que respondan a la operación anterior de 1¾ : 1/2 (o, lo que es lo mismo, 7/4 :1/2). Son estas situaciones las que permiten desarrollar esa comprensión a nivel conceptual.

Ma pone el siguiente ejemplo:

Corta una manzana en cuatro piezas del mismo tamaño. Toma tres de estas piezas y ponlas junto a una manzana entera. Consideremos que 1/2 manzana será una ración. ¿Cuántas raciones podremos obtener de 7/4 de manzana (1 manzana y tres cuartos)?

Hay muchas más historias que responden a la división de fracciones. Se puede jugar con las magnitudes involucradas, si ambas fracciones indican medidas o una de ellas actúa como operador, etc.

Todo este conocimiento forma parte del conocimiento especializado del contenido. Es conocimiento didáctico-matemático. En otras palabras, siguen siendo matemáticas, aunque orientadas a la enseñanza.

Y los primeros que debemos procurar poseer este tipo de conocimiento, así como las competencias que lo ponen en juego, somos los docentes. Si queremos que nuestro alumnado desarrolle una comprensión relacional, claro.

Volvamos a Japón, cuna de nuestra película. Llama la atención que hayan sabido sobreponerse a esa tradición tan estricta que permea «Recuerdos del ayer». Al igual que Taeko, han sabido respirar y tomar perspectiva.

Akihiko Takahashi rememora en su reciente libro cómo recogieron en los años 80 y principios de los 90 las ideas de los estándares que iba publicando el NCTM, asumiendo que eso era lo que se estaba haciendo mayoritariamente en Estados Unidos. Nada más lejos de la realidad.

Después de veinte años de experiencia y habiéndose establecido el lesson study como un verdadero plan de desarrollo profesional, volvió a EE.UU., comprobando que no se estaba haciendo enseñanza a través de la resolución de problemas de forma extendida. 🤷‍♂️

Actualmente vivimos una etapa de cambio curricular. Las orientaciones internacionales siguen empujando en la misma línea de aprender a través de la resolución de problemas, puesto que no se puede concebir de forma aislada. Aunque claro, depende de a lo que llamemos matemáticas.

Me permito enlazar el hilo ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre? que va precisamente sobre lo anterior.

Voy terminando. Como decía, para mí estamos ante una de las escenas de cine más profundas, si no la que más, sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Va a ser un fragmento de visionado obligado, tanto en Magisterio como en el Máster ESOb.

Da pie a montar un pequeño debate donde, al igual que Taeko, intentamos recordar cómo vivimos aquellas matemáticas escolares.

Comento todo esto en el artículo de la sección «Matemáticas animadas» del reciente número de EDMA0-6, donde aprovecho para hacer un repaso de anteriores entregas.

No os perdáis ese último número y guardad la revista EDMA0-6 en favoritos como referencia en educación matemática para infantil (especialmente) y primaria 😊.

Y con esto… hilo-novela terminado. ¡Felices fiestas!

¡Pero si la revista EDMA0-6 tiene nueva casa digital en la Universidad de Valladolid! 👏

Créditos

📷 El copyright de las imágenes pertenece a sus respectivos autores y/o productoras/distribuidoras.

Más sobre la regla de tres

Mon, 18 Oct 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, de nuevo, recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

Ha vuelto a hablarse mucho de la regla de tres esta semana. Ocasión que aprovecho para escribir un poquito más sobre el asunto. Prometo que incluyo novedades respecto a episodios anteriores.

No es que esté obsesionado con el asunto particular de la regla de tres. O sí y me lo tengo que hacer mirar, yo qué sé Cara de loco. Tan solo es que me parece algo paradigmático. Lo que me quita realmente el sueño es el aprendizaje mecanicista e instrumental de las matemáticas.

Ñeñeñe, cómo que las matemáticas no son instrumentales. Mira, no vivo en burbuja. Ya sé el papel que juegan en otras disciplinas y en la vida cotidiana (y en esto último está sobrevalorado). Sin embargo, centrarse en lo instrumental es una receta para el desastre.

Pero eso es otra historia que debe ser contada en otra ocasión. A lo que íbamos, esta semana me animé a plantear un hilo interactivo, donde animaba a compartir problemas «de regla de tres», que me tuvo muy entretenido. Más de la cuenta, quizás, aunque sarna con gusto, no pica.

El hilo fue muy interesante porque aparecieron problemas de valor perdido o faltante, tentativas de comparación (donde no procede la regla de tres y sigue siendo proporcionalidad), repartos, pseudoproporcionalidad (que no tienen sentido), etc.:

Recuerdo que la regla de tres es una técnica que encuentra su justificación en las reglas del álgebra. Es decir, la justificación es sintáctica. $\cfrac{a}{x} = \cfrac{b}{c} \Rightarrow x = \cfrac{a \cdot c}{b}$

El «este por este entre este» sale de ahí.

Pues ya está, ¿no?
Pues no.

El caso es que los problemas «de regla de tres» son aritméticos. Y una característica esencial de la aritmética es que el control no es sintáctico, sino semántico. Es decir, radica en el significado de los números que intervienen. En cada momento.

He puesto problemas «de regla de tres» entre comillas porque técnicamente se conocen como de valor perdido o faltante (missing value problems). Es decir, se trata de encontrar uno de los cuatro valores de la proporción. No son los únicos problemas de proporcionalidad.

Están los de comparación, por ejemplo, donde no vale la regla de tres. O situaciones donde no tenemos números.

Entre las interacciones, aparecen variantes de esto:

No, es que siempre hay que comprobar si se puede aplicar. Con eso ya estaría evitando esa ilusión de linealidad.
¿Comprobar el QUÉ?

Para los nuevos, la ilusión de linealidad consiste en creer que una relación es de proporcionalidad cuando no lo es. El aprendizaje mecanicista basado en técnicas tipo producto cruzado o regla de tres la fomenta.

Lo fomenta por mucho que nos hagamos la pregunta, ¿es directa? ¿es inversa? Lo de comprobar si se puede aplicar se las trae. En primer lugar, para comprobar algo primero hemos de haberlo CONSTRUIDO. Y eso pasa por caracterizar muy bien a qué llamamos relación de proporcionalidad.

En lo que sigue me centraré en la proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa es un objeto muy alejado matemáticamente y daría para otro hilo. De todas formas, mucho de lo que comento aquí es, en esencia, extrapolable.

COMPROBAR. El qué.

¿Que a doble de una tengo doble de otra? ¿Y a triple?
¿Que a más, más, y a menos, menos? Esos argumentos como caracterización no valen. Pueden servir, una vez CONSTRUIDO el modelo en matemáticas, para ver si es sensato para estudiar un fenómeno físico.

Esa construcción es delicada y lo que está detrás como idea matemática es el significado del número racional. La proporcionalidad nos ofrece, quizás, el más abstracto de todos los objetos de la aritmética escolar.

Pensemos en los números naturales, que ya son abstracciones. Cuando «repartimos» una cantidad de magnitud entre otra para obtener una razón, esa razón es un nuevo tipo de objeto, con un nivel mayor de abstracción. Simboliza una relación. Aparece una nueva magnitud.

Si para una receta de limonada echo 3 litros de zumo por cada 10 de agua, puedo calcular las siguientes razones: 3/10 (tres décimos o 0,3, que son otras representaciones de dicha razón) y que significa los litros de zumo que echo por cada litro de agua.

10/3 de litro de agua que echo por cada litro de zumo. Aún podrían obtenerse más razones, como la cantidad de zumo por litro de limonada. O al revés. Bien, el caso es que el 3/10 es una cantidad de una nueva magnitud que no aparecía en el texto de la situación.

A veces, estas nuevas magnitudes tienen nombre propio. Cuando digo que María corre 10 km en 50 minutos, 10/50=1/5=0,2 es velocidad. Los km que recorre en cada minuto. Al revés, 50/10= 5 sería ritmo, minutos que tarda en recorrer un km.

Por supuesto, para poder hacer esas divisiones tengo que asumir una «condición de regularidad», sino no tiene sentido ni plantearla. En el caso de la limonada, que siempre se eche la misma cantidad de zumo por cada litro. Sobre esto ya he hablado en otros hilos.

A fin de cuentas, esta abstracción se traduce en verbalizar el significado de las razones implicadas (decir qué significa una «división»). Es muy importante, porque claro, luego están las conexiones que aparecen con funciones, análisis y con álgebra.

Vaya por delante que la aproximación vía el uso de estas razones ya es mucho más potente que la regla de tres para situaciones cotidianas. Si no lo piensas es porque te enseñaron así. Hay gente plenamente funcional a la que no se la enseñaron. Luego volvemos a esto.

Cuando nos vamos a identificar la relación de proporcionalidad desde funciones y gráficas, vuelve a aparecer el concepto clave que conecta todo, en este caso. La razón, tal y como la hemos introducido antes.

La representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen. ¿Y su pendiente?

Si no quiero reducir todo a una serie de ejercicios triviales, tendré que recurrir a darle significado, para además conectar con los conocimientos previos. Y aquí entra en juego el significado del racional como razón.

Significado que la regla de tres no desarrolla porque directamente lo ignora. Por lo tanto, si no lo he desarrollado y quiero conectar con esa idea, ¿qué? A ver, que el significado de estas cositas no se construye por arte de magia. Exige una planificación y cierta coherencia.

Esta idea de pendiente, razón… se conecta, mirando hacia el álgebra, con la constante de proporcionalidad. Y mirando hacia el análisis, con la tasa de variación media. Concepto sobre el que sustenta la derivada. ¿Vamos con los cimientos bien asentados?

Por supuesto, en el hilo ha habido quien detecta esta eliminación de la regla de tres como un ataque. Tanto docentes como familias. En este último caso, en un tuit me dicen que eliminemos lo que queramos, que en casa seguirán enseñando la regla de tres.

Aquí tenemos un problema de creencias, que se puede sintetizar en algo así:

A mí me enseñaron la regla de tres y aquí me tienes. No será tan mala. Además, la uso para todo. Controlo perfectamente cuándo se puede usar y cuándo no.

La divulgación en este sentido ha de ser cuidadosa y respetuosa. Lo mismo que en clase, no se trata de prohibir la regla y ya. Es cuestión de enfocarlo dando significado. Y que la evaluación sea coherente con lo que se hace.

Creo que pensar que el objetivo de fondo no es resolver un tipo concreto de problema, sino estudiar un tipo de relación y desarrollar el significado del racional como razón, ayuda.

Cuando terminé de responder a los problemas planteados en el hilo interactivo, me dio por poner este problemita.

https://twitter.com/pbeltranp/status/1448405548924293129

Se trata de la traducción de un problema utilizado por Cramer et al. (1993), quienes lo propusieron a una muestra de 33 futuros docentes de educación primaria.

32 de los 33 futuros docentes emplearon la proporción: 9/3 = x/15; 3x = 135; x = 45. Cabe observar que este problema es perfectamente resoluble, no como otros de pseudo-proporcionalidad (si hay 10 médicos en la planta 2, ¿cuántos habrá en la planta 5?).

De Bock et al. señalan que la cuestión con el problema de las corredoras es que se presenta en el formato clásico de un problema de valor faltante («de regla de tres»). Eso ocasiona que esta situación aditiva se interprete como multiplicativa.

En mi encuesta gana la opción correcta de 9 vueltas. Pero casi la cuarta parte opta por decir 5 vueltas, resultado que se obtiene aplicando la regla de tres o una estrategia multiplicativa.

La diferencia con el estudio original, donde casi todos contestaban 45 vueltas, puede tener que ver con el idioma o con la forma de plantear la regla o el producto.

Y nada más, que vaya turra. Más hilos como este, o con secuencias didácticas, en mi perfil. Sí, si os sabe a poco este, tengo alguno más sobre la regla de tres, proporcionalidad y número racional.

Epílogo 1

Como os habéis quedado con ganas, me parece muy pertinente este hilo de @RadiactivoMan. Realmente, el tema de la modelización en experimentales lo he mencionado ya, pero aprovecho para escribir un poquito más.

La modelización en matemáticas y experimentales sigue caminos opuestos. En matemáticas se construye y se abstrae ese modelo ideal, mientras que en experimentales se utiliza para predecir y conocer más de lo sensible.

Al hilo de lo que dice @RadiactivoMan, en experimentales se comprueba si el modelo matemático se ajusta o no a cierto fenómeno y bajo qué condiciones.

Tengo un PERO importante con respecto a los factores de conversión. Son muy fáciles de aplicar (tacha, tacha, tachán) y, de nuevo, ocultan la relación de proporcionalidad que hay detrás de, en muchos casos, un simple cambio de unidades.

Verbalizar esa relación, aunque cueste más, da un mayor control de lo que se está haciendo. Vamos, que no se trata de despejar de aquí y de allá, entiendo, sino de comprender a fondo cómo es la relación entre esas magnitudes.

Además, el uso de esos factores da la sensación de que el alumno en cuestión sabe lo que está haciendo. Cuando a lo mejor solo le interesa que “cuadre”.

Epílogo 2

Nada, como veo que hay quien se interesa por esto, aquí va una referencia fácil de leer de un clásico como Skemp sobre las matemáticas instrumentales y las relacionales.

Un saludo y… ¡feliz clase!

Análisis de vídeos educativos en línea por estudiantes de máster de secundaria

Sun, 05 Sep 2021 00:00:00 +0000

Abstract

This work is part of a broader line of research on educational online math videos. It is a widely used resource, both by students who come to them to solve questions and by teachers, and thus deserves the attention of the area. On this occasion, we present an experience with high school master students, prospective teachers. Participants were asked to analyse six videos on directly proportional shares, previously selected and evaluated by the researchers. As a result, it is observed that the global ratings given by the participants are very similar to those of the researchers (except for one video) but certain errors and inaccuracies are overlooked. It concludes the need to carry out training actions from specific didactics, aimed at developing specialized knowledge and competence.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Burgos, M., & Giacomone, B. (2021). Análisis de vídeos educativos en línea por estudiantes de máster de secundaria. En P. D. Diago, D. F. Yáñez, M. T. González-Astudillo, & D. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXIV (pp. 157-164). SEIEM.

Las reglas de tres y los nuevos currículos, en el Heraldo de Aragón

Sat, 21 Aug 2021 00:00:00 +0000

A mediados de agosto de 2021 se filtró un borrador de una manera, cuando menos, curiosa, de los nuevos currículos. Y sí, son buenas noticias que se planteen incluir el dominio afectivo, cuestiones de género y que se eliminen aberraciones como la regla de tres. Os dejo mi escrito publicado en la sección de Tribuna (p. 18) de Heraldo de Aragón el 20 de agosto de 2021.

Por aportar un poco de contexto, ya que la cosa se las trae y es posible que hayas desconectado en agosto (bien hecho), dejo enlaces a una serie de tweets y noticias:

El contexto más inmediato a mi escrito, es esta noticia del Heraldo. División de opiniones entre los expertos aragoneses respecto a los nuevos contenidos de los currículos
Mi primer impulso fue señalar que existen expertos en educación matemática. Vamos, lo de siempre, el área de Didáctica de la matemática. Y sociedades de profesores de Matemáticas. Tweet aquí
Los días anteriores, hacer una búsqueda en Twitter sobre la regla de tres era tremendo. Este tweet no era más que una reacción.
La antesala de todo esto, que vino después de una serie de artículos bomba sobre la perspectiva de género, fue esta portada de El Mundo. Ya se vaticinaba lo que iba a pasar.
Es posible, quiero pensar, que la principal confusión viene de entender que la proporcionalidad se reduce a la regla de tres. Así me dio por emplear el meme de Djokovic en este tweet.

No, no se baja el nivel, sea lo que sea eso, por quitar la regla de tres. Por favor.

Antes de que me preguntéis, sobre la paella. Hice tweet y se puede ver aquí.

Entran en juego muchos factores, no solo los de esa expresión polinómica, que parece restringida a una zona geográfica. Dureza del agua, altitud, etc. Siempre será mejor a ojo de alguien que sepa. Intuyo que la fórmula viene simplemente de hacer un ajuste polinómico decente a los datos de una tabla. Pero no es una relación de proporcionalidad.

Lecturas:

Hilo de Daniel Ruiz Aguilera.
Artículo de Anabel Forte.
Hilo de Lluís Mora.
Hilo que se queda corto, porque esto de la proporcionalidad da para varias tesis: La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Compartí el escrito al Heraldo en un tweet.

La regla de tres y los nuevos currículos

Fri, 20 Aug 2021 00:00:00 +0000

La regla de tres y los nuevos currículos

La filtración recientemente del borrador del nuevo currículo de educación primaria ha desatado un sinfín de publicaciones en torno a él. Primero le tocó a la perspectiva de género, lo que ya sugería que la cuestión de fondo es política. Se ridiculizó a niveles extraordinarios. Que si les funciones o les númeres o que si eso iba a traducirse en unas matemáticas más cuquis y fáciles, por no hablar de la retahíla de insultos que recibieron divulgadoras como Anabel Forte (@AnaBayes) al expresarse en redes sociales. La equidad y la perspectiva de género son algo muy serio en educación matemática, sobre lo que hay líneas de investigación específicas. Su tratamiento en el aula debe articular multitud de factores, siendo el más importante el cómo se conciben las propias clases. En cualquier caso, conviene recordar que la actual LOMCE y nuestro correspondiente desarrollo autonómico ya incluyen el desarrollo de actitudes en matemáticas entre los contenidos y criterios de evaluación. Sí, las emociones también, como superar bloqueos e inseguridades.

Cambiando de tema, el caso de la regla de tres resulta ser un caso paradigmático. A la gran mayoría de nosotros nos la enseñaron de pequeños y muchos la recuerdan como lo más útil de las matemáticas del colegio. Eso es debido a que puede emplearse en situaciones muy cotidianas, como recetas de cocina o descuentos. Sin embargo, es un mecanismo que oculta la idea de proporcionalidad que hay detrás y que, por eso mismo, fomenta lo que se conoce como ilusión de linealidad. Esto es un fenómeno sobre el que hay muchísimas evidencias en la literatura especializada y que no se soluciona mostrando simplemente cuándo se puede usar la regla y cuándo no. La regla evita pensar y, por tanto, no facilita el desarrollo de las ideas que hay detrás.

Un aspecto fundamental de la aritmética escolar es el control semántico de lo que se hace en cada momento. Es decir, volviendo al contexto de un problema hemos de ser capaces de decir lo que significa cada número. ¿Han pensado qué significa esa primera multiplicación que se hace en la regla de tres? Prueben, prueben. Es imposible. La justificación de la regla de tres está en las reglas del álgebra, alejada de ese currículo de primaria. Que apareciese en el actual era una aberración.

Por otro lado, las alternativas son igual de eficientes computacionalmente y pasan por el cálculo de las razones implicadas. El «tanto por uno». Si averiguo cuántos euros cuesta cada producto, ¿cómo no voy a saber cuánto cuestan cinco productos?. Podríamos seguir, pero es que la proporcionalidad es mucho, mucho más que los problemas de valor faltante (los mal llamados de «regla de tres»).

Termino con una petición para los medios de comunicación. Por favor, la próxima vez que publiquen una noticia comentando sobre educación matemática, consulten a alguien del área de Didáctica de la matemática y a asociaciones de profesores de matemáticas. El nuevo currículo es criticable, claro que sí, pero erramos el tiro con comentarios absurdos sobre cosas que deberían estar superadas.

Por cierto, si calculan el agua que necesita una paella con una regla de tres, muy probablemente no les saldrá bien.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2021). La regla de tres y los nuevos currículos. Heraldo de Aragón, 20 de agosto de 2021.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Thu, 29 Apr 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, te recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas. Y ya.

Hacia el final del hilo pondré referencias sobre los obstáculos y dificultades que ocasiona esta forma de presentar la proporcionalidad. Ignorarlos sería, cuando menos, poco responsable como profesionales. No obstante, no adelantemos acontecimientos y vayamos poco a poco.

No lo entiendo. Con lo útil que es la regla de tres, mi profe de matemáticas no nos deja usarla. ¡Qué manía!
¡La mía tampoco! ¡Mira que son especialitos! Lo que no saben es que con eso de las fracciones equivalentes hago lo mismo: este por este entre este.

Si estás pensando que la regla de tres es muy útil y que por qué no enseñarla, es fundamentalmente por:

Se asocia a situaciones que son muy cotidianas. Recetas de cocina, repartos, ofertas, porcentajes, etc.
Es lo que te han enseñado.
Evita pensar.

Sí, pensar cuesta y por eso tendemos a evitarlo. Por eso, la solución a «es que la regla de tres es caca» no puede pasar simplemente por un «usamos igualdad de razones y lo planteamos como fracciones equivalentes». Porque entonces se hace producto en cruz y chispún.

Yo es que les enseño todos los métodos: reducción a la unidad, fracciones equivalentes, regla de tres y constante de proporcionalidad… y luego ya que elijan el que quieran.

El que quieran. Claro.

Para empezar, cómo no van a optar por la regla de tres si es con el que menos piensas. Total, luego los ejercicios a realizar o son directamente proporcionales (a más, más) o inversamente proporcionales (a más, menos).

No voy a profundizar en esto porque ya doy bastante la turra de normal. No se trata de mostrarles las ««matemáticas»» (y con esto de la regla de tres no hay comillas suficientes en el universo) y luego pretender que sepan resolver problemas.

Ahora bien, en este caso es más flagrante todavía. Los objetos matemáticos que están detrás de la proporcionalidad directa y la inversa están más alejados de lo que parece. ¿Habéis visto cómo son las representaciones gráficas de uno y otro?

La inversa, además, requiere de unos razonamientos más complejos desde el punto de vista cognitivo. Pero centrémonos en la proporcionalidad directa: el «a más, más» y «a menos, menos», no vale.

«A más, más» no funciona porque cualquier modelo funcional que sea creciente, lo cumpliría. Piensa en el crecimiento exponencial en el comienzo de las olas de la COVID. Cada día hay más casos, pero no responde a un modelo de proporcionalidad directa.

Aunque no fuera estrictamente creciente, el «a más, más» se cumpliría. Imagina una tarifa telefónica, que ya pongo adrede para ver que al «a doble, doble» habría que exigirle algo más:

Gratis hasta los 3'.
2 € cuando la duración de la llamada esté entre 3' y 6'.
…

Si observas la tarifa anterior, con 4' estás pagando el doble que con 2'. Y con 8' el doble que con 4'. Coste y duración de las llamadas son magnitudes que están relacionadas, pero no son directamente proporcionales.

La clave, por tanto, es reflexionar sobre las condiciones que hemos de exigir a una relación entre dos magnitudes para que sean directamente proporcionales.

Primero, que sean dos magnitudes. Porque, a veces, en la descripción de una situación aparecen números que no indican cantidades de magnitud. En 2º de ESO hay 80 alumnos en el instituto, ¿cuántos alumnos habrá en 4º de ESO?

Y si son cantidades de magnitud y están relacionadas, habrá que explorar cómo es esa relación. Veamos, ¿se puede asumir que a una unidad de una de las magnitudes le corresponde siempre la misma cantidad de la otra?

Por ejemplo, he ido a una tienda y he comprado 15 productos, que me han costado 30 euros. ¿Cuánto cuesta cada producto? ¿Cuántos productos puedo comprar por un euro? Piensa, por favor, sobre las preguntas anteriores antes de seguir.

Solo se pueden responder si suponemos algo. Hemos de asumir una condición. Que cada producto cueste lo mismo, o que pueda comprar la misma cantidad de productos por un euro. Es lo que, en términos de Gairín, Oller-Marcén, Martínez-Juste y otros se llamacondición de regularidad.

Pero vamos, reflexionar sobre la relación entre las magnitudes que intervienen es un elemento común en distintos autores.

Si no asumes dicha condición, es que no puedes ni plantear 30/15=2 ni 15/30=1/2. Si la asumes, entonces puedes dar significado al 2 y al 1/2 (o 0,5 si quieres). Venga, qué significan esos números.

Vale, dos qué. Como he repartido los 30 productos entre los 15 euros, puedo comprar dos productos con un euro. Y el un medio qué. Pues que cada producto me cuesta medio euro, o 0,5 euros.

Y una vez das significado a esas razones (lo cual constituye un significado propio del número racional), ya puedes abordar situaciones de valor desconocido (los que abundan en libros de texto y mucha gente llama problemas de regla de tres) y de comparación de razones.

Si sé que cada producto me cuesta 0,5 euros, ¿cómo no voy a poder decir cuánto me costarán 20 productos? Si sé que por cada euro puedo comprar 2 productos, ¿cómo no voy a poder decir cuántos compraré con 30 euros?

O si, en otra tienda, compro 20 productos por 15 euros, ¿cómo no voy a poder decir qué productos son más caros, si los de esta o los de la otra?

Pablo, pero es que todo esto que me estás contando es más complicado que presentar la regla, preguntar si es directa o inversa y este por este entre este. GOTO 10 primeros tuits.

Y me alegro de que me hagas esa pregunta, porque, dejando de lado el hecho de que la regla de tres como instrumento «matemático» ejem, estás poniendo sobre la mesa una de las grandes diferencias entre el quehacer en matemáticas y el quehacer en experimentales.

En matemáticas se trata de construir el objeto matemático en cuestión. Aquí, la proporcionalidad directa. Podemos fijarnos en contextos reales que reproducen de forma intuitiva sus propiedades, pero el objetivo es construir y justificar ese objeto.

Sin embargo, en experimentales es al revés. Se da por hecho el modelo matemático y se aplica a una situación o fenómeno para extraer nueva información y predecir su comportamiento.

En matemáticas, por tanto, no nos podemos «conformar» con revolver correctamente problemas en donde intervienen magnitudes directamente proporcionales. La justificación de esa estructura multiplicativa, la exigencia de las condiciones, etc. son objetivos de aprendizaje.

Por cierto, ya que hablo de experimentales. Los factores de conversión, que muchas veces se plantean como alternativa rigurosa a la regla de tres y la odiosa escalera para cambios de unidades, no son la panacea.

Introducidos de prematuramente (casi siempre lo es) constituyen un atajo que facilita no dar significado completo a lo que se está haciendo. Si sé que cada hora tiene 3600 segundos, ¿dónde está el problema para saber que he de multiplicar por 3600 para pasar de horas a segundos?

Vamos, que terminan muchas veces en una serie de trucos de magia para que al final te salgan las unidades correspondientes. Pero como decía Michael Ende, eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

Terminaré aludiendo a los obstáculos de pasar de todo esto y arrojarse a los brazos de la regla de tres porque es muy útil porque patatas.

Autores como De Bock, Van Dooren, Jannsens y Verschaffel hablan de la ilusión de linealidad. Esto consiste en aplicar el modelo de proporcionalidad en situaciones que no lo permiten.

Hay muchísimos ejemplos. En geometría los hay muy claros. Si duplico el radio de esta circunferencia, ¿cuánto será el área? Pues el doble. Pos va a ser que no.

Aquí dejo enlace a una traducción en español del trabajo de estos autores: La búsqueda de las raíces de la ilusión de linealidad.

Pero es que el mojón de la regla de tres y la consecuente ilusión de linealidad planearán como una sombra incluso cuando se aborde la probabilidad.

O cuando se exploren las tasas de variación, etc. En fin, ¿qué queremos? ¿Dar una receta para salir del paso y disimular o construir las matemáticas con los alumnos?

Evidentemente, los alumnos con más talento podrán salir inmunes, ya que el talento prospera en las condiciones más adversas. En todo caso, habrán perdido el tiempo. ¿Y los demás? Peor, claro.

No he hablado de la compuesta. Aunque vaya, os podéis imaginar.

En fin, enlazo los elementos básicos de una propuesta innovadora, que tiene en cuenta todos estos elementos, de mis compañeros de la Facultad de educación de Unizar, Martínez-Juste, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén, junto con Pecharromán.

Esta propuesta me parece maravillosa, y arranca del trabajo sobre racional de gente como Gairín y Escolano.

Por si no queda clara todavía la relación de la regla de tres con la ilusión de linealidad y los obstáculos que se genera. La regla de tres es el paradigma de estrategia que fomenta eso porque no le da significado a lo que haces. Y esto no solo lo mencionan los autores que he ido citando, es una constante: Freudenthal, Schoenfeld, etc.

De verdad, pasaros por las interacciones en twitter. No sé si existe otro objeto en la educación matemática que desate tantas pasiones (a favor y en contra) como esto de la regla de tres. Cuando escribí el megahilo sobre la regla de tres, en una sola tarde vi cómo se elevaba a rango de teorema, se ponía al nivel de las leyes de Newton, se ignoraba su contribución a futuras dificultades de los alumnos y se me tachaba de talibán.

Con este hilo participo en el #CarnaMat12_2: Carl Friedrich Gauss del @CarnaMat, que en esta ocasión organiza @gaussianos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

Qué limonada sabe más a limón

Sun, 11 Apr 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Dedicando unos días a revisitar en este curso tan raro la proporcionalidad en 2°ESO, cosa que vieron en profundidad en 1º ESO. Charlas de aula powered by @nrichmaths. ¿Qué refresco sabe más a limón?

Y es que iniciamos la clase con el applet del Mixing Lemonade de nrich.

Es un problema clásico de comparación de razones (sí, hay un mundo más allá de los problemas de valor desconocido en esto de la proporcionalidad). El año pasado ya hicimos uno similar.

La pequeña app de nrich, después de presentar el problema permite indagar alrededor de diferentes estructuras numéricas, conectando lo hecho en fracciones, lo del curso pasado, etc.

Fuente: Mixing Lemonade, de nrich

Y la guinda. Si mezclamos los vasos qué ocurre con el refresco resultante. ¿Sabe más o menos a limón que los originales? ¿Por qué? Conectamos con repartos. 😍

Tienen también un póster. En un aula materia disfrutaría mucho con estas cosas…

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

Sobre una secuencia de enseñanza de la medida de infantil a secundaria

Sun, 21 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Actividad en 2º ESO: mide el área del mantel (amarillo) tomando como unidad la servilleta (naranja). No te creerás lo que pasó a continuación.

Hilo sobre medida en el Día Internacional de las Matemáticas #idm314

Efectivamente, hay alumnos que sacan una regla, miden el largo y ancho del mantel, multiplican y te dicen que el área mide no sé cuántos centímetros cuadrados.

No, tomando esto (la servilleta) como unidad.
¿Ein? [Insert aquí cara de «pero qué me estás contando»]

También los hay que miden el perímetro con la regla y te dicen que el área mide tantos centímetros. Ojo, que estamos hablando de alumnado de 13-14 años de edad.

Que a lo mejor nos ponemos a hablar alegremente de unidades, fracciones y demás cosas del montón y a saber lo que estará pasando por esas cabecitas.

Eso sí, la escalera para cambiar unidades se la conocen todos. Porque parece que hablar de medida en primaria es hablar de cambios de unidades del sistema métrico decimal (con la escalera o regla similar). Eso, y aprender sobre el sistema monetario.

Resulta que aprender sobre el sistema monetario es… aprender sobre el sistema monetario. Sí, vale, hay una magnitud, que es valor económico. Y este valor puede expresarse con diferentes unidades, como euros o dólares. Sin embargo, ¿qué procesos de medida ponemos en juego?

Es decir, ¿cómo puedo adjudicar un valor económico a determinado objeto? ¿Cómo se establecen las equivalencias entre las diferentes unidades? Aunque estos procesos existen con esa magnitud, quedan muy, muy lejos de lo que debería ser la medida en infantil, primaria y secundaria.

Me habéis leído poner a caldo la dichosa escalerita para el cambio de unidades. Este es el hilo que (quizás) estabais esperando y que intenta sintetizar de qué hablamos cuando hablamos de MEDIDA.

Las investigaciones de Piaget dieron lugar al establecimiento de estadios evolutivos en esto de la medida:

Comparación perceptiva directa.
Comparación por desplazamiento de objetos.
Medida con unidades objetales.
Medida con unidades convencionales.

Ello propició el diseño de secuencias didácticas en las que, por ejemplo, no se abordaban tareas de medida de cierta magnitud hasta que el niño o la niña fueran conservadores. Sin embargo, Carpenter y otros investigadores mostraron que la cuestión no era tan dicotómica.

Mostraron que plantear tareas de medida podía favorecer el desarrollo de la idea de conservación. Después expondremos los diferentes tipos de situaciones de enseñanza, pero primero vamos a detenernos en la ya mencionada noción de conservación y en la de transitividad.

¿Qué es conservar? Decimos que un niño o una niña son conservadores respecto a una magnitud cuando son conscientes de que, aunque cambie la forma, posición u otras características del objeto, hay algo que permanece constante, que se conserva.

Toma esta pastilla de plastilina. Toma esta otra, mira, antes de darte esta, voy a hacer una bola con ella. ¿Cuál pesa más? Lo que se conserva ahí es la masa. Hemos cambiado la forma, pero la masa permanece constante.

Otro ejemplo con la magnitud longitud consiste en presentarle dos juguetes a un niño o una niña, poner en medio una pared de bloques de construcción y preguntar: ¿están ahora más cerca los juguetes? ¿más lejos?

¿Qué es la idea de transitividad? Posiblemente te suene haberla visto en lenguaje formal. Si a≥b y b≥c, entonces a≥c. Pues aquí es lo mismo, pero expresado en cantidades de magnitud.

Es decir, si un objeto A presenta una cantidad de magnitud igual a la de un objeto B, y la cantidad de magnitud de B es igual a la que presenta un objeto C, entonces A y C tienen la misma cantidad de magnitud. Esto se extiende si cambiamos los iguales por desigualdades.

Vamos con las situaciones de enseñanza que conformarían un trabajo en medida desde infantil hasta secundaria. Los numeritos indican cierta progresión, pero esta progresión habría que verla para cada magnitud.

En todo caso, no es una secuencia fija. Y nos podemos imaginar situaciones de enseñanza que combinan algunas de estas que nombraré, que podríamos llamar «fundamentales».

1. Situaciones de identificación y conservación de la magnitud

Como ejemplos, ya he comentado lo de la plastilina y lo de la distancia con una pared. ¿Alguien está pensando que esto es algo propio de infantil?

Estas figuras… ¿tienen la misma área? ¿el mismo perímetro? La confusión área-perímetro es algo que pervive muchísimo más allá de los primeros cursos de primaria. Si cambia el perímetro… ¿cambia también el área?

¿Alguien está pensando que esto es algo que ya tiene superado del todo como persona adulta? Os invito a pensar qué pasa en esto de aquí.

📷 Trekky0623

De verdad, pensadlo antes de buscarlo en internet. Os dejo las imágenes en grande para vuestra comodidad.

📷 Dnu72

2. Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios

¿Cuál de estos útiles de escritura es más largo?

Esto lo puedo resolver alineando los extremos, sin utilizar ningún objeto adicional. A veces, incluso, se puede responder a este tipo de pregunta comparando por percepción visual.

Cabe observar que todavía no hemos medido nada. Y es que, para comparar no tenemos por qué estar midiendo nada.

3. Situaciones de comparación cantidades de magnitud con objetos intermedios

Mira, tengo esta mesa y quiero saber, sin moverla, si cabrá por la puerta. En la clase podemos tener listones o tiras de papel o de tela.

Podemos coger una tira de papel y utilizarla para marcar la cantidad de longitud presente en el ancho de la mesa. Luego, con esa tira vamos a la puerta, y si la cantidad de longitud del vano es mayor a la de la tira, concluimos que la mesa cabrá.

No hemos medido nada, solo hemos aplicado la idea de transitividad. Obviamente, esto también podría haberse resuelto midiendo. Por eso, es bueno retomar este tipo de situaciones más adelante jugando con las variables didácticas, como el material a disposición del alumnado.

4. Situaciones de ordenación cantidades de magnitud

Dentro ejemplo con la magnitud capacidad. Ordena estos vasos de mayor a menor capacidad. Os invito a realizar esta actividad sin medir, solo trasvasando.

Trasvasar. Rebosar. Llenar. ¡Cada magnitud tiene su propio vocabulario asociado!

La situación de los vasos se puede hacer con un objeto intermedio, poniendo a disposición un recipiente mucho más grande sobre el que marcar la cantidad de magnitud de cada uno. O midiendo, claro, con una cazoleta o similar.

Me gusta pensar en las variables didácticas como mandos de control para sacar todo el jugo posible a una situación en diferentes momentos.

Antes de seguir, voy a dejar una pregunta, como ejercicio. Cuando comparamos el peso de dos objetos con una balanza, ¿es la balanza un objeto intermedio? Me encanta el debate en #cosicasdeDAII.

5. Situaciones de medida con unidades antropométricas o arbitrarias: de cálculo y de construcción

Empezamos con la medida. ¿Empezamos con el SMD? No. Comenzaremos con unidades objetales (tazas, listones, etc.) o antropométricas (palmos, pies, etc.). En definitiva, arbitrarias.

Distinguiremos entre situaciones de cálculo, donde nos dan un objeto y tenemos que averiguar su cantidad de magnitud; y de construcción, donde tenemos que construir cierto objeto con una cantidad de magnitud determinada.

Situaciones de cálculo son medir la capacidad de una jarra en tacitas, expresar recetas de cocina en medidas de la abuela (ojo con esto, porque ese «harina, la que coja», jejeje), medir el área de la mesa en hojas de papel, etc.

La situación del tuit original es una situación de medida de cálculo, con la magnitud área, para abordar la representación fraccionaria del número racional. Se puede hacer en 2º de ESO tranquilamente. Si se hubiese hecho en 6º EP, bastaría algo muy breve o cambiar de magnitudes.

Resulta que esta situación obliga a hacer subunidades.

Y como necesito 9 de esas unidades, el mantel mide 9/4 u.

Esto es medir áreas de manera DIRECTA. Fundamental haber hecho en primaria este tipo de situaciones. Mide esta hoja con estos rectangulines. Mide esta otra. Compara. Etc.

Cuando empleamos las fórmulas de las áreas estamos midiendo áreas de manera INDIRECTA. Porque medimos longitudes y luego operamos con ellas para dar con el área. Hay magnitudes que solo podemos medir de forma indirecta, como la temperatura.

Como ejemplo de situación de construcción, podríamos plantear recortar el forro necesario para forrar un libro, sabiendo que el área es de tantas unidades.

6. Situaciones en las que resulta necesario utilizar las equivalencias de los sistemas de medida

¡Anda! ¿Cómo? Equivalencias sin haber introducido el SMD. Efectivamente. Mira, esto es del episodio de «El problema del tesoro enterrado» de Peg+Gato (serie para 5-7 años).

Mide el área de esta hoja con estos rectangulitos azules. Ahora mídela con estos rojos (tienen un área cuatro veces mayor, pero no lo decimos). ¿Qué observas?

Las situaciones 7 y 8 están muy relacionadas.

** Situaciones de medida con unidades del Sistema Métrico Decimal.**
** Situaciones para determinar el grado de precisión de la medida.**

Un clásico es medir el ancho de la clase con pies. A unos les sale un número y a otros, otro. ¿Qué hacemos? ¿Usamos el zapato de María como unidad estándar? ¿Y si queremos encargar un mural? ¿Enviamos el zapato de María con el pedido? ¿Qué hacemos? ¿Cómo solucionamos esto?

La cuestión es que los niños, actualmente, están en contacto continuo con el SMD, y la respuesta a esa pregunta es prácticamente directa. Mucho mejor medir en metros, claro. Nos hemos puesto de acuerdo en muchos países para medir las cosas.

La situación 9 es transversal completamente a todas las anteriores:

9. Situaciones de estimación de la medida de cantidades de magnitud y ejercitación del cálculo mental en situaciones de medida

No es estimar «en plan adivinar», no.

Podríamos distinguir situaciones de estimación con la unidad presente o no. O situaciones de estimación por exceso y por defecto, tanto a priori (antes de echar las cuentas) como a posteriori (después de echar las cuentas).

Escribía en EDMA0-6 sobre situaciones de estimación en Cyberchase (ver este post).

Y hasta aquí el esbozo de lo que constituye el tratamiento de la medida. Importantísimo en la fundamentación de conceptos matemáticos como el racional.

Todo esto es una especie de resumen de lo que se les cuenta desde @dm_unizar en #cosicasdeDAII a los alumnos de @FacultadEducaUZ desde hace tiempo.

Os enlazo también un hilo que hice sobre el tratamiento de la medida en esa maravillosa serie que es Peg+Gato.

Nada más, feliz #PiDay (que, aunque no hayamos nombrado a Pi, también se fundamenta en todo esto de la medida). Y feliz Día Internacional de las Matemáticas #idm314.

Unas tareas de comparación de repartos

Tue, 16 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Momentos estelares de esta semana en 2º ESO con tareas de este tipo.

Considerando que a/b representa un reparto igualitario, compara las siguientes fracciones.

¿Dónde hay más tortillas? ¿Dónde menos? ¿Dónde hay más personas? ¿Dónde menos? ¿En qué reparto recibe cada participante una cantidad mayor de tortilla?

Son preguntas spoiler que se guarda uno en la recámara solo por si acaso. Porque al haber trabajado ya comparaciones desde este punto de vista entre:

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{7}{5}$

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

$\cfrac{3}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

ya se han puesto en juego todos los elementos.

De hecho, para fomentar el razonamiento desde la idea de reparto los hemos presentado con otra notación.

Sí, entre paréntesis. El primer elemento indica el número de tortillas (o de objetos fraccionables a repartir) y el segundo, el número de participantes. Más adelante se relaciona (es algo que queda evidente) con las fracciones.

Bueno, el (4,5) es menor que el (7,5) porque tenemos menos tortillas para el mismo número de personas, de manera que los participantes reciben una cantidad menor de tortilla.

El (4,5) es mayor que el (4,7) porque hay el mismo número de tortillas en ambos repartos, pero en uno participan 5 personas y en otro 7, por lo que en el (4,5) se come más.

Y qué hacemos para comparar (3,5) y (4,7). Pues hay varias formas. Podemos buscar repartos equivalentes en los que se iguale el número de participantes o el número de tortillas, reduciendo esto a uno de los casos anteriores.

Por ejemplo, (3,5)=(21,35) y (4,7)=(20,35). En el primero hay más tortillas para las mismas personas, por lo tanto es mayor.

O también, (3,5)=(12,20) y (4,7)=(12,21). En el primero hay menos personas para la misma cantidad de tortilla, por lo tanto, es mayor.

Pero no es la única forma. En clase ha surgido que en el de (3,5) se come más porque cada participante recibe media tortilla más la media que falta a repartir entre 5. Mientras que en el (4,7) reciben media tortilla más la media que falta, pero a repartir entre 7.

Con lo dicho hasta aquí hay material de sobra para resolver el 1) del tuit inicial.

¿Y si vamos al ejercicio 2) del principio? Queremos comparar a/b y (a+1)/(b+4)

Una forma es, como hemos hecho antes, obtener repartos equivalentes con el mismo número de participantes o de tortillas. Por ejemplo, amplificando el primero por (b+4) y el segundo por b.

En clase ha surgido la idea de que si a/b=1/4, esos repartos son equivalentes. Y una vez establecido eso, se observa que si aumento el número de tortillas (me voy a fracciones mayores que 1/4), se recibe más en el a/b.

Una justificación plena de este razonamiento es vía la idea de socialización. El reparto (a+1)/(b+4) viene de juntar los repartos a/b y 1/4. Es decir, que hemos socializado las tortillas de esos dos repartos (a+1) y las personas (b+4), para hacer un nuevo reparto (a+1)/(b+4).

Y ese nuevo reparto está entre los dos originales. Porque los participantes del mayor de ellos, pasarán a comer menos en el socializado. Y los participantes del menor de ellos, pasarán a comer más.

Por tanto, una de tres:

$\cfrac{a}{b} < \cfrac{a+1}{b+4} < \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} > \cfrac{a+1}{b+4} > \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} = \cfrac{a+1}{b+4} = \cfrac{1}{4} $

Entonces:

Si a/b < 1/4, cosa que ocurre cuando b>4a, resulta que estamos en el primero de los casos anteriores y, por tanto, a/b será menor que (a+1)/(b+4).
Si a/b=1/4 serán iguales.
Y si b<4a, será a/b >(a+1)/(b+4)

Y fin.

Como parece que suscita interés, debo decir que esto ha de verse como otro ejemplo de cómo introducir los conceptos desde la atención a la diversidad con un enfoque a través de la resolución de problemas.

Es decir, un punto de entrada accesible que establece conexiones y con el que llegas a ideas matemáticas potentes y profundas. Y todos están en condiciones de participar en esos razonamientos.

Hay que tener en cuenta que no es llegar un día a clase y soltar estas cuestiones (u otras) esperando que el alumnado se implique, participe y podamos construir a partir de sus aportaciones. Es un trabajo que comenzó el curso pasado con estos grupos.

Esto del racional, por otro lado, es un ejemplo claro de conocimiento didáctico-matemático. De hecho, es conocimiento especializado del contenido que no verás ni en el grado de Matemáticas, ni en Física, Ingenierías, etc.

Conexión decimal-fracción, con tortillas, unpacked

Sat, 26 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

4,99… es aproximadamente 5
No, es que es 5.
¿Ein?

Conexión decimal-fracción. Con tortillas. Unpacked.

Sí, hay varias maneras de razonar. Por ejemplo, trata de buscar un número entre el 4,99… y el 5, complicado, ¿verdad? O toma 10 veces el 4,99… y quítale una vez el 4,99…, con lo que tienes 9 veces el 4,99… O con series geométricas.

Pero este hilo no va de eso. Y como buena pregunta cebo, se responderá al final. Voy a tratar de mostrar ejemplos de tareas que comenzarían en primaria y que culminarían en 3º ESO aprox.

Me gusta hablar de tareas porque se trata de hacer. Y mientras se hace, se piensa y se le da significado a lo que se hace. Y se discute. En definitiva, se construye conocimiento a partir de la resolución de situaciones y problemas. No se presenta a las mates como un monumento.

Si habéis leído los hilos de multiplicación y división de fracciones, recordaréis que hablaba de medida. Es decir, las fracciones representaban cantidades de magnitud u operadores que actuaban sobre esas cantidades.

Pues bien, ahora cambiamos las gafas para meternos en el modelo de reparto. El numerador va a indicar el número de objetos a repartir (hablaré de tortillas) y el denominador el número de participantes (hablaré de personas).

Como los objetos a repartir tendrán que ser fraccionables, este significado de la fracción como reparto no está aislado del de medida. Hay un control del tamaño de los trozos que se reparten.

Con $5/4$ simbolizaremos, por tanto, dos cosas. Por un lado, el reparto en sí; es decir, el proceso de repartir 5 tortillas para 4 personas. Por otro lado, la cantidad de tortilla que recibirá cada uno de los participantes.

Reparte de forma equitativa 5 tortillas entre 4 personas, al menos, de 3 formas distintas. Intenta explicarlo de manera verbal, gráfica y simbólica. No te hagas spoiler y piénsalo.

Puede que digas… ¡Qué fácil! Parto cada tortilla en cuatro trozos iguales y a cada participante le doy un trozo de esos de cada tortilla. Venga, os presento a los participantes (soy original y los llamo a, b, c y d ) y en el siguiente tuit lo muestro gráfica y simbólicamente.

Eso es, aquí está. Cada uno recibe 5/4 de tortilla. ¿Pensamos otra manera?

Si en lugar de partir cada tortilla en cuatro, las parto en ocho trozos, a cada uno le tocarán dos trozos (octavos) de cada tortilla.

Sí, reciben la misma cantidad. En el primero $5/4$ y en el segundo $10/8$. ¿Puede decirse que son «iguales» esas fracciones? Representan la misma cantidad de tortilla, pero el proceso ha sido distinto.

Pero vaya tontada, Pablo. Y si las parto en 16 ya tengo otra forma, que pedías tres. Veamos, tanto el de cuartos como el de octavos los hemos hecho en una sola fase. ¿Qué ocurre si quiero dar tortillas enteras en este caso? Porque aquí podríamos, ¿no?

En una primera fase, daría una tortilla a cada participante.

Y después, en una segunda fase, esa tortilla que sobra, la partiría en 4 (si quiero terminar ya), y daría uno de esos trozos a cada participante. Cada uno recibiría una tortilla entera y un cuarto. Es decir, $1+1/4$.

Como ejercicio, os propongo que la última tortilla no la dividáis en cuartos, sino en quintos. Os saldrá, por lo menos, una fase más.

La exploración de estos repartos ya da pie a interesantes discusiones de aula y movilización de contenidos, como la equivalencia de expresiones aritméticas.

Veamos ahora qué pasa si en cada fase no partimos lo que sobra de cualquier manera, sino que imponemos la condición de partirlo en 10 trozos (siempre iguales, eh, aunque en los dibujines se vea todo muy cutre).

Recuerdo. Cinco tortillas para cuatro personas. Primera fase, reparto tortillas enteras. Una a cada persona, doy en total cuatro y me sobra una. Usaré corchetes para indicar el tamaño de los trozos que estoy repartiendo.

Vamos con la segunda fase. Parto lo que sobra en 10 trozos iguales, por lo que ahora tendré 10 décimas (10 trozos de tamaño 1/10). Puedo dar 2 décimas a cada uno, dando en total 8 décimas. Me sobrarán 2 décimas por repartir.

Sigue sobrando, por lo que hacemos una tercera fase. Parto esas dos décimas en 10 trocitos cada una, por lo que paso a tener 20 trocitos de tamaño 1/100. A cada uno le doy 5 de esos trocitos, dando en total 20 y no me sobra nada.

Por lo tanto, cada participante recibe 1 tortilla entera, dos trozos de tamaño $1/10$ de tortilla y cinco trozos de tamaño $1/100$. Según la tabla que hemos hecho, podemos escribirlo así:

$1+2[1/10]+5[1/100]$

Cuando algunos hablamos del papel de los algoritmos tradicionales, que hay que repensarlo y todo eso, es por esto. No sé cuántos os estáis dando cuenta de que esto es UNA DIVISIÓN DE LAS DE TODA LA VIDA. Cuando lo cuento en ESO o en magisterio, resulta que no es tan evidente.

Los algoritmos tradicionales pueden ser estupendos para profundizar en el sistema decimal posicional. Trabajarlos de forma machacona no lleva a ningún sitio, pero desde el significado, con manipulables, etc. llegamos a sitios maravillosos. CONTINÚO.

Hemos dado $1,25$ de tortilla a cada uno. Efectivamente, UNA tortilla entera, DOS décimas y CINCO centésimas. Aquí tenéis la primera fila de la tabla, la primera fase del reparto, con significado, según la división en caja.

¿Alguien se ha preguntado alguna vez que es eso de bajar un cero? ¿De dónde se bajan? ¿De las nubes? Pues hala, aquí veis que es el comienzo de la segunda fase del reparto, me ha sobrado una tortilla entera y la parto en diez, por lo que tendré que repartir DÉCIMAS.

Y aquí está el final de la segunda fase. Tengo 10 décimas, puedo dar dos a cada participante, doy en total ocho, y me sobran dos DÉCIMAS por repartir.

En la siguiente fase, parto las décimas en 10 trocitos cada una, por lo que tendré 20 centésimas a repartir entre 4 participantes. Tocan a 5 CENTÉSIMAS y no sobra ninguna.

Ya hemos establecido la conexión fracción con decimal. Decía que todo esto culmina en 3º ESO. Hasta llegar a ese momento, podemos incorporar situaciones en las que se consideren diferentes repartos.

Si pensamos en el 5 tortillas para 3 personas, veremos que el reparto decimal no termina nunca. Pero, ¿eso quiere decir que cada uno recibe una cantidad infinita de tortilla? No, porque ya hemos visto que cada uno recibe siempre una cantidad equivalente a $5/3$ de tortilla.

Algo que se puede investigar, muy interesante, es ver cuáles son las condiciones para que se dé lo que ocurre con el cinco para tres, es decir, que el proceso sea infinito (vamos, que salgo periódico).

Y venga, ahora empezamos a enlazar con la pregunta cebo. Un problema interesante es preguntarse por las condiciones iniciales de un reparto; es decir, el número de tortillas y el número de participantes, sabiendo la cantidad de tortilla que ha recibido cada uno.

Primer caso. La representación polinómica decimal es finita (o sea, número con decimales fijos). Por ejemplo, supongamos que cada participante recibe 2 tortillas enteras y 3 décimas, es decir, $2,3$ tortillas. Llamaré «a» al número de tortillas y «b» al de participantes.

En la primera fase, por tanto, tengo a tortillas. Como me dicen que cada uno recibe dos tortillas, y hay $b$ participantes, en total habré dado $2b$ tortillas. Me sobra lo que tenía al principio menos lo que he dado. $a-2b$ tortillas.

Corto lo que me sobra en 10 trocitos, por lo que tendré $10(a-2b)$ trocitos, es decir $10a-20b$ trocitos de tamaño $1/10$ (décimas). Doy tres a cada uno, dando en total $3b$ décimas (multiplico por el nº de participantes, $b$, que es desconocido).

Pero espera, porque el reparto terminaba ahí. No sobraba nada… por lo que $10a-23b$ tiene que ser cero. Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 23 tortillas y 10 personas. O cualquier reparto equivalente, como el 230 para 100.

Segundo caso. Cuando la representación polinómica decimal es infinita (números periódicos). Si has hecho divisiones o ejemplos como los que ponía antes, sabrás que te sale periódico y tienes que parar cuando se empiezan a repetir los restos, las partes sobrantes.

Intentemos averiguar las condiciones iniciales de un reparto en el que cada participante recibe 1 tortilla entera, 3 décimas, 3 centésimas, 3 milésimas, etc. Es decir, 1,33.. tortillas.

Podría seguir ad infinitum, pero el caso es que sé que las partes sobrantes se están repitiendo. De hecho, en este caso, son todas iguales. Voy a igualar las dos primeras.

$10a-13b = a-b$

Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 12 tortillas y 9 personas, o cualquier reparto equivalente, como $4/3$. Observemos que si hubiésemos igualado $a-b$ con $100a-133b$ también nos habría salido. Y también si igualamos $10a-13b$ con $100a-133b$.

Si te has perdido en este punto, vuelve a donde se relaciona lo de la tabla (el reparto) con la división en caja. Ponte a dividir 12 entre 9 y trata de identificar el momento en que te das cuenta que “entras en bucle” y por qué.

Aquí irían diferentes situaciones. Cuando el período tiene más de una cifra resulta que los restos no son todos iguales, sino que van salteados. Cuando es periódico mixto, por ejemplo, se empiezan a repetir a partir de cierto momento…

Y el momento genial, ¡aha!, cumbre o como queráis llamarlo viene cuando pides encontrar las condiciones iniciales del reparto en que cada uno recibe $4,99…$ tortillas. Para mí, uno de los mejores momentos de toda la ESO.

Voy a merendar, que con tanta tortilla me ha entrado el gusanillo. Así, si alguien quiere hacerlo, tiene un ratito.

Venga, ¿empezamos?

Como lo que sobra es siempre igual, $a-4b$ tiene que ser igual a $10a - 49b$. Si hiciese una fila más, lo que sobrase también sería igual.

Y hete aquí que sale $45/9$; es decir, 45 tortillas para 9 personas, o 5 tortillas para una persona. En este momento:

Pablo, ya lo he hecho pero creo que lo tengo mal. No puede ser. Me sale cinco.

ESE ES EL MOMENTO.

¿Qué está pasando? ¿Cómo va esto de las representaciones decimales que acaban en 9 período? Aquí es donde tienen lugar unas cuantas discusiones y charlas de aula. La idea de fondo es que las representaciones polinómicas decimales que vienen de un reparto son únicas. Salvo…

… salvo en las representaciones finitas, ya que también admiten otra representación a base de nueves periódicos. Y esta noción, la de que un mismo número admite diferentes representaciones, es fundamental.

Como decía al principio, formas de argumentar sobre representación decimal y fraccionaria hay muchas. Si queremos que el alumnado vea la fracción como número no podemos dejar que el peso de la secuencia en el parte-todo. Este modelo dificulta esa conexión. Enlace para saber más

Y sobre todo. Esto no se explica. Se hace, y mientras se hace, se reflexiona sobre lo que se está haciendo.

Esta cuestión está desarrollada en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Y las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en @FacultadEducaUZ @dm_unizar #cosicasdeDAII.

Algunos me habéis preguntado por la notación de corchetes. Es herencia de Gairín y compañía y es la que usamos en @FacultadEducaUZ @dm_unizar. Se trata de enfatizar el control de los trozos. Da pie a un trabajo simbólico mayor que no he puesto en este hilo.

De hecho, para dejar más claro que es un significado diferente del de medida, en Didáctica de la aritmética II lo que se hace es escribir $(a,b)$ en lugar de $a/b$ cuando estamos con los repartos.

Para curiosos: $(2,3)[1/10]$, en cierta fase de un reparto, indicaría que tengo 2 trozos, de tamaño $1/10$, a repartir entre 3 personas.

Dejo aquí unos hilos de hace poco:

Sobre socialización de repartos, que te permiten indagar en el orden, comparación, densidad de los números racionales. Enlace
Aquí el hilo de la multiplicación de fracciones, desde el significado de medida. Enlace
Y aquí el de división de fracciones, desde la medida. Enlace

División de fracciones, unpacked

Tue, 22 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La división de fracciones. Unpacked.

Parece que solo hay dos opciones de «dar» o «ver» esto. Una, como el producto cruzado; otra, multiplicando por la inversa.

¡Mucho mejor lo de la inversa! Claro, te aprendes la regla de la multiplicación de fracciones, y dividir es lo mismo dando la vuelta a una de ellas.

¡Pero yo prefiero la otra! Es como cuando miro si las dos fracciones son iguales, que se hace el producto cruzado. Déjate de inversas, ¿qué es eso de invertir?

He puesto comillas en dar y ver. Esto ni se da ni se ve, se hace, y mientras se hace, se reflexiona y se le da significado. De lo contrario, para ponernos a aplicar una regla que es magia, hay un atajo excelente que se llama calculadora.

Vamos a la faena. Aviso que conceptualmente es más complicado que el de la multiplicación. Por eso, sugiero haber visto este hilo antes de seguir, pero esto es como elige tu propia aventura.

Caso en que dos fracciones que representan cantidades de magnitud y que multiplicadas dan una cantidad de una nueva magnitud. Por ejemplo, el área de un rectángulo conocidos los lados (multiplico los lados, longitudes, para hallar el área).

Entonces, si conocemos el área y uno de los lados, veríamos que tenemos que dividir. Un ejemplo con números enteros: «Un rectángulo tiene área 15 u2 y uno de sus lados mide 5 u, ¿cuánto mide el otro?» Lo que sea, pero multiplicado por 5 tiene que dar 15.

Aquí, por tanto, la división tiene sentido combinatorio. Con fracciones: «Si tenemos un rectángulo de área 3/4 m2 y uno de los lados mide 7/5 m, ¿cuánto mide el otro?» Observemos que ahora nuestras unidades son metros y metros cuadrados (en genérico, antes las he llamado $u$ y $u^2$).

¿Tiene sentido aquí pensar en cuántas veces cabe el 7/5 en 3/4? ¿Tiene sentido aquí pensar en multiplicar la una por la inversa de la otra? ¿Qué significaría en este contexto 5/7m^-1 o 4/3 m^-2? 🤷🏻‍♂️.

Me construyo el lado conocido (7/5 m). He elegido una fracción impropia (pobrecitas) para que quede claro cómo se construyen. Comienzo con la unidad.

La divido en 5 partes iguales para tener quintos de metro.

Y añado dos más para tener los 7/5 m.

Me construyo un rectángulo de área 3/4 m2. Para ello, primero me construyo la unidad de área, el metro cuadrado.

Lo divido en cuatro para tener cuartos de metro cuadrado, y tres de ellas serán los tres cuartos de metro cuadrado. En rojo, a la derecha, he comenzado a dibujar el lado desconocido.

Esa misma área, la puedo expresar en veinteavos de metro cuadrado.

Y ahora lo que voy a hacer es recomponer ese área de 3/4 de metro cuadrado para formar un rectángulo que tenga como lado 7/5 de metro. Puedo mover cuatro de los veinteavos de metro cuadrado así, y me queda el azulito.

Tendré que repartir ese azulito a lo largo de todo el “ancho” del rectángulo. Por lo tanto, lo tengo que dividir en 7. Observemos las divisiones en el lado desconocido.

Y ya hemos resuelto el problema. El lado desconocido mide 15/28 m (7/28 + 7/28 +1/28). Esto responde a: 3/4 m2 : 7/5 m = 15/28 m

El denominador del resultado, 4x7, representa las subdivisiones que hemos tenido que hacer en el lado desconocido que queremos medir. Cada subunidad inicial, 1/4 m, se ha subdividido en 7 partes iguales, lo que da lugar a subunidades de tamaño 1/28 m.

El numerador, 3x5, se obtiene al buscar cuántas de estas subunidades de tamaño 1/28 deben aparecer en el lado buscado. Le acabamos de dar significado a la regla del producto cruzado para la división.

¿Vamos a por otro? Recordemos el caso de la multiplicación de fracciones, en que una fracción representa una cantidad de magnitud y la otra es un operador que la modifica. Ejemplo: «Hemos comprado 3/4 de 7/5 kg de harina».

Para hacer 3/4 de 7/5 kg ya vimos en el de la multiplicación que podíamos dividir primero entre cuatro y luego triplicar (tres cuartos de…) o triplicar primero y dividir luego entre cuatro (un cuarto del triple de…). En cualquier caso, 21/20 kg.

¿Qué ocurre si a 21/20 kg le aplico el operador inverso? Es decir, si antes he dividido entre 4 y luego he triplicado, ¿qué pasa si divido entre 3 los 21/20 kg y luego los cuadruplico?

Efectivamente, se obtiene la cantidad inicial. Aplicar el operador inverso (4/3 en lugar de 3/4) es lo mismo que, en sentido combinatorio, dividir los 21/20 kg entre la fracción del operador inicial.

Lo de antes podría responder a un enunciado de este tipo: «Hemos comprado 3/4 de un saquete de harina, y al irlo a pesar eso eran 21/20 kg. ¿Cuánto pesaba el saquete de harina».

Bueno pues si el saquete lo hemos dividido en cuartos y hemos cogido tres, ahora hago tercios de la cantidad que tengo y tomo cuatro. Le hemos dado sentido al operador inverso. Nótese que en el ejemplo del rectángulo no podíamos dar sentido a la fracción inversa.

Incido en el uso de magnitudes continuas porque todo esto con magnitudes discretas no tendría sentido. Se ha de poder fraccionar todo lo que queramos. Si hablamos de bolis, vacas o cualquier otro objeto no fraccionable (y hablo de vacas vivas), no tiene sentido la división.

Seguimos, que esto todavía no ha acabado. Tampoco voy a abordar exhaustivamente todo lo que quedaría, pero recuperemos la idea de división. La división no siempre indica reparto. Su significado como agrupamiento es algo que suele pasarse por alto. ¿Qué diferencia hay?

Comparad los enunciados «Tenemos 15 tortas y queremos repartirlas entre 5 personas, ¿cuántas tocan a cada una?» y «Tenemos 15 tortas y quiero hacer paquetes de 5 tortas. ¿Cuántos paquetes podré hacer?»

Efectivamente, ambos son 15:5, pero en el primero hacemos una división con significado de reparto (3 tortas por persona), mientras que el segundo es con significado de agrupación (3 paquetes de 5 tortas).

Vamos con las fracciones. Consideremos el contexto de las tortas (el gastronómico, no el pugilístico): «Tenemos una torta de 1/2 kg y quiero hacer trozos de 1/8 de kg. ¿Cuántos trozos podré hacer?»

Conecta con el significado de agrupamiento, ya que puede interpretarse como «¿Cuántos grupos de 1/8 kg puedo hacer con 1/2 kg?». Pero también con la medida: «Tengo una cantidad de 1/2 kg (expresada en fracciones de kg) y quiero medirla en porciones (nueva unidad) de 1/8 kg».

Sí, enlaza con la idea de «ver cuántas veces cabe el 1/8 en 1/2». Pero ojo, si lo hubiese planteado al revés, qué. ¿Cómo daría sentido a ver cuántas veces cabe el 1/2 en 1/8? La medida, de nuevo, permite abordar esto, porque simplemente se trataría de medir 1/8u con 1/2u. Es 1/4.

Es normal que el alumnado no perciba las fracciones como números. Trabajar las fracciones priorizando el parte-todo conlleva este y otros obstáculos. El modelo de medida, con las fracciones representando cantidades de magnitud, incide en las propiedades de los racionales.

Nos dejamos para otra ocasión el significado de razón, que también permitiría abordar la división de fracciones.

Como siempre, para ampliar. Sobre los obstáculos del parte-todo: aquí.

Y decir que estas cositas vienen abordadas de forma exhaustiva en el «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho de la Editorial Síntesis.

Me dejo guardado aquí el applet de @alegallardo28, que puede dar mucho juego si se discute lo que ocurre en torno a la medida.

Comparación y orden de fracciones, unpacked

Mon, 21 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Comparación y orden de fracciones. Unpacked.

Esto comenzaba con una pregunta.

¿Qué te sugiere esto de aquí?

A la cosita de arriba se le puede dar sentido desde el significado de reparto. Pero si recordáis, ayer vimos la multiplicación de fracciones desde el significado, o modelo, de medida. Ambos están relacionados, y no es que tengamos que decantarnos por uno o por otro.

En el de medida, lo de arriba (numerador) es el número de subunidades que necesitamos para medir una cantidad de magnitud. Lo de abajo (denominador), indica las partes iguales en que hemos dividido la unidad para hacer mi subunidad.

En el de reparto, el numerador son los objetos a repartir, mientras que el denominador son los participantes en el reparto, el cual ha de ser equitativo. Es decir, todos los participantes reciben la misma cantidad.

¿Cuál de estas fracciones es mayor?

Desde la medida, ambas representan cantidades de magnitud. Las dos utilizan subunidades del mismo tamaño, quintos de unidad. Es mayor 7/5 porque he tomado 7 subunidades en lugar de 6. Gráficamente, queda muy claro.

Desde el reparto. 7/5 representa la cantidad de, por ejemplo, tortilla que recibe cada participante en un reparto de 7 tortillas para 5 personas. En el otro reparto hay menos tortillas y son las mismas personas. Por lo tanto, 7/5 es mayor, porque reciben más cantidad.

Una diferencia entre el modelo de medida y el de reparto es que el primero hace referencia a acciones físicas (particionar la unidad, tomar tantas subunidades, etc.), mientras que el de reparto suele ser siempre más evocado.

Vamos con estas. Muchos alumnos van directos a hacer común denominador. ¿Really?

Desde la medida. En ambas fracciones tengo el mismo número de subunidades. Pero en una he dividido la unidad en 5 para hacer mi subunidad, y en la otra en 6. Son mayores los quintos porque he dividido mi unidad en menos partes iguales. Por lo tanto, es mayor 7/5.

Gráficamente también se ve muy bien. En verde, remarco la unidad de medida (ver hilo de la multiplicación unpacked).

Desde el reparto. En ambos repartos estoy repartiendo el mismo número de tortillas. Lo que ocurre, es que en uno hay 5 participantes y en otro hay 6. Reciben más cantidad los que participan en el 7 para 5.

¿Y si estamos en este caso? ¿Cuál será mayor? ¿Común denominador y nos lo quitamos de encima? Vamos a ver qué opciones tenemos.

Desde la medida, podríamos ver que ambas son un poquito mayores que media unidad. También, que a la primera le faltan 3/7 para la unidad y a la segunda 2/5. En fin, no sé, la primera son más subunidades pero más pequeñas.

Y gráficamente, o lo hago con precisión o con alguna aplicación o no está claro. Desde luego, con mis dibujines no salimos de dudas. ¿Lo hacemos con una app y ya? No. Mejor poner sobre la mesa que no está claro.

Tenemos que echar cuentas. Desde la medida podemos tratar de igualar el número de subunidades o igualar el tamaño de estas. Empecemos por el procedimiento más familiar: igualar el tamaño de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 20/35 u. Lo único que he hecho es tomar 5 veces más subunidades, las cuales son 5 veces más pequeñas (he partido en 5 los séptimos). 3/5 expresa la misma cantidad que 21/35. Por lo tanto, 3/5 es mayor. Sí, esto es común denominador.

Pero si os fijáis no hablo de numerador y denominador (que solo indican una posición en la notación, arriba y abajo), hablo en términos de medida. Y bueno, la equivalencia se habrá trabajado previamente. Vamos a hacerlo ahora igualando el número de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/21, mientras que 3/5 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/20. Al dividir la unidad en 20 partes iguales obtengo subunidades que son mayores que los que resultan al dividirla en 21. Por lo tanto, 3/5 es mayor.

Desde el reparto. También de dos maneras, puedo igualar el número de objetos a repartir o el número de participantes.

Igualo el nº de participantes. El reparto 4 para 7 es equivalente al 20/35, pues los participantes reciben la misma cantidad. Vamos, que hay 5 veces más tortillas y estamos 5 veces más personas. El 3/5 es equivalente al 21 para 35. Comeremos más en el 21 para 35. 3/5 es mayor.

Igualo el nº de tortillas. El reparto 4/7 es equivalente al 12/21, ya que hay el triple de tortillas y somos el triple de personas. Por lo mismo, el 3/5 es equivalente al 12/20. Comemos más en el 12/20, pues hay el mismo nº de tortillas, pero hay una persona menos. 3/5 es mayor.

Perdón por dejar la pregunta gancho para el final. Vamos con esto de aquí. Claro, no puse suma ni nada. Solo preguntaba que qué sugería. En el hilo de ayer hubo quien decía que le sugería un error muy común al tratar de sumar fracciones.

Estos errores, dificultades específicas aparte, suelen tener su origen en que no disponen de un modelo sobre el cual reconstruir lo que está pasando. Se aprenden unas reglas formales y ya. Si eres espabilado, pues vale. Si no, pues mal. Y en cualquier caso, es hacer malabares.

Desde el modelo de reparto, ¿qué significado tiene hacer (4+3)/(7+5)?

Antes de seguir, trata de imaginarlo.

En efecto, es un nuevo reparto en el que juntamos las tortillas de los dos repartos originales (pasamos a tener 7 tortillas) y juntamos los participantes (pasamos a estar 12).

Imaginaros que en una fiesta de cumpleaños, en la sala A, están los del 4/7. Y en la sala B, están los del 3/5. Ya sabemos, por lo de antes, que a los de la sala B les toca más tortilla.

Pero oye, resulta que se conocen y deciden juntarse. ¿Quién sale mejor parado en el nuevo reparto?

Los de la sala A, que tocaban a menos, ahora recibirán más cantidad de tortilla. Mientras que los de la sala B, que tocaban a más, recibirán menos cantidad. Es lo que tiene la socialización.

El reparto socializado está entre medias de los dos originales. Por eso, 7/12 es una fracción intermedia entre el 4/7 y el 3/5. Y si quiero buscar más fracciones intermedias, no tengo más que repetir el proceso. Por ejemplo, 11/19 es mayor que 4/7 y menor que 7/12.

Para encontrar fracciones intermedias, tanto desde el modelo de medida como en el de reparto, habríamos podido amplificar. Es otra técnica. Resumo. Ya sabemos que 4/7 es equivalente a 20/35 y que 3/5 lo es a 21/35. La primera a su vez es equivalente a 200/350 y la otra a 210/350.

De ahí podemos sacar varias fracciones intermedias.

Por el camino, además, está la idea de densidad de los números racionales. El significado parte-todo no permite lo esencial, que debería ser asumir que estamos ante un nuevo conjunto numérico.

Todo esto está desarrollado en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Estas cosas las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en FacultadEducaUZ.

Vuelvo a etiquetarlo con #cosicasdeDAII para que lo encuentren mis alumnos.

Multiplicación de fracciones, unpacked

Thu, 03 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La multiplicación de fracciones. Unpacked.

Lo voy a contar desde el modelo de medida. Y voy a empezar por la multiplicación de un número natural por una fracción, donde esta representa una cantidad de magnitud.

De esta manera, esta operación responde a enunciados donde se agregan cantidades de magnitud. Por ejemplo, 5 botellas de 4/3 de litro.

Ese 4/3 u son 4 subunidades de tamaño 1/3 u. En este caso hablamos de cuatro tercios de litro. Sí, vale, sé que sois mayores y os podéis inventar un enunciado más contextualizado. Como son 5 botellas, podría hacer 4/3+4/3+4/3+4/3+4/3.

Al fin y al cabo, ¿cuántas subunidades tendría ahora? Efectivamente, 5 veces 4 subunidades de tamaño 1/3 u son 20 subunidades de tamaño 1/3 u. En resumen, veinte tercios. Vamos a hacerlo gráficamente de manera que este discurso se alinee con los gráficos.

Primero representamos la unidad de medida (nuestra u, que en el ejemplo es un litro).

Pablo, has dibujado un rectángulo. Sin regla ni nada. Te habrás quedado ancho, ¿no? Pues es que es fundamental empezar representando la cantidad de magnitud, y para ello tiene que quedar clara cuál es la unidad de medida.

Seguimos. Como en el ejemplo estamos hablando de tercios de unidad, dividido la unidad en tres partes iguales.

Y luego, añado el tercio que me falta para hacer 4/3 u. Es decir, mis 4/3 de litro del ejemplo.

Ahora ya solo tengo que hacer 5 de estos. Y ya tengo unos gráficos que se alinean con lo que he dicho antes. ¿Cuántas subunidades hay ahí? ¿De qué tamaño? Efectivamente, 20 de tamaño 1/3u. 20/3 u. Pd. Sí, me he salido de la «pizarra».

He utilizado una fracción «impropia» para ilustrar que, mediante el significado de medida, aparecen de forma natural. Si me seguís, sabréis que no me gusta insultar a las fracciones con peyorativos de este calibre. Pobrecitas.

¿Acaso nos ha hecho falta poner un «partido por uno» para hacer esto? Pero es que ese uno es una ayuda… Una ayuda, ¿para qué exactamente?

Vamos con la división de una fracción por un número natural. Porque nos va a hacer falta antes de ir a la multiplicación de fracciones. Responde a enunciados del tipo «tenemos 4/3 de litro de agua y la repartimos de forma equitativa en 6 vasos, ¿cuánta agua toca en cada vaso?»

Si habéis estado atentos, ya sabéis cómo representar 4/3 de litro. Un método consiste en dividir cada subunidad en 6, cosa que se ilustra en este dibujo y que se corresponde con estas operaciones. ¿Qué tamaño tiene ese rectangulito gris?

Efectivamente, 1/18 u. Y aquí radica la importancia de tener clara cuál es la unidad de medida. ¿Alguien había pensado 1/24 u?

Finalmente, solo queda coger 4 de esos 1/18 u.

Segundo método. ¿Se podría haber hecho sin pasar por los dieciochoavos? No te hagas spoiler y piénsalo.

En el primer método hemos dividido el tamaño de subunidad por 6, de forma que a cada uno le tocan 4 de esos nuevos trocitos. Pero podíamos haber tratado de repartir el número de subunidades. No podemos repartir 4 subunidades de forma entera entre 6, así que amplifico.

Así tengo expresada la misma cantidad de magnitud en novenos. Y claro, 12 novenos sí que puedo repartirlos entre 6. Tocan a 2 novenos.

Cuando multiplicamos dos fracciones, pensando desde el modelo de medida, estas pueden tener dos significados: como operador y como cantidad de magnitud.

Caso 1. Una de ellas actúa como operador. Responde a enunciados del tipo «nos hemos comido 3/2 de 5/4 de kg de merluza, ¿cuánta merluza hemos comido?». El 3/2 es operador y el 5/4 es cantidad de magnitud.

Aclaración. Propongo 3/2 x 5/4 kg buscando que sean ambas impropias, que es el caso más llamativo. Pensemos que van en paquetes de 5/4 kg y que nos hemos comido tres medios.

El resultado va a ser otra cantidad de la misma magnitud que el 5/4. En este caso, masa o peso. Vamos a resolverlo de forma gráfica. Me salto los pasos que ya conocéis y represento los 5/4 kg.

Mostraré a la vez el discurso aritmético y el gráfico. Igual que antes, hay dos maneras de hacerlo.

El operador puede actuar primero disminuyendo y luego aumentando, o al revés. Pensemos en nuestro 3/2. Puedo disminuir dos veces la cantidad inicial y luego aumentarla tres veces (hacer la mitad y triplicar)

Represento la unidad (que resalto en verde fosfi), después construyo el 5/4 kg, y lo divido por la mitad. ¿Qué tamaño tiene el rectangulito gris? Recuerdo: son subunidades de kg.

Eso es, se trata de octavos de kg. Solo falta triplicar esa cantidad para construir el 3/2 de 5/4 kg. ¿Qué cantidad representa? 15 subunidades de tamaño 1/8 de kg. 15/8 kg.

La segunda manera consiste en aumentar tres veces la cantidad inicial y luego disminuirla dos veces (triplicar y luego hacer la mitad). La triplico.

Y luego la divido entre dos. Aquí tengo dos opciones, por la línea de puntos o a lo largo, relacionándose cada una de las opciones con lo que he comentado antes al dividir una fracción por un número natural.

No hay muchos applets que aborden esto desde la medida. Casi todos lo hacen desde el parte-todo, que para esto tiene limitaciones evidentes (¿hola impropias?). Os dejo el que preparó en GeoGebra nuestro compañero de @FacultadEducaUZ, Alberto Arnal.

Pero, ¿qué ocurre cuando multiplicamos dos fracciones en las que ambas son cantidades de magnitud? Pues que el resultado será una cantidad de OTRA magnitud. Por ejemplo, «cuál es el área de un rectángulo de lados 3/2m y 5/4 m».

Me empiezo representando esas cantidades de longitud. Esto es el 5/4 m.

Y esto es el 5/4 m y el 3/2 m.

El rectángulo de lados 5/4 m y 3/2 m, con la unidad de medida en que quiero expresar su área (metro cuadrado).

¿Cuánto miden cada uno de esos rectangulines? ¿En cuántos ha quedado dividida la unidad de área? ¿Cuántos de esos he tenido que usar para recubrir el rectángulo original?

Ahí tenéis el 15/8 de metro cuadrado. Necesito 15 subunidades de tamaño un octavo de metro cuadrado.

La división de fracciones es algo más compleja. Sin embargo, y a pesar de que el campo de problemas aumenta, aquí en el hilo están los elementos necesarios. Nos emplazamos para otro momento.

Eso sí, trabajar el significado de medida no es llegar y pum. Hay que articular todo un discurso basado en ciertas acciones físicas con diferentes magnitudes.

Y otro día puedo contar lo mismo desde el significado de reparto. En fin, cosas tontas que se ven en las facultades de educación. Aprovecho para etiquetar esto con #cosicasdeDAII, a modo de síntesis para el alumnado de @FacultadEducaUZ

Si quieres más lectura sobre esto de la medida y las fracciones para la merienda o el desayuno de mañana: enlace a obstáculos del parte-todo.

Recursos interesantes sobre medida: los materiales que prepararon @SergioMJGR y @auroradp64 para trabajar las fracciones desde el modelo de medida en ESO (adaptable a Primaria, claro): enlace.

Y sobre medida directa de áreas: enlace.

Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz. En P. Usán y C. Salavera (Coords.), Gamificación Educativa, Innovación en el aula para potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje (pp. 257-266). Pregunta Ediciones.

Se trata de una versión ampliada de Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una de estimación en clase de Matemáticas con arroz [Entrada de blog]. Blog de experiencias de aula. Formación del profesorado (DGA). Disponible en http://dgafprofesorado.catedu.es/

Análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad en un libro de texto de primaria con herramientas del enfoque ontosemiótico

Wed, 01 Apr 2020 00:00:00 +0000

Abstract

The textbook is a widely used resource in the practice of teaching and, consequently, is a subject of educational research considered from various theoretical perspectives. In this paper, we apply the theoretical tools from the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction to perform the didactical analysis of a lesson on proportionality for elementary school (sixth grade; 11-12 years old). The selected lesson allows us to reflect on the instructional process planned by the textbook authors as a means to achieve the students’ learning. The following questions guide the textbook analysis: 1) What is the degree of didactical suitability of the planned instructional process? 2) How should we manage the use of the textbook to increase the process suitability? The method of analysis implemented allows us to obtain the didactic-mathematical knowledge that may help the teacher in making decisions about the textbook possibilities and limitations, when assuming the sociocultural postulates for mathematical learning.

Cítese como:

Burgos, M., Castillo, M. J., Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Godino, J. D. (2020). Análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad en un libro de texto de primaria con herramientas del enfoque ontosemiótico. Bolema - Mathematics Education Bulletin, 34(66), 40–68. https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n66a03

La sección del NY Times sobre gráficos: What's going on in this graph?

Fri, 13 Mar 2020 00:00:00 +0000

Hoy hemos comentado esta gráfica sobre el coronavirus (COVID-19) de la sección What’s going on in this graph? del @nytimes, en 1º y 2º ESO. Enlace aquí

Ha dado para un rato majo. En la misma página dan ideas para fomentar la discusión. Ha resultado interesante ver qué significaba cada eje, hablar del porqué de ese rectángulo para el COVID-19, etc.

Nos ha pillado viendo proporcionalidad, así que contento también con que haya salido que el eje vertical “no es proporcional”.

Es muy recomendable echar un ojo a la sección, que como actividad de calentamiento dan mucho juego.

También tienen lesson plans específicos para matemáticas.

Hablemos sobre este triángulo para la velocidad, espacio y tiempo

Mon, 02 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

¿Os apetece hablar de esto de aquí?

Me da igual si es para velocidad, espacio, tiempo o para la ley de Ohm. Aquí tenéis la versión óhmica y la representación pictórica de lo que seguramente esté ocurriendo en la mente de ese alumno que “necesita” usar esto.

Yo la descubrí de mano de un alumno hace ya unos años.

Mira Pablo, si es más fácil así. Pim, pam, pum.

Para los que no sepáis de qué va el triangulillo este, es una regla para despejar velocidad, espacio, tiempo en v=e/t. Tapas la de la izquierda y operas con lo que te queda.

Una bonita reflexión es pensar con qué queremos que se quede un alumno que parezca que necesita ese triángulo. Estamos un poco en lo de siempre, llevado al extremo. ¿Queremos un aprendizaje profundo, relacional…? ¿O queremos un aprendizaje instrumental?

Claro, si luego los problemas no son problemas, sino que son ejercicios para identificar v, e, t y luego operar, la regla esa funciona a tope. Mejor me lo ponéis con la ley de Ohm. Me imagino que interesa conocer la relación de proporcionalidad que hay entre esas magnitudes…

Si un alumno no puede razonar que si en cada hora recorro el mismo número de kilómetros, y he recorrido 12 km en dos horas, la velocidad es 6 km/h, no veo qué le va a solucionar el triángulo. Ah, sí, aprobar el examen y disimular que estamos haciendo matemáticas (o fyq).

Estáis diciendo algunos que un problema es que se equivoquen a la hora de poner las letras. Para mí el principal problema es que se anulan razonamientos como el del tuit anterior.

También me gustaría saber si a alguien que fomenta o no le importa el uso del uno en los denominadores o la regla de tres, fomenta o no le importan además este tipo de reglas. O por el contrario, lo otro sí o meh, y con esto 😱.

Hablemos sobre el uno de los denominadores

Fri, 28 Feb 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

Algún día también tendremos que hablar sobre este uno de aquí.

No pensaba yo tocar tanta fibra sensible con este tema, pero ha quedado una bonita discusión. Ese uno, ¡ay!, ese uno… Voy a intentar sintetizar en un pequeño hilo mi perspectiva aludiendo a alguna de las respuestas al tuit original.

Podemos pensar que es correcto formalmente y que no hace daño, que no molesta. Pero si fomentamos su uso estamos claudicando ante unas matemáticas muy de mecanizar. En mi opinión, y espero que en la de alguien más, unas matemáticas pobres.

Podemos pensar, como apunta alguien por aquí, que es hilar muy fino y que hay cosas más urgentes. No lo veo yo así. Esto forma parte de una visión de las matemáticas poco ligada a la comprensión. Viene a indicar que ese alumno apenas tiene sentido numérico.

Pero es que hay quien ha mencionado que ese uno, precisamente, indica comprensión. Que es el primer paso para hacer común denominador.

A lo mejor lo que toca es replantearse el papel que deben jugar los algoritmos en la educación matemática. Llegará un momento, y ya os digo que como muy tarde será en la EvAU, que todas esas cuentas las harán con calculadora. Así que, ¿qué poso debe dejar el trabajo anterior?

No estoy diciendo que no se hayan de ver algoritmos, sino que hoy en día, más que nunca, deberíamos tener claro que han de servir, como un elemento más, en el desarrollo de la comprensión y, en este caso, del sentido numérico.

Si quiero sumar fracciones, usar el “procedimiento de común denominador” es solo una de las maneras posibles. Poner ese uno de entrada anula considerar cualquier otra de las opciones. Así que no, no es el primer paso. Y mucho menos denota comprensión, por ahí no paso.

A veces, basta con amplificar fracciones. Otras, con simplificar. Sí, el método del común denominador sirve siempre, ya. Por cierto, cuando en clase pregunto por cómo se multiplicaban las fracciones (1º o 2º de ESO), casi todos dicen que en cruz. 🤦‍♂️ 🤦‍♀️

Otros dudan, y solo alguno asevera que es el de arriba con el de arriba y del de abajo con el de abajo. Y nadie te sabe argumentar mínimamente por qué. Lo de poner el uno para sumas de naturales y fracciones, mano de santo.

¿De qué ha servido entonces todo el tiempo que se ha dedicado en cursos anteriores a “Venga, numerador con numerador y denominador con denominador, ahora vosotros.”? ¿Qué se ha quedado en la mochila de esos alumnos?

¿Quitamos ese uno y ya? Como también han dicho por aquí, un alumno puede aprender la regla de que para sumar $3+\cfrac{1}{5}$ se puede hacer $3\cdot 5+1$, que es $16$, y decir $\cfrac{16}{5}$. Puestos a aplicar una regla, es más eficiente esta para hacerlo mentalmente.

No, si quitamos ese uno tenemos que estar dispuestos a cambiar nuestro discurso en torno a las fracciones. Es más, si quitamos ese uno, puede que sea el primer paso hacia unas matemáticas más ricas.

No es quitarlo y ya. Una fracción puede tener diferentes significados. Puede representar una parte de un todo, un proceso de medida, un reparto (cociente), una razón, etc. En el caso de la medida, el denominador ya no es solo lo que está debajo de la rayita.

Indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. Y el numerador no es ya lo que está encima de la rayita. Es el número esas partes iguales que se necesitan tomar para medir una cantidad de magnitud.

Y esa tontería cambia radicalmente todo el lenguaje que acompaña al aprendizaje de las fracciones. Que sí, las vamos a sumar, las vamos a restar, comparar, multiplicar y dividir. Sobre todo, vamos a aprender sobre ellas a través de situaciones y problemas.

Por otro lado, qué interesante es el dominio afectivo y cómo influye en nuestra práctica docente. En las respuestas se ha venido a constatar que entre los docentes de matemáticas hay diferentes sistemas de creencias hacia lo que es la matemática en sí.

Desde luego, no me creo poseedor de la definición absoluta de lo que es la matemática, ¡faltaría más! Así que no puedo dar una respuesta categórica a si está “bien” poner ese uno o no. Depende de nuestra visión de las matemáticas y de lo que pretendamos que aprenda el alumnado.

Inventamos un problema sobre fracciones desde el modelo de medida y lo resolvemos de dos formas

Wed, 05 Feb 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estoy terminando de corregir el examen de magisterio de primaria (Didáctica de la Aritmética II). En una pregunta, se pide inventar un problema desde el modelo de medida que se resuelva con $\cfrac{3}{4} : 6$. Después, resolverlo de dos maneras. Una, pasando por $\cfrac{1}{24}$, y otra, sin pasar.

Un enunciado adecuado sería:

“Tengo una jarra con $3/4$ litro de leche en la nevera y me la bebo a lo largo de seis días. ¿Cuánta leche bebo cada día si cada día tomo la misma cantidad?”

Es adecuado, la fracción está en un contexto se medida, hay una magnitud muy clara (capacidad) con unas unidades (litros). Y se pregunta por una cantidad de magnitud. Tecnicismos que darían lugar para otro hilo. Centrémonos en el problema: ¿sabes resolverlo de las dos maneras?

Además de lo ricas que son estas tareas de inventar problemas, es una competencia necesaria en los futuros docentes de cualquier nivel. No sigas leyendo. Ahora, resuelve la operación $\cfrac{3}{4} : 6$, pasando por los veinticuatroavos (de litro) y sin pasar por ellos.

¿Ya lo tienes? Bien. Casi nadie ha tenido problemas en hacerlo pasando por $\cfrac{1}{24}$. Claro, si ves que es una división, y te acuerdas del truco de poner un uno debajo del 6 y que esto va en cruz… $\cfrac{3}{24} : 6 = \cfrac{3}{24}$ de litro. Que si lo simplificas (no todos lo hacen), da $\cfrac{1}{8}$ de litro.

Me alegra ver que bastantes alumnos de los que venían habitualmente a clase han desarrollado un poquito su sentido numérico para encontrar la forma de evitar los veinticuatroavos.

Pista. Un niño de primaria que no sepa “dividir” fracciones por un número natural, pero con sentido numérico, es capaz de resolverlo. Basta saber que un cuarto son dos octavos. Inténtalo.

Porque entonces los tres cuartos se convierten en seis octavos de litro. Que tomados a lo largo de seis días, tocan a un octavo de litro por día.

Y he preferido escribir el discurso de palabra, porque así es de lo más tonto. Pero es un ejemplo de uso del sentido numérico. Y muestra la potencia y la necesidad de realizar actividades y tareas de medida con diferentes magnitudes en primaria.

La cuestión de la idoneidad de los vídeos educativos de matemáticas: una experiencia de análisis con futuros maestros de educación primaria | The issue of didactical suitability in mathematics educational videos: experience of analysis with prospective primary school teachers

Fri, 10 Jan 2020 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español.

La cuestión de la idoneidad de los vídeos educativos de matemáticas: una experiencia de análisis con futuros maestros de educación primaria

Resumen

La cantidad de vídeos educativos disponibles en Internet sobre los más variados temas está aumentando a un ritmo acelerado. Así, nos encontramos vídeos de matemáticas que cubren prácticamente cualquier tópico curricular, aunque su calidad como recurso didáctico es muy desigual. En consecuencia, es necesario proporcionar a los profesores herramientas que les permitan analizar la pertinencia del uso de estos vídeos, teniendo en cuenta los diversos aspectos implicados. En este trabajo se describe el diseño, implementación y resultados de una acción formativa con 93 futuros maestros de educación primaria, orientada al desarrollo de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de vídeos sobre proporcionalidad. El análisis a priori del vídeo reveló errores e imprecisiones significativas en las definiciones, proposiciones y procedimientos, así como carencias o inexactitudes en los argumentos, por lo que el nivel de idoneidad epistémica se valora como media. Sin embargo, la mayoría de los futuros docentes valoraron su grado de idoneidad como alto en casi todos los componentes. Los estudiantes consideran positivo el estudio de la idoneidad didáctica y su implementación a través de componentes e indicadores, considerando que esta actividad facilita la reflexión profesional. No obstante, el dominio de esta herramienta requiere incrementar el número y variedad de vídeos para analizar y mayor discusión colectiva de los resultados de los análisis que realizan los estudiantes.

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2020). La cuestión de la idoneidad de los vídeos educativos de matemáticas: una experiencia de análisis con futuros maestros de educación primaria | The issue of didactical suitability in mathematics educational videos: experience of analysis with prospective primary school teachers. Revista Española de Pedagogía, 78(275), 27-49. doi: https://doi.org/10.22550/REP78-1-2020-07

Algunas limitaciones del modelo parte-todo (tarta) a tener en cuenta

Sun, 08 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

El significado parte-todo del número racional positivo no tiene un origen histórico natural. Vale, permite introducir de forma inmediata la representación fraccionaria, pero provoca graves limitaciones de comprensión. Vamos con #DidMatCita de Escolano (2007) e hilo.

Es evidente que toda génesis escolar de un tópico matemático es artificial y que no tiene por qué reproducir siempre el origen histórico, que puede utilizar constructos que hoy en día resultan extraños y complicados para nuestro alumnado. No es este el caso que nos ocupa.

Los modelos habituales utilizados ahora en la escuela para introducir los números racionales no solo son contradictorios con la historia de dichas nociones, sino que además no son una opción más económica desde el punto de vista didáctico, ni más cercana a las matemáticas de hoy.

Hoy nos centraremos en tres aspectos, creo, muy curiosos.

¿Cuándo surge el modelo parte-todo?
¿Por qué tiene un significado diferente al de medida?
¿Qué obstáculos genera?

Para responder, he seleccionado unos fragmentos de la propia tesis de Escolano.

«El origen de la enseñanza de la fracción con el significado parte-todo lo encontramos en la primera mitad del siglo XX, como consecuencia de la pérdida de la referencia del proceso de medida de cantidades de magnitud.»

Escolano se sirve de un libro de Edelvives de 1934 para ejemplificar el tránsito de la utilización de modelos de medida aparente al de relación parte-todo. Esto pudo venir de la mejora en las técnicas de impresión de libros, que pasan a incluir gráficos.

El caso es que en el período comprendido entre los años 1950 a 1970 la relación parte-todo se consolida como el método prioritario con el que se enseña la fracción. En 1962 se encuentra esta sugerencia en documentos oficiales de enseñanza:

«En los enunciados se habla de “representar”, que invita al escolar a aplicar un convenio previamente establecido; no sugiere la realización de acciones, físicas o mentales, que favorezcan el aprendizaje autónomo.»

¿Por qué tiene el parte-todo un significado diferenciado?

Hay autores que lo han relacionado con el de medida. Por ejemplo, Behr (1986) señalaba que “el subconstructo medida del número racional representa una reconceptualización de la noción parte-todo de la fracción”.

Escolano señala que no tiene significado de medida, tanto por las exigencias cognitivas que exige resolver los problemas de cada uno de los campos como por las ideas matemáticas implicadas en las respectivas estrategias de resolución.

Tampoco tiene significado de razón. Ese doble recuento en que se basa el parte-todo impide definir una nueva magnitud, aspecto crucial en este significado.

Y no tiene, tampoco, significado de:

Cociente partitivo. Porque no expresa el resultado de un reparto.
Operador.
Cociente indicado.

Escolano aporta razones para cada uno de estos casos, concluyendo que estamos ante otro significado. Más pobre.

Obstáculos que se generan y que serían evitables:

Se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas de la fracción.

No existen las fracciones impropias (esto ya lo apuntaba Freudenthal).
Las fracciones son números no medida.

Kieren (1992) señalaba que el conocimiento que construyen de la parte-todo es inflexible y difícil de aplicar a la amplia gama de situaciones que organiza el número racional.

El “todo” o unidad no es un número. No se explicita el sentido y funciones de la unidad.

Se obstaculiza la separación conceptual del número racional y del natural.

Como el parte-todo se basa en un doble recuento (uno para numerador y otro para denominador…), resulta que:

La fracción está formada por dos números naturales. No se entiende como un nuevo tipo de número.

Y los decimales tampoco. ¿No os suena lo de “Profe, creo que está mal, me sale decimal?”

Las relaciones y operaciones con números racionales tienen el mismo significado que en los números naturales. Y aquí no hay concepto de siguiente, sin ir más lejos.

Se obstaculiza la formación de ideas abstractas.

Los conceptos son las técnicas o procedimientos asociados a los mismos. Si siempre se usa la misma técnica, se confunde lo uno con lo otro.
Los contenidos útiles son los procedimentales. Se memoriza el algoritmo y… 🤦🏻‍♂️

Una propuesta

Para solucionar todo esto, se propone utilizar el modelo de medida y el modelo de reparto. Pero ya hablaremos más sobre el tema, que es apasionante. De momento…

Dejo enlace a la tesis de Rafael Escolano. Va con anexos. Y estos, con un pequeño tesoro: el material que se les dio a los alumnos

Los he puesto más de una vez. El libro «Números y algoritmos» (Gairín y Sancho) aborda también esta cuestión, para secundaria.

En este artículo, orientado a primaria (válido también como “secundarios”, se cuenta algo similar y está en abierto aquí

Referencias

Berh, M. J., Lesh, R., Post, T.R., & Silver, E. A. (1983). Rational number concepts. En Lesh & Landau (Eds.) Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 91-126). Academic Press, New York.

Escolano, R. (2007). Enseñanza del número racional positivo en Educación Primaria: un estudio desde modelos de medida y cociente. Tesis doctoral. Universidad de Zaragoza.

Kieren, T. E. (1992). Rational and fractional numbers as mathematical and personal knowledge: Implications for curriculum and instruction. Analysis of arithmetic for mathematics teaching, 323-371.

Vídeos de YouTube y educación matemática

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hace unos días estuve hablando sobre vídeos de YouTube y educación matemática en el Seminario de Didáctica de las Matemáticas del @iuma_unizar en @facultaeducaUZ. Me apetece resumir aquí lo que conté el día de la charla. #DidMatHilo

Los vídeos educativos alojados en plataformas online están en auge. Nuestros alumnos lo saben y acuden a ellos para ayudarse en el estudio. Como docentes, es un recurso que se usa cada vez más, con un papel central en algunas propuestas pedagógicas, como en el #flippedlearning.

En el seminario, partiendo del artículo recientemente publicado con @giacoss y María Burgos, nos centramos en el análisis de vídeos sobre algo muy concreto: los repartos directamente proporcionales. En España se ven en 2ºESO (13-14 años).

Elegimos algo tan específico para poder hacer un análisis fino, usando un conjunto adecuado de herramientas teóricas. Y entonces nos pusimos en el papel de un estudiante de 13-14 años que pone en el buscador de YouTube “repartos proporcionales”.

Y nos salieron un montón de resultados. Nos quedamos con los que tenían más de 1000 visitas y que eran directos, no inversos. Al final, la muestra consistió en 31 vídeos.

Cosas en que nos fijamos. Primero, en el nivel de algebrización del tipo de prácticas. Esto permite distinguir soluciones:

Aritméticas
Proto-algebraicas: razones y proporciones
Proto-algebraicas: valor perdido
Algebraicas: símbolos analíticos sin aludir al contexto

Que sea de un nivel u otro no implica que sea ni mejor ni peor. Simplemente, que se ponen en juego objetos con mayor o menor grado de abstracción. En 2ºESO el análisis de la bibliografía revela consenso en un enfoque aritmético, con ciertas conexiones al álgebra.

En la muestra de 31 vídeos encontramos soluciones:

Parte-todo (fracción como operador): 7 vídeos (23%).
Reducción a la unidad: 6 vídeos (19%).
Valor perdido: en 11 vídeos (35%).
Ecuaciones basadas en “k”: 10 vídeos (32%)

También entramos a analizar qué lenguajes se usan, en sentido amplio, encontrando lo siguiente (obviamente, lo normal es emplear varios tipos de lenguajes en un mismo vídeo, de ahí que la suma sea mayor que el 100%).

Esto es un ejemplo de uso del del registro simbólico-algebraico propio de nivel 3 (izquierda) y un ejemplo de representación diagramática (derecha).

Vale, hasta aquí lo que observamos es una diversidad de significados y lenguajes importante. Un estudiante puede encontrarse con vídeos que aporten significados poco adecuados a su nivel o que incluso interfieran con el proceso de negociación que plantee su profesor de aula.

Aquí ya podríamos subrayar la necesidad de que sea su docente de referencia el que seleccione los vídeos. O la importancia de adquirir un sentido crítico. Pero sigamos que la cosa se pone interesante cuando analizamos las reglas que se explicitan en estos vídeos.

Únicamente UNO de los vídeos de la muestra aporta una definición correcta de la situación: «Si una persona aporta el doble, le corresponde el doble en el reparto, etc.»

9 de los vídeos (29%) incurren en el error de definir este tipo de situación en términos aditivos, como aquella en la que el que ‘más’ aportó inicialmente, ‘más’ recibe: «Eso es reparto proporcional, entre que a más cooperes, mayor cantidad te tocará»

Y esto es MUY grave. Se asume que es una situación de proporcionalidad, sin exigir una condición de regularidad. Y se contribuye a crear lo que algunos autores llaman la ilusión de la linealidad.

Por supuesto, hay muchos vídeos que no identifican las magnitudes que intervienen ni sus unidades de medida.

En 4 vídeos (13%) hay errores en el tratamiento de las operaciones aritméticas y/o de las expresiones algebraicas y en 5 de los vídeos (16%) se observan otras imprecisiones o errores.

En cuanto a los argumentos. Muchos de los vídeos carecen de ellos. Y de los que hacen, por ejemplo, una comprobación, el argumento destinado a verificarla suele incluir una condición necesaria, pero no suficiente. Volvemos al “a mayor… más…”.

Y llegamos a las relaciones o conexiones entre los objetos matemáticos. Esos vídeos que son recetas, no aportan significado, no hay relación alguna entre objetos.

Únicamente 4 de los vídeos (13%) identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen; mientras que en 15 vídeos (48%) solamente se identifican a veces; y en 12 vídeos (39%), el profesor no lo hace nunca.

El significado de ‘k’ es el que menos se identifica. Ciertos vídeos hacen uso de los literales x, y o z, para simbolizar las cantidades desconocidas en el reparto, identifican a qué se refieren, pero posteriormente aparece ‘k’ y no se establece su significados

Conclusiones del estudio, pues que muchos vídeos de los vídeos tienen errores o imprecisiones, y que hay una diversidad de significados que a lo mejor no puede gestionar el estudiante.

Con todo esto, ponderamos la idoneidad de estos vídeos en cuanto al contenido matemático, viendo que los más idóneos (que los hay) no son los que más visitas reciben. Obviamente, la reducción a un simple número conlleva una pérdida de información, pero ahí queda la lista.

El artículo origen de todo esto está en la web de Cultura y Educación. Si alguien quiere una copia del completo, basta con que me escriba.

Una actividad de estimación con arroz

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estimación, necesidad de precisión en la medida, técnicas para estimar mejor, operaciones con naturales e iniciación a la proporcionalidad en mi grupo de 1ºESO de #Matemáticas. Solo con arroz, ¿qué más se puede pedir? Inspirado en este tweet:

Y todo, a través de la resolución de un problema. ¿Cuántos granos de arroz hay aquí? Trabajo por pequeños grupos (2, 3, o 4)

Estimación inicial (sin tocar el vasito).
Estimación con el vasito en la mesa.
Manos a la obra. Con discusiones de aula intercaladas.

Sí, al principio muchos grupos iban a contarlos de 5 en 5 o de 10 en 10. Con la idea de encontrar la cantidad “exacta”. Pero uno de los grupos ha acabado enseguida y los ha pillado por sorpresa.

-Claro, es que no nos interesa distinguir si son 2345 o 2357. Con saber que son, digamos, 2300 y pico, ya vale, ¿no? Redondeo a las centenas aquí.

El grupo tempranero ha tenido “suerte”. Han echado los granos sobre una de sus pizarras, que casualmente…

…tenía una cuadrícula la mar de maja. Se han dado cuenta de que bastaba ver cuántos cuadritos ocupaban 100 granos. Y a multiplicar. Proporcionalidad inside. Pero otros compañeros lo han tenido igual de cerca y no lo han visto de primeras.

Aquí tenemos como unidad de medida el puño de una de ellas (480 granos creo recordar). Buena idea, pero aquí entra en juego la precisión de la medida. Se ha ido por bastante de las demás.

Una pareja se ha ido a un razonamiento multiplicativo (proporcional) pero a través de la altura que ocupan los granos de arroz. Si en 1/2 cm caben estos, en 3,5 cm, 7 veces más. Veo caras raras 🤨.

Buena idea, pero aquí hay un error bastante grave, ¿no?

Y oye, que me han dicho que claro, el vasito es más estrecho por abajo. Ha habido otras estrategias, pero esencialmente son estas. Al final, preguntan “¿pero cuántos hay?”

Pongámonos de acuerdo. Son todas muy parecidas menos una (la de los puñados). ¿Hacemos la media?

Así nos han salido unos 2380 granos. Muy alejados de los 100, 400,… o 3000 y pico que ha dicho alguno. Acabando. Lo bueno de esta actividad es que su valor no se queda en el día de hoy.

Porque, cuando toquemos la cuestión de la proporcionalidad, tenemos ya trabajados un contexto y unas acciones a las que referirnos. Y eso es muy, pero que muy importante. ¡Un saludo y #felizclase!

Cognitive analysis on prospective mathematics teachers' reasoning using area and tree diagrams

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2019). Cognitive analysis on prospective mathematics teachers’ reasoning using area and tree diagrams. International Journal of Innovation in Science and Mathematics Education, 27(2), 18-32.

Onto-Semiotic Analysis of a Lesson on Percentages

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P, Giacomone, B, & Godino, J. D. (2019) Ontosemiotic analysis of a lesson on percentages. INTED2019 Proceedings, pp. 1524-1533.

Using video-based methods to teach rational number to prospective primary school teachers

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Julve-Tiestos, C., Arnal-Bailera, A., Beltrán-Pellicer, P., & González, A. (2019). Using video-based methods to teach rational number to prospective primary school teachers. En International Conference NEW PERSPECTIVES IN SCIENCE EDUCATION 8th Edition. Florence, Italy: Pixel.

Pensamiento algebraico temprano de alumnos de quinto de primaria en la resolución de una tarea de proporcionalidad

Sat, 01 Sep 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2018). Pensamiento algebraico temprano de alumnos de quinto de primaria en la resolución de una tarea de proporcionalidad. En L. J. Rodríguez-Muñiz, L. Muñiz-Rodríguez, A. Aguilar-González, P. Alonso, F. J. García García, & A. Bruno (Eds.) Investigación en Educación Matemática XXII (pp. 181-190). Gijón: SEIEM. Gijón, España.

Competencia de análisis epistémico de tareas de proporcionalidad de futuros profesores

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Godino, J. D., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). Competencia de análisis epistémico de tareas de proporcionalidad de futuros profesores. ALME Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 31(1), 706-713.

Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: el caso de las matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics

Abstract

The vast number of online educational videos available at the moment has generated an emerging area of research concerning their level of suitability. This study considers the epistemic quality of educational videos on mathematics, focusing on the specific content of directly proportional distributions. A qualitative study is used, based on the application of theoretical and methodological tools from the onto-semiotic approach to knowledge and mathematics instruction, principally the notion of epistemic suitability and the identification of algebraic levels. The sample consists of the 31 most popular videos in Spanish on YouTube ™ on directly proportional distributions. Analysis reveals interesting results on these kinds of resources. In general, it is observed that they are weak in epistemic suitability, which does not seem to affect their level of popularity. Moreover, the existence of videos with inaccurate arguments or incorrect procedures, together with the diversity of algebraic levels used, indicates that teachers should be careful when selecting them and only recommend those that better suit their students’ needs.

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Giacomone, B., & Burgos, M. (2018). Online educational videos according to specific didactics: The case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: El caso de las matemáticas. Cultura y Educacion, 30(4), 633-662. https://doi.org/10.1080/11356405.2018.1524651

Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks | Conocimientos y competencia de futuros profesores de matemáticas en tareas de proporcionalidad

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks

Abstract

This paper describes the design and implementation of a training process about proportional reasoning with students of a Master’s Degree in Secondary Education in Spain. The main objective of the experiment is to explore their initial knowledge and to evaluate how competent the participants on analysing relevant aspects of the epistemic facet of the didactic-mathematical knowledge, which are concretized in the recognition of algebrization levels through different solutions to proportionality problems, are. The participants in the experience have been 33 students, with diverse background education profiles, of the course Initiation to the Teaching Innovation and Investigation in Mathematics Education. Among the results, we highlight the students’ limitations and difficulties to identify propositions and procedures and their related arguments. Likewise, the assignment of algebrization levels has also been a complex and difficult task for the participants. Besides, some students have shown deficiencies in the common knowledge of proportionality, which serves as a basis for the didactic-mathematical knowledge of the content. It is concluded that an improvement of the results requires, among other actions, to increase the time allocated to the formative intervention, which will allow extending the number and variety of situations-problems posed, their solutions and discussions.

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Godino, J. D. (2018). Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks | Conocimientos y competencia de futuros profesores de matemáticas en tareas de proporcionalidad. Educação e Pesquisa, 44, 1-22. https://doi.org/10.1590/s1678-4634201844182013

Un ticket de la compra de un día cualquiera

Tue, 26 Sep 2017 00:00:00 +0000

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento. Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto… es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:

¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Criterios de idoneidad didáctica para el estudio de la proporcionalidad en educación primaria y secundaria

Sat, 01 Jul 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Aroza, C. J., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Criterios de idoneidad didáctica para el estudio de la proporcionalidad en educación primaria y secundaria. Libro de actas de VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática – CIBEM (pp. 141-149). Madrid: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Reconocimiento de niveles de algebrización en una tarea de proporcionalidad por futuros profesores de matemáticas de secundaria

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Reconocimiento de niveles de algebrización en una tarea de proporcionalidad por futuros profesores de matemáticas de secundaria. En J.M. Muñoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo y J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 177-186). Zaragoza: SEIEM.

Significados pragmáticos y configuraciones ontosemióticas en el estudio de la proporcionalidad

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Godino, J. D., Beltrán-Pellicer, P., Burgos, M., & Giacomone, B. (2017). Significados pragmáticos y configuraciones ontosemióticas en el estudio de la proporcionalidad. En J. M. Contreras, P. Arteaga, G. R. Cañadas, M. M. Gea, B. Giacomone, & M. M. López-Martín (Eds.), Actas del Segundo Congreso Internacional Virtual sobre el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos. Disponible en http://enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos.html

ISBN: 978-84-617-9047-0.

Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Introducing educational innovation and research through the analysis of the didactical suitability for a teaching experience about proportionality

Abstract

Well-founded innovation in teaching and learning processes requires some skills from the teacher, such as a reflective attitude and a competence in systematic inquiring into his own practice. Developing this kind of competence should be an objective in initial teacher education. This article describes the inquiring and reflecting process into a teaching experience carried out within the practical phase of the initial teacher education master, Mathematics speciality in secondary education. Reflection is done applying the notion of didactic suitability to a teaching and learning process about proportionality and percentages, implemented in a first course of secondary education (12-13 years-old). The assessment of the didactic suitability, and the resulting identification of well-founded change proposals, oriented towards a redesign of the experience, require to review and to synthesise the didactic-mathematic knowledge coming from research and innovation in the teaching and learning of proportionality. The analysis of this knowledge leads to specific suitability criteria for the considered field. It is concluded that the implementation of didactic suitability criteria helps to systematize the didactic knowledge and supports its application to the reflection and the progressive improvement of the teaching practice.

Cítese como:

Aroza, C. J., Godino, J. D., & Beltrán-Pellicer, P. (2016). Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad. AIRES, 6(1), 1-29.

Proporcionalidad y escalas con Peppa Pig

Sun, 14 Dec 2014 00:00:00 +0000

Los fragmentos de películas y series ofrecen una excelente oportunidad para introducir y trabajar conceptos matemáticos, cosa que iremos profundizando en otros artículos.

Por otro lado, esto de ser padre me ha convertido en fan de alguna serie de dibujos animados, como Peppa, y terminar odiando otras. Lo mejor de Peppa Pig es que de vez en cuando guarda algún chiste para los sufridos papás. En el capítulo 4x02 La casa nueva, me llamó la atención la forma tan clara que tiene Peppa de enseñar la noción de proporción, sin que se note siquiera un atisbo de intencionalidad didáctica.

SEÑOR BULL: Buenos días Señor Pig, ¿qué vamos a hacer? ¿una piscina? ¿un aparcamiento? ¿una estación espacial?

PAPÁ PIG: Una casa. ¿Puede construirla como ésta exáctamente, por favor?

PEPPA: Igual, pero más grande.

A la hora de aplicarlo en clase no hace falta ver el capítulo entero. Únicamente las partes que nos interesen. Posteriormente, se les propone a los alumnos que dibujen un diseño sencillo, con líneas rectas y a escala. Finalmente, mediante bloques de construcción deben construir su diseño, de forma que sea proporcional a lo dibujado.