Bachillerato | Pablo Beltrán-Pellicer

Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Mon, 06 Apr 2026 00:00:00 +0000

An exploratory analysis of online videos on quadratic functions

Abstract

The use of online educational videos by students and some teachers justifies their study from the perspective of mathematics education. This paper presents a qualitative study aimed at analysing the epistemic suitability of 18 YouTube videos on quadratic functions. We consider as categories the problem-situations, the languages—registers and linguistic representations—and the epistemic conflicts, using tools from the Ontosemiotic Approach. The results indicate that in most of the videos, the object of study is presented in its symbolic and graphical registers, with relevant conceptual inaccuracies and errors identified when addressing quadratic functions.

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. PNA, 20(3), 243-272. https://doi.org/10.30827/pna.v20i3.33454

YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 +0000

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. Entorno Abierto, 62, 30-36.

Dando una vuelta a la evaluación y a la calificación, en bachillerato

Sat, 03 Feb 2024 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter, en respuesta a unas reflexiones/inquietudes de @DaviidMPB. Para ponernos un poco en contexto, conviene tener presente este otro post con una propuesta que intenta relajar la tensión entre calificación y evaluación, para centrarnos en la evaluación formativa. Ahora bien, es algo antiguo y ya hace tiempo que hablo de emplear la mediana.

El hilo de @DaviidMPB me encanta, por honesto e interesante. Con el contexto de acceso a estudios universitarios actual (y siendo consciente además de que no es la única continuación a bachillerato) voy a intentar plasmar mi visión.

La evaluación ha de ser continua y diferenciada, además de, obviamente, formativa. Apenas se distingue de la de ESO en lo de diferenciada, porque ya no tenemos ese perfil de salida global. En bachillerato cada asignatura va a su bola.

Esto cada CCAA lo desarrolla con sus cosas, pero está recogido en el RD de enseñanzas mínimas, que además habla de «promover el uso generalizado de instrumentos de evaluación variados, diversos, flexibles y adaptados a las distintas situaciones de aprendizaje que permitan la valoración objetiva de todo el alumnado, y que garanticen, asimismo, que las condiciones de realización de los procesos asociados a la evaluación se adaptan a las necesidades del alumnado con necesidad específica de apoyo educativo.»

¿Qué hacemos entonces? Bueno, pocas cosas se pueden escribir en piedra, pero me atrevería a decir que lo primero sería asumir que eso de que sea «objetiva» ha de entenderse más desde la idea de transparencia.

Hay una tensión más difícil de relajar que en EP/ESO con la necesidad de asignar una calificación. En bachillerato es numérica (aunque hay alguna CCAA que está con numéricas en ESO) y la sombra de la nota de admisión planea sobre este proceso. No es incompatible con utilizar instrumentos variados, mientras las reglas del juego estén claras. Desde luego, no lo es con ofrecer las oportunidades que haga falta para mejorar (el RD dice que debe ser continua, así que, ¿por qué penalizar por una prueba pasada?)

Yo me declaro incapaz de afinar a la centésima. Incluso, a la décima. Sería partidario de fijarme una nota natural (sin decimales) que pueda asociar más fácilmente a los tipos de tareas. Como si fuera suspenso, aprobado, bien, notable bajo, notable alto, sobresaliente.

Recoger indicios de aprendizaje que pueda relacionar luego con esa forma de calificar, y jugar con la mediana. La mediana te soluciona los problemas de ponderación que señalabas. Si haces media con los criterios, no atiendes a las competencias por igual; si la haces con las competencias, no atiendes a los criterios por igual. Esto podrías hacerlo como quisieras, pero es más transparente y honesto hacerlo en función de las tareas que se han ido haciendo. Por supuesto, abordando todas las competencias, eh.

Si una evaluación has trabajado más la competencia N por lo que sea, ¿qué? En mates nos pasa parecido a lo de FyQ, que son competencias transversales, pero no me cuesta imaginarme una evaluación sobre geometría con más énfasis en la CE de razonamiento.

No obstante, no tengo por qué decir que esa evaluación los criterios de la CE de razonamiento valdrán el doble o lo que sea. Simplemente, hago la mediana, por un lado. Por otro, me aseguro de trabajar las competencias convenientemente.

Para terminar, una prueba escrita puede servir fácilmente como instrumento criterial si pensamos al estilo de lo que hacen en exámenes de idiomas. Para ello, es mejor que sean cortos y que se ciñan especialmente a ciertas competencias (dos o tres, por ej.).

Se califica con la guía que se considere oportuno, incluso con decimales si gustas. Pero a la hora de llevarse eso a los criterios de evaluación, se piensa en que un “nivel avanzado” sacaría entre 7,5 y 10 (me lo invento) y entonces sería un indicio avanzado.

Digo «avanzado» y no «notable alto» porque a mí me resultaría más operativo jugar con básico-medio-avanzado y luego al final caracterizar las notas a partir de esos indicios. Y ya vale de rollo, que van 15 tuits 🤭. ¿Qué os parece?

¿Las Matemáticas de Bachillerato son propedéuticas? Pues lo que no debería pasar es esto

Tue, 13 Dec 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y este otro.

Matemáticas de Bachillerato. Propedéuticas. Vale. Pues algo que no debería pasar es lo siguiente.

Hace unos meses un amigo me pasó un audio de una compañera de trabajo, sobre una duda, más bien inquietud, matemática, que podría haber surgido en una oficina comercial cualquiera.

Quiero saber cuál es la relación gráfica entre las derivadas y las integrales. ¿Cómo puede ser que si yo derivo una función el área debajo de la… entre la función y el eje de coordenadas tenga alguna relación con la función primitiva? O sea, ¿por qué existe esa relación?

Estaba preguntando por el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Una de las construcciones matemáticas más bellas, potentes y profundas de la historia. El equivalente, yo qué sé, a preguntarse por qué El Quijote es una obra maestra de la literatura.

Pongo la mano en el fuego por que esta persona hizo derivadas e integrales a cascoporro. La técnica, que qué pasa con la técnica, por dios. Que sí, que no nos olvidamos de ella. Ahora, ¿en serio hacen falta tantas técnicas en Bachillerato?

No sé, es que igual nos encontramos luego en un galeón en medio del océano y tenemos que hacer no sé qué cuentas porque si no vamos a perder la guerra de turno o algo.

Primero, habrá que ver qué técnicas contribuyen a ganar comprensión sobre el objeto matemático en cuestión. Y luego, que tipo de campos de problema resultan de interés. Eso sí, aprender el teorema fundamental del cálculo tiene, entre otras, una clara finalidad CULTURAL.

Porque mola.

Y bueno, con los nuevos currículos, que tendrán sus cosas, no es que no podamos trabajar técnicas. Es que sobre todo hay que evaluar su comprensión y uso significativo.

Ya sabéis que no soy muy de vídeos, pero aquí os dejo un par de Jim Fowler, por si tenéis curiosidad. Está en inglés, pero los subtítulos funcionan de maravilla. Este no es más que la pregunta inicial.

Y este, la respuesta.

Esta reflexión combina muy bien con esta otra: ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre?. Y con la historia del avioncito y el sesgo del superviviente también. Las técnicas.

Ya llegará la comprensión 🤦🏻‍♂️.

Si es que llega.🙃

Cuando se dice que no pasa nada por aprender técnicas de memorieta porque la comprensión puede llegar después, lo primero que hay que hacer es dejar de pensar en el estudiante que fuimos.

Ya que el tema de los mitos gusta tanto, aquí va artículo de dos clásicos en educación matemática, Clements y Sarama. Desde chiquitines, por dios, comprensión. Y si no hay tiempo pa tó, decide qué privilegias. En concreto, vistazo a estos dos:

Lo del sesgo. Hala, Javi, que te voy a desgastar el hilo.

Ayer escribía sobre lo que no debería pasar. Por ejemplo, que recuerdes que hiciste nosecuántasderivadas y nosecuántasintegrales del derecho y del revés, pero no recuerdes qué narices implica el teorema fundamental del cálculo.

A lo mejor, esto último pasó por la pizarra, sí, ay, la pizarra. Pero el énfasis está claro dónde estuvo puesto. No recuerdas esa conexión maravillosa, no. Recuerdas que hiciste mogollón de derivadas y mogollón de integrales.

Créditos

La imagen destacada es una captura de uno de los vídeos de Jim Fowler.

Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria

Tue, 01 Sep 2020 00:00:00 +0000

A first approach to the analysis of educational statistics videos: the case of the median

Abstract

The objective of the work was to analyze the improvement with the school year of the understanding of the representativeness and sample variability in high school students. For this, we analyze the answers given by a sample of 536 students from three courses (second and fourth year of Secondary Education and second year of Baccalaureate) to a task in which four values of a binomial distribution are requested are analyzed. We analyze the average and the range of these values, which constitute a sample of four results of that distribution, comparing with the theoretical values of the sample distribution of the mean and range. The results suggest that students have a good perception of the expected value, but that the perception of variability is incorrect and does not improve with age. We also observe the equiprobability bias and the heuristic representation in a part of the students, improving the results in higher levels.

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M. M., & Beltrán–Pellicer, P. (2020). Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria. Yupana, 12, 8-22. https://doi.org/10.14409/yu.v0i12.9624

¿Calculadoras gráficas en la EvAU?

Thu, 05 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Una calculadora gráfica es algo moderno y antiguo a la vez, como el fax y el teletexto.

Voy a intentar sintetizar mi postura de nuevo, ahora que vuelve a salir el tema de las calculadoras gráficas en la EvAU.

En primer lugar, lo del fax y el teletexto lo he tomado prestado de una letra de la canción Bipolaridad, de Señor Mostaza. Me parece un juego de palabras demasiado bueno como para ser mío. Vamos al lío.

¿Quieres EvAU con TIC? Ok. Cambia el modelo de examen y habilita salas de ordenadores con software libre para todos.
No solo eso. Asegúrate de que todos los centros educativos en ESO y Bachillerato disponen de esos recursos. De lo contrario, ¿es ético?
Puedes hacer un examen donde prime el razonamiento sin que se tenga que usar calculadora.
Puedes permitir la calculadora y que el examen sea lo mismo de siempre.
Y al revés, claro. No digo que no.
Ya he dicho que una calculadora gráfica, hoy en día, me parece algo anacrónico. Como el fax y el teletexto.
Con una calculadora de las habituales (baratas) se puede hacer mucho. Si quieres más (representar gráficas, programar, etc.), ahí está el ordenador, o los móviles…

Acabando. Creo que el debate sobre las calculadoras gráficas en la EvAU desvía el foco de atención. La prioridad es pensar sobre lo que evalúa ese examen. Con o sin calculadora. Y sobre las gráficas, ya he opinado.

Technology as a tool to understand sampling in binomial distributions

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Résumé

Dans cet article, nous décrivons certaines erreurs récurrentes liées au travail sur les distributions d’échantillonnage, un sujet obligatoire en Espagne pour les lycéens. Nous suggérons en outre comment simuler la distribution d’échantillonnage pour la moyenne et la gamme d’échantillons prélevés à partir de la distribution binomiale, à l’aide du logiciel Fathom. Les élèves peuvent donc étudier ces simulations avec différentes valeurs des paramètres de la distribution binomiale et différentes tailles d’échantillons pour comprendre les propriétés de représentativité et de variabilité de la distribution d’échantillonnage et pour distinguer les trois types de distributions impliqués dans l’échantillonnage.

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2020). Technology as a tool to understand sampling in binomial distributions. Quaderni Di Ricerca in Didattica, 7, 579-584.

Enlace a la revista

Sobre correcciones de EvAU y necesidad de cambiar el tipo de examen

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

He estado corrigiendo EvAU (Matemáticas aplicadas a las CCSS). Ahí compruebas la importancia de cambiar el tipo de examen, como se pide desde la FESPM. A dos años vista o como sea, pero es ridículo perder un curso (o dos) preparando para unos ejercicios tipo. Hilo.

Vale, exigiría un cambio. Pero no tiene que ser de hoy para mañana. Aunque es urgente empezar ya.

Ves, entre otras cosas, cómo cualquier pequeño desajuste no esperado (aunque esperable) se convierte en un obstáculo insalvable para muchos.

Ves, también, cómo superan el examen chicos y chicas que no saben muy bien lo que están haciendo. Conste que no les culpo a ellos para nada, absolutamente. Solo es que me da rabia que se haya perdido el tiempo.

Un examen de razonar. No hace falta irnos a problemas de olimpíada ni al teorema de Rolle, al menos como en Valencia. Esa pregunta, aunque entraba en el temario, creo que resulta muy formal y, además, no deja de ser un “ejercicio tipo” (obviamente, no suficientemente trabajado).

Luego no podemos quejarnos (estos días vuelve a haber alboroto, es algo recurrente) de youtubers que suben resoluciones de ejercicios tipo a base de recetas. ¿Que por qué acuden nuestros estudiantes a ellos? Pues es que yo también lo haría seguramente con la EvAU a la vista.

Hice un hilo al respecto de los vídeos educativos online. Ni todos son igual de adecuados, ni los más populares son los mejores. Además, puede ser que difieran mucho de lo que se está viendo en clase.

Por no decir que muchos de los vídeos que analizamos tienen errores e imprecisiones. El otro día, un amigo, también profe de mates, me contaba una conversación muy ilustrativa de todo esto.

Alumna: Si una función tiene asíntota horizontal, no tiene oblicua. Que lo he visto en internet.

Profe: ¿Y si es oblicua en -oo y horizontal en +oo ?

Lo de “lo he visto en internet” me recuerda al “anunciado en TV” que aparecía como reclamo publicitario en los años 80. 🤦‍♂️

Y hasta aquí, por ahora. 🔚

Introducción histórica a los números complejos

Thu, 20 Apr 2017 00:00:00 +0000

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

Perspectiva en la pintura y matemáticas I: Prehistoria y Antigüedad

Thu, 19 Jan 2017 00:00:00 +0000

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente. Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

En el Antiguo Egipto no mejoraron mucho las cosas. Es clásica la representación de las figuras en perfil absoluto, de manera que tanto personas como animales parecen adoptar posturas algo forzadas. Eso sí, algo se ganó en colorido.

Para saber más

Ruiz Redondo, A. (2010). La representación de la tercera dimensión en el arte paleolítico cantábrico: análisis de la perspectiva de las figuras zoomorfas.

Más humor sobre matrices

Wed, 04 Nov 2015 00:00:00 +0000

Sí, lo sé, es malo malísimo. Pero si te han hecho calcular el rango por Gauss alguna vez seguro que te hace gracia, aunque sea una poca.

Primeros pasos en Edmodo

Sat, 31 Oct 2015 00:00:00 +0000

Dejo en el blog un mini tutorial que viene a describir qué se puede hacer con Edmodo y cómo crear nuestro primer grupo. Un grupo viene a ser el equivalente a una clase de alumnos. Os recuerdo que si queréis usar Edmodo con vuestros alumnos, hace poco subí al blog un modelo de carta de autorización.

Un poco de humor sobre determinantes

Wed, 28 Oct 2015 00:00:00 +0000

Nada mejor que un poco de humor antes del examen de matrices y determinantes con mis alumnos de bachillerato.

¿De dónde sale el número e?

Fri, 24 Apr 2015 00:00:00 +0000

Cualquier matemático te dirá que sale hasta en la sopa. Y es verdad, hay varios caminos que apuntan hacia ese número llamado e. Sin embargo, aquí nos vamos a centrar en uno que puede seguirse sin problemas en una clase de secundaria donde, quizá en el último curso, aparezcan los logaritmos por primera vez.
Pensemos que ingresamos 1 euro en el banco. Pero no en un banco cualquiera, sino en uno que me da el 100% de interés anual. Vamos, que al final del año voy a tener:
\[1+1=2 \]
Ahora, voy a sacar el dinero a mitad de año, cobrando los intereses correspondientes a ese medio año:
\[1+\cfrac{1}{2}\cdot 1 = 1,5 €\]
Y lo vuelvo a ingresar, obteniendo:
\[\left(1+\cfrac{1}{2}\right)+\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{1}{2}\right) = \left(1+\cfrac{1}{2}\right)^2 = 2,25 €\]
¡Anda! ¡Esto es todavía mejor! ¿Y si saco el dinero todos los meses, cobrando los intereses y volviendo a ingresar el monto total? Entonces, el dinero que obtengo al final de año es:
\[ \left(1+\cfrac{1}{12}\right)^{12}=2,613 € \]
Aquí hay gato encerrado, yo esperaba cobrar más. ¡Espera! ¡Ya sé lo que tengo que hacer! Voy a sacar el dinero todos los días:
\[ \left(1+\cfrac{1}{365}\right)^{365}=2,71456748 €\]
Pues creo que no compensa el esfuerzo. No voy a pasar de 3 €. En realidad, si fuésemos capaces de hacer infinitos reingresos, tendríamos:
\[ \left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995\ldots\]
Número que se puede demostrar que tiene infinitos decimales no periódicos y que, por lo tanto, es irracional. Pero es tan real como el 0, el 1, o su amigo $$\pi$$.

Referencias

La foto de las monedas es de Jason Rogers y se puede descargar de aquí.