Secundaria | Pablo Beltrán-Pellicer

¿Cuál es el siguiente a 1,29 euros?

Sun, 03 May 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter(X).

¿Es el sistema monetario un manipulativo excelente para aprender sobre «números decimales»? Si estás meneando afirmativamente la cabeza, la pregunta clave es: ¿Cuál es el siguiente precio a 1,29 €?

En la tienda, el «siguiente» precio a 1,29 € es 1,30 €, pero la respuesta a cuál es el número siguiente a 1,29 no es 1,30. Resulta que entre 1,29 y 1,3 puedo encontrar infinitos números. Por ejemplo, 1,29001 es mayor que 1,29 y es menor que 1,3. Podría seguir intercalando números eternamente. Y esto es algo que distingue al número racional del número natural. He puesto antes «números decimales» entre comillas porque de lo que se está hablando en realidad es del número racional, eso sí. Y de su representación decimal.

Así que una cosa es aprender sobre sistema monetario y otra sobre representación decimal de los números racionales. Los racionales no hacen falta para abordar problemas alrededor de sistema monetario, con los naturales sobra (basta con pensar en el céntimo de € como la unidad). De hecho, cuando se ejercitan -habitualmente de manera bastante pobre- algoritmos de las operaciones con cantidades que expresan valores económicos, los algoritmos son los mismos que para naturales.

Se pierde el foco en las propiedades de ese nuevo tipo de números, los racionales, a los que nos vamos asomando progresivamente en la primaria y al comienzo de la secundaria. P. ej., esa idea de densidad de los racionales, que comentaba antes y que los distingue de los naturales. Pero cambian muchas más cosas, ya desde la misma representación. Con los naturales, un número más largo que otro es mayor. Ahora no. Y desde las operaciones, que un número puede ser más pequeño cuando lo multiplicas.

Por lo tanto, el sistema monetario, billetes y monedas, no sirve como manipulativo o contexto adecuado para la representación decimal de los racionales. De hecho, mucho énfasis en esto provoca la falsa ilusión de que si sé sobre monedas, sé sobre «números decimales».

En el fondo (y en la superficie), veo que estoy diciendo lo mismo que hace unos años en este otro post. 🤭

Créditos

Imagen destacada obtenida en Unsplash

Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Mon, 06 Apr 2026 00:00:00 +0000

An exploratory analysis of online videos on quadratic functions

Abstract

The use of online educational videos by students and some teachers justifies their study from the perspective of mathematics education. This paper presents a qualitative study aimed at analysing the epistemic suitability of 18 YouTube videos on quadratic functions. We consider as categories the problem-situations, the languages—registers and linguistic representations—and the epistemic conflicts, using tools from the Ontosemiotic Approach. The results indicate that in most of the videos, the object of study is presented in its symbolic and graphical registers, with relevant conceptual inaccuracies and errors identified when addressing quadratic functions.

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). Un análisis exploratorio de los vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. PNA, 20(3), 243-272. https://doi.org/10.30827/pna.v20i3.33454

Para despejar x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de unos hilos publicados en Twitter(X): este y este otro.

Es desolador encontrarse en un libro de 2º ESO, al respecto de la fórmula de la ecuación de segundo grado, que:

La justificación de esta fórmula queda para cursos superiores. Por ahora, conviene que la memorices y que aprendas su manejo como se muestra en los siguientes ejemplos.

Más todavía, ver que, en el curso inmediatamente superior, lo prometido se queda en agua de borrajas (el subtexto es añadido mío):

Para despejar $x$, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver aquí. Es lo que parece sugerir el currículo, pero como ni el profesorado está en condiciones de plantear situaciones al respecto ni el alumnado de aprender a razonar, disimulemos que hacemos matemáticas.

No me lo estoy inventando, no:

Nótese que en ese subtexto que me he permitido añadir no utilizo el verbo explicar. Ocurre que, a veces, se explica la demostración y, claro, solo se enteran un par, con suerte. Va de plantear situaciones donde el alumnado razone, represente y, en el proceso, emerja el completar cuadrados. Como he dicho muchas veces, y lo mantengo: uno de los problemas en la educación matemática es que se explica demasiado.

Sobre ecuaciones y funciones cuadráticas

No pasa nada por taladrar a palo seco la fórmula de la ecuación de segundo grado. Es muy importante aunque en otros países o no se vea o se aborde dos o tres cursos más tarde que aquí. Por cierto, cada vez que un alumno hace $(a+b)^2=a^2+b^2$ muere un gatito.
¿Cómo dices?

Sostener las dos afirmaciones anteriores al mismo tiempo es incoherente. Si las identidades notables se quedan a vivir en su tema correspondiente y no muestran su gracia en ningún momento más, el calificativo de notables se les muda a «aquellas del tema ese que yo qué sé».

Una conexión intramatemática muy clara es aprovecharse de estas identidades para resolver ecuaciones de segundo grado. Vaya por dios, sin la fórmula. O que esta aparezca más adelante al generalizar este tipo de técnicas. Vamos a dar sentido aquí al cuadrado de una suma. Considera un rectángulo de lados $3$ y $b$, su área es $3b$, ¿no?

¿En cuánto aumenta su área si aumentamos el lado que mide $b$ en $3$ unidades?

En efecto, aumenta en $9$ unidades de área. Ahora tenemos un rectángulo de lados $3$ y $(b+3)$, con lo que hemos descubierto que $3·(b+3)=3b+3^2$. Si ahora, además, aumentamos el lado original que medía $3$ en $b$ unidades, ¿en cuánto aumenta el área?

Ahora a lo que hemos llegado es que el área del cuadrado de lado $(b+3)$ es igual a $b^2+3b+3b+3^2$; es decir:

$$(b+3)^2= b^2+6b+3^2$$

Y ya podemos decir lo que aumenta el área, cuánto es ese área, etc.

Basta generalizar permitiendo que el lado que mide $3$ pueda variar, para llegar a nuestro querido $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$.

En otras palabras, el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Lo mismo se puede hacer con $(a-b)^2$ y con $(a+b)(a-b)$, conectando lenguaje algebraico con gráfico y consideraciones geométricas. Si tenemos cierta soltura (aka competencia). Con esto, convertir $f(x)=x^2+3x+2$ en $f(x)=(x+p)^2+q$ es bastante directo.

No hay más que jugar un poco. Si pienso que $x^2+3x$ forma parte del cuadrado de una suma, vendría a ser el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, lo estaría viendo como $x^2+2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$.

Como resulta que $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$, tengo que gestionar ese $\frac{9}{4}$, quitándolo (como estoy añadiéndolo, hay que restarlo):

$$f(x)=x^2+3x+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Si lo que quiero es resolver la ecuación $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0$, ya está a huevo:

$$\left( x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Hago la raíz cuadrada y blablabla. Pero es que, además, tener $f(x)$ como $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ visibiliza qué está pasando aquí:

¡Anda! Más conexiones intra matemáticas. El eje de simetría me lo está dando el que acompaña a la $x$ dentro del paréntesis. Y la ordenada del vértice, su coordenada en $Y$, me la está dando el número que va suelto, $-\frac{1}{4}$.

Para que todo quede más claro, ¿no sería mejor convertirla en $f(x)=(x-p)^2+q$? Nótese el cambio de signo donde $p$. Claro que sí, porque entonces el vértice no sería $(-p,q)$ sino directamente $(p, q)$. Pero es que esto también es hacer matemáticas, discutir, hacer conexiones.

Si vamos teledirigidos a la fórmula y a hacer cosas con la fórmula nos dejamos muchas matemáticas por el camino. Y resulta que lo interesante está en el camino. Además, ojo, resolver la ecuación de segundo grado completando el cuadrado se hace también en una línea.

No digo nada nuevo, esto se puede ver en materiales de, por ejemplo, el año 1981, Grup Zero, donde se asume también un trabajo previo en identidades (que lleve a algún sitio, claro).

Había una página con todos los libros del Grup Zero: www.grupzero.cat/llibres/, pero parece estar caída. He conseguido recuperar algunos en el archive.

YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 +0000

Cítese como:

Correal-Jurado, A. M., Beltran-Pellicer, P., & Arnal-Palacián, M. (2026). YouTube en el aula: Explorando la idoneidad de vídeos en línea sobre funciones cuadráticas. Entorno Abierto, 62, 30-36.

A guide to the analysis of didactic suitability of probability textbook lessons

Thu, 02 Oct 2025 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., & Cotrado, B. (2025). A guide to the analysis of didactic suitability of probability textbook lessons. International Electronic Journal of Mathematics Education, 20(4), em0858. https://doi.org/10.29333/iejme/17183

Empezar lenguaje algebraico definiendo monomio: por ahí no es

Sat, 03 May 2025 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de un hilo publicado en BlueSky y en Twitter(X).

Recuerdo aquellos hilos que hacía de «Elige tu propia aventura». Pues para empezar lenguaje algebraico en, digamos, 1º ESO, habría varios caminos, pero el peor de todos es el que empieza definiendo monomio. Al mismo nivel que la regla de tres para proporcionalidad. Va hilo.

Ese camino empieza por ahí y sigue explicando muy claro (¿?) lo de la parte literal (aka las letras) y lo de, mira, hay monomios que tienen la misma parte literal y se les llama semejantes. Resulta que esos los puedes sumar y restar. Los demás no.

Inciso. A que mola el meme del mono mío. Pues tiene dos niveles de lectura. O es un mono mío a secas o un monomío semejante al monogrande. ☂️☂️☂️☂️☂️

‪ Hay varios enfoques o visiones del álgebra escolar, sobre los que hay multitud de literatura científica (al final pondré alguna referencia) y ninguno contempla empezar por el camino descrito anteriormente. Ninguno. Sin ser exhaustivo y teniendo en cuenta que hay autores que solapan algunos enfoques y que estos no son para nada excluyentes:

Aritmética generalizada. Expresar las leyes o propiedades de la aritmética en términos generales.‪
Identificación y generalización de patrones. Hay quien unifica el estudio de patrones con el anterior, pues también va de generalizar regularidades. Estructura.
Enfoque funcional, donde las letras, cuando llegan, tienen el significado de variables. Expresar relaciones, que pueden emanar de un contexto intramatemático o físico.
Modelización de situaciones físicas. Puede verse como incluido en el punto anterior.
Álgebra para resolver problemas. Ecuaciones, etc. Donde las letras, cuando llegan, tienen significado de incógnita. Las reglas algebraicas, una vez establecidas, permiten resolver tipos específicos de problemas, una vez identificados. En efecto, la regla de tres puede verse como un método algebraico para resolver problemas de valor faltante o perdido.
Álgebra como lenguaje. Para comunicar. Para explicar. El álgebra con literales me ayuda a explicar una regularidad.

El álgebra es mucho más que hacer cosas con letras. Por eso, antes, he ido poniendo la coletilla cuando llegan a las letras. Porque, sí, el pensamiento algebraico arranca desde la más tierna infancia, en infantil. ¿Acaso no hay patrones en infantil? Pues eso. Sin embargo, vamos a centrarnos en ese punto de ruptura que suele estar en 1º ESO que es cuando se empieza a hacer álgebra con letras. Cuando se introduce un contenido (sí, los saberes son contenidos) lo mejor es que sea motivado por algo.

‪No me refiero a algo extrínseco como tratar de encajar el camino del principio en una gamificación sobre la serie de streaming que esté de moda. No. ¿Por qué aprender álgebra? Eso tiene que apreciarse en la mismísima primera actividad. Los que me habéis ido siguiendo, sabéis de mi predilección por el enfoque de la propuesta de Eva Cid, donde a la vez que se introduce el álgebra con literales, se van construyendo los enteros como estructura numérica. Eso sería una aproximación funcional con tintes de aritmética generalizada. Funcional porque las letras aparecen en los primeros problemas como variables. Y aritmética generalizada porque echa mano de estrategias de cálculo oral. Pero dejemos eso a un lado, porque hoy quiero hablar de patrones. Que, por cierto, no es incompatible con lo anterior. Imaginemos que la primera actividad de la unidad «lenguaje algebraico», que es un clásico de 1º de ESO, fuera un patrón de los de visualpatterns.org (otra de esas páginas especializadas en un tipo de recurso), como este:

La actividad consiste en continuar un par de pasos la serie, y dar el número de elementos del paso <un número suficientemente grande como para que me resulte cansado dibujarlo> (en visualpatterns.org lo hacen con 43). Eso ya es trabajo algebraico. Reconocer la regularidad y explicarla. ¿Cómo los cuentas? ¿Cómo explicas cómo lo has hecho a un compañero? Si estamos en un ambiente #thinkingclassroom con pizarras verticales, cómo lo registramos para que un compañero comprenda cómo lo hemos hecho?

‪En el patrón anterior vemos que la sucesión es 5, 10, 15, etc. Ah, siempre es 5 veces el número del paso. ¿Cómo será el paso $n$? ¿Escribirlo así ayuda a explicarlo? Dos observaciones. Este patrón es demasiado sencillo y apenas requiere del dibujo. Sin embargo, aparecen otras formas de contar. ‪ Y hay quien lo expresa como $4·n+n$. ¿Será lo mismo eso que $5·n$? Bueno, pues ahí tienes ya una forma de empezar a manipular expresiones algebraicas. Tras una charla de aula más que rica y más que llena de matemáticas.

¿Qué puede pasar si propones esta actividad después de una aproximación como la de los primeros posts? Pues varias cosas, que cuando se pide generalizar, sin más, el alumnado no sabe qué se le pide. ¿Por qué no pedir el paso $n$? ‪ Pero lo más llamativo es que, si después de dos o tres semanas con las cantinelas de parte literal y operaciones con monomios semejantes, se pone sobre la mesa la cuestión de si $4·x+x$ es lo mismo que $5·x$ y un alumno se arranca a decir que no, que $4·x+x$ es lo mismo que $4·2x$, vamos apañados. Porque en general, estar varias sesiones dando estirando patrones como el anterior y como estos, y discutiendo diferentes maneras de contar y expresar esos conteos, se ve como pérdida de tiempo. Sin embargo, lo otro no tanto, porque parece que es lo que toca.

Pues lo siento, pero no.

Inciso. Probad diferentes maneras de abordar este de aquí. Y que una de ellas sea fijándoos en los incrementos. Tremendo.

Y nada más. Como había prometido alguna referencia, esta de aquí es amplia, relativamente reciente y viene a hablar de todo un poco: The Learning and Teaching of Algebra de Abraham Arcavi, Paul Drijvers y Kaye Stacey. No obstante, como lectura introductoria, suelo recomendar este texto de Marta Molina sobre concepciones del álgebra escolar, que está accesible en abierto).

¡Feliz clase!

Reflexiones sobre el diseño didáctico de un ciclo formativo para el desarrollo de competencias didáctico-matemáticas

Mon, 30 Sep 2024 00:00:00 +0000

Abstract

This paper presents a reflective analysis of the design and implementation of a training cycle aimed at future secondary school mathematics teachers, showing to what extent participant learning has been facilitated and which aspects need further exploration. The didactic cycle aims to develop didactic-mathematical competencies enabling them to identify and discriminate mathematical practices, objects, processes, and possible semiotic conflicts inherent in solving various problem situations. The prior analysis of tasks and responses is supported by the use of theoretical and methodological tools from the onto-semiotic approach. It is concluded that these formative activities are necessary and challenging for teacher training, as evidenced throughout the training cycle by the difficulties and learning experiences faced by future teachers.

Cite as:

Giacomone, B., Verón, M. A., & Beltrán-Pellicer, P. (2024). Reflexiones sobre el diseño didáctico de un ciclo formativo para el desarrollo de competencias didáctico-matemáticas. En N. Adamuz-Povedano, E. Fernández-Ahumada, N. Climent, & C. Jiménez-Gestal (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXVII (pp. 281-288). SEIEM.

Bolsa de patatas y probabilidad condicional

Wed, 10 Jul 2024 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La presentación de Bolsa de patatas en una bolsa de patatas es genial. Os cuento de qué va en este hilo. Por otro lado, a ver qué le parece a @cros_luis_77 y si con esto se anima con otro hilazo de juegos como el de hace dos años y que todavía colea ( #juegosymates).

Este jueguecito lo conocí en la Noche Insomne 2023 en Zaragoza de la mano de Esther García en las mesas que preparamos desde la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas. Un evento muy chulo. Si queréis leer qué hicimos desde la SAPM, está en Entorno Abierto.

Pero entonces estaba fuera de stock. El tablero es muy sencillo, y está formado por estas cuatro casillas que simbolizan a su vez las 4 fases de cada ronda.

Se reparten 6 cartas objetivo-suceso a cada jugador. Son variadas y las explicaremos después.

En la primera fase, tal como se indica en el tablero con esos interrogantes en la parte superior, se sacan 5 patatas de la bolsa, al azar. ¡Parece que estás sacando patatas!

Es importante conocer la composición de la bolsa. Para eso tenemos una carta de ayuda. 7 patatas normales, 6 de cebolla, 5 de barbacoa, 4 de vinagreta y 3 de pollo.

En la primera fase, después de sacar las 5 patatas, es el momento de, tal y como indica también el tablero, descartarte de dos de tus cartas objetivo. Al final de la ronda vas a quedarte solo con 3 de dichas cartas y tu puntuación dependerá de ello. En la fase dos se sacan otras 4 patatas y cada jugador se deshace de una de sus cartas-objetivo, con lo cual ya solo le quedan tres. En la tercera fase, se sacan otras 3 patatas y es el momento de colocar las tres cartas objetivo.

En esta imagen, en la fase tres los símbolos indican realmente cómo irá la puntuación. Eliges dos de tus tres cartas objetivo cuyo suceso crees que va a tener lugar. Si se cumple, sumarás los puntos correspondientes.

Esas dos cartas se colocan a la derecha de tu montoncito de descarte. La otra carta que te queda se coloca a la izquierda y, si el suceso se cumple al final de la ronda, pierdes los puntos que indica.

En la cuarta y última fase se extraen dos patatas, importando el orden porque hay objetivos referidos a la última de las patatas que se sacan de la bolsa. Y se contabilizan los puntos. El jugador que más puntos obtenga se llevará dos fichas de recompensa y el segundo, una. ¿En qué consisten las cartas-objetivo? En la imagen tenemos cuatro ejemplos. El que vale 1 punto es muy probable, pues se cumple si al menos sale una de cada tipo. Por el contrario, el que vale 202 puntos es muy difícil pues se cumple si no sale ninguna de vinagreta.

Como vemos, las cartas describen sucesos. La de 35 puntos se cumple si al final hay el mismo número de patatas de vinagreta que de barbacoa, y la de 55 puntos si hay más de vinagreta de que barbacoa.

La mecánica del juego es de toma de decisiones, proporcionándose nueva información en cada fase. Esta claro que el juego permite que emerjan ideas relacionadas con la probabilidad condicional. Como aplicación didáctica, permite ser abordado tanto de manera intuitiva como más rigurosa, pues da juego a tratar de comparar y cuantificar la probabilidad de diferentes sucesos. ¿Lo conocíais?

Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO

Mon, 01 Jul 2024 00:00:00 +0000

Cítese como:

Cid, E., Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2024). Entre números, signos y letras: Enteros y Álgebra al comienzo de la ESO. Actas 21 JAEM «Matemáticas entre el mar y la montaña», 1048-1064.

Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction

Sat, 30 Dec 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2023). Mathematical practices when solving problems involving joint and conditional probabilities without prior instruction. En P. Drijvers, C. Csapodi, H. Palmér, K. Gosztonyi, & E. Kónya (Eds.), Proceedings of the Thirteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME13) (pp. 1038-1045). Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ERME.

Reflexiones ante el uso de manipulativos para el número racional (fracciones, decimales, etc.)

Sun, 29 Oct 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y este otro hilo. También en BlueSky aquí y aquí

Algo característico de una didáctica específica, como la de las matemáticas, es que tiene muy presente el objeto de aprendizaje y su naturaleza. Ejemplo: si nos planteamos usar las regletas de Cuisenaire para construir el racional (fracciones…), ocurren cositas.

Hay que tener claro q son material estructurado y discreto. Y que, por lo tanto, no son lo mejor para trabajar con magnitudes continuas, como la longitud, cuya medida es lo que hace que emerja la necesidad del número racional positivo.

No es la primera vez que doy la turra con esto, ni será la última. Me fascina reflexionar sobre el uso de manipulativos. Desde luego, esto no es un alegato en contra del uso de manipulativos, ni mucho menos. Son esenciales. Pero hay que planificar su uso y ver cuál es el más adecuado. Unas simples tiras de papel aquí lo hacen estupendamente ( ver esta publicación).

¿Y con los “números decimales”?

Los bloques multibase vienen bien para cositas del sistema decimal posicional con naturales (ej., 10 u hacen 1 d). Conectan genial con técnicas intuitivas de conteo. Pero, si presento esto para q el “output” sea 3,24, ¿estaremos trabajando una representación del número racional?

Los números decimales no existen. En todo caso, hablamos de la representación decimal de los números racionales (de ahí las comillas). Y no es sencilla. Y hay que tener en cuenta propiedades de ese conjunto numérico (densidad, especialmente, pero no solo), para que no estemos trabajando con pseudonaturales en lugar de con racionales.

No puedo evitar mencionar el gran trabajo de aula en Primaria de docentes como Manuel Siaba Lestón. En este hilo muestra reflexiones profundas sobre representaciones decimales en un contexto de reparto:

Curso 2022 5º . Recomiendo SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS UN ESTUDIO CON MAESTROS EN FORMACIÓN (Tesis J. M. Gairín Sallán). Y sí ,ahora, el reparto fuera de 5 tortillas 11 personas 🤔

La reflexión más interesante q surge en este momento es q los números q admiten una representación decimal finita también admiten otra infinita, disminuyendo la última cifra significativa y añadiendo una «cola» infinita de nueves.

Para ampliar

Grupo de Telegram sobre racionales

Si estás interesado/a en una aproximación con significado a todo lo que tiene que ver con el número racional (medida, magnitudes, fracciones, decimales, proporcionalidad, etc.) este es tu grupo de Telegram: https://t.me/+BBaYf0FZZlszYTc8

Lee el post fijado porque ya hay mucha información y materiales. Internivelar Primaria/ESO.

¡Salu2!

Exploring the gap between intended and enacted curriculum: Perceptions of future and in-service teachers

Sat, 30 Sep 2023 00:00:00 +0000

Cite as:

Beltrán–Pellicer, P., Martínez-Juste, S., & Muñoz-Escolano, J. M. (2023). Exploring the gap between intended and enacted curriculum: Perceptions of future and in-service teachers. In C. Jiménez-Gestal, A. Magreñán, E. Badillo, & P. Ivars (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXVI (pp. 97-112). SEIEM.

Un problema de combinatoria con piezas LEGO

Mon, 07 Aug 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Al salir de la LegoHouse en Billund te llevas un regalo único. Una combinación personalizada de 6 piezas de LEGO 2x4. Venga, ¿cómo de único es este obsequio? ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 piezas iguales 2x4 se pueden hacer?

Es que hace unos días disfrutamos en familia de la experiencia LEGO completa: LegoLand y LegoHouse en Billund 😊😍. Totalmente recomendable. Y bueno, ya veis dónde está la deformación profesional de uno 🙃.

Esta es la zona, con una máquina en funcionamiento que inyecta (gracias, Ismael 😉) el plástico y va haciendo los bricks:

Ojo spoiler

👇

Muy interesante el comentario de @raulf, con una historia que no conocía.

Te refieres a los 102 981 500 que dijo Lego en el 1974 o al cálculo de 915 103 765 posterior?

Si quieres saber más, visita este enlace: A LEGO Counting problem

Una propuesta rompedora a nivel conceptual

Sat, 22 Jul 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De todas las propuestas que he compartido por aquí, de la que más orgulloso me siento cada vez que alguien me dice que la hace en el aula, es la de la construcción de los enteros a la vez que se introduce el álgebra con literales (aka tesis de Eva Cid). ¿Quieres saber por qué?

Porque supone un desafío a todos los niveles. Suele cuestionar, no solo la cultura de aula, sino el lugar asumido en la planificación curricular de un objeto matemático tan «básico» como los enteros. Y el álgebra que se hace al comienzo de la ESO.

¿Qué leches hacen en la aritmética? Ahora tenemos el sentido númerico, que podríamos definir como «la buena aritmética». Pero el problema es el mismo. ¿Qué hacen ahí, antes que el álgebra?

Una prueba muy sencilla e interesante es pasar los problemas que hay en una unidad de enteros de un libro de texto cualquiera de 1°ESO a un niño o una niña de 4° o 5° de primaria.

Porque para resolverlos, los enteros no hacen falta para nada. Algunos autores, de hecho, hablan de números relativos.

Los modelos concretos (todos) patinan en el tema de los enteros. Porque en la aritmética no son necesarios, su hábitat natural es el álgebra.

Si te pica la curiosidad, aquí dejé los hilos en versión blog. Y el grupo de Telegram «De la aritmética al álgebra», donde hay material y una comunidad de docentes interactuando en torno a él: enlace aquí.

Vídeos con Eva Cid hablando sobre su trabajo:

Diseño e implementación de una experiencia formativa para futuros profesores de matemáticas sobre variación lineal

Fri, 02 Jun 2023 00:00:00 +0000

Design and implementation of an educational experience on linear variation for prospective mathematics teachers

Abstract

Objective This paper discusses the design, implementation, and analysis of an educational experience focused on linear variation, aimed at prospective secondary school mathematics teachers. The objective of this experience is to improve the prospective teachers’ didactic-mathematical knowledge and to contribute to the development of their onto-semiotic analytical skills. Linear variation is an important topic because it is present in different educational moments through multiple approaches and meanings – arithmetic, algebraic, and functional. As a complex mathematical object, it can generate teaching and learning conflicts, which can be studied to provide useful information about improvement of educational activities. Methodology This is a qualitative investigation, based on the preliminary study, design, implementation, and analysis of 5 didactic activities according to the theoretical principles of the Onto-semiotic Approach. The data gathered for the investigation included video recordings of classes, field notes and written answers provided by nine prospective teachers in the eighth semester of a Licentiate’s Degree in Secondary Education program, specializing in Mathematics. Results The results indicate that linear variation is indeed a complex issue, and deficiencies were found in the didactic-mathematical knowledge of prospective teachers. Likewise, difficulties in terms of knowledge and skills were found when participants were asked to analyze hypothetical responses to tasks related to the concept of linear variation. Conclusions The results of this investigation indicate that experiences such as these can be a valuable resource in educational programs for teachers to acquire knowledge and skills for the appropriate treatment of mathematical content.

Cítese como:

Herrera-García, K., Dávila-Araiza, T., Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2023). Diseño e implementación de una experiencia formativa para futuros profesores de matemáticas sobre variación lineal. Uniciencia, 37(1), 1-23. http://dx.doi.org/10.15359/ru.37-1.16

Matemáticas en la piscina: de la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal

Wed, 26 Apr 2023 00:00:00 +0000

Mathematics in the swimming pool: from proportionality to modular sexagesimal arithmetic

Abstract

The swimming pool stopwatch is an instrument used in the practice of swimming that helps to mark training rhythms. In this way, the instructions given by the coaches must be correctly interpreted by the swimmers, who, in addition, can use the stopwatch to individually control the start and finish times in each repetition. In this article we describe the use of this stopwatch, as well as other issues related to this real context that swimming provides. Likewise, we propose ideas to elaborate classroom proposals in which the context becomes realistic, that is, imaginable for the students, since it will only be daily for swimmers. Also, even for the latter, much of the homework will also be realistic, because who does algebra while swimming?

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2023). Matemáticas en la piscina: De la proporcionalidad a la aritmética modular sexagesimal. Epsilon, 113, 49-55.

Volando voy (Graphing Bee): final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO

Mon, 30 Jan 2023 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2023). Volando voy (Graphing Bee): Final de la XXX Olimpíada Matemática de 2.º ESO. Entorno Abierto, 50, 4-7.

Un pequeño gran extra sobre nuestro equipo de baloncesto

Sun, 04 Dec 2022 00:00:00 +0000

¿Recordáis esta actividad? La estamos haciendo en «tiempo de descuento» con 2ºESO y venía a compartir un par de regalos. Hay cosas que no dejan de sorprenderme.

El regalo, para mí, es que surjan espontáneamente cositas como esta (en dos puntos independientes de la clase). Da pie a poner en común:

La forma de representar gráficamente los datos, distinta completamente a la sugerida mediante un diagrama de puntos.
La forma de codificar el eje de ordenadas. Son datos de % de acierto. Lo reduce a una escala de 0 a 10.
Poner la media en cada gráfica.

Técnicamente, el eje de abscisas no representa una magnitud continua, vale. No obstante, está clara la ventaja de hacer la poligonal para hacer comparaciones, y mientras tengamos claro el objetivo de estos gráficos y lo pongamos sobre la mesa…

Así tal cual ya era oro puro. Pero se podía explotar más. No he tenido más que sugerir pintar todo en los mismos ejes (gráfica de abajo a la derecha). Solo nos faltaría conectar esto con una hoja de cálculo.

Y ha habido otra novedad. Para decidir cuál es la más regular, una alumna ha marcado un intervalo (arbitrario, de +-5) en torno a la media para contar el número de datos que caían ahí dentro. Eso es una medida alternativa a las que veremos después, pero tremenda por el juego que da.

Casi me da vergüenza hacer estadística con todo el pescado vendido. En mi defensa, el curso pasado este alumnado empezó en 1º ESO con probabilidad y estadística y no vieron nada de álgebra.

Análisis ontosemiótico de los contenidos de probabilidad en los documentos curriculares de Perú

Thu, 01 Dec 2022 00:00:00 +0000

Ontosemiotic analysis of Peruvian curriculum documents about probability

Abstract

The objective of this work is to analyze the meanings of probability and how they are articulated in the Peru curricular guidelines at the beginning of secondary education (12- and 13-year-old students). The curricular program and didactic materials in probability are examined by applying the notions of epistemic and didactic configuration from the Ontosemiotic Approach to mathematical knowledge and instruction. The results show an emphasis on the classical meaning of probability to the detriment of the intuitive and frequency meanings. This predominance of the classical meaning implies that all the situations-problems proposed in the curricular material are solved with the application of Laplace’s rule and that all the elementary events are equally likely. In this context, we identify different potential semiotic conflicts related to concepts-definitions, procedures, languages, and arguments that must be considered by teachers when using the curricular material. In this way, professional development programs should be planned to make it possible to exploit the possibilities of the curricular materials and cover the aforementioned aspects.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Análisis ontosemiótico de los contenidos de probabilidad en los documentos curriculares de Perú. Educación Matemática, 34(3), 97-131. https://doi.org/10.24844/EM3403.04

Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO

Wed, 30 Nov 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 49, 2-9.

Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender números decimales

Sat, 26 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender «números decimales». Porque, ¿cuál es el siguiente a dos euros y tres céntimos?

Como la respuesta es dos euros y cuatro céntimos, queda demostrada la proposición inicial.

Ocurre que los «números decimales» son una representación simbólica de los números racionales. Y una propiedad fundamental de estos es su densidad. Vaya, que no hay siguiente. Ni anterior.

¿Cuál es la unidad cuando digo «dos euros y tres céntimos»? ¿El euro? ¿Seguro? ¿O el céntimo? Se trata, sin más, de una manera de expresar el valor económico con cantidades compuestas. Daría lo mismo que el céntimo se llamase penique, real o lacito de chocolate.

Vamos, que en Primaria se aprende sobre sistema monetario, pero los decimales implican meterse en asuntos del racional. Si nos empeñamos en que «decimales = sistema monetario» luego no nos extrañemos de que los traten como a los naturales.

Este fenómeno, tratarlos como naturales, con todos los obstáculos asociados, está más que identificado en la literatura científica. Algunos autores, como Ni y Zhou (2005) le ponen nombre propio: natural number bias.

Y ya está. No era más que una reflexión que quería dejar por aquí después de una charla de pasillo con Rafael Escolano.

Reflexión añadida

Ponemos «números decimales» entre comillas porque… ¿eso qué es? Aquí hay cierto abuso del lenguaje, ya que técnicamente se trata de representaciones decimales.

Al hilo de lo que señalaba @SergioMJGR, no se trata tanto de no trabajar el sistema monetario como de ser conscientes lo que estamos trabajando y los obstáculos que pueden surgir.

Aunque dentro de unos años nos podemos volver a hacer esta pregunta, porque a ver qué pasa con monedas y billetes y cómo medimos el valor económico.

Aprovecho para recordaros a los frikis de la medida, el reparto, la proporcionalidad desde la razón y estas aproximaciones al racional que comparto por aquí, que tenemos un grupo de Telegram.

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Dictados de representaciones gráficas

Fri, 18 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Una de las actividades que trabajamos en el HelloMath de Zaragoza la semana pasada son los dictados de representaciones gráficas. Mucho lenguaje, muchas matemáticas y pensamiento computacional unplugged. ¿Vamos con ello?

Por parejas o pequeño grupo. Consiste en que todos nos inventamos un problema que se resuelve con una operación de fracciones (nos restringimos a suma, resta o multiplicación, dejando la división para otro día, jeje).

Y hacemos una representación gráfica de la operación que lo resuelve. Todo esto sin que nos vean los compañeros. Luego, uno actúa como codificador (hablando de dictados, dictador suena feo 🤭), debiendo dar instrucciones para que el los demás reproduzcan su representación.

No solo reproducir la representación, sino averiguar cuál es la operación que da solución al problema y su resultado. Eventualmente, inventarse un problema que se resuelva con dicha operación.

Se puede hacer de muchas maneras, nosotros pedimos que el codificador no viera la producción hasta haber terminado de describir la representación.

Antes de ponerla en práctica hice una prueba con unos sujetos que tengo cerca y que, en algunas ocasiones, son susceptibles de ponerse con estas historias. Sin darle al scroll, ¿qué creéis que dije para que el otro sujeto llegase a esto?

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 porciones iguales.
Añade una división más.
…

Alegría (la del codificador, yo) 🤭😂, esto… vamos a empezar de nuevo 🤪

Lo que hay detrás de todo esto es que se ponen en juego un montón de consideraciones al respecto de estas representaciones. No solo eso, sino cómo se relacionan estas con los significados del racional, dando libertad para que afloren significados personales.

Si alguien está leyendo esto y le recuerda a otro tipo de actividad, sí. Está inspirado en los dictados geométricos, donde lo que hay que describir es una figura geométrica. Y lo hemos hecho con fracciones, pero es extrapolable a otros contextos.

Retomemos la imagen inicial. Dejo como ejercicio para que deis rienda suelta a vuestra imaginación. ¿Qué operación aparece aquí representada? ¿Qué instrucciones pude haber dado? Os leo.

¿Vamos con la puesta en común? Hilo aquí.

En primer lugar, es una actividad muy abierta y que permite establecer importantes conexiones entre registros lingüísticos. Así que todas las interacciones que hubo (porfa, visitad el hilo original porque son geniales) son valiosas.

Si antes de seguir leyendo una pista más quieres, la raya diagonal que cruza la figura en cuenta deberás tener.

Las instrucciones fueron algo tal que así. Prometo que esta vez dejé que hiciera antes de ver el resultado.

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 partes iguales
Añade otra parte como una de esas.🤔🤪
Sombrea de verde el rectángulo del principio.
Divide toda la figura por la mitad.
Sombrea de rosa una de las dos mitades.

Antes de ir a por la operación que estamos representando, el sombreado de verde, en la cabeza del codificador es para marcar la unidad de medida.

El rosa, para marcar la cantidad de magnitud de interés. Antes de continuar, ¿ya está más clara la operación que estaba en la cabeza del codificador?

En efecto, $\frac{5}{4}:2$ ó $\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}$, lo que da como resultado $\frac{5}{8}$. ¿Se ven los $\frac{5}{8}$ en la figura?

Si os animáis a hacerla en clase, este plato combina muy bien con la invención de problemas (problem posing).

Pd1. Lo de por qué de es multiplicar también lo trabajamos un poquito, pero eso lo dejo para otra ocasión.

Pd2. En la cabeza del codificador, obviamente, la cuestión de las particiones (todas) y los sombreados estaba de diferente manera. 🤭

Fórmula D, un juego de carreras, incertidumbre y riesgo

Sun, 23 Oct 2022 00:00:00 +0000

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Hijo pequeño iba detrás del Fórmula D desde hace un tiempo. Lo probamos en la @NocheInsomneZgz 😍 y bueno, que nos hemos hecho con uno.

A mí me recuerda a un juego de circuitos con lápiz y papel que creo haber jugado en alguna JAEM o similar. Pero es mucho mejor y lo de los dados para introducir aleatoriedad está muy bien traído.

Hay una reglas de conducción en rectas y en curvas que hay que respetar. Y controlar el uso de las marchas. Dependiendo la marcha en la que vas, tiras con un dado o con otro.

Si en las curvas no haces el número de paradas que marca el tablero sufres penalización en los neumáticos.

Hay una versión simplificada donde solo pierdes puntos de “estructura”. Pero la estándar te permite jugar con los frenos, además de con los neumáticos, para arreglar una tirada en una marcha arriesgada. También puedes forzar la caja de cambios.

Toques, daños en el motor, rebufos, escuderías son elementos que tiene en cuenta el juego. Y en las carreras a dos o más vueltas, posibilidad de entrar en boxes. O meteorología, que introduce la cuestión del tipo de neumáticos.

Es un juego divertido y rejugable. Además, muy interesante y fácil de adaptar para sacarle jugo en matemáticas. Variabilidad en los resultados, toma de decisiones en situaciones de incertidumbre, etc.

Idoneidad Didáctica de Materiales Curriculares Oficiales Peruanos de Educación Secundaria en Probabilidad

Tue, 30 Aug 2022 00:00:00 +0000

Didactic Suitability of Official Peruvian Secondary Education Curriculum Materials in Probability

Abstract

Curricular materials constitute a bridge between the planned curriculum and the one implemented in the classroom, mediating student learning. Therefore, it is relevant to for educational research to study their degree of adequacy to the planned teaching processes. Assessing the suitability of these materials requires the development of instruments to guide reflection on the different dimensions that affect the study processes in mathematics. We present a systematic review of the criteria and indicators of didactic suitability to assess the instructional processes on probability within the framework of the ontosemiotic approach, with the purpose of elaborating a guide to assess Peruvian curricular materials of secondary education (students of twelve and thirteen years) in this content. This instrument is applied to analyse the worksheets dedicated to probability of two workbooks that have been developed by the same institution from which the curricular norms emanate. A qualitative methodology is followed, using the technique of content analysis supported by the categories of the Ontosemiotic Approach. The analysis of the worksheets has allowed us to identify some critical points that should be considered in order to optimize their use in the classroom: mismatch of contents with curricular guidelines; predominance of classical versus frequential meaning; absence of articulation of classical meaning with other meanings such as intuitive or subjective; lack of situations involving experimentation, simulation and use of manipulative materials or software; scarcity of contexts to develop probabilistic literacy beyond games of chance; and absence of group tasks that favour interaction between students.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Idoneidad didáctica de materiales curriculares oficiales peruanos de Educación Secundaria en probabilidad. BOLEMA, 36(73), 888-922. http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v36n73a13

No existen las «matemáticas manipulativas»

Mon, 25 Jul 2022 00:00:00 +0000

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No existen las «matemáticas manipulativas». Los manipulativos no son recetas mágicas ni su uso implica una comunión con una visión concreta de las matemáticas. Intento compartir una reflexión veraniega sobre ello.

Mi ejemplo favorito para ilustrar esto son los números enteros. Cualquier modelo concreto, sea con manipulativos o un modelo referido a un fenómeno sensible, presenta obstáculos. Cualquiera. Para saber más sobre los enteros, aquí.

Los números enteros, con sus propiedades de orden y su estructura aditiva y multiplicativa, surgen por una necesidad interna de las matemáticas. A más de uno (a mí me pasó) le vuela la cabeza que haya que detenerse en clase en «tontadas» como por qué (-8) es menor que (-2).

Cuando utilizamos un modelo concreto para esto, funciona porque nosotros, como docentes conocedores de las reglas del juego, explicamos cómo usar el manipulativo. Se suma así, se resta asá, etc.

“Funciona”, en el sentido de una regla nemotécnica. En lugar de aprenderse a palo seco unas reglas algebraicas, te aprendes cómo usar un manipulativo. Dos de estas hacen un -2, junto estas para hacer un cero, etc.

¿Sirve mejor como recordatorio de las reglas de los signos en este caso? Evidentemente, porque tienes más puntos de apoyo para recordar. Pero si se te olvida lo uno, y sigues sin dar sentido a lo otro, estás perdido.

¿Hemos hecho matemáticas en el proceso? ¿Qué matemáticas? Si el manipulativo solo sirve como facilitador para recordar y no como medio para reconstruir el objeto en caso de olvido, cuando hablamos de técnicas como estas de la regla de los signos, lo siento pero tecnología.

El otro día decía que yo nunca digo que no es que no haya que ver técnicas, sino reflexionar acerca de qué técnicas son interesantes y cómo llegar a ellas. Si evitamos ciertos procesos en su construcción, no pasa nada por tirar de tecnología.

Ay, profe, que no sé si $(-2)(+3)$ es $+6$ o $-6$. Había una regla o algo. Desde luego, tendremos algunos alumnos que ya pueden haber vivido la experiencia más constructiva al respecto posible y que sigan teniendo estas dudas.

Pero cuando estemos haciendo matemáticas, tengamos claro qué matemáticas queremos hacer. Si eso es coherente con lo que pensamos, adelante. Nada más.

Otro ejemplo que he mencionado alguna vez, y admito que puede ser más sutil, lo encontramos en las regletas de Cuisenaire. Es verdad que un buen o mal uso pasa, en primer lugar, por el lenguaje que se utilice. Dejando a un lado el tema del color, que se las trae…

Resulta que en aritmética mal, porque no conectan directamente con el conteo. Y en medida, su propósito, regular, porque al ser estructuradas se saltan cositas del proceso de medida y no dan pie a que el alumno construya eso por sí mismo.

Por eso las tareas iniciales suelen ser muy guiadas. Que sea estructurado significa que, aquí, hay 10 regletas con unas medidas concretas. Hay una estructura que permite hacer unas cosas y otras no. Es un material diseñado de antemano para reflejar cierto objeto matemático.

Esto último no es malo per se. De hecho, las regletas podrían servir para establecer conexiones en cierto momento, pero como tareas iniciales de medida tienen sus pegas. Mucho mejor un material sin estructurar para tener que tomar decisiones a la hora de construir la subunidad.

A tope con los manipulativos (en mi perfil hay varios hilos que muestran que los he usado en secundaria). Pero también con la reflexión acerca de su uso. A mí, personalmente, me ha servido de mucho preguntarme si lo que hago concuerda con mi idea de las matemáticas.

Vaya, que con esto no quiero desanimar al uso de los manipulativos, eh. Que sé de coles de primaria donde su presencia es testimonial o nula y eso no puede ser. Y en secundaria, en fin.

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Reflexiones de profesores en servicio sobre la idoneidad didáctica de videos educativos

Fri, 01 Jul 2022 00:00:00 +0000

Reflections of in-service teachers on the didactic suitability of educational videos

Abstract

The notion of didactic suitability has been introduced, within the framework of the onto-semiotic approach, as a tool to guide global reflection on didactic practice, its assessment and progressive improvement. This paper describes a training experience with thirteen inservice secondary school mathematics teachers aimed at developing their competence to analyze and assess the didactic suitability of mathematical study processes. The analysis of four selected educational videos from YouTubeTM is used as a context for reflection, since these constitute a resource widely accepted by the student community as a means of learning mathematics. The participants were initially asked to analyze and assess on a scale of 0 to 10, four videos on directly proportional distributions, previously selected and assessed by a team of researchers. In a second moment, they discussed together what could be the necessary criteria to undertake analyzes of this type. Finally, the didactic suitability tool was presented, showing the detailed analysis carried out by the research team. As a result, it is observed that, although the global criteria given by the participants to assess the videos are very similar to those given by the researchers, certain aspects such as errors and inaccuracies are overlooked. It is concluded that there is a need to carry out specific training actions so that the mathematics teacher knows this tool and acquires competence for its pertinent use.

Cítese como:

Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Verón, A. (2022). Reflexiones de profesores en servicio sobre la idoneidad didáctica de videos educativos. Caminhos da Educação Matemática em Revista (Online), 12(2), 200-212.

Sobre la regla de tres y la proporcionalidad aritmética

Wed, 08 Jun 2022 00:00:00 +0000

Cítese como:

Martínez-Juste, S., Oller-Marcén, A.M., Muñoz-Escolano, J.M., & Beltrán-Pellicer, P. (2022). Sobre la regla de tres y la proporcionalidad aritmética. La Gaceta de la RSME, 25(2), 353-371.

Enlace al número de La Gaceta: https://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=120

La inquietud más habitual al empezar con un enfoque didáctico a través de la resolución de problemas

Sat, 14 May 2022 00:00:00 +0000

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Una inquietud muy habitual cuando empezamos con una enseñanza a través de la resolución de problemas es que se pierde mucho tiempo.

Hago breve hilo que aprovecharé para sacar a pasear hilos antiguos sobre esta cuestión.

Que se pierde mucho tiempo. Que es muy lento. A veces, con esto, se te pide una justificación directa. Otras, argumentos con que contestar cuando alguien les saca la cuestión.
Que se pierde mucho tiempo. Que es muy lento. Respuesta al mismo nivel de argumentación: es que de la otra manera vas muy rápido. 🤷🏻‍♂️
Ya, pero el currículo.
Bueno, precisamente porque el currículo no es un temario. Que por escribir en la pizarra a toda leche el teorema de, yo qué sé, Pitágoras y hacer una página de ejercicios de aplicación no se puede dar por dado.

Cuando empezamos con un enfoque a través de la resolución de problemas, muchas veces se rompe un contrato didáctico que exige un cambio en la cultura de aula. Esto no tiene lugar, ni de casualidad, de la noche a la mañana.

Ni siquiera en dos semanas. En un 1º ESO es más fácil que en un 4º ESO. Y aún así, me atrevería a fijar el período de adaptación en no menos de mes y medio o dos meses. Merece la pena. En cualquier curso.

Ya, pero en 2º de bachillerato…
Que sí, que 2º de bachillerato es especial. Pero aun teniendo la sombra de la EvAU (por favor, que se cambie ese modelo ya), se pueden hacer cosillas. Y la madurez ayuda en cierta manera.

La enseñanza a través de la resolución de problemas es IMPORTANTE para EL ALUMNADO:

Para saber más

En efecto, hay una resistencia cuando se quiere cambiar la cultura de aula. No lo digo yo, está estudiao:

Para saber más

Esta preocupación es más vieja que para qué. Y así seguimos…

Para saber más

La enseñanza a través de la resolución de problemas atiende a la diversidad en todos los sentidos.

Para saber más

¿Cambios que se producen en el alumnado? Con tiempo y coherencia incansable te encuentras con que alumnado «normal» (por favor, comillas, es para decir que no son del grupo que iría a olimpíadas y tal) hace cosas como esto.

Para saber más

De todas maneras, ¿a qué estamos jugando?

Para saber más

Un poco más desarrollado el asunto en este artículo.

¡Pero si se me había olvidado lo mejor! ¿Por qué estas dudas e inquietudes con algo como esto? Pues porque no hemos vivido -en general- este tipo de enfoque como alumnos. Y luego tendemos a buscar seguridad en lo conocido. Enlace al hilo de Twitter

Los profesores de matemáticas, y yo diría que de todas las materias, mostramos cierta tendencia a dar clase de la misma forma que experimentamos como estudiantes, atribuyéndole nuestro éxito. Esto conlleva una aceptación de la ideología dominante. #DidMatCita de Wright (2017)

Wright profundiza en las contradicciones que existen entre las motivaciones y aspiraciones de los profesores al comienzo de sus carreras y la práctica real en los centros. Gates (2006) describe cómo el bagaje social y cultural de los docentes moldea sus creencias pedagógicas.

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Comentarios sobre el Real Decreto LOMLOE de enseñanzas mínimas para Secundaria Obligatoria

Sat, 02 Apr 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Ya hice, hace poco, unos comentarios al de Educación Primaria. Se puede leer aquí.

He leído el RD de enseñanzas mínimas de Matemáticas ESO. Aquí os dejo algunos comentarios. Como siempre, si hay alguna crítica, mi intención es que sea constructiva 🙏🏻. Escribir una cosa de estas es complicado.

Esto es importante. También aparecía en la intro del RD de Primaria, y nunca se hará suficiente énfasis en ello. La resolución de problemas como medio para construir el aprendizaje de las matemáticas.

Me congratula enormemente que no se mencione el «marcado carácter instrumental» de las matemáticas en la intro, como sí se hacía en el RD de EP. Ahora bien, en la cabecera del RD se describe el perfil de salida y me apena ver cómo se diluye lo matemático dentro de los descriptores de la Competencia STEM.

A esta frase se le ha dado la vuelta con respecto al borrador. Reconociendo -cómo no- la importancia que tiene el dominio afectivo en educación matemática, no lo habría incluido de la misma manera en que está a lo largo del RD, pero eso lo comentaré después.

De entrada, me alegra que se haya quedado como socioafectivo, que al principio, al menos en el borrador de Primaria, aparecía como socioemocional. Y lo afectivo va muchísimo más allá de las emociones. Emociones, actitudes, creencias, valores.

Se están haciendo coñas con que la nueva ley es «competencial», como si la anterior y la anterior de la anterior no lo fueran ya. Bueno, es la primera ley que tiene definidas competencias ESPECÍFICAS por materia. Y eso, es un avance.

Las competencias básicas o clave son tan generales que no han resultado operativas NUNCA y que han devenido en hojas de cálculo ad hoc para hacer batidos competenciales a partir de actividades que no son «competenciales».

Es que la idea de competencia…

No voy a entrar en eso. Es un constructo que se usa para establecer una diferencia entre saber y movilizar un saber. Sí que diré que hay cierta confusión entre logos y praxis en la definición de los saberes en el currículo. No son solo «logos».

Mismos 5 bloques de competencias que en EP, pero aquí hay 10 competencias específicas (CE) en lugar de 8.

Resolución de problemas (1 y 2)
Razonamiento y prueba (3 y 4)
Conexiones (5 y 6)
Comunicación y representación (7 y 8)
Destrezas socioafectivas (9 y 10).

Los criterios de evaluación irán ligados a estas CE. El RD indica criterios para:

Los cursos de 1º a 3º ESO (comunes para todos ellos).
Mates A de 4º (las antiguas «aplicadas»).
Mates B de 4º (las antiguas «académicas»).

Los antiguos bloques de contenido son lo que ahora se llama «sentidos», cada uno con sus saberes. Personalmente, no me emociona tanto «sentido», pero se trata de recoger la idea de flexibilidad en la puesta en juego de los saberes y de establecer conexiones entre ellos.

Los sentidos son:

Sentido numérico.
Sentido de la medida.
Sentido espacial.
Sentido algebraico.
Sentido estocástico.
Sentido socioafectivo.

El pensamiento computacional se integra, por motivos organizativos, según se indica, en el sentido algebraico, como en EP.

De las competencias específicas, voy a comentar sobre las dos del socioafectivo. Se ha cambiado socioemocional por socioafectivo, pero. Tenemos la CE9 (bastante emocional) y la CE10 (social). En la CE9 habría enfatizado muchísimo más la cuestión de actitudes y creencias.

La CE10 directamente te la puedes llevar a cualquier otra asignatura. No le encuentro sentido a lo de «equipos heterogéneos con roles asignados». ¿Roles? En matemáticas se trabaja en grupo para interactuar, no para repartir el trabajo.

De hecho, autores como Liljedahl sugieren que es mucho mejor hacer grupos aleatorios de tres alumnos, y que esto se haga visible. Y que roten.

Sobre los criterios de evaluación.

Es que son muy generales. Los estándares, eso sí que estaba bien, claros como el agua.

Pues mira, otro avance. A tomar por saco los estándares. De claros, nada. En esencia, una lista de técnicas, que no ayudaba a unas mates significativas.

En otro momento podemos hacer un hilo para ver cómo se pueden interpretar, aunque la clave es leerlos con los saberes. Es decir, planteas actividades que movilizan y conectan saberes, y las CE y sus criterios te indicarán los procesos que han de ponerse en juego y evaluarse.

Evaluarse formativamente, quiero decir. Que esto es otro melón.

Comentamos un poco los sentidos:

Sentido numérico

Bien que se incluyan estrategias de recuento sistemático, como antesala de la combinatoria.

Para los indignados con la regla de tres, está la proporcionalidad. Y no se menciona ninguna técnica, cosa estupenda, ya que el currículo no debería ser un recetario. Sí aparece la idea de razón.

Para eventuales despistados sobre la regla de tres, remito a episodios anteriores:

Por ponerle pegas al sentido numérico. Los números enteros y las situaciones contextualizadas se llevan regular, especialmente si queremos construir los enteros. Otra cosa es que modelicemos situaciones contextualizadas en álgebra y de ahí surja la necesidad de los enteros.

Sentido de la medida

Aquí me habría gustado una mención a las fracciones. Hay una conexión entre esto y el sentido numérico que habría estado bien remarcar. Más que nada, es que tal como está, te puedes llevar gran parte de los saberes a Experimentales y no pasaría nada.

Sentido espacial

A priori, no echo en falta nada. Entre los saberes y las competencias, se desprende que el foco va (o tendría que ir) en el razonamiento y la argumentación.

Sentido algebraico

Me gusta cómo queda, al margen de la conexión con lo de los enteros del sentido numérico que se podría haber hecho, pero entiendo que sean finuras. Si vamos al detalle, veremos que se ha procurado meter en el mismo saco igualdad y desigualdad. Eso sí, en 1º y 3º (sobre 4º comentaré al final), no aparecen inecuaciones y sí ecuaciones, lo cual es incoherente con lo anterior. Es interesante que aparezcan al mismo tiempo y es algo que ayuda a concebir las letras como variables más que como incógnitas.

En general, sigue habiendo un exceso de «vida cotidiana». En Mates, si nos atuviéramos a esto, terminábamos en los porcentajes y gracias. Se trata de que las situaciones sean cercanas o significativas, que conecten con experiencias previas, etc.

Sentido estocástico

Cambia la nomenclatura respecto al borrador. Tenemos:

Organización y análisis de datos.
Incertidumbre
Inferencia

No veía yo el problema en poner «estadística» y «probabilidad». La inferencia es transversal. Pero tampoco pasa nada porque esté así. Además, en inferencia ya se indica «Análisis del alcance de las conclusiones de un estudio estadístico» Vamos, que es algo que se puede hacer de forma intuitiva e informal, sin tener que recurrir a la teoría de la probabilidad.

Otra cosa del estocástico es que no se identifica el significado subjetivo, ni informal ni formalmente. ¿Desarrollos autonómicos?

Sentido socioafectivo

Si observamos los saberes de los demás sentidos, está claro que llamar saberes a ciertas «cosas» como «Interpretación de la relación entre dos variables» está muy cogido por los pelos. No es solo logos. Bueno, aceptamos la definición de saber «ampliado».

Pero es que todo lo que hay en el sentido socioafectivo… debería ir al aspecto puramente competencial, en concreto, al actitudinal. Volvemos a que puedes hacer copy-paste y llevártelo a cualquier otra asignatura.

La interpretación que yo hago es que con esto se quiere remarcar la importancia y necesidad de su tratamiento. Me sigue inquietando que no haya algo similar en todas las asignaturas.

Especialmente, me supera lo del trabajo en equipo como saber. Y lo de los roles y responsabilidades. 🤷🏻‍♂️

En cuanto a la cuestión de género, se mencionan tanto las actitudes y aceptación de la diversidad (cosa que no pega como saber, es más una cultura de aula a fomentar por el profesorado) como la necesidad de referentes.

Puntualizaciones sobre 4º ESO: Mates A y Mates B

Lo típico, trigonometría en B y no en A y un pelín más de énfasis en cosas de álgebra en las B.

Algo curioso. Tenemos esto sobre proporcionalidad en ambas, A y B. De la misma manera. Señalemos que la proporcionalidad inversa no aparecía explícitamente de 1º a 3º. No sé muy bien a qué obedece esto.

Es verdad que, matemáticamente, la proporcionalidad directa y la inversa son objetos muy alejados. Basta mirar a las gráficas. Pero la inversa se puede trabajar desde el razonamiento aritmético, incluso su gráfica funcional, en 2º-3º ESO.

En el estocástico, en 4º no parece hacerse referencia al significado frecuencial de la probabilidad (sí que se hacía mención a la frecuencia relativa en 1º-3º), aunque el hecho de que se mencionen tablas da margen para ello.

Se pueden comentar más cosas, claro, pero esto ya está quedando suficientemente largo. ¿Qué os ha llamado la atención a vosotros?

Terminando…

Para que tengáis a mano el RD.

https://boe.es/diario_boe/txt.php?id=BOE-A-2022-4975

Me están preguntando que qué pasa con el alumnado con NEE con esto de la resolución de problemas. Claro, porque muchas veces las adaptaciones pasan de problemas y dejan solo las cuentas. Dos cosas. La primera, que el aprendizaje a través de la resolución de problemas facilita mucho la atención a la diversidad (en ambos sentidos). La segunda, hay que entender «problema» (mejor, situación-problema) en sentido amplio, no como problemas de olimpíada. Más información sobre esto en este artículo que tengo con @SergioMJGR, donde intentamos mostrar de qué va esto.

¿Por qué usar Ooodle (y Nerdle) como recurso en clase de Matemáticas?

Tue, 22 Feb 2022 00:00:00 +0000

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¿Por qué usar Ooodle como recurso en clase de Matemáticas?

Tranquilidad, que no es el #Ooodle diario, sino uno de práctica.

Uf, 77, qué número… Veamos, lo primero que me viene a la mente es que es 7x11.
Ya, claro, pero el 11 no está entre los números a elegir, pero 9x8 se queda cerca, solo hay que sumar 5, que es lo mismo que…

¿No será que van al revés el 9 y el 8? Con otros números no me quedo tan cerca al multiplicarlos… y para llegar a 77… Vamos a probar, y buscamos otros dos números cuya diferencia sea 5.

Enhorabuena, Pablo. ¿Eso es todo? Qué va. El orden de las operaciones cambia. Por ejemplo, aquí tenemos primero una resta primero.

No es una tontería. Realmente, exige pensar en estas expresiones de un modo más… algebraico, no en orden secuencial, sino en global. Además, si me encuentro con que necesito disminuir el valor de la expresión a lo mejor primero he de sumar y luego restar algo mayor.

¿Y cómo la podemos usar en clase? Una propuesta es como actividad de calentamiento, dando lugar a una charla de aula donde primen los argumentos para elegir unos números y no otros, favoreciendo la interacción.

Otra, dedicar parte de una sesión en grupos, donde, igualmente, se trate de dar valor al proceso de argumentación. Esto se puede complementar con el diseño de Ooodles, de manera que un grupo se lo pase a otro. Se me ocurre que se pueden plantear restricciones en los números, etc.

En definitiva, que es una actividad para desarrollar el sentido numérico y que llega a conectar con el álgebra. Os dejo el enlace por si no la conocíais, cosa rara en esta efervescencia de Wordle y derivados.

Enlace: https://mathszone.co.uk/resources/grid/ooodle/

Con versión MAX: Ooodlemax.

Atención al NerdleGame y todas sus variantes (que conocí gracias a @smaccarrone). Muy, muy interesante, ofrece incluso más grados de libertad. 💪

Y para los compañeros de Geografía e Historia… el Worldle.

El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas

Mon, 21 Feb 2022 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

The Pythagorean theorem is undoubtedly one of the most fascinating mathematical objects in compulsory education. Its teaching cannot be reduced to the application of the formula $a^2 + b^2 = c^2 $, where $a$ and $b$ are the lengths of the legs of a right triangle, and $c$ that of the hypotenuse. Many authors agree in emphasizing the opportunity it offers to work on conjecture and proof in mathematics. In this article we reflect first on its meaning, reviewing some teaching proposals and research results. Later, we describe in detail the design and implementation of a didactic proposal for 2nd ESO, paying special attention to the planning of the scaffolding and interaction in the classroom, relying on student productions for this.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2022). El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemass. La Gaceta de la RSME, 25(1), 149-169.

Enlace al número de La Gaceta: http://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=119

¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir?

Mon, 31 Jan 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir? Haz la prueba con unos cuantos.

Al escribir usamos un sistema posicional regular de base diez. Para ello, se utilizan 10 símbolos, que llamamos cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y, al hablar, qué. Porque al leer 3200 no se dice tres-dos-cero-cero.

Tampoco se lee cero-cero-dos-tres, como apunta @arivero por los comentarios. 11 por ejemplo se lee ‘once’ y eso es una irregularidad, porque no se dice ‘dieciuno’. Pero más aún, cuando hablamos, ¿usamos realmente un sistema posicional?

Venga, que después de recuperarnos de lo de Nadal y mientras se la juegan los hispanos… Nuestro sistema oral va a ser que lo que se puede llamar un sistema híbrido de base 10 pero con irregularidades.

¿Qué es un sistema híbrido? Pues tenemos el ejemplo del chino tradicional (o del japonés, o como apuntaba @bpalop por los comentarios, el coreano nativo). En el chino tenemos estos símbolos. Es decir, no hay símbolo para el cero, porque no va a hacer falta.

Hay símbolos para la unidad (1), la base (10), para las potencias de la base (100, 1000, 10000, etc.) y para todos los números entre la unidad y la base (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

O sea, que para escribir 50347, lo que hay que hacer es pensar (y escribir) algo así:

5 veces diez mil, 3 veces cien, 4 veces diez y 7.

Y por qué nos vamos al chino para hablar de cómo decimos nosotros los números. Como decíamos, es muy parecido. El nuestro hablado también es híbrido.

Observemos que hay símbolos para los números entre la unidad y la base (dos, tres, cuatro, …, nueve) y también para la base (diez) y sus potencias (cien o ciento, mil). 3200 lo leemos como ‘tres mil doscientos’. 3 MIL 2 CIENTOS.

Pero tiene irregularidades, vaya que si las tiene. Como apuntaba antes, 11 se lee ‘once’ y no ‘diez y uno’ que sería lo normal si el sistema fuese regular. Esto ocurre hasta el quince (hablo del español, eh).

Además, decimo ‘veinte’ y no ‘dos-dieces’ o ‘dos-decenas’. Es decir, hay palabras específicas para las decenas: veinte, treinta, … noventa.

Con las centenas, la cosa empieza regular (regular de bien, de lógica, 😉): dosCIENTOS, tresCIENTOS, cuatroCIENTOS. Pero tenemos la cosa esta del quinientos, donde se pierde un poquito este principio multiplicativo.

Por otro lado, no todas las potencias de la base (10) tienen su propia palabra específica. 10000 es diez mil. Sin embargo, luego 1000000 es ‘millón’.

En el aprendizaje de la lectura y escritura de números hay que tener todo esto en cuenta, porque no es trivial en absoluto. En vocabulario técnico, tenemos que pasar de un sistema posicional a un sistema híbrido. O al revés, claro.

Si queréis profundizar sobre todo esto, os dejo link al capítulo de Cid, Godino y Batanero sobre sistemas numéricos en el proyecto Edumat-maestros.

Y bueno, qué mejor referencia sobre sistemas de numeración que el libro de G. Ifrah, From One to Zero.

Algunas actividades sobre sistemas de numeración al comienzo de la secundaria en este enlace.

Relacionado

@smargeli mencionó una interesante actividad de Fisher y Vince en Investigando las matemáticas. ¿Sabrías rellenar los huecos?

Análisis de la idoneidad didáctica de la probabilidad en el programa curricular de educación secundaria peruana

Fri, 31 Dec 2021 00:00:00 +0000

Analysis of the didactic suitability of probability in the Peruvian secondary education curriculum

Abstract

In this work, we apply the criteria and indicators of didactic suitability to the analysis of the Peruvian secondary education curricular syllabus in probability. The research has a qualitative approach, and the methodology used is content analysis based on the Onto-Semiotic Approach (OSA) categories. The results show a given priority to classical and frequency meaning over intuitive meaning. Situations of experimental proof related to the classical and frequency meaning of probability are proposed, without suggesting experimentation and simulation procedures. In addition, limited attention is paid to prior knowledge on random experiment and frequency estimation, what can cause difficulties and probabilistic reasoning biases. Finally, some deficiencies are observed in the curricular syllabus with regard to the affective dimension, interactive participation and the use of manipulative and computer resources in probability.

Cítese como:

Cotrado, B., Burgos, M. Beltrán-Pellicer, P. (2021). Análisis de la idoneidad didáctica de la probabilidad en el programa curricular de educación secundaria peruana . Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (ALME), 34(2), 547-558.

Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa

Tue, 30 Nov 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa. Entorno Abierto, 43, 27-32.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO

Wed, 24 Nov 2021 00:00:00 +0000

¡Pero si no había subido este hilo a la página! Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO. Elige tu propia aventura como profesor:

A. Esto es sustitución, esto es igualación y esto reducción. Ejemplos y ejercicios.

B. ¿Cuánto vale un croissant?

Los problemas como el del croissant vienen de la tesis de Abraham de la Fuente. Había hecho cosas parecidas anteriormente, pero el desarrollo gradual y explotación que permite su propuesta es tremendo. Aquí solo muestro las líneas generales. Referencias al final.

Vamos allá. La opción A es propia de un enfoque PARA resolver problemas. En este caso la consecuencia habitual es que no se contempla con cuidado el paso de la aritmética al álgebra y todo esto desemboca en malabares mentales y aprendizaje de procedimientos con poco significado.

No es una cuestión trivial. En el de sustitución, por ejemplo, se sustituye una variable por una expresión más compleja. ¿Se ha hecho esto antes? ¿Qué significa? Y si vamos al de reducción, vemos que juntamos expresiones alegremente.

La opción A también te permite «pulirte» el currículo en un par de días.

Vamos a la opción B, que es la que me interesa contaros. No comienza exactamente con el problema del tuit inicial, sino que arrancamos con algo más sencillo que enlaza con los conocimientos previos del alumnado. Esta aparente sencillez lleva asociada ya una carga de profundidad.

Primer problema

Somos tres amigos que han comprado dos ensaladas y tres pizzas para cenar. Solo tenemos el precio total, 19,90 €.

a) ¿Podemos saber el precio de una ensalada y una pizza por separado?

Esta pregunta se podría discutir entre todos, a modo de charla de aula, como calentamiento. Después lo ideal es trabajar en pequeños grupos de 3 o 4 alumnos. Dejar que vayan discutiendo (importante que sea el alumnado), pasar por las mesas y luego al final puestas en común.

Vale, no, no podemos saber cuánto vale una pizza o una ensalada por separado. Sin embargo, con esta información, seguro que podemos decir algo más.

b) Razona que dos ensaladas no pueden costar más de 20 euros.

c) Razona que una pizza no puede costar más de 7 euros.

No os hagáis el remolón. Os invito a tratar de razonar estas preguntas para poneros en el lugar del alumno que trata de abordarlas. Muy pegado al razonamiento aritmético todavía.

d) Razona que cuatro ensaladas y siete pizzas cuestan más de 39 euros.

Hay que estar muy atento a cómo se expresan al responder todas estas cuestiones. Claro, aquí ocurre que 4 ensaladas y 7 pizzas son más del doble.

Y en la siguiente se pregunta exactamente por el doble.

e) ¿Puedo saber cuánto cuestan 4 ensaladas y 6 pizzas? ¿Por qué?

f) ¿Puedes saber cuánto cuestan una ensalada y dos pizzas? Razona la respuesta.

Vaya, resulta que puedo conocer el precio de algunas combinaciones.

h) ¿De qué otras combinaciones puedes saber el precio? Explica.

Aún más. Si supiera el precio de la ensalada, podría decirte el precio de la pizza. ¿No?

i) Di 5 posibles precios de la ensalada y los correspondientes de cada pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la pizza a partir del precio de la ensalada.

INCISO. Con estos grupos habíamos trabajado proporcionalidad incidiendo mucho en la necesidad de asumir una condición de regularidad antes de comparar cantidades de magnitud o encontrar el valor faltante. Pues bien, aquí hubo alumnos que volvieron a hacerlo explícito.

No me lo esperaba. Pero es lo bueno que tiene que esto no sean «unidades» al uso, que facilitan conexiones que ni te esperas.

Si cada ensalada cuesta lo mismo…

Seguimos con un problema similar

a) Razona si con la información que tenemos podemos saber el precio de una porción y una bebida.

Preguntas que siempre hay que discutir y razonar.

b) ¿Podemos saber el precio de 8 porciones y 12 bebidas? ¿Y de 4 bebidas y 2 porciones? ¿De qué combinaciones podemos saber el precio?

c) ¿Podemos saber el precio máximo para una pizza y una bebida?

Por ejemplo, se puede decir el precio de 2 porciones y de 3 bebidas, porque es la mitad.

Se deja algo de libertad para explorar.

d) Di 5 cosas que podemos asegurar del precio de las porciones de pizza, de la bebida o de alguna combinación a partir de la información que tenemos. Esta información puede incluir valores máximos.

e) Di 5 posibles precios de la bebida y los correspondientes de cada porción de pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la porción de pizza a partir del precio de la bebida.

Aquí viene otra estructura…

Preguntas similares a las anteriores, donde la clave es…

Si somos tres amigos, ¿puedo decir cuánto hemos de pagar cada uno? Es decir, ¿puedo saber cuánto vale una porción y una bebida? ¿Podemos conocer más cosas?

Y vamos con un saltito. Si juntamos la información sobre el precio de las dos compras, ¿podemos saber el precio de una porción y tres bebidas? ¿Hay alguna otra combinación de la que podamos conocer el precio? Razonadlo

Con esta información, puedes saber el precio de cada porción y el precio de cada bebida. Explica cómo los encontrarías. ¿Hay más de una forma de saberlo?

En este momento están empleando estrategias verbales que se alinearán con las algebraicas. Es clave que se exploren alternativas y se juegue con la información disponible.

Ahora lo que viene ya son problemas similares donde esas diferentes formas de resolverlo se relacionan con diferentes técnicas algebraicas. Yo en 2º de ESO no les pondría ni nombre, pero veréis que son los clásicos sustitución, igualación y reducción.

Vamos con el del tuit inicial. ¿Cuánto vale un croissant? ¿Cuánto vale un café? Venga, daros un tiempo para pensar un par de formas sin usar álgebra.

Como sé que 2 croissants y un café son 2,8 €, lo que falta hasta 4,8 € serán 2 €.

Me voy a la de arriba y averiguo el precio de un croissant, porque sé que un croissant y un café son 2 euros. Lo que falta hasta los 2,80 € del precio será el precio del croissant.

Veníamos de trabajar lenguaje algebraico con la secuencia de enteros desde el álgebra de Cid. Ningún problema en expresar lo de arriba como $2c+t=2,8$. Lo que hemos hecho antes es sustitución de expresiones algebraicas.

Pero se pueden hacer más cosas. Como sé el precio de 2 croissants y 1 taza de café (por eso la t, que ojo, esto de los literales que uso no es trivial tampoco), puedo saber el precio del doble, es decir, de 4 croissants y 2 tazas.

¡Anda! A qué me suena (como profesor) este método. Ya tengo la c, el precio del croissant, como $5,6-4,8 = 0,8€$.

$4c+2t=5,6$

$3c+2t=4,8$

¿Cuál es la diferencia?

No quiero alargarme mucho más, solo dar a conocer esta aproximación. La cosa sigue con problemas similares. Similares, pero que van introduciendo giros interesantes. Aquí, por ejemplo, el hecho de que ambos conjuntos valgan lo mismo… es uno de mis momentos favoritos.

Es que sé cuántos sombreros valen lo que una gafa.

Ahí lo dejo. Y cuando vemos el siguiente problema entendemos más cosas. ¿Puedo hacer algo similar al anterior? Sí, pero habrá que igualarlos antes…

La evaluación

No quiero alargarme en exceso, solo dar a conocer esta aproximación. Pero sí que me gustaría enseñaros la evaluación. Además de lo que se va viendo en clase, que ya es una evidencia (y se ve mucho si los dejas trabajar), la autoevaluación que hicimos era básicamente esto.

Eso es más que de sobra. Había una tarea extra:

Tarea 2. (EXTRA) Inventa un problema de dos ecuaciones de dos incógnitas y que tenga solución. Resuélvelo, al menos, de una manera. Y bueno, lo llamamos autoevaluación porque van sin nota e indican su percepción.

Esas autoevaluaciones se comentan en clase. Dan mucho juego. Aquí por ejemplo vemos un uso extraño del lenguaje algebraico (los números que multiplican a las letras se suelen poner antes, como coeficientes, para no dar lugar a equívocos).

En general, esa sesión de comentarios es sumamente interesante para poner en común errores o imprecisiones y métodos alternativos de resolución.

Y hasta aquí. Faltaría conectar con la representación gráfica y alguna cosa más, pero eso da para varios hilos y creo que con esto nos hacemos a la idea. Vuelvo a dar crédito a Abraham de la Fuente, a su director de tesis, Jordi Deulofeu por los problemas (imágenes incluidas, salvo la de las palmeras). Es algo que también aparece desarrollado en el libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de C. Calvo, J. Deulofeu, J. Jareño y L. Morera (2016). El enfoque es similar al que puede verse, por ejemplo, en los trabajos del Grup Vilatzara.

Os remito a su tesis Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor, disponible en el siguiente enlace

Y a la presentación de su ponencia en la #IVJEMA de la @sapmciruelos. «Aprender a usar el álgebra mediante la resolución de problemas. Una propuesta de Abraham de la Fuente». Enlace a la presentación

Por mi parte, si os interesan hilos como este, sabed que los tengo bien cosidos en mi tuit fijado.

¡Feliz clase!

Pd. Leches, se me olvidaba. Justo hoy me preguntaban por las adaptaciones significativas y atención a la diversidad. Pues bien. Estas tareas son para todos, no tienes que hacer materiales aparte. Suelo bajo y techo alto.

El problema de esas ACS, que no se nos olvide, es que tal como están las cosas prácticamente imposibilitan la titulación. Pero eso sí que es otro melón.

El caso del número que al multiplicarlo por 45 da 555555555

Mon, 15 Nov 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Multiplica el número 12345679 por 45. Va hilo con actividad maja para ~5ºEP-2ºESO.

Ahora, multiplica 12345679 por 27.

¿Qué observas?

Bueno, pues aprovechando que peque mayor (5ºEP) se ha prestado, os comento. Esto es lo que sale la primera (luego comento sobre el algoritmo).

Y esto es lo que sale la segunda multiplicación.

Amazing, ¿verdad? ¿Qué observas? Tómate tu tiempo, que luego viene lo que viene.

¿Qué observas? Si es que hasta me lo ha escrito…

Nota de clase: no hacer spoilers. Cosas como esta, salen. La mejor forma de trabajarlas, dejarlos en grupos de cuatro.

Preguntas.

¿Y por qué número he de multiplicar para obtener todo doses? ¿Y todo ochos?

Aquí la respuesta de peque mayor.

Efectivamente, por 18. Aquí le he invitado a usar la calculadora, que estaba por la mesa.

Vale, ¿y para obtener todo 8 ochos?
Pues por 72.

¿Es posible obtener números formados por todo 1, todo 2, todo 3, … todo 9?
Sí… vamos a ver.
Pero compruébalo, eh.
Todo 1, por 9. Todo 2, por 18. Todo 3, por 27…

Hasta aquí hemos conjeturado. Y hemos comprobado todos los casos. Sin embargo, ¿por qué ocurre esto?

Al principio, me ha repetido lo de bajar una unidad y subir otra.

Mmm, pero eso es lo que has hecho para construir esos números, no es una razón para que funcione, ¿no? ¿Qué más observas?

Realmente, antes de esta pregunta ya había observado que todo eran múltiplos de 9. Ahora es cuando ha vuelto a ver que si para sacar todo 1 se multiplica por 9, para sacar todo 2 habrá que multiplicar por el doble (18, que es el siguiente múltiplo…).

Cuando lo he hecho en clase sale también la cuestión de las factorizaciones, que realmente es decir lo mismo con otro lenguaje.

$45=5\times 9$.

Por lo tanto, si $12345679 \times 9=111111111$, $12345679 \times 9 \times 5 = 555555555$.

Había prometido que hablaría sobre los algoritmos de los tuits iniciales. Ni le he dicho de hacerlos a mano ni cómo. Como veníamos de hacer el otro día esta otra actividad

Me ha preguntado si podía hacerlo como quería, y le he dicho que sí. Ahora bien, al final le he preguntado si tener los algoritmos ahí delante le ha ayudado con sus observaciones o no. Es decir, si se había fijado en ellos o no.

No, lo de cada fila no tiene nada que ver…

De hecho, esta actividad la vi hace tiempo en la Guía Praxis, aunque está recogida en más sitios. Y se propone directamente con calculadora. Porque aquí el algoritmo no aporta nada.

Con este hilo he querido mostrar, por un lado, una actividad sobre «la multiplicación» y sus cositas asociadas. Por otro, contrastar el objetivo con el de la del otro día, la de hacer el algoritmo de izquierda a derecha, que también era rica, pero diferente.

Alejados de la vida cotidiana TM

Ayer escribí un hilo sobre una actividad para hacer en clase de matemáticas que, en realidad, está muy alejada de la «vida cotidiana» TM. Es puramente intra-matemática. ¿Cómo se motiva al alumnado para hacer esto?

Si esperáis una receta mágica, aquí no la encontraréis. PERO.

Me atrevo a sintetizar el asunto en las siguientes claves:

Que estas tareas se planteen sobre los significados personales de los alumnos. Es decir, sobre lo que ya conocen los alumnos, no sobre lo que se supone que saben. Insisto, sobre lo que conocen y cómo lo conocen.

Para eso es indispensable que el trabajo parta de ellos. Por esta razón, en algún momento del hilo hablaba de que estén en grupos de cuatro, de puestas en común, etc.

De esta manera los significados se «negocian», en lugar de «imponerse». Y esto quiere decir que se construyen. Es eso lo que permite que el aprendizaje sea significativo (por esto hablo en este hilo de significado) y no si el contexto (o decorado) es de la vida cotidianaSigno de marca registrada o no.

Que la cultura de aula tenga integradas este tipo de tareas, donde aunque las preguntas iniciales puedan parecer tontorronas, sepan que siempre hay algo más. Ese tipo de tareas no hace falta disfrazarlas de nada.

Estos cambios en la cultura de aula no llegan de un día para otro. Siempre lo digo. Esa resistencia, además, no es cosa mía, está recogida en la literatura científica sobre el tema. Y la solución, que no receta mágica, pasa por mostrarse coherente.

Así que, respondiendo a la pregunta inicial, no se motiva a los alumnos de ninguna forma específica para realizar esa tarea. Lo que se busca es la motivación intrínseca.

Y bueno, en la búsqueda de esa coherencia, ayuda mucho, especialmente, la evaluación. Pero eso es otra historia, sobre la que ya hemos hablado alguna vez, y seguiremos haciéndolo.

Más sobre la regla de tres

Mon, 18 Oct 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, de nuevo, recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

Ha vuelto a hablarse mucho de la regla de tres esta semana. Ocasión que aprovecho para escribir un poquito más sobre el asunto. Prometo que incluyo novedades respecto a episodios anteriores.

No es que esté obsesionado con el asunto particular de la regla de tres. O sí y me lo tengo que hacer mirar, yo qué sé Cara de loco. Tan solo es que me parece algo paradigmático. Lo que me quita realmente el sueño es el aprendizaje mecanicista e instrumental de las matemáticas.

Ñeñeñe, cómo que las matemáticas no son instrumentales. Mira, no vivo en burbuja. Ya sé el papel que juegan en otras disciplinas y en la vida cotidiana (y en esto último está sobrevalorado). Sin embargo, centrarse en lo instrumental es una receta para el desastre.

Pero eso es otra historia que debe ser contada en otra ocasión. A lo que íbamos, esta semana me animé a plantear un hilo interactivo, donde animaba a compartir problemas «de regla de tres», que me tuvo muy entretenido. Más de la cuenta, quizás, aunque sarna con gusto, no pica.

El hilo fue muy interesante porque aparecieron problemas de valor perdido o faltante, tentativas de comparación (donde no procede la regla de tres y sigue siendo proporcionalidad), repartos, pseudoproporcionalidad (que no tienen sentido), etc.:

Recuerdo que la regla de tres es una técnica que encuentra su justificación en las reglas del álgebra. Es decir, la justificación es sintáctica. $\cfrac{a}{x} = \cfrac{b}{c} \Rightarrow x = \cfrac{a \cdot c}{b}$

El «este por este entre este» sale de ahí.

Pues ya está, ¿no?
Pues no.

El caso es que los problemas «de regla de tres» son aritméticos. Y una característica esencial de la aritmética es que el control no es sintáctico, sino semántico. Es decir, radica en el significado de los números que intervienen. En cada momento.

He puesto problemas «de regla de tres» entre comillas porque técnicamente se conocen como de valor perdido o faltante (missing value problems). Es decir, se trata de encontrar uno de los cuatro valores de la proporción. No son los únicos problemas de proporcionalidad.

Están los de comparación, por ejemplo, donde no vale la regla de tres. O situaciones donde no tenemos números.

Entre las interacciones, aparecen variantes de esto:

No, es que siempre hay que comprobar si se puede aplicar. Con eso ya estaría evitando esa ilusión de linealidad.
¿Comprobar el QUÉ?

Para los nuevos, la ilusión de linealidad consiste en creer que una relación es de proporcionalidad cuando no lo es. El aprendizaje mecanicista basado en técnicas tipo producto cruzado o regla de tres la fomenta.

Lo fomenta por mucho que nos hagamos la pregunta, ¿es directa? ¿es inversa? Lo de comprobar si se puede aplicar se las trae. En primer lugar, para comprobar algo primero hemos de haberlo CONSTRUIDO. Y eso pasa por caracterizar muy bien a qué llamamos relación de proporcionalidad.

En lo que sigue me centraré en la proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa es un objeto muy alejado matemáticamente y daría para otro hilo. De todas formas, mucho de lo que comento aquí es, en esencia, extrapolable.

COMPROBAR. El qué.

¿Que a doble de una tengo doble de otra? ¿Y a triple?
¿Que a más, más, y a menos, menos? Esos argumentos como caracterización no valen. Pueden servir, una vez CONSTRUIDO el modelo en matemáticas, para ver si es sensato para estudiar un fenómeno físico.

Esa construcción es delicada y lo que está detrás como idea matemática es el significado del número racional. La proporcionalidad nos ofrece, quizás, el más abstracto de todos los objetos de la aritmética escolar.

Pensemos en los números naturales, que ya son abstracciones. Cuando «repartimos» una cantidad de magnitud entre otra para obtener una razón, esa razón es un nuevo tipo de objeto, con un nivel mayor de abstracción. Simboliza una relación. Aparece una nueva magnitud.

Si para una receta de limonada echo 3 litros de zumo por cada 10 de agua, puedo calcular las siguientes razones: 3/10 (tres décimos o 0,3, que son otras representaciones de dicha razón) y que significa los litros de zumo que echo por cada litro de agua.

10/3 de litro de agua que echo por cada litro de zumo. Aún podrían obtenerse más razones, como la cantidad de zumo por litro de limonada. O al revés. Bien, el caso es que el 3/10 es una cantidad de una nueva magnitud que no aparecía en el texto de la situación.

A veces, estas nuevas magnitudes tienen nombre propio. Cuando digo que María corre 10 km en 50 minutos, 10/50=1/5=0,2 es velocidad. Los km que recorre en cada minuto. Al revés, 50/10= 5 sería ritmo, minutos que tarda en recorrer un km.

Por supuesto, para poder hacer esas divisiones tengo que asumir una «condición de regularidad», sino no tiene sentido ni plantearla. En el caso de la limonada, que siempre se eche la misma cantidad de zumo por cada litro. Sobre esto ya he hablado en otros hilos.

A fin de cuentas, esta abstracción se traduce en verbalizar el significado de las razones implicadas (decir qué significa una «división»). Es muy importante, porque claro, luego están las conexiones que aparecen con funciones, análisis y con álgebra.

Vaya por delante que la aproximación vía el uso de estas razones ya es mucho más potente que la regla de tres para situaciones cotidianas. Si no lo piensas es porque te enseñaron así. Hay gente plenamente funcional a la que no se la enseñaron. Luego volvemos a esto.

Cuando nos vamos a identificar la relación de proporcionalidad desde funciones y gráficas, vuelve a aparecer el concepto clave que conecta todo, en este caso. La razón, tal y como la hemos introducido antes.

La representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen. ¿Y su pendiente?

Si no quiero reducir todo a una serie de ejercicios triviales, tendré que recurrir a darle significado, para además conectar con los conocimientos previos. Y aquí entra en juego el significado del racional como razón.

Significado que la regla de tres no desarrolla porque directamente lo ignora. Por lo tanto, si no lo he desarrollado y quiero conectar con esa idea, ¿qué? A ver, que el significado de estas cositas no se construye por arte de magia. Exige una planificación y cierta coherencia.

Esta idea de pendiente, razón… se conecta, mirando hacia el álgebra, con la constante de proporcionalidad. Y mirando hacia el análisis, con la tasa de variación media. Concepto sobre el que sustenta la derivada. ¿Vamos con los cimientos bien asentados?

Por supuesto, en el hilo ha habido quien detecta esta eliminación de la regla de tres como un ataque. Tanto docentes como familias. En este último caso, en un tuit me dicen que eliminemos lo que queramos, que en casa seguirán enseñando la regla de tres.

Aquí tenemos un problema de creencias, que se puede sintetizar en algo así:

A mí me enseñaron la regla de tres y aquí me tienes. No será tan mala. Además, la uso para todo. Controlo perfectamente cuándo se puede usar y cuándo no.

La divulgación en este sentido ha de ser cuidadosa y respetuosa. Lo mismo que en clase, no se trata de prohibir la regla y ya. Es cuestión de enfocarlo dando significado. Y que la evaluación sea coherente con lo que se hace.

Creo que pensar que el objetivo de fondo no es resolver un tipo concreto de problema, sino estudiar un tipo de relación y desarrollar el significado del racional como razón, ayuda.

Cuando terminé de responder a los problemas planteados en el hilo interactivo, me dio por poner este problemita.

https://twitter.com/pbeltranp/status/1448405548924293129

Se trata de la traducción de un problema utilizado por Cramer et al. (1993), quienes lo propusieron a una muestra de 33 futuros docentes de educación primaria.

32 de los 33 futuros docentes emplearon la proporción: 9/3 = x/15; 3x = 135; x = 45. Cabe observar que este problema es perfectamente resoluble, no como otros de pseudo-proporcionalidad (si hay 10 médicos en la planta 2, ¿cuántos habrá en la planta 5?).

De Bock et al. señalan que la cuestión con el problema de las corredoras es que se presenta en el formato clásico de un problema de valor faltante («de regla de tres»). Eso ocasiona que esta situación aditiva se interprete como multiplicativa.

En mi encuesta gana la opción correcta de 9 vueltas. Pero casi la cuarta parte opta por decir 5 vueltas, resultado que se obtiene aplicando la regla de tres o una estrategia multiplicativa.

La diferencia con el estudio original, donde casi todos contestaban 45 vueltas, puede tener que ver con el idioma o con la forma de plantear la regla o el producto.

Y nada más, que vaya turra. Más hilos como este, o con secuencias didácticas, en mi perfil. Sí, si os sabe a poco este, tengo alguno más sobre la regla de tres, proporcionalidad y número racional.

Epílogo 1

Como os habéis quedado con ganas, me parece muy pertinente este hilo de @RadiactivoMan. Realmente, el tema de la modelización en experimentales lo he mencionado ya, pero aprovecho para escribir un poquito más.

La modelización en matemáticas y experimentales sigue caminos opuestos. En matemáticas se construye y se abstrae ese modelo ideal, mientras que en experimentales se utiliza para predecir y conocer más de lo sensible.

Al hilo de lo que dice @RadiactivoMan, en experimentales se comprueba si el modelo matemático se ajusta o no a cierto fenómeno y bajo qué condiciones.

Tengo un PERO importante con respecto a los factores de conversión. Son muy fáciles de aplicar (tacha, tacha, tachán) y, de nuevo, ocultan la relación de proporcionalidad que hay detrás de, en muchos casos, un simple cambio de unidades.

Verbalizar esa relación, aunque cueste más, da un mayor control de lo que se está haciendo. Vamos, que no se trata de despejar de aquí y de allá, entiendo, sino de comprender a fondo cómo es la relación entre esas magnitudes.

Además, el uso de esos factores da la sensación de que el alumno en cuestión sabe lo que está haciendo. Cuando a lo mejor solo le interesa que “cuadre”.

Epílogo 2

Nada, como veo que hay quien se interesa por esto, aquí va una referencia fácil de leer de un clásico como Skemp sobre las matemáticas instrumentales y las relacionales.

Un saludo y… ¡feliz clase!

Aritmética sexagesimal en la piscina

Mon, 11 Oct 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Me gusta nadar. Así que tendréis que aguantar unas breves divagaciones acuático-matemáticas por mi parte.

En natación, al igual que en atletismo, suele hablarse de ritmo en lugar de velocidad. Es decir, cuando decimos que vamos a uno treinta el cien, significa que tardamos 1'30'' en nadar 100 m. Siempre ritmos. En cambio, en Tokyo 2020 las retransmisiones mostraban esto:

Bueno, menos mal que por lo menos iba en m/s y no km/h. Reconozco que servía para comparar, pero hubiese dado mucha más información conocer el ritmo de los 100 m o los 50 m.

El segundero de pared que podemos encontrar en muchas piscinas precisamente permite controlar, entre otras cosas, los ritmos. Y las cuentas que se echan para ello son en sexagesimal.

Si vamos a hacer series de 100 crol cada 1'30'', eso significa que se sale cada ese tiempo. Es decir, que la idea es llegar antes y descansar hasta que toque salir. Saliendo con la «roja arriba» en la primera, en la segunda se sale con la «roja abajo». Y así.

Sin embargo, si la cosa no cuadra tanto, se complica un poco. Supongamos que hacemos series de 50 m cada 50''. Salimos con la roja arriba. En la segunda, tocará salir con la roja a menos diez. En la tercera, con la roja a menos veinte. Y así.

Esto, además de ser un sistema que te indica cuándo salir, te permite contar las series. Si vas cansado o te despistas pensando en otra cosa, es habitual perder la cuenta. ¿Llevamos 5 o 6 series? La respuesta siempre es 6, aunque lo más probable es que llevemos 5.

Bromas aparte, el control con el segundero te permite saber la respuesta real. En la quinta se sale a y veinte. Y en la sexta a y diez.

Todo esto abre la puerta a plantear problemillas majos en clase. Desde indicar en qué posiciones se sale en las series si son cada cierto tiempo, a indicar en qué posición estará la aguja de un determinado color en la serie número n.

Más aún. A qué intervalo estamos haciendo las series si estamos por la quinta, hemos salido con la azul arriba y ahora está en esta posición. Vamos, creo que esto da para una secuencia de tareas ricas. Y solo son pinceladas.

Si se va a nadar algo medianamente largo, como a partir de un 200 m o un 400 m, una mirada al salir de la vuelta te permite controlar el ritmo. Para eso tienes que saber cuándo has salido o cuándo has tocado la última pared.

Alguna vez, hablando con @SergioMJGR, me señalaba la posible pérdida del 25 como punto de referencia sencillo para las cuentas mentales, al no existir monedas de 25 ct de euro.

El caso es que en natación sigue usándose mucho. 4x25 son 100 metros, 8x25 son 200 m y para nadar 400 m tendrás que hacer 16 largos. Piscina de 25 m, claro.

Todavía recuerdo cuando un chico en la piscina creía haber nadado 3000 m, todo orgulloso, cuando en realidad había nadado 1500 m. Menudo chasco cuando le dije que eran 25 m cada largo, no 50 m.

Una experiencia formativa con BlocksCAD con futuros docentes de matemáticas en secundaria

Sun, 10 Oct 2021 00:00:00 +0000

A training experience using BlocksCAD with future high school teachers of mathematics

Abstract

Some of the software tools used in the modelling and manufacturing processes of 3D objects and parts offer an excellent opportunity for the development of mathematical knowledge and skills, while allowing the establishment of inter and intra-disciplinary connections. This article describes an experience with 22 future secondary school teachers, students of the Master’s Degree of Teaching in Secondary Education. The task proposed to the participants was the modelling of a dice considering those factors that may affect its bias, using the BlocksCAD block programming environment. This software allows for the description of parts using geometric primitives, transformations and logical operations. Once the modelling was finished, the participants were asked to propose didactical sequences that establish the aforementioned connections. The written productions of the participants were collected and analysed, as well as the xml files with the construction of the dice. The results show three different types of modelling, as well as a great variety when using the available blocks. The establishment of connections in the didactic sequences is, in general, weak, which opens the door to the need for similar experiences where connections with other subjects are made explicit.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Muñoz-Escolano, J. M. (2021). Una experiencia formativa con BlocksCAD con futuros docentes de matemáticas en secundaria. Didacticae: Revista de Investigación en Didácticas Específicas, 10, 71-90.

Cosas que tuvimos en cuenta al hacer la programación didáctica de 2º de ESO

Fri, 01 Oct 2021 00:00:00 +0000

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Os puedo contar cómo hicimos la programación de Matemáticas el curso 20/21 para 2º ESO. Todos sabemos que fue un curso especial y que añadió un reto especial por lo del curso anterior. Creo que ilustra el proceso de planificación anual.

A ver, antes de que alguien se haga ilusiones, no voy a describir cómo hacer el documento de la programación. Me voy a centrar solo en el aspecto más importante, la organización de los contenidos. Es necesario, al menos en Matemáticas, para que tenga cierta coherencia.

¿El reto? Pues que este alumnado durante el curso 19/20, en 1º ESO, había trabajado en presencial probabilidad y estadística, naturales, divisibilidad y racional (fracciones, conexión con la notación decimal y proporcionalidad).

En modo confinamiento optamos principalmente por tareas ricas de geometría relacionadas con el área de figuras planas y lugares geométricos. Muchas de ellas, aunque siempre había alternativas, para hacer con GeoGebra.

Hubo tareas de conjetura que suponían avanzar hacia la generalización. Pero álgebra como tal, no. Y si alguien echa de menos los enteros, qué poco me ha leído Cara guiñando un ojo. Esperábamos hacerlo en un entorno algebraico y decidimos dejarlo para el curso siguiente.

¿A favor? Que en estos grupos hasta marzo del 19/20 se consiguió construir una cultura de aula en un enfoque de enseñanza y aprendizaje a través de resolución de problemas. Y que las actividades en tiempo en confinamiento fueron bastante coherentes con ello.

Hasta aquí el contexto. Siempre es importante, pero, en este caso, más. Vamos a ver ahora cómo planteamos el asunto. En primer lugar, tomamos la decisión priorizar bloques que no se hubiesen visto bien durante el curso anterior.

Por ello, probabilidad y estadística iban a tener poca presencia. Ninguna no, que os veo venir. El curso anterior se trabajaron muy bien. Y se planificó incluir alguna tarea aislada o charlas de aula, así como dedicar unos días sobre dispersión al final.

Plato fuerte. Evidentemente, álgebra y enteros. No es mayor problema, casi mejor porque el alumnado es más maduro y, como he dicho, estos grupos desarrollaron una actitud muy proactiva hacia la resolución de problemas.

Enteros y álgebra. Parte 1. Lo que pensábamos haber hecho en primero y que son unos dos meses. Es una secuencia particular a la que os podéis aproximar desde estos hilos.

Estuvimos hasta mediados de noviembre, más o menos según lo planificado. Intercalando alguna actividad corta de números o estimación.

Hasta la primera semana de enero, nos pusimos con funciones. Que tampoco se vieron el curso anterior y ofrecen una conexión brutal con el enfoque que estábamos usando para el álgebra, donde la idea de letra como variable es fundamental.
Vuelta al álgebra con la parte 2, que culmina en la «formalización» completa de los enteros y sus propiedades. Esto fue un mes más. En este punto se ha hecho álgebra, mucha álgebra. Ecuaciones de primer grado con las técnicas estándar habituales, ninguna. Ni falta que hace.

Que el álgebra aparezca en dos momentos (serán tres) ofrece una oportunidad para reenganchar a alumnado al que le cuesta esa inevitable capa de abstracción. El esquema de evaluación lo tengo por los hilos y, desde el sábado, en el canal de MatEduMat.

Divisibilidad. Una semana. Se había trabajado bien el curso anterior. Problemas ricos y pa’lante. Esto nos plantaba, más o menos, en marzo.
Modelo de reparto para revisitar las fracciones y obtener representaciones polinómicas decimales y conectar con la notación decimal en un sentido. Necesario porque en 3º ESO se usará para culminar esa conexión entre representaciones vía álgebra en el otro sentido.

En paralelo, a veces se planteaban pequeñas situaciones o cálculo mental sobre diversos aspectos, como propiedades de potencias. Con esto nos poníamos a finales de marzo.

Algunos días para proporcionalidad compuesta e inversa y porcentajes. Hasta mediados de abril o así. Los días los íbamos ajustando sobre la marcha, que una cosa es la planificación inicial y otra la realidad, claro. Recuerdo que hablo de la planificación anual.

El ajuste se consigue en aquellos bloques familiares para el alumnado, con la selección de más o menos tareas de clase. El currículo a día de hoy es espiral… Suele ser una espiral de atontamiento, pero también podemos usarla para el bien.

Así que a finales de abril nos ponemos con geometría. Secuencia del teorema de Pitágoras donde se revisitaba la cuestión de las áreas de figuras planas, cosillas de álgebra (anda, he dicho álgebra en tres momentos, pero serán cuatro).
Mediados de mayo. Vuelta al álgebra, con sistemas de ecuaciones. Esto lo tengo que contar porque nos encantó el trabajo. Había hecho cosillas parecidas, pero nada tan sistematizado como la propuesta de @srdelafu. ¿Cómo? ¿Sistemas sin haber «visto» ecuaciones? Sí. Y repetiría.
En junio hicimos lo de la dispersión que comentaba al principio. El tener juniembre es algo lamentable (septiembre también, pero juniembre más), por lo que creo que el trabajo de planificación fue más necesario que nunca.

Y hasta aquí. Obviamente, es necesario sentarse en las no-reuniones de no-departamento (aquí en los CPI no tenemos departamentos) para ir ajustando y planificando a corto-medio plazo. Sin embargo, es indispensable organizar el curso de manera coherente.

Créditos

Imagen de cabecera: Unsplash

La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España

Thu, 09 Sep 2021 00:00:00 +0000

The probability in the problems of High School Math Olympics in Spain

Abstract

Among the participants in Mathematical Olympiads, it is usual to find mathematically gifted students. Therefore, from the point of view of the research about gifted students, it is interesting to analyze the problems proposed in these events. The objective of this work is to analyze the cognitive demand, the languages and the procedures of the mathematical tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semifinal and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). We focus our attention on probability problems to characterize the representativeness of this content in the Olympics. The results show that all the proposed tasks in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for the high mathematical ability students, including tasks of the higher level according to the same model, whose satisfactory resolution could become an indicator of high mathematical ability. On the other hand, the scarcity of probability problems in these tests, shows the need to propose more in these contests, promoting their learning in secondary education.

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en los problemas de olimpiadas matemáticas de Secundaria en España. Contextos Educativos. Revista de Educación, 28, 29-50. https://doi.org/10.18172/con.4970

¿En serio pones este problema en 2º ESO?

Wed, 28 Jul 2021 00:00:00 +0000

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Este curso, después de trabajar el siguiente problema con los alumnos del máster ESOb, me preguntaron que si eso de verdad se lo planteaba a mis alumnos de secundaria.

Sí, me gusta verlo en 2º ESO.
Ah, ¿en serio?
A ver si mañana os puedo enseñar algo que hicimos en enero.

¿Y si antes de continuar pruebas a resolverlo? 😉

Se trata de que, si yo te pregunto por cuántos cuadraditos pasará en una retícula de $m \times n$, seas capaz de decírmelo. Coge una hoja cuadriculada y dale, que luego se vienen spoilers.

Aunque no voy a dar la solución, por lo menos de entrada, que hoy ya hay muchas pistas en el ambiente tuitero-matemático.

Si lo habéis intentado, habréis visto que tiene miga. De ahí la pregunta de los alumnos del máster. Al día siguiente, pregunté a una alumna de 2ºESO que si me dejaba hacerle una foto a lo que hizo con el problema, que quería enseñarla.

No llegó a la solución final, que es un poco lo de menos en este caso, pero actitudes hacia la resolución de problemas…

Aquí dibujando diferentes casos para luego conjeturar.

Más casos.

Aquí todas las observaciones que hizo en el proceso. Realmente, le faltó un pelo. Tenía prácticamente todos los ingredientes sobre la mesa. Y se intuía que el problema era de “divisibilidad”.

Muchos otros alumnos hicieron también observaciones muy interesantes que les llevaban, de una forma u otra, hacia la divisibilidad: pares, impares, primos, etc. Unos poquitos dieron con la solución general y unos poquitos menos fueron capaces de argumentar un poco más el porqué.

Es un problema muy majete. Ya estaba en los materiales que heredamos de Julio Sancho para el máster y es un problema que aparece en el librito del Shell Problems with patterns and numbers, descargable en https://mathshell.com

Yo tengo en papel la edición en español. Al contrario que con El lenguaje de funciones y gráficas, la traducción de este, que yo sepa, no está disponible gratuitamente en la web del ministerio.

También aparece, por lo menos, en uno de esos materiales fenomenales de finales de los años 90. Las guías Praxis. Pero eso ya… como no lo encontréis en vuestro departamento o en alguna biblioteca …

No os perdáis este hilo de @rober_fun (ha sido verlo y pensar en este problema, ya os decía que hoy había pistas 😉). Y, si sois docentes, dejad volar la imaginación en torno a las aplicaciones didácticas de lo que sale ahí. Bueno, o dejadlo para septiembre.

No sabe multiplicar en 1º de ESO

Thu, 15 Jul 2021 00:00:00 +0000

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1º ESO.

¡Si es que no sabe ni multiplicar!

Cuando he tenido este tipo de conversaciones, siempre he respondido con:

¿A qué te refieres con que no sabe «multiplicar»?

Pongo comillas porque primero hay que ver qué es lo que no sabe exactamente. Pero vaya, el big problem es que no se saben las tablas del todo o que no controlan los algoritmos para hacer cuentas con números de más de dos cifras.

El big big problem sería que no fuera capaz de abordar situaciones multiplicativas y que no tuviera estrategias alternativas. Este big big problem resulta que muchas veces va de la mano del big problem anterior.

Porque si se incide en la repetición mecánica de algoritmos sin comprensión se quita tiempo a la resolución de problemas de verdad. Y la repetición mecánica basada en la memorización bruta de hechos numéricos sin darle significación conlleva que nos dejamos atrás a muchos.

No solo eso, sino que los que «no nos dejamos atrás» y «tiran para adelante» lo hacen con una base matemática muy pobre. Pero vaya, que me estoy yendo por las ramas…

¿Qué nos puede hacer pensar que, si en 6 años de primaria no ha sido capaz de hacerse con las tablas o con el algoritmo, va a ser capaz de coger soltura repitiendo más de lo mismo?

Si en 1º ESO no se sabe la tabla de multiplicar, que trabaje con ella al lado. Si no controla los algoritmos, que utilice la calculadora. Lo que sea. Cualquier cosa, menos tenerlo anclado a esas matemáticas en las que lleva tiempo fracasando. Nuevos horizontes.

Lo que no quita para que, en el contexto de un taller, se puedan reconstruir ciertas cositas. Revisitar los algoritmos con material manipulativo y reflexionando sobre lo que se hace, sin más afán que la comprensión, es un momento ¡ajá! en toda regla.

Momentos de los que he sido testigo incluso en prácticas de Didáctica de la Aritmética I.

¡¡Así que esto era por esto!!

Pd1. No me vengáis con el no sé qué de las tablas de multiplicar y la memoria, por favor. Distingo memoria de memorieta. Asociar excelencia matemática y exigencia a saberse las tablas es de risa. Enlace a otro hilo sobre esto de las tablas de multiplicar

Pd2. Formas de ver los algoritmos desde la comprensión en primaria para profundizar en propiedades del sistema decimal posicional y que pueden continuar con tareas ricas sobre estos no centradas en la mera repetición:

¿Alguien más ha puesto melodía a lo del big problem o es que estoy muy mal?

Faceta epistémica de los conocimientos didáctico-matemáticos de futuros profesores de secundaria sobre variación lineal

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Herrera-Garcia, K. J., Dávila-Araiza, M. T., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Faceta epistémica de los conocimientos didáctico-matemáticos de futuros profesores de secundaria sobre variación lineal. En A. M. Rosas Mendoza (Ed.), Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas (pp. 1-19). Editorial Lectorum.

Las situaciones-problema y el lenguaje de la probabilidad en los libros de texto en Educación Secundaria en España

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Las situaciones-problema y el lenguaje de la probabilidad en los libros de texto en Educación Secundaria en España. Libro de actas de CIMIE21: IX Congreso Internacional Multidisciplinar de Investigación Educativa. Asociación Multidisciplinar de Investigación Educativa.

Una propuesta de secuencia didáctica sobre variación lineal para la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria.

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

A proposal for a didactic sequence on linear variation for the initial secondary school mathematics teachers education

Abstract

Linear variation constitutes a complex mathematical object involving different representations. At the curricular level, it takes elements of arithmetic and allows to progress and strengthen algebraic and functional thinking. Therefore, it is reasonable that different teacher education programs consider training programs to consider learning experiences that address the various facets of professional knowledge and competences involved in linear variation. In this paper we present some activities of a didactic proposal that considers the development of didactic-mathematical knowledge and competences, based on the mathematical content, the design of tasks and the analysis of student responses.

Cítese como:

Herrera-Garcia, K. J., Dávila-Araiza, M. T., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Una propuesta de secuencia didáctica sobre variación lineal para la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 108, 263-289.

Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria

Thu, 01 Jul 2021 00:00:00 +0000

A didactic proposal of probability for the beginning of secondary school

Abstract

Considering that probabilistic reasoning should be an educational priority, this article presents the design and theoretical foundation of a didactic sequence for the teaching of probability in the early years of secondary education (12-13 years). The sequence has a teaching approach through problem solving, specifically based on the articulation of three of the meanings of probability in secondary education: intuitive, frequentist, and classical. With this didactical objective, six problem-situations are described, and some additional observations that complement them. The first one, to express the probability as a degree of personal belief, introduce non-equiprobable events and construction of absolute frequency diagrams. The second creates situations to assign probability to an event and assign an event to a probability. The third is a situation to discuss random and deterministic phenomena. The fourth situation has the objective of formalising concepts such as impossible event or certain event, as well as procedures such as tables and tree diagrams to disaggregate sample spaces and the application of Laplace’s rule when considering compound events. The fifth and sixth address situations where Laplace’s rule cannot be applied. The sequence is a flexible proposal that articulates playful strategies, use of origami, and visualisations of fragments series, which stablish connections with other curricular contents and influence in the affective domain. Besides, the sequence can be adapted to different educational contexts.

Uma proposta didática de probabilidade para o início do ensino fundamental II

Resumo

Considerando que o raciocínio probabilístico deve ser uma prioridade educacional, este artigo apresenta o desenho e a fundamentação de uma sequência didática para o ensino da probabilidade no ensino fundamental II (12-13 anos). A sequência se localiza em uma abordagem de ensino por meio da resolução de problemas, a partir da articulação de três dos significados de probabilidade no ensino médio: intuitivo, frequente e clássico. Com este objetivo didático, seis situações-problema são descritas, e algumas observações adicionais que as complementam. O primeiro, para expressar a probabilidade como um grau de crença pessoal, introduz eventos não equiprováveis e construção de diagramas de frequência absoluta. O segundo está relacionado à ideia de atribuir probabilidade a um evento e atribuir um evento a uma probabilidade. A terceira é uma situação para discutir fenômenos aleatórios e determinísticos. A quarta situação tem como objetivo formalizar conceitos como evento impossível ou determinado evento, bem como procedimentos como tabelas e diagramas de árvore para desagregar espaços amostrais e a aplicação da regra de Laplace na consideração de eventos compostos. O quinto e o sexto tratam de situações em que a regra de Laplace não pode ser aplicada. A sequência inclui atividades baseadas em jogos, uso de origami modular e visualizações de fragmentos de séries, que estabelecem conexões com outros conteúdos e afetam o domínio afetivo. Além disso, é apresentado de forma flexível para que possa ser adaptado a diferentes contextos educacionais.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Giacomone, B. (2021). Una propuesta didáctica de probabilidad para el comienzo de la secundaria. Educação Matemática Pesquisa: Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, 23(4), 246-272.

Elige tu propia aventura: un teorema célebre

Mon, 28 Jun 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. He aprovechado para eliminar alguna redundancia que siempre se me termina escapando al escribir en esa red, pero siempre quedará ese aroma a hilo. Por un lado, debo decir que me gusta el tipo de lenguaje que hay que emplear al escribir un hilo, porque obliga a ir al grano y sintetizar mucho. Sin embargo, por otro lado, también soy consciente de que es… peculiar.

Vamos con otro de los de elige tu propia aventura. Eres profe de mates y toca ponerse con «el teorema de Pitágoras», digamos en 2º ESO. Dos opciones:

A) $a^2+b^2=c^2$

B) Calcula el área de este cuadrado.

La opción A es propia de una enseñanza para la resolución de problemas. Presentas el teorema. Posiblemente, esperando que el alumnado se maraville ante un resultado tan maravilloso (lo es). Esa misma clase expones cómo aplicarlo para calcular distancias desconocidas.

Los problemas de aplicación que vengan después pueden ser más o menos interesantes. Sin embargo, ¿estaríamos tratando realmente el teorema de Pitágoras? ¿Qué implica este teorema como contenido? ¿Cómo se conecta con otros contenidos?

La opción B, que es la que desarrollaré, es una propuesta de actividades a través de la resolución de problemas. La principal diferencia con la A es que no se exponen las matemáticas, sino que se construyen con el alumnado.

Este vídeo está genial. Pero si empiezas con él, aunque haya indagación, es muy probable que la propuesta sea de tipo A. Por otro lado, el vídeo tiene su cabida en la B, pero más adelante. ¡Es un spoiler!

Si tienes muy claro que lo tuyo es la opción A, sáltate el hilo, porque con la B puedes estar casi dos semanas.

La secuencia de actividades se titula «Un teorema célebre». No me gusta adelantar acontecimientos. Ya bautizaremos el resultado al final. Si algún alumno conoce el teorema y las actividades empiezan a recordarle el asunto, no pasa nada.

Sí, por ahí van los tiros, ya verás.

El punto central de la propuesta es explotar la idea de que el teorema de Pitágoras es una relación de áreas. La situación-problema será el cálculo del área de cuadrados cuyos vértices se ubican en los puntos de una retícula cuadrada (geoplano cuadrangular).

Tareas troncales a realizar

Primera tarea (razón de ser)

Esto es un cuadrado de tipo $(3,5)$. El primer número es el desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo. El segundo, el desplazamiento en vertical. Y así tenemos un lado del cuadrado. Encuentra el área de este cuadrado y explica cómo lo has hecho.

Ponte en la piel de alguien que no conoce el teorema de Pitágoras y prueba a contestar antes de seguir, porque aquí empiezan a pasar cositas. Desde alumnos que señalan que el lado del cuadrado mide 5 unidades hasta diferentes tipos de descomposiciones.

Inciso: lo de que mida 5 u el lado o contar puntos en lugar de «huequitos». No me cansaré de decir lo importante que es el trabajo en magnitudes y medida. Con 13-14 años no conservan la longitud. Y para eso están estas secuencias. Si quieres saber más visita este post sobre una secuencia en torno a la medida.

Esto es el suelo bajo de la secuencia (ya veréis que el techo es alto). ¿Por qué el suelo es «bajo»? Porque es accesible para todos. Esta tarea podría llevármela a 4º de primaria y trabajarla tranquilamente allí.

Es más, esta tarea forma parte del trabajo en magnitudes y medida que se esperaría hacer en primaria. Por lo que, aparte de ser suelo bajo, es una oportunidad para establecer conexiones con conocimientos previos.

En el caso de estos alumnos, las conexiones más cercanas son con cosas que hicimos el curso pasado durante el confinamiento. Por un lado, la actividad que se describe en este post, donde se trabajan descomposiciones y recomposiciones de figuras planas para hallar su área.

Y con una secuencia que hicimos después de la actividad anterior, en torno al teorema de Pick. Secuencia en la que, llegar al teorema de Pick casi es lo de menos. Empezaba pidiendo calcular las áreas de estas figuras.

En clase normal habríamos discutido diferentes técnicas. En modo confinamiento, tal como lo planteamos nosotros, propusimos las siguientes:

Creo que las conexiones con lo que estábamos planteando se ven claras, ¿verdad? Es posible que la secuencia de Pick no la haya desarrollado por aquí, así que me lo apunto 😉. Os dejo un avance:

Volviendo a nuestro «cuadrado inclinado» $(3,5)$. La forma más habitual de enfrentarse fue inscribirlo en otro más grande de área conocida y restar los sobrantes, que son fáciles de obtener.

Pero hay pequeñas variantes, como esta. E incluso otras, recomponiendo el cuadrado, que ya no muestro por no extenderme. En clase hemos de estar atentos y procurar discutir todas. ¿Qué observas? ¿Cuál es más fácil en este caso? ¿Se te ocurre otra forma?

Siguientes tareas: hacia la generalización

Vamos a asegurarnos de que sabemos dibujar estos cuadrados inclinados y calcular el área. Hagamos el $(3,7)$ y el $(2,3)$.

Paso necesario, porque hubo alguna dificultad para dibujarlos. Por esto no me gustan los cuadernos especialmente pulcros, sin registro de lo que ha podido pasar.

Siguiente tarea. Nos dejamos de geoplano y empezamos el camino hacia la generalización. Conexiones, esta vez, con álgebra. Se trata de dibujar a mano alzada un cuadrado $(3,b)$ y calcular su área.

Aquí hay dos grandes dificultades. Por un lado, dibujar el cuadrado $(3,b)$ «general». Y, por otro, calcular su área, para la que les hacía falta la del cuadrado inscrito, que algebraicamente es $(b+3)^2$ y ya sabemos lo que supone. Hicimos ambas cosas meses antes, en álgebra. Por eso, esta tarea tiene especial valor. No pasa nada, nos detenemos, abordamos la cuestión y seguimos.

Siguiente tarea. Ahora vas a dibujar una secuencia de cuadrados $(a,b)$ en la que el valor de $b$ es siempre 1 y el valor de $a$ va cambiando de una en una unidad. El primero ya está dibujado. Intenta dibujar los 4 siguientes.

Cuestiones que tienen que responder y que luego discutimos.

a) ¿Puedes encontrar el área de cada uno?

b) Puedes encontrar un método para encontrar el área de cualquiera?

c) Calcula el área de los primeros 6 cuadrados obtenidos con el mismo método.

d) ¿Qué observas en esta serie de números que representan las áreas de estos cuadrados?

Estas preguntas son exploratorias. Básicamente, es dejarlos hacer y comparar entre ellos lo que van obteniendo. De hecho, ya hay alguno que se pispa del atajo para calcular las áreas.

La siguiente tarea estructura un poco más estas reflexiones y sugiere recopilar las áreas calculadas en una tabla como esta.

Estos están dibujados al revés, pero da un poco igual. Se comenta que es cuestión de la notación.

Es lo mismo, ¿no? Las áreas son iguales, solo tendría que girar la hoja…

Aquí la tabla a medio hacer. ¿Se intuye lo que está pasando? Los alumnos añadían sus comentarios a la derecha:

La fila esta es como la anterior sumando 4.
Aquí se está sumando $b^2$.

Preguntas que acompañan a la tabla y que luego se ponen en común:

a) ¿Puedes construir la siguiente fila (la que tiene para la $b$ el valor 5)?

b) ¿Y la fila correspondiente a $b$ con valor 10?

c) ¿Y ahora puedes escribir cuál será el área para un cuadrado $(a,b)$?

Observad que las respuestas aquí ya juegan mucho con la simbolización. Estamos formalizando ya la idea central del teorema de Pitágoras. Por lo menos, hemos resuelto el problema de inicio. Calcular el área de esos cuadrados inclinados.

Porque mira que es petardo el profesor de Matemáticas. No, nos puede dar el lado y ya. Nos pone el cuadrado inclinado. ¡Qué necesidad!

Es que si os doy el lado es una tontada de actividad…

Por si no ha quedado claro el asunto, se propone dibujar un cuadrado general $(a,b)$ y obtener el área.

El colofón

Vamos cerrando la construcción. Compara las áreas de la parte sombreada y explica tu método.

Preguntas. Empezamos suave:

a) Si las dos áreas analizadas arriba son iguales, entonces escribe las conclusiones que se pueden observar.

Y… la pregunta:

b) Si ahora pensamos en que el lado del cuadrado gris de la izquierda mide c, indica cuánto es el área de ese cuadrado y escribe de nuevo las conclusiones del apartado anterior.

Ahora sí. Pues había un matemático que se llamaba Pitágoras que, en torno al siglo VI a.C., le daba vueltas a estas cosas…

Las tareas realizadas hasta aquí son básicamente las que se proponen en la unidad «Discovering the Pythagorean Theorem» del Mathematics Assessment Project. Ya sabéis lo fan que soy del Shell.

¿Cómo continuamos?

Pues poniendo sobre la mesa diferentes pruebas de Pitágoras. La idea sale de otra fuente imprescindible de recursos: NRICH.

Se trata de proponer diferentes pruebas de Pitágoras y trabajarlas. Tampoco es necesario que todos los alumnos hagan todas. Aquí entré a clase con la idea de repartir por secciones de aula según mi criterio, pero como se pusieron al tajo por la que les dio la gana, me amoldé.

La presentación de la actividad. Ahora ya sabes que el teorema célebre se llama Teorema de Pitágoras. ¿Qué significa? Te vamos a proponer varias pruebas. ¿Cuál te parece más convincente? ¿Cuál te resulta más fácil de entender? ¿Cuál te resultaría más fácil de explicar?

Primera prueba. Los recortes. ¿Siempre podemos hacer esta descomposición?

Segunda prueba. En el link de nrich que he puesto antes hay un applet bastante majo de Geogebra. Lo usamos en clase, pero en la hoja les pusimos lo siguiente.

Con un poquito de andamiaje…

a) Escribe la expresión del área del cuadrado grande del paso 3.

b) Utiliza la expresión de a) para calcular el área del trapecio del paso 1.

c) Averigua el área del trapecio del paso 1 sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos del paso 1.

d) Utiliza los resultados de los apartados a, b y c para dar una prueba del teorema de Pitágoras explicando cada uno de los pasos.

Tercera prueba. Conexiones con proporcionalidad y asomándonos a la semejanza…

Aumenta el triangulito pequeño por un factor de escala a para hacer el triángulo rojo y por un factor de escala b para hacer el triángulo azul. Une ambos como se indica en la figura.

a) Demuestra que los podemos unir de esa manera y que ese triángulo es igual al original aumentado en un factor de escala c.

b) Utiliza lo observado en el apartado anterior para probar el teorema de Pitágoras.

Como última prueba, la «clásica» disposición. Que, realmente, ya estaba trabajada.

Problemas de aplicación

Finalmente, problemas de aplicación. Alguno que otro sacado de nrich y alguno que otro inventado (cálculo de distancias del fusor de una impresora 3D…).

Sí que hay tres de nrich que quiero dejaros por aquí.

Uno que parece una tontería, pero que tiene más jugo del que parece: Si dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 6 cm, ¿cuántas posibilidades hay para la longitud del tercer lado?

Otro que admite varias aproximaciones: El triángulo de la figura es isósceles. Se ha dibujado un cuadrado sobre cada uno de sus lados. La suma de las áreas de estos tres cuadrados es 72 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Y otro, también recogido en nrich, pero que llega desde el fantástico blog de Don Steward (DEP). Que, por cierto, no es nada inocente de entrada.

Ojo con este último porque es un ejemplo magnífico de techo alto. ¿Y si utilizamos variables? ¿Sabrías obtener la expresión algebraica? Puede que sea uno de los primeros problemas de optimización a los que se enfrenten.

La secuencia está abierta a mejoras o a incluir otras tareas, claro. Por ejemplo, se queda en el tintero el interesante camino que se abre al generalizar el teorema construyendo sobre los lados del triángulo rectángulo otras figuras que no sean cuadrados.

Confío en que hayáis disfrutado con el hilo. Para afinar la propuesta fueron indispensables las sesiones de trabajo con mi compañera de no-departamento Ana Martínez. (Esto de las no-cosas son cosas de los CPI de aquí).

Porque no se trata solo de plantear las tareas. Eso solo es el primer paso. Se trata de explotar las discusiones al máximo. Y, para ello, las conversaciones sobre cómo están yendo estas secuencias en clase son de lo mejor.

Pd1. Este es otro de los de «Elige tu propia aventura» porque, para los que me seguís hace poco, planteé el de la mediatriz de la misma manera. En cualquier caso, hay más hilos similares por mi perfil y, al poco, los dejo en mi blog.

Pd2. Es posible que más adelante os hable de la evaluación de esta secuencia. Como todo lo de este curso, basada en autoevaluaciones sistemáticas y en la mejora continua.

Material relacionado

La fundamentación de la secuencia está desarrollada en este artículo

Los materiales los dejo aquí por si vienen bien.

¿Qué pasa con los ámbitos?

Sat, 05 Jun 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter, y otros complementarios que iré mencionando.

Vuelvo a leer mucho tuit sobre ámbitos y tal. Por matizar, y para empezar, cuando yo hablo de especialistas, pienso en profesionales de la enseñanza. Tanto un recién graduado en matemáticas o física, como alguien que desarrolla investigación puntera en su campo, no son especialistas.

En serio, ¿es tan difícil de entender que los conocimientos necesarios para que un profesor de matemáticas (o de lo que sea, perdonadme pero soy de mates) desempeñe adecuadamente su labor no se reducen solo al conocimiento disciplinar?

Hay un montón de modelos y estudios sobre conocimientos y competencias del profesorado en matemáticas. TODOS señalan que ese conocimiento disciplinar no es suficiente. Es NECESARIO, claro, hasta cierto punto. Pero no suficiente.

El disciplinar se puede dividir en:

Conocimiento común del contenido: compartido con los estudiantes de esa etapa.
Conocimiento ampliado del contenido: compartido con estudiantes de etapas posteriores.

Pero es que a eso se añade el conocimiento didáctico-matemático. Que siguen siendo MATEMÁTICAS, pero no se ven en el grado de mates, ni en el de física, ni en ninguna ingeniería. Porque son matemáticas especializadas para la enseñanza.

A poco que me sigáis, os sonarán los significados del número racional, discusiones acerca de manipulativos, obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los negativos, etc. Dime que todo ese conocimiento se da en el grado de mates y me callo.

¿Alguien con el conocimiento disciplinar suficiente está en mejores condiciones de asumir y comprender en plenitud el didáctico-matemático?

Pues claro, pero es que ya he dicho que es necesario tener ese conocimiento suficiente. No me vengáis con que patatas porque os propondré que busquéis suficiente y necesario en el diccionario.

Luego hay unas cuantas facetas o dimensiones más en esto de los conocimientos y competencias del profesorado, que tienen que ver con pedagogía y didáctica (que no son lo mismo Hombre encogiendo los hombros) y sus intersecciones entre ellas y con otras cosas. No obstante, no quiero ser (más) cansino.

¿Pondrías a un estudiante de ESO a dar clase de Primaria? ¿A que no? Pues esto es lo mismo.

Pensar que las mates de 1º y 2º ESO son poco profundas y que las puede dar cualquiera, lo siento, pero es de una cuñadez extrema. O las de Primaria e Infantil, que contar y sumar sabemos todos.

Descripción gráfica:

Hala, por si queréis alguna razón más profunda. Qué sé yo, que tenga que ver con la NATURALEZA del objeto de aprendizaje. Seguid leyendo…

La modelización sigue caminos INVERSOS en matemáticas y experimentales

Los caminos serán opuestos, supongo, pero me salió lo de inversos. Aunque visto el mundo del revés de Stranger Things, casi me gusta más el concepto de inverso. Porque puede parecer que es lo mismo, pero no. Esto lo desarrollé en este hilo de Twitter, que expongo a continuación.

La fuerza que ejercen los ámbitos hacia una visión puramente instrumental de las matemáticas es brutal.

No sé, que hacía mucho que no comentaba sobre esto.

Los procesos de modelización son distintos desde el punto de vista de las experimentales que desde las matemáticas. No es que sean distintos, es que son inversos.

En unos lo que se pretende es obtener información sobre cierto fenómeno físico. En otros lo que se pretende es construir un objeto matemático. Y esto tiene implicaciones importantes, como a la hora de usar manipulables en matemáticas.

En muchos proyectos STEM o STEAM, la M parece justificarse porque salen cuentas, fórmulas, ecuaciones. Y no es eso.

¿Se puede plantear proyectos STEAM con un tratamiento humanista, relacional, profundo de la M? Sí, pero no es nada fácil. Adelante con plantear unidades transversales y adelante con la coordinación (recursos humanos y temporales aparte), pero hace falta un espacio.

Y no es la única razón para no hacer ámbito:

Los matemáticos se rebelan contra el plan de fusionar su asignatura con otras

Que igual nos tenemos que plantear por qué enseñar matemáticas, pero esa es otra cuestión. Podéis leer de eso aquí.

O que no es lo mismo enseñar matemáticas humanistas que enseñar matemáticas de forma humanista. Enlace

Un supuesto práctico

Enlace al hilo original

Supuesto práctico. Nos encontramos con un 1º ESO en donde el modelo predominante para la enseñanza y aprendizaje de las fracciones ha sido el parte-todo y tampoco han desarrollado el significado del racional como razón. Ámbitos.

El plan de choque para construir el significado de la fracción como medida de la cantidad de una magnitud no es cosa de un día, ni de una semana. Exige una secuencia coherente de tareas cuidadosamente articuladas durante mes o mes y medio.

En ese tiempo, lo que planea de fondo, es la fracción como forma de expresión del número racional, concepto fundamental. Abstracción esta a la que llegamos reflexionando sobre las acciones físicas que surgen en los procesos de medida.

La medida en matemáticas no es lo mismo que la medida en experimentales. En matemáticas juega un papel fundamental en la construcción de los objetos matemáticos. En experimentales, con los objetos matemáticos construidos, trataremos de indagar en fenómenos del mundo sensible.

Si tienes curiosidad sobre esto de la medida, pásate luego por aquí.

A ese mes y medio échale otro tanto para construir convenientemente la ideas de proporcionalidad, que incluye la de porcentaje. Además, gran parte de los modelos físicos que se ven a esas edades (1º y 2º ESO) son relaciones de proporcionalidad.

¿Codocencia? Sí, con otro especialista de matemáticas. Oye, un trabajo de departamento profesional. Si no os suena, echad un ojo a cositas como el «lesson study» japonés.

¿Coordinación con otras materias? Pues claro. Hoy en día se hace lo que se puede, pero dame horas y un objetivo común y ya verás el cambio.

¿Un proyecto interdisciplinar de forma puntual? Pues también. Cuidadosamente planificado (volvemos a las horas y recursos) y siempre, siempre, después de haber asegurado la construcción de los objetos matemáticos.

¿Codocencia con compañeros de otras materias? Primero sería necesario ese trabajo de coordinación y planificación fuera de clase que ya he comentado. Eso es lo importante. Luego, si durante la elaboración de ese proyecto PUNTUAL hay opción de codocencia, pues bienvenida también.

Tengo ejemplos de mi interés por el STEM y por establecer conexiones entre materias, no me estoy tirando ningún triple. Enlace

Sin embargo, repito, la codocencia que aporta valor es la que se hace entre especialistas y con un marco de desarrollo profesional muy claro.

Matemáticas es una asignatura que se dice instrumental. Tal vez ese calificativo sea una losa. Evidentemente, tiene un componente instrumental en otras disciplinas, pero en el aprendizaje de las matemáticas debería pesar más lo conceptual. Lo humanista, incluso.

Como he mencionado proporcionalidad. Por si alguien piensa que es muy fácil y que no son más que regl…

La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Una noticia venida de Australia

Me comparten esta noticia acerca de los resultados de TIMSS en Australia para grado 8 (~2ºESO). Aunque todo es muy complejo, parece -oh, sorpresa- que la formación del profesorado importa. Comento.

La primera barra del diagrama anterior se refiere a los docentes que han cursado un major en matemáticas Y en educación. Ojo con el matiz, porque las otras categorías son major en matemáticas pero no en educación, en educación pero no en matemáticas y, finalmente, otros majors.

Decía que es complejo y que hay que cogerlo con pinzas, porque -oh, sorpresa también- uno de los factores de más peso en el desempeño en TIMSS es el socioeconómico.

Los datos de Australia también señalan diferencias escalofriantes en la formación del profesorado entre centros de diferentes niveles socioeconómicos. El % de profesorado con major en matemáticas y educación es mucho mayor en las de niveles altos.

La lectura hay que hacerla con calma y en contexto, pues no deja de ser una instantánea de un proceso de aprendizaje a lo largo de 8 años de escolarización.

Aprovecho para recordar la interesante iniciativa australiana de desarrollo de profesional y formación continua del profesorado de matemáticas a través del programa ReSolve (donde también encontraréis materiales).

Pd. La puntuación de referencia del TIMSS es 500. Las puntuaciones del primer año en que se hizo (1995) se normalizaron a media 500 y ese valor se mantuvo en sucesivas ediciones para facilitar comparaciones.

Pd. En el hilo original había escrito TIMMS y no TIMSS. No tengo remedio. Me pasa con esto y con las CCP/CPP, las FFP/FPP…

Más cosicas

Resumen en formato meme de todo esto:

Ya puestos, voy a recopilar aquí cosicas sobre los ámbitos. Si es tan cercano lo que se hace en mates y en ciencias… ¿por qué existen como áreas de conocimiento separadas y reconocidas la didáctica de las matemáticas y la didáctica de las ciencias experimentales?

Vete a echar la acreditación en una de ellas a ANECA con méritos en la otra y verás qué risas.

Sarcasmo ON

Ventaja incuestionable de los ámbitos. ¿No hay especialistas en Biología para impartirlo? Que lo haga alguien de Matemáticas. ¿No hay especialistas en Matemáticas? Que lo haga alguien de Biología. ¿Es una medida de ahorro?

Para terminar

Dejo aquí los hilos que se hicieron antes del comienzo de curso 20/21 desde la Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas:

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas

Sun, 09 May 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas.

Spoiler: no van al revés de nada.

¿Cómo localizamos puntos en la superficie terrestre? Con las coordenadas geográficas, que indican latitud y longitud.

Ea, pues ya está, como x e y. Abscisas y ordenadas. Horizontal y vertical.
Esto… no.

¿Qué es la latitud de un punto de la superficie de la Tierra? Imagina una recta que pase por dicho punto y el centro de la Tierra. El ángulo que forma dicha recta con el plano ecuatorial es la latitud. Por eso va acompañada de una N (si es hacia el Norte) o una S (Sur).

Cualquier punto del ecuador se corresponde con el paralelo 0°, el polo norte con 90°N y el polo sur con 90°S.

¿Y qué es la longitud? Ahora toca imaginar meridianos (semicircunferencias que pasan por el polo norte y por el polo sur). Se elige uno de referencia, el de Greenwich, y la longitud de un punto es el ángulo entre ese meridiano de referencia y el que pasa por este punto.

En la imagen, la latitud es el ángulo Φ y la longitud es el ángulo λ.

Medir la longitud es mucho más complicado que medir la latitud. Pensad que sois navegantes del s. XVI. Es más fácil percibir que te desvías hacia el Norte o hacia el Sur que en términos de longitud (E-O). Problemón que llevó al desarrolló del cronómetro y otros instrumentos. Enlace al museo virtual del CSIC

Además, resulta que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, por lo que podríamos añadir la altitud sobre el nivel del mar a nuestro sistema de coordenadas. Pero no lo liemos más.

📷ICGEM

Un alumno, o cualquier persona, puede pensar que las coordenadas geográficas van «al revés» porque primero se indica la latitud (Norte o Sur) y luego la longitud (Este u Oeste). Y claro, como Norte es arriba y Sur es abajo, ya la tenemos liada.

Ya la tenemos liada porque, en matemáticas, [modoironíaON], como todo el mundo sabe, eje X es horizontal y eje Y es vertical. Y los puntos en el plano son (x,y).

En el currículo nacional aparece esto de las coordenadas como contenido en Ciencias Sociales:

Coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Con su criterio «Identificar y manejar los conceptos de paralelos, meridianos y coordenadas geográficas» y su estándar «Localiza diferentes puntos de la Tierra empleando los paralelos y meridianos y las coordenadas geográficas.»

En Matemáticas aparece como contenido esto:

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos. Y un estándar que dice «Describe posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros.»

Para mi gusto, aparece muy ligada la idea de sistema de coordenadas cartesianas a la descripción de posiciones y movimientos, lo cual es un uso de los ejes. ¿De dónde salen los convenios en los ejes? ¿Cuáles son? ¿Cómo los usamos para representar cantidades de magnitud?

Mucha tela que cortar, como el problema de restringir la ‘x’ y la ‘y’ como etiquetas exclusivas. ¿Y si son ‘e’ y ’t' ya no son ejes cartesianos?

Todo esto se aborda con suma delicadeza en el librito del Shell «El lenguaje de funciones y gráficas». Os lo descargáis de aquí: https://sede.educacion.gob.es/publiventa/el-lenguaje-de-funciones-y-graficas/pedagogia/1065

Por ejemplo, si queremos hacer reflexionar al alumnado acerca de todo esto de los ejes, vamos a ponerles la altura en el eje horizontal.

Volviendo a lo nuestro, si el objetivo es comprender el concepto de coordenada geográfica, la secuencia didáctica no puede empezar con un mapa plano. Hemos de empezar con un globo terráqueo. Solo así quedará claro que para localizar un punto utilizo ángulos.

La cuestión es que claro, no vamos con un globo terráqueo en el bolsillo. Hoy en día casi, porque usamos el móvil y dispositivos que lo permitirían. Observa que cuando queremos presentar en 2D el globo terráqueo se produce una deformación. Probadlo con el Google Maps.

Estas deformaciones son diferentes según el tipo de proyección que se realice. Y unas conservan unas cosas y otras, otras. Paralelismo, perpendicularidad, distancias, áreas, etc. Enlace sobre tipos de proyecciones

Lo importante, si nos acercamos a esto en primaria, es comprender que necesito indicar los ángulos de latitud y longitud para localizar un punto. Que por convenio se suela decir antes la latitud es lo de menos. Eres igual de capaz de localizarlo si te doy la información al revés.

Ahora, si reduzco la secuencia didáctica a localizar puntos en un plano 2D a partir de latitudes y longitudes, pues igual no hace falta hacer nada.

Gracias @Jaimetimiraos por la conversación de esta mañana, donde me señalabas este posible conflicto.

La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO

Sat, 01 May 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltran-Pellicer, P. (2021). La probabilidad en la Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 40, 14-15.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Thu, 29 Apr 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, te recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas. Y ya.

Hacia el final del hilo pondré referencias sobre los obstáculos y dificultades que ocasiona esta forma de presentar la proporcionalidad. Ignorarlos sería, cuando menos, poco responsable como profesionales. No obstante, no adelantemos acontecimientos y vayamos poco a poco.

No lo entiendo. Con lo útil que es la regla de tres, mi profe de matemáticas no nos deja usarla. ¡Qué manía!
¡La mía tampoco! ¡Mira que son especialitos! Lo que no saben es que con eso de las fracciones equivalentes hago lo mismo: este por este entre este.

Si estás pensando que la regla de tres es muy útil y que por qué no enseñarla, es fundamentalmente por:

Se asocia a situaciones que son muy cotidianas. Recetas de cocina, repartos, ofertas, porcentajes, etc.
Es lo que te han enseñado.
Evita pensar.

Sí, pensar cuesta y por eso tendemos a evitarlo. Por eso, la solución a «es que la regla de tres es caca» no puede pasar simplemente por un «usamos igualdad de razones y lo planteamos como fracciones equivalentes». Porque entonces se hace producto en cruz y chispún.

Yo es que les enseño todos los métodos: reducción a la unidad, fracciones equivalentes, regla de tres y constante de proporcionalidad… y luego ya que elijan el que quieran.

El que quieran. Claro.

Para empezar, cómo no van a optar por la regla de tres si es con el que menos piensas. Total, luego los ejercicios a realizar o son directamente proporcionales (a más, más) o inversamente proporcionales (a más, menos).

No voy a profundizar en esto porque ya doy bastante la turra de normal. No se trata de mostrarles las ««matemáticas»» (y con esto de la regla de tres no hay comillas suficientes en el universo) y luego pretender que sepan resolver problemas.

Ahora bien, en este caso es más flagrante todavía. Los objetos matemáticos que están detrás de la proporcionalidad directa y la inversa están más alejados de lo que parece. ¿Habéis visto cómo son las representaciones gráficas de uno y otro?

La inversa, además, requiere de unos razonamientos más complejos desde el punto de vista cognitivo. Pero centrémonos en la proporcionalidad directa: el «a más, más» y «a menos, menos», no vale.

«A más, más» no funciona porque cualquier modelo funcional que sea creciente, lo cumpliría. Piensa en el crecimiento exponencial en el comienzo de las olas de la COVID. Cada día hay más casos, pero no responde a un modelo de proporcionalidad directa.

Aunque no fuera estrictamente creciente, el «a más, más» se cumpliría. Imagina una tarifa telefónica, que ya pongo adrede para ver que al «a doble, doble» habría que exigirle algo más:

Gratis hasta los 3'.
2 € cuando la duración de la llamada esté entre 3' y 6'.
…

Si observas la tarifa anterior, con 4' estás pagando el doble que con 2'. Y con 8' el doble que con 4'. Coste y duración de las llamadas son magnitudes que están relacionadas, pero no son directamente proporcionales.

La clave, por tanto, es reflexionar sobre las condiciones que hemos de exigir a una relación entre dos magnitudes para que sean directamente proporcionales.

Primero, que sean dos magnitudes. Porque, a veces, en la descripción de una situación aparecen números que no indican cantidades de magnitud. En 2º de ESO hay 80 alumnos en el instituto, ¿cuántos alumnos habrá en 4º de ESO?

Y si son cantidades de magnitud y están relacionadas, habrá que explorar cómo es esa relación. Veamos, ¿se puede asumir que a una unidad de una de las magnitudes le corresponde siempre la misma cantidad de la otra?

Por ejemplo, he ido a una tienda y he comprado 15 productos, que me han costado 30 euros. ¿Cuánto cuesta cada producto? ¿Cuántos productos puedo comprar por un euro? Piensa, por favor, sobre las preguntas anteriores antes de seguir.

Solo se pueden responder si suponemos algo. Hemos de asumir una condición. Que cada producto cueste lo mismo, o que pueda comprar la misma cantidad de productos por un euro. Es lo que, en términos de Gairín, Oller-Marcén, Martínez-Juste y otros se llamacondición de regularidad.

Pero vamos, reflexionar sobre la relación entre las magnitudes que intervienen es un elemento común en distintos autores.

Si no asumes dicha condición, es que no puedes ni plantear 30/15=2 ni 15/30=1/2. Si la asumes, entonces puedes dar significado al 2 y al 1/2 (o 0,5 si quieres). Venga, qué significan esos números.

Vale, dos qué. Como he repartido los 30 productos entre los 15 euros, puedo comprar dos productos con un euro. Y el un medio qué. Pues que cada producto me cuesta medio euro, o 0,5 euros.

Y una vez das significado a esas razones (lo cual constituye un significado propio del número racional), ya puedes abordar situaciones de valor desconocido (los que abundan en libros de texto y mucha gente llama problemas de regla de tres) y de comparación de razones.

Si sé que cada producto me cuesta 0,5 euros, ¿cómo no voy a poder decir cuánto me costarán 20 productos? Si sé que por cada euro puedo comprar 2 productos, ¿cómo no voy a poder decir cuántos compraré con 30 euros?

O si, en otra tienda, compro 20 productos por 15 euros, ¿cómo no voy a poder decir qué productos son más caros, si los de esta o los de la otra?

Pablo, pero es que todo esto que me estás contando es más complicado que presentar la regla, preguntar si es directa o inversa y este por este entre este. GOTO 10 primeros tuits.

Y me alegro de que me hagas esa pregunta, porque, dejando de lado el hecho de que la regla de tres como instrumento «matemático» ejem, estás poniendo sobre la mesa una de las grandes diferencias entre el quehacer en matemáticas y el quehacer en experimentales.

En matemáticas se trata de construir el objeto matemático en cuestión. Aquí, la proporcionalidad directa. Podemos fijarnos en contextos reales que reproducen de forma intuitiva sus propiedades, pero el objetivo es construir y justificar ese objeto.

Sin embargo, en experimentales es al revés. Se da por hecho el modelo matemático y se aplica a una situación o fenómeno para extraer nueva información y predecir su comportamiento.

En matemáticas, por tanto, no nos podemos «conformar» con revolver correctamente problemas en donde intervienen magnitudes directamente proporcionales. La justificación de esa estructura multiplicativa, la exigencia de las condiciones, etc. son objetivos de aprendizaje.

Por cierto, ya que hablo de experimentales. Los factores de conversión, que muchas veces se plantean como alternativa rigurosa a la regla de tres y la odiosa escalera para cambios de unidades, no son la panacea.

Introducidos de prematuramente (casi siempre lo es) constituyen un atajo que facilita no dar significado completo a lo que se está haciendo. Si sé que cada hora tiene 3600 segundos, ¿dónde está el problema para saber que he de multiplicar por 3600 para pasar de horas a segundos?

Vamos, que terminan muchas veces en una serie de trucos de magia para que al final te salgan las unidades correspondientes. Pero como decía Michael Ende, eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

Terminaré aludiendo a los obstáculos de pasar de todo esto y arrojarse a los brazos de la regla de tres porque es muy útil porque patatas.

Autores como De Bock, Van Dooren, Jannsens y Verschaffel hablan de la ilusión de linealidad. Esto consiste en aplicar el modelo de proporcionalidad en situaciones que no lo permiten.

Hay muchísimos ejemplos. En geometría los hay muy claros. Si duplico el radio de esta circunferencia, ¿cuánto será el área? Pues el doble. Pos va a ser que no.

Aquí dejo enlace a una traducción en español del trabajo de estos autores: La búsqueda de las raíces de la ilusión de linealidad.

Pero es que el mojón de la regla de tres y la consecuente ilusión de linealidad planearán como una sombra incluso cuando se aborde la probabilidad.

O cuando se exploren las tasas de variación, etc. En fin, ¿qué queremos? ¿Dar una receta para salir del paso y disimular o construir las matemáticas con los alumnos?

Evidentemente, los alumnos con más talento podrán salir inmunes, ya que el talento prospera en las condiciones más adversas. En todo caso, habrán perdido el tiempo. ¿Y los demás? Peor, claro.

No he hablado de la compuesta. Aunque vaya, os podéis imaginar.

En fin, enlazo los elementos básicos de una propuesta innovadora, que tiene en cuenta todos estos elementos, de mis compañeros de la Facultad de educación de Unizar, Martínez-Juste, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén, junto con Pecharromán.

Esta propuesta me parece maravillosa, y arranca del trabajo sobre racional de gente como Gairín y Escolano.

Por si no queda clara todavía la relación de la regla de tres con la ilusión de linealidad y los obstáculos que se genera. La regla de tres es el paradigma de estrategia que fomenta eso porque no le da significado a lo que haces. Y esto no solo lo mencionan los autores que he ido citando, es una constante: Freudenthal, Schoenfeld, etc.

De verdad, pasaros por las interacciones en twitter. No sé si existe otro objeto en la educación matemática que desate tantas pasiones (a favor y en contra) como esto de la regla de tres. Cuando escribí el megahilo sobre la regla de tres, en una sola tarde vi cómo se elevaba a rango de teorema, se ponía al nivel de las leyes de Newton, se ignoraba su contribución a futuras dificultades de los alumnos y se me tachaba de talibán.

Con este hilo participo en el #CarnaMat12_2: Carl Friedrich Gauss del @CarnaMat, que en esta ocasión organiza @gaussianos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

Qué limonada sabe más a limón

Sun, 11 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Dedicando unos días a revisitar en este curso tan raro la proporcionalidad en 2°ESO, cosa que vieron en profundidad en 1º ESO. Charlas de aula powered by @nrichmaths. ¿Qué refresco sabe más a limón?

Y es que iniciamos la clase con el applet del Mixing Lemonade de nrich.

Es un problema clásico de comparación de razones (sí, hay un mundo más allá de los problemas de valor desconocido en esto de la proporcionalidad). El año pasado ya hicimos uno similar.

La pequeña app de nrich, después de presentar el problema permite indagar alrededor de diferentes estructuras numéricas, conectando lo hecho en fracciones, lo del curso pasado, etc.

Fuente: Mixing Lemonade, de nrich

Y la guinda. Si mezclamos los vasos qué ocurre con el refresco resultante. ¿Sabe más o menos a limón que los originales? ¿Por qué? Conectamos con repartos. 😍

Tienen también un póster. En un aula materia disfrutaría mucho con estas cosas…

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

¿Qué pasa con los números romanos?

Fri, 02 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Esto que se levanta uno y ve el tuiter on fire con los números romanos. Y entonces, el tuiter se divide en dos clases de personas. Resulta que en el aprendizaje de las matemáticas hay por lo menos dos factores que se relacionan con los sistemas históricos de numeración. Mini Hilo

Uno, la apreciación de las matemáticas. Como producto cultural, por su belleza, relación con el progreso, formas de pensamiento, etc. Otro, con el desarrollo del sentido numérico y la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Al final enlazaré ejemplos de actividades sobre numeración.

Los números romanos tienen una preponderancia excesiva y ocurre que no es el sistema histórico más apropiado con el que empezar a «comparar» nuestro sistema posicional.

Pareciera que están en el currículo para saber leer siglos, reyes y relojes. Y para eso no hace falta un tema entero.

No conviene empezar con los romanos porque presentan muchas peculiaridades. Primero habrá que distinguir el papel que juega la base de numeración, por ejemplo. Y qué es un sistema aditivo. Los números egipcios son un sistema aditivo de base 10 sin excepciones.

Los romanos tienen dos bases. 10 como principal y 5 como auxiliar. Y a eso se añaden sus conocidas excepciones para reducir la cantidad de símbolos escritos. Todo eso hace que su enseñanza muchas veces se centre en esa sintaxis.

Propuestas alrededor de los sistemas históricos se pueden hacer muchas y muy interesantes. Hoy en día nos parece muy sencillo nuestro sistema de numeración, pero no lo será tanto cuando costó muchísimo que apareciera. Incluso ya llegado a Europa, costó su aceptación.

Esta actividad no falla. Contar no es algo tan fácil. Enlace
Continuación sobre sistemas de numeración. Enlace
Y pequeñas ocurrencias que surgen alrededor de estas cosicas. ¿Qué sistema de numeración usa este juego?

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

El mundo loco de BlocksCAD

Tue, 30 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Imagina un mundo donde para construir una pirámide tienes que hacer primero un cilindro. Ese mundo loco existe y se llama BlocksCAD

Lo primero que llama la atención en BlocksCAD es que vas al menú de formas en 3D y ves: cubo, cilindro, esfera y toro. Obviamente piensas, voy a darle a F5 porque igual es que no se ha cargado el resto de primitivas.

Pues no, efectivamente solo tenemos cubos, cilindros, esferas y toros.

Y todo se vuelve un poco más raro cuando vemos que el cubo tiene más parámetros de los necesarios para hacer un cubo (vuelve al tuit anterior).

Como ya estaréis intuyendo, la primitiva cubo nos permite hacer prismas rectangulares.

¿Qué serán los dos parámetros de la primitiva cilindro? Vamos a explorar. Para ello, quitamos el candadito, porque así podemos modificar cada uno por separado.

Anda, un tronco de cono. Qué cosas. Entonces, se podrá entonces hacer un…

Tampoco es que haga falta ir explorando por uno mismo. El propio entorno tiene menús contextuales que facilitan esto.

Vale, pero en ese menú de formas solo teníamos el cubo, el cilindro, la esfera y el toro…

¿Cómo hacemos entonces una pirámide? En el menú de transformaciones tenemos un montón de bloques. Y hay uno que se llama “aristas” (en la versión en inglés, sides).

O sea, que puedo coger un cilindro, decir que me lo haga con radio superior cero, y luego decirle al programa que mejor que lo haga con cuatro aristas.

He descrito una pirámide con un uso del lenguaje que requiere un conocimiento profundo de estos cuerpos, además de pensamiento computacional e, incluso, una idea intuitiva de en el límite para hacer ese r2=0.

En ese menú de transformaciones se pueden hacer también traslaciones, simetrías, rotaciones, etc.

Luego tenemos un menú que realiza operaciones de conjuntos:

Unión: todos los puntos que están en alguno de los objetos.
Intersección: los puntos que están en todos los objetos.
Diferencia: todos los puntos que están en el primer objeto y no están en los demás.

Y una operación denominada envoltura convexa (hull) que da mucho juego. Con ella, por ejemplo, podría modelar un “cubo” poniendo miniesferas (o lo que sea) en las posiciones de sus vértices.

En realidad, BlocksCAD no deja de ser una interfaz gráfica de OpenSCAD al estilo de Scratch. La ventaja de la programación visual con bloques radica en que no tienes que preocuparte de si te dejas una coma o no has cerrado las llaves.

Es posible que lo que hayas codificado no haga lo que tú querías, pero eso es otra cosa. La programación por bloques te permite despreocuparte de la sintaxis (vaya, dónde está esa coma que seguramente me he olvidado de poner) y centrarte en lo fundamental.

Los programadores experimentados perciben estos entornos como menos potentes y capaces, pero esta transparencia y facilidad de uso permite que el alumnado los emplee directamente.

Prometo extender el hilo, que incluirá referencias para ampliar y mostraré algunas de las cosicas que surgieron en una práctica que hacemos en el máster de ESO en la Facultad de Educación de Zaragoza. Pero antes, un pequeño reto…

¿Quién se anima a modelar esta pieza de aquí? Como no lleva medidas de ningún tipo, me conformo con que sea aproximadamente igual. Enlace al editor

No creáis que os voy a estropear el reto anterior, pero voy a continuar el hilo. Es un desafío interesante porque se puede abordar de diversas maneras y algunas requieren de más bloques de código que otras.

Tampoco soy tan malo, que luego pondré referencias y enlaces y, entre ellos, podéis encontrar alguna solución. Nos faltaba algún menú por explorar.

En el de funciones podemos crearnos nuestros propios bloquecitos que hacen cosas. ¿Recordáis que más arriba decía que se podía modelar una especie de cubo usando la envoltura convexa (hull)? Aquí se ha hecho eso, creando antes una función para hacer los puntos.

Cuando resulta necesario realizar cálculos para establecer medidas, parámetros de traslaciones, etc., recurriremos a los bloques de matemáticas, donde se incluyen operaciones aritméticas, funciones trigonométricas y generadores de números aleatorios.

Los resultados de estas operaciones pueden introducirse directamente en los parámetros de las primitivas 3D o de las transformaciones o, por otro lado, asignarse a variables que luego pueden ser utilizadas para diferentes propósitos.

Lo de las variables es un puntazo. Una de las grandes ventajas de estos programas de modelado es que puedo parametrizar piezas. Por ejemplo, puedo hacerme una tuerca genérica, y luego redimensionarla para fabricarla de cualquier métrica.

La categoría de secuencias (loops) permite introducir bucles en los algoritmos, que pueden ser recursivos (OMG), mientras que la categoría lógica (logic) completa la paleta de instrucciones que se pueden añadir a los algoritmos.

En el máster de ESO de la Facultad de Educación de Zaragoza venimos haciendo una práctica que consiste en el diseño de un dado. Después de plantearla con TinkerCAD un par de años, desde hace dos iniciamos una línea de investigación entre José M. Muñoz y un servidor.

Esto del diseño y construcción de un dado es ya una fijación, algo que he hecho con alumnado de ESO, tanto usando herramientas tecnológicas como haciendo el dado con técnicas sencillitas de origami modular.

Da un juego tremendo porque permite articular los significados clásico y frecuencial de la probabilidad, así como poner de manifiesto diversos sesgos de razonamiento.

Además, las conexiones con otras disciplinas son muy interesantes. Con experimentales, cómo diseñar un entorno de laboratorio para probar el dado. Con tecnología, por el diseño en sí y por analizar qué aspectos del proceso de fabricación influyen en el sesgo del dado.

No es fácil en absoluto diseñar un dado. En Thingiverse hay hilos donde se pone de manifiesto que influye hasta cómo pones la pieza en la cama de la impresora 3D (si “recta” o a 45º).

A la hora de modelar el dado con BlocksCAD surge el problemilla de cómo lo redondeamos para que ruede un poquito. Y las soluciones que aparecen son muy curiosas.

Gracias a @napulido os puedo enseñar los dados fabricados. En la foto, diferentes intersecciones de cubo con esfera (las tres de la derecha). El de la izquierda es un hull de la intersección de 3 cilindros.

Esto de aquí es la intersección de tres cilindros, a la izquierda con la envoltura convexa (hull) y a la derecha sin ella.

Y aquí tenemos dos modelos en los que se ha tratado de compensar el material retirado de cada cara.

Si te interesa el tema, hace unos meses publicamos junto con Carlos Rodríguez y José M. Muñoz el siguiente artículo en la revista SUMA.

Aquí enlace a un taller para docentes con Carlos Rodríguez en la III JEMA.
Y aquí enlace al taller para el Taller de Talento Matemático con Carlos Rodríguez, que también sirve para un taller en 4º ESO para el programa Conexión Matemática.

Algunas conexiones con el juego del 24

Tue, 23 Mar 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Mis alumnos de 2º ESO me habían pedido hace días jugar al 24. Lo recuerdan del curso pasado y les encanta. Me gusta porque permite:

Incidir en cómo escribimos la expresión.
Trabajar cálculo mental.
Y lo mejor… establecer conexiones con cosas que hemos hecho en enteros.

También tiene su punto gracioso.

¿Qué número tenía que darnos al final?
23, porque por eso se llama juego del 24. 😉

Bromas aparte, en la tarjeta del ejemplo tenemos:

$(8-5+1) \cdot 6=24$

Yo tengo otra, profe:

$(8-(5-1))\cdot 6=24$

Pero… ¿son la misma?
No, bueno, sí, es que en la segunda ese restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1.

Para jugarlo en clase he utilizado esta página, que incluye la posibilidad de sacar tarjetas por nivel.

Se me olvidaba. Les he recordado que el curso pasado estas expresiones, muchos, las escribían mal:

No, si lo hacíamos mal no nos lo recuerdes, que nos liaremos.
Si es que, mirad:

$8-5=3+1=4 \cdot 6=24$

💀 Mentira cochina. ¿3=4? ¿A que no?

Hemos terminado poniendo también esto sobre la mesa. Es un clásico.

📷 Fuente

Sobre una secuencia de enseñanza de la medida de infantil a secundaria

Sun, 21 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Actividad en 2º ESO: mide el área del mantel (amarillo) tomando como unidad la servilleta (naranja). No te creerás lo que pasó a continuación.

Hilo sobre medida en el Día Internacional de las Matemáticas #idm314

Efectivamente, hay alumnos que sacan una regla, miden el largo y ancho del mantel, multiplican y te dicen que el área mide no sé cuántos centímetros cuadrados.

No, tomando esto (la servilleta) como unidad.
¿Ein? [Insert aquí cara de «pero qué me estás contando»]

También los hay que miden el perímetro con la regla y te dicen que el área mide tantos centímetros. Ojo, que estamos hablando de alumnado de 13-14 años de edad.

Que a lo mejor nos ponemos a hablar alegremente de unidades, fracciones y demás cosas del montón y a saber lo que estará pasando por esas cabecitas.

Eso sí, la escalera para cambiar unidades se la conocen todos. Porque parece que hablar de medida en primaria es hablar de cambios de unidades del sistema métrico decimal (con la escalera o regla similar). Eso, y aprender sobre el sistema monetario.

Resulta que aprender sobre el sistema monetario es… aprender sobre el sistema monetario. Sí, vale, hay una magnitud, que es valor económico. Y este valor puede expresarse con diferentes unidades, como euros o dólares. Sin embargo, ¿qué procesos de medida ponemos en juego?

Es decir, ¿cómo puedo adjudicar un valor económico a determinado objeto? ¿Cómo se establecen las equivalencias entre las diferentes unidades? Aunque estos procesos existen con esa magnitud, quedan muy, muy lejos de lo que debería ser la medida en infantil, primaria y secundaria.

Me habéis leído poner a caldo la dichosa escalerita para el cambio de unidades. Este es el hilo que (quizás) estabais esperando y que intenta sintetizar de qué hablamos cuando hablamos de MEDIDA.

Las investigaciones de Piaget dieron lugar al establecimiento de estadios evolutivos en esto de la medida:

Comparación perceptiva directa.
Comparación por desplazamiento de objetos.
Medida con unidades objetales.
Medida con unidades convencionales.

Ello propició el diseño de secuencias didácticas en las que, por ejemplo, no se abordaban tareas de medida de cierta magnitud hasta que el niño o la niña fueran conservadores. Sin embargo, Carpenter y otros investigadores mostraron que la cuestión no era tan dicotómica.

Mostraron que plantear tareas de medida podía favorecer el desarrollo de la idea de conservación. Después expondremos los diferentes tipos de situaciones de enseñanza, pero primero vamos a detenernos en la ya mencionada noción de conservación y en la de transitividad.

¿Qué es conservar? Decimos que un niño o una niña son conservadores respecto a una magnitud cuando son conscientes de que, aunque cambie la forma, posición u otras características del objeto, hay algo que permanece constante, que se conserva.

Toma esta pastilla de plastilina. Toma esta otra, mira, antes de darte esta, voy a hacer una bola con ella. ¿Cuál pesa más? Lo que se conserva ahí es la masa. Hemos cambiado la forma, pero la masa permanece constante.

Otro ejemplo con la magnitud longitud consiste en presentarle dos juguetes a un niño o una niña, poner en medio una pared de bloques de construcción y preguntar: ¿están ahora más cerca los juguetes? ¿más lejos?

¿Qué es la idea de transitividad? Posiblemente te suene haberla visto en lenguaje formal. Si a≥b y b≥c, entonces a≥c. Pues aquí es lo mismo, pero expresado en cantidades de magnitud.

Es decir, si un objeto A presenta una cantidad de magnitud igual a la de un objeto B, y la cantidad de magnitud de B es igual a la que presenta un objeto C, entonces A y C tienen la misma cantidad de magnitud. Esto se extiende si cambiamos los iguales por desigualdades.

Vamos con las situaciones de enseñanza que conformarían un trabajo en medida desde infantil hasta secundaria. Los numeritos indican cierta progresión, pero esta progresión habría que verla para cada magnitud.

En todo caso, no es una secuencia fija. Y nos podemos imaginar situaciones de enseñanza que combinan algunas de estas que nombraré, que podríamos llamar «fundamentales».

1. Situaciones de identificación y conservación de la magnitud

Como ejemplos, ya he comentado lo de la plastilina y lo de la distancia con una pared. ¿Alguien está pensando que esto es algo propio de infantil?

Estas figuras… ¿tienen la misma área? ¿el mismo perímetro? La confusión área-perímetro es algo que pervive muchísimo más allá de los primeros cursos de primaria. Si cambia el perímetro… ¿cambia también el área?

¿Alguien está pensando que esto es algo que ya tiene superado del todo como persona adulta? Os invito a pensar qué pasa en esto de aquí.

📷 Trekky0623

De verdad, pensadlo antes de buscarlo en internet. Os dejo las imágenes en grande para vuestra comodidad.

📷 Dnu72

2. Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios

¿Cuál de estos útiles de escritura es más largo?

Esto lo puedo resolver alineando los extremos, sin utilizar ningún objeto adicional. A veces, incluso, se puede responder a este tipo de pregunta comparando por percepción visual.

Cabe observar que todavía no hemos medido nada. Y es que, para comparar no tenemos por qué estar midiendo nada.

3. Situaciones de comparación cantidades de magnitud con objetos intermedios

Mira, tengo esta mesa y quiero saber, sin moverla, si cabrá por la puerta. En la clase podemos tener listones o tiras de papel o de tela.

Podemos coger una tira de papel y utilizarla para marcar la cantidad de longitud presente en el ancho de la mesa. Luego, con esa tira vamos a la puerta, y si la cantidad de longitud del vano es mayor a la de la tira, concluimos que la mesa cabrá.

No hemos medido nada, solo hemos aplicado la idea de transitividad. Obviamente, esto también podría haberse resuelto midiendo. Por eso, es bueno retomar este tipo de situaciones más adelante jugando con las variables didácticas, como el material a disposición del alumnado.

4. Situaciones de ordenación cantidades de magnitud

Dentro ejemplo con la magnitud capacidad. Ordena estos vasos de mayor a menor capacidad. Os invito a realizar esta actividad sin medir, solo trasvasando.

Trasvasar. Rebosar. Llenar. ¡Cada magnitud tiene su propio vocabulario asociado!

La situación de los vasos se puede hacer con un objeto intermedio, poniendo a disposición un recipiente mucho más grande sobre el que marcar la cantidad de magnitud de cada uno. O midiendo, claro, con una cazoleta o similar.

Me gusta pensar en las variables didácticas como mandos de control para sacar todo el jugo posible a una situación en diferentes momentos.

Antes de seguir, voy a dejar una pregunta, como ejercicio. Cuando comparamos el peso de dos objetos con una balanza, ¿es la balanza un objeto intermedio? Me encanta el debate en #cosicasdeDAII.

5. Situaciones de medida con unidades antropométricas o arbitrarias: de cálculo y de construcción

Empezamos con la medida. ¿Empezamos con el SMD? No. Comenzaremos con unidades objetales (tazas, listones, etc.) o antropométricas (palmos, pies, etc.). En definitiva, arbitrarias.

Distinguiremos entre situaciones de cálculo, donde nos dan un objeto y tenemos que averiguar su cantidad de magnitud; y de construcción, donde tenemos que construir cierto objeto con una cantidad de magnitud determinada.

Situaciones de cálculo son medir la capacidad de una jarra en tacitas, expresar recetas de cocina en medidas de la abuela (ojo con esto, porque ese «harina, la que coja», jejeje), medir el área de la mesa en hojas de papel, etc.

La situación del tuit original es una situación de medida de cálculo, con la magnitud área, para abordar la representación fraccionaria del número racional. Se puede hacer en 2º de ESO tranquilamente. Si se hubiese hecho en 6º EP, bastaría algo muy breve o cambiar de magnitudes.

Resulta que esta situación obliga a hacer subunidades.

Y como necesito 9 de esas unidades, el mantel mide 9/4 u.

Esto es medir áreas de manera DIRECTA. Fundamental haber hecho en primaria este tipo de situaciones. Mide esta hoja con estos rectangulines. Mide esta otra. Compara. Etc.

Cuando empleamos las fórmulas de las áreas estamos midiendo áreas de manera INDIRECTA. Porque medimos longitudes y luego operamos con ellas para dar con el área. Hay magnitudes que solo podemos medir de forma indirecta, como la temperatura.

Como ejemplo de situación de construcción, podríamos plantear recortar el forro necesario para forrar un libro, sabiendo que el área es de tantas unidades.

6. Situaciones en las que resulta necesario utilizar las equivalencias de los sistemas de medida

¡Anda! ¿Cómo? Equivalencias sin haber introducido el SMD. Efectivamente. Mira, esto es del episodio de «El problema del tesoro enterrado» de Peg+Gato (serie para 5-7 años).

Mide el área de esta hoja con estos rectangulitos azules. Ahora mídela con estos rojos (tienen un área cuatro veces mayor, pero no lo decimos). ¿Qué observas?

Las situaciones 7 y 8 están muy relacionadas.

** Situaciones de medida con unidades del Sistema Métrico Decimal.**
** Situaciones para determinar el grado de precisión de la medida.**

Un clásico es medir el ancho de la clase con pies. A unos les sale un número y a otros, otro. ¿Qué hacemos? ¿Usamos el zapato de María como unidad estándar? ¿Y si queremos encargar un mural? ¿Enviamos el zapato de María con el pedido? ¿Qué hacemos? ¿Cómo solucionamos esto?

La cuestión es que los niños, actualmente, están en contacto continuo con el SMD, y la respuesta a esa pregunta es prácticamente directa. Mucho mejor medir en metros, claro. Nos hemos puesto de acuerdo en muchos países para medir las cosas.

La situación 9 es transversal completamente a todas las anteriores:

9. Situaciones de estimación de la medida de cantidades de magnitud y ejercitación del cálculo mental en situaciones de medida

No es estimar «en plan adivinar», no.

Podríamos distinguir situaciones de estimación con la unidad presente o no. O situaciones de estimación por exceso y por defecto, tanto a priori (antes de echar las cuentas) como a posteriori (después de echar las cuentas).

Escribía en EDMA0-6 sobre situaciones de estimación en Cyberchase (ver este post).

Y hasta aquí el esbozo de lo que constituye el tratamiento de la medida. Importantísimo en la fundamentación de conceptos matemáticos como el racional.

Todo esto es una especie de resumen de lo que se les cuenta desde @dm_unizar en #cosicasdeDAII a los alumnos de @FacultadEducaUZ desde hace tiempo.

Os enlazo también un hilo que hice sobre el tratamiento de la medida en esa maravillosa serie que es Peg+Gato.

Nada más, feliz #PiDay (que, aunque no hayamos nombrado a Pi, también se fundamenta en todo esto de la medida). Y feliz Día Internacional de las Matemáticas #idm314.

Unas tareas de comparación de repartos

Tue, 16 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Momentos estelares de esta semana en 2º ESO con tareas de este tipo.

Considerando que a/b representa un reparto igualitario, compara las siguientes fracciones.

¿Dónde hay más tortillas? ¿Dónde menos? ¿Dónde hay más personas? ¿Dónde menos? ¿En qué reparto recibe cada participante una cantidad mayor de tortilla?

Son preguntas spoiler que se guarda uno en la recámara solo por si acaso. Porque al haber trabajado ya comparaciones desde este punto de vista entre:

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{7}{5}$

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

$\cfrac{3}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

ya se han puesto en juego todos los elementos.

De hecho, para fomentar el razonamiento desde la idea de reparto los hemos presentado con otra notación.

Sí, entre paréntesis. El primer elemento indica el número de tortillas (o de objetos fraccionables a repartir) y el segundo, el número de participantes. Más adelante se relaciona (es algo que queda evidente) con las fracciones.

Bueno, el (4,5) es menor que el (7,5) porque tenemos menos tortillas para el mismo número de personas, de manera que los participantes reciben una cantidad menor de tortilla.

El (4,5) es mayor que el (4,7) porque hay el mismo número de tortillas en ambos repartos, pero en uno participan 5 personas y en otro 7, por lo que en el (4,5) se come más.

Y qué hacemos para comparar (3,5) y (4,7). Pues hay varias formas. Podemos buscar repartos equivalentes en los que se iguale el número de participantes o el número de tortillas, reduciendo esto a uno de los casos anteriores.

Por ejemplo, (3,5)=(21,35) y (4,7)=(20,35). En el primero hay más tortillas para las mismas personas, por lo tanto es mayor.

O también, (3,5)=(12,20) y (4,7)=(12,21). En el primero hay menos personas para la misma cantidad de tortilla, por lo tanto, es mayor.

Pero no es la única forma. En clase ha surgido que en el de (3,5) se come más porque cada participante recibe media tortilla más la media que falta a repartir entre 5. Mientras que en el (4,7) reciben media tortilla más la media que falta, pero a repartir entre 7.

Con lo dicho hasta aquí hay material de sobra para resolver el 1) del tuit inicial.

¿Y si vamos al ejercicio 2) del principio? Queremos comparar a/b y (a+1)/(b+4)

Una forma es, como hemos hecho antes, obtener repartos equivalentes con el mismo número de participantes o de tortillas. Por ejemplo, amplificando el primero por (b+4) y el segundo por b.

En clase ha surgido la idea de que si a/b=1/4, esos repartos son equivalentes. Y una vez establecido eso, se observa que si aumento el número de tortillas (me voy a fracciones mayores que 1/4), se recibe más en el a/b.

Una justificación plena de este razonamiento es vía la idea de socialización. El reparto (a+1)/(b+4) viene de juntar los repartos a/b y 1/4. Es decir, que hemos socializado las tortillas de esos dos repartos (a+1) y las personas (b+4), para hacer un nuevo reparto (a+1)/(b+4).

Y ese nuevo reparto está entre los dos originales. Porque los participantes del mayor de ellos, pasarán a comer menos en el socializado. Y los participantes del menor de ellos, pasarán a comer más.

Por tanto, una de tres:

$\cfrac{a}{b} < \cfrac{a+1}{b+4} < \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} > \cfrac{a+1}{b+4} > \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} = \cfrac{a+1}{b+4} = \cfrac{1}{4} $

Entonces:

Si a/b < 1/4, cosa que ocurre cuando b>4a, resulta que estamos en el primero de los casos anteriores y, por tanto, a/b será menor que (a+1)/(b+4).
Si a/b=1/4 serán iguales.
Y si b<4a, será a/b >(a+1)/(b+4)

Y fin.

Como parece que suscita interés, debo decir que esto ha de verse como otro ejemplo de cómo introducir los conceptos desde la atención a la diversidad con un enfoque a través de la resolución de problemas.

Es decir, un punto de entrada accesible que establece conexiones y con el que llegas a ideas matemáticas potentes y profundas. Y todos están en condiciones de participar en esos razonamientos.

Hay que tener en cuenta que no es llegar un día a clase y soltar estas cuestiones (u otras) esperando que el alumnado se implique, participe y podamos construir a partir de sus aportaciones. Es un trabajo que comenzó el curso pasado con estos grupos.

Esto del racional, por otro lado, es un ejemplo claro de conocimiento didáctico-matemático. De hecho, es conocimiento especializado del contenido que no verás ni en el grado de Matemáticas, ni en Física, Ingenierías, etc.

¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

Sun, 21 Feb 2021 00:00:00 +0000

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¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

(Docente) Fácil, dibuja una recta numérica y lo verás.
(Estudiante) A ver si me aclaro. Yo dibujo la recta, marco el cero y luego escribo los números a la derecha, que van aumentando, cada vez son mayores. Luego me pongo a escribir los números de la izquierda, que también irán aumentando, ¿no? 😖
(Docente) A lo mejor es porque te lo he puesto en horizontal. Vamos a verlo con un termómetro. Las temperaturas aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo, ¿no?
(Estudiante) Sí, pero a -8 ºC tienes más sensación de frío que a -2ºC. De toda la vida, digo yo… 😖
(Docente) ¿Y si pensamos en un garaje subterráneo?
(Estudiante) Cada vez estás a mayor profundidad, ¿no será que el -8 es mayor que el -2? 😖
(Docente) Espera, que lo podemos hacer con estas fichas azules y rojas. Puedes pensar que son cargas eléctricas. Si tienes 5 rojas y 7 azules, 5 de ellas se neutralizan y te quedan 2 azules, que son negativas. ¿No es mejor tener menos de estas azules?
(Estudiante) 😖

Nota: nos vamos a encontrar obstáculos de este tipo intentando argumentar así con cualquier modelo concreto. Otro ejemplo que me compartía esta mañana @charotaber es esta balanza numérica

Para esto que pretendemos aquí, esa balanza también es un obstáculo. Si puedo compensar el +2 y el +6 con el -8, es que este es mayor, “pesa” más (ya sé que aquí la cosa va de momentos, pero los alumnos en este nivel argumentan legítimamente en estos términos).

¿QUÉ HACEMOS ENTONCES? 😱

Oye, Pablo, que no es para tanto, se enseñan las reglas de los signos y ya lo entenderán más adelante. Bueno, es una opción, pero este “pequeño” gesto se orienta hacia cierta visión de las mates, que a lo mejor no es la que queremos transmitir.

Por ejemplo, cuando en primaria se enseña a dividir con decimales y se habla de bajar ceros, es posible que se piense que:

a) Ya lo entenderán. b) No hace falta que lo entiendan.

Pues con esto lo mismo.

Venga, ¿qué hacemos? Y ojo, que vienen curvas.

(Docente) Deja que piense… Antes hemos aprendido a calcular diferencias de expresiones algebraicas, ¿verdad? Vamos a ver qué tal con esta situación que te voy a plantear. En la primera semana de curso, Alberto consigue ahorrar cuatro euros, mientras que en la segunda semana no recuerda si consiguió ahorrar o no. Por otro lado, María gastó dos euros en la primera semana y tampoco recuerda qué ocurrió en la segunda.
(Docente) ¿Cuál es la diferencia entre lo ahorrado por uno y por otra en la primera semana?
(Estudiante) Hay una diferencia de 6 euros a favor de Alberto… ¿4 - -2?
(Docente) Usaremos paréntesis para no escribir esos dos signos seguidos. Además, así dejamos claro que ese (-2) modeliza la pérdida de euros.
(Estudiante) Vale, entonces 4-(-2)=6. Puedo decir que restar un número que resta equivale a sumar ese número.
(Docente) ¿Y teniendo en cuenta lo que ocurre también en la segunda semana?
(Estudiante) Como no sabemos lo que ocurre, la diferencia será 6+a-m, siendo a lo que ahorra o gasta Alberto y m lo que ahorra o gasta María.
(Docente) Analicemos qué puede ocurrir en la SEGUNDA semana, donde la diferencia es a-m.
(Estudiante) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María ahorra 4,la diferencia es de 2 euros a favor de Alberto. a-m = 6 - (+4) = 2
(Docente) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = 6 - (-4) = 10. La diferencia es de 10 euros a favor de Alberto.
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María ahorra 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (+4) = -10. La diferencia es de 10 euros a favor de María. Y por cierto, entonces restar un número que suma es lo mismo que restarlo, ¿no?
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (-4) = -2. La diferencia es de 2 euros a favor de María.
(Docente) Y volviendo a la pregunta que motivaba todo esto… La diferencia nos sale positiva cuando es mayor el primer término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 8-5= 3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Y cuando la diferencia sale negativa es porque es mayor el segundo término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 5-8 = -3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Vamos a hacer la diferencia de esos números. (-8) - (-2) = -6
(Estudiante) Mmm, ¡sale negativa! ¡Eso quiere decir que el (-2) es mayor que el (-8)!

Disclaimer. Esto forma parte de una secuencia didáctica mucho más amplia en la que, poco a poco, se van construyendo los números enteros en un entorno algebraico.

La secuencia ideal no es tan dialógica (ni breve) como la que he dramatizado en estos tuits, sino que hay momentos en que los alumnos se enfrentan a estas y otras situaciones y después se comentan sus soluciones y argumentos.

Si quieres saber más sobre los obstáculos de los modelos concretos para la enseñanza de los negativos (es un tema apasionante de la didáctica), aquí enlazo el artículo de Eva Cid. http://quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/nr_460/a_6233/6233.pdf

Y la secuencia de la que hablo está basada en la que describe Cid en su tesis, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015.

Veo comentarios que surgen, obviamente, de un conocimiento matemático avanzado, como lo de extender ciertas propiedades de los naturales. Quizás no he remarcado, culpa mía, que se trata de introducir los enteros, pensemos en estudiantes de 1º o 2º de ESO (12-13 años aprox.)

La idea de la secuencia, entre otras, es evitar presentar a los enteros como un monumento. Y mientras se introducen, fíjate, hacemos matemáticas, en una etapa obligatoria.

Si este hilo os ha sabido a poco, intenté capturar la esencia de la propuesta de la tesis de Cid en este post, aunque la fuente original siempre será mucho mejor.

Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

Abstract

This paper analyses the cognitive demand of mathematical, languages and procedures tasks proposed in the problems on probability in the individual tests of both the semi-final and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and the problems carried out in the individual test of the National Mathematical Olympiad (1990-2019). The results show that all the tasks proposed in the Olympics are of a high level according to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for students of high mathematical ability, including tasks of the higher level according to the same model, whose resolution could become an indicator of high mathematical ability, although this analysis was not carried out in our study. On the other hand, they show the need to propose more problems in these competitions promoting the learning of probability in Secondary Education

Cítese como:

Rubio-Chueca, J. M., Muñoz-Escolano, J. M., & Beltrán-Pellicer, P. (2021). Análisis de los problemas de probabilidad en las olimpiadas matemáticas. En A. Gutiérrez, M. J. Beltrán-Meneu, J. M. Ribera, R. Ramírez-Uclés, A. Jaime, E. Arbona, C. Sua, L. Rotger, C. Jiménez-Gestal, A. A. Magreñán, & A. M. Damián (Eds.), Actas de las Jornadas Internacionales de Investigación y Práctica Docente en Alta Capacidad Matemática (pp. 143-150). Universidad de La Rioja.

Conexión decimal-fracción, con tortillas, unpacked

Sat, 26 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

4,99… es aproximadamente 5
No, es que es 5.
¿Ein?

Conexión decimal-fracción. Con tortillas. Unpacked.

Sí, hay varias maneras de razonar. Por ejemplo, trata de buscar un número entre el 4,99… y el 5, complicado, ¿verdad? O toma 10 veces el 4,99… y quítale una vez el 4,99…, con lo que tienes 9 veces el 4,99… O con series geométricas.

Pero este hilo no va de eso. Y como buena pregunta cebo, se responderá al final. Voy a tratar de mostrar ejemplos de tareas que comenzarían en primaria y que culminarían en 3º ESO aprox.

Me gusta hablar de tareas porque se trata de hacer. Y mientras se hace, se piensa y se le da significado a lo que se hace. Y se discute. En definitiva, se construye conocimiento a partir de la resolución de situaciones y problemas. No se presenta a las mates como un monumento.

Si habéis leído los hilos de multiplicación y división de fracciones, recordaréis que hablaba de medida. Es decir, las fracciones representaban cantidades de magnitud u operadores que actuaban sobre esas cantidades.

Pues bien, ahora cambiamos las gafas para meternos en el modelo de reparto. El numerador va a indicar el número de objetos a repartir (hablaré de tortillas) y el denominador el número de participantes (hablaré de personas).

Como los objetos a repartir tendrán que ser fraccionables, este significado de la fracción como reparto no está aislado del de medida. Hay un control del tamaño de los trozos que se reparten.

Con $5/4$ simbolizaremos, por tanto, dos cosas. Por un lado, el reparto en sí; es decir, el proceso de repartir 5 tortillas para 4 personas. Por otro lado, la cantidad de tortilla que recibirá cada uno de los participantes.

Reparte de forma equitativa 5 tortillas entre 4 personas, al menos, de 3 formas distintas. Intenta explicarlo de manera verbal, gráfica y simbólica. No te hagas spoiler y piénsalo.

Puede que digas… ¡Qué fácil! Parto cada tortilla en cuatro trozos iguales y a cada participante le doy un trozo de esos de cada tortilla. Venga, os presento a los participantes (soy original y los llamo a, b, c y d ) y en el siguiente tuit lo muestro gráfica y simbólicamente.

Eso es, aquí está. Cada uno recibe 5/4 de tortilla. ¿Pensamos otra manera?

Si en lugar de partir cada tortilla en cuatro, las parto en ocho trozos, a cada uno le tocarán dos trozos (octavos) de cada tortilla.

Sí, reciben la misma cantidad. En el primero $5/4$ y en el segundo $10/8$. ¿Puede decirse que son «iguales» esas fracciones? Representan la misma cantidad de tortilla, pero el proceso ha sido distinto.

Pero vaya tontada, Pablo. Y si las parto en 16 ya tengo otra forma, que pedías tres. Veamos, tanto el de cuartos como el de octavos los hemos hecho en una sola fase. ¿Qué ocurre si quiero dar tortillas enteras en este caso? Porque aquí podríamos, ¿no?

En una primera fase, daría una tortilla a cada participante.

Y después, en una segunda fase, esa tortilla que sobra, la partiría en 4 (si quiero terminar ya), y daría uno de esos trozos a cada participante. Cada uno recibiría una tortilla entera y un cuarto. Es decir, $1+1/4$.

Como ejercicio, os propongo que la última tortilla no la dividáis en cuartos, sino en quintos. Os saldrá, por lo menos, una fase más.

La exploración de estos repartos ya da pie a interesantes discusiones de aula y movilización de contenidos, como la equivalencia de expresiones aritméticas.

Veamos ahora qué pasa si en cada fase no partimos lo que sobra de cualquier manera, sino que imponemos la condición de partirlo en 10 trozos (siempre iguales, eh, aunque en los dibujines se vea todo muy cutre).

Recuerdo. Cinco tortillas para cuatro personas. Primera fase, reparto tortillas enteras. Una a cada persona, doy en total cuatro y me sobra una. Usaré corchetes para indicar el tamaño de los trozos que estoy repartiendo.

Vamos con la segunda fase. Parto lo que sobra en 10 trozos iguales, por lo que ahora tendré 10 décimas (10 trozos de tamaño 1/10). Puedo dar 2 décimas a cada uno, dando en total 8 décimas. Me sobrarán 2 décimas por repartir.

Sigue sobrando, por lo que hacemos una tercera fase. Parto esas dos décimas en 10 trocitos cada una, por lo que paso a tener 20 trocitos de tamaño 1/100. A cada uno le doy 5 de esos trocitos, dando en total 20 y no me sobra nada.

Por lo tanto, cada participante recibe 1 tortilla entera, dos trozos de tamaño $1/10$ de tortilla y cinco trozos de tamaño $1/100$. Según la tabla que hemos hecho, podemos escribirlo así:

$1+2[1/10]+5[1/100]$

Cuando algunos hablamos del papel de los algoritmos tradicionales, que hay que repensarlo y todo eso, es por esto. No sé cuántos os estáis dando cuenta de que esto es UNA DIVISIÓN DE LAS DE TODA LA VIDA. Cuando lo cuento en ESO o en magisterio, resulta que no es tan evidente.

Los algoritmos tradicionales pueden ser estupendos para profundizar en el sistema decimal posicional. Trabajarlos de forma machacona no lleva a ningún sitio, pero desde el significado, con manipulables, etc. llegamos a sitios maravillosos. CONTINÚO.

Hemos dado $1,25$ de tortilla a cada uno. Efectivamente, UNA tortilla entera, DOS décimas y CINCO centésimas. Aquí tenéis la primera fila de la tabla, la primera fase del reparto, con significado, según la división en caja.

¿Alguien se ha preguntado alguna vez que es eso de bajar un cero? ¿De dónde se bajan? ¿De las nubes? Pues hala, aquí veis que es el comienzo de la segunda fase del reparto, me ha sobrado una tortilla entera y la parto en diez, por lo que tendré que repartir DÉCIMAS.

Y aquí está el final de la segunda fase. Tengo 10 décimas, puedo dar dos a cada participante, doy en total ocho, y me sobran dos DÉCIMAS por repartir.

En la siguiente fase, parto las décimas en 10 trocitos cada una, por lo que tendré 20 centésimas a repartir entre 4 participantes. Tocan a 5 CENTÉSIMAS y no sobra ninguna.

Ya hemos establecido la conexión fracción con decimal. Decía que todo esto culmina en 3º ESO. Hasta llegar a ese momento, podemos incorporar situaciones en las que se consideren diferentes repartos.

Si pensamos en el 5 tortillas para 3 personas, veremos que el reparto decimal no termina nunca. Pero, ¿eso quiere decir que cada uno recibe una cantidad infinita de tortilla? No, porque ya hemos visto que cada uno recibe siempre una cantidad equivalente a $5/3$ de tortilla.

Algo que se puede investigar, muy interesante, es ver cuáles son las condiciones para que se dé lo que ocurre con el cinco para tres, es decir, que el proceso sea infinito (vamos, que salgo periódico).

Y venga, ahora empezamos a enlazar con la pregunta cebo. Un problema interesante es preguntarse por las condiciones iniciales de un reparto; es decir, el número de tortillas y el número de participantes, sabiendo la cantidad de tortilla que ha recibido cada uno.

Primer caso. La representación polinómica decimal es finita (o sea, número con decimales fijos). Por ejemplo, supongamos que cada participante recibe 2 tortillas enteras y 3 décimas, es decir, $2,3$ tortillas. Llamaré «a» al número de tortillas y «b» al de participantes.

En la primera fase, por tanto, tengo a tortillas. Como me dicen que cada uno recibe dos tortillas, y hay $b$ participantes, en total habré dado $2b$ tortillas. Me sobra lo que tenía al principio menos lo que he dado. $a-2b$ tortillas.

Corto lo que me sobra en 10 trocitos, por lo que tendré $10(a-2b)$ trocitos, es decir $10a-20b$ trocitos de tamaño $1/10$ (décimas). Doy tres a cada uno, dando en total $3b$ décimas (multiplico por el nº de participantes, $b$, que es desconocido).

Pero espera, porque el reparto terminaba ahí. No sobraba nada… por lo que $10a-23b$ tiene que ser cero. Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 23 tortillas y 10 personas. O cualquier reparto equivalente, como el 230 para 100.

Segundo caso. Cuando la representación polinómica decimal es infinita (números periódicos). Si has hecho divisiones o ejemplos como los que ponía antes, sabrás que te sale periódico y tienes que parar cuando se empiezan a repetir los restos, las partes sobrantes.

Intentemos averiguar las condiciones iniciales de un reparto en el que cada participante recibe 1 tortilla entera, 3 décimas, 3 centésimas, 3 milésimas, etc. Es decir, 1,33.. tortillas.

Podría seguir ad infinitum, pero el caso es que sé que las partes sobrantes se están repitiendo. De hecho, en este caso, son todas iguales. Voy a igualar las dos primeras.

$10a-13b = a-b$

Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 12 tortillas y 9 personas, o cualquier reparto equivalente, como $4/3$. Observemos que si hubiésemos igualado $a-b$ con $100a-133b$ también nos habría salido. Y también si igualamos $10a-13b$ con $100a-133b$.

Si te has perdido en este punto, vuelve a donde se relaciona lo de la tabla (el reparto) con la división en caja. Ponte a dividir 12 entre 9 y trata de identificar el momento en que te das cuenta que “entras en bucle” y por qué.

Aquí irían diferentes situaciones. Cuando el período tiene más de una cifra resulta que los restos no son todos iguales, sino que van salteados. Cuando es periódico mixto, por ejemplo, se empiezan a repetir a partir de cierto momento…

Y el momento genial, ¡aha!, cumbre o como queráis llamarlo viene cuando pides encontrar las condiciones iniciales del reparto en que cada uno recibe $4,99…$ tortillas. Para mí, uno de los mejores momentos de toda la ESO.

Voy a merendar, que con tanta tortilla me ha entrado el gusanillo. Así, si alguien quiere hacerlo, tiene un ratito.

Venga, ¿empezamos?

Como lo que sobra es siempre igual, $a-4b$ tiene que ser igual a $10a - 49b$. Si hiciese una fila más, lo que sobrase también sería igual.

Y hete aquí que sale $45/9$; es decir, 45 tortillas para 9 personas, o 5 tortillas para una persona. En este momento:

Pablo, ya lo he hecho pero creo que lo tengo mal. No puede ser. Me sale cinco.

ESE ES EL MOMENTO.

¿Qué está pasando? ¿Cómo va esto de las representaciones decimales que acaban en 9 período? Aquí es donde tienen lugar unas cuantas discusiones y charlas de aula. La idea de fondo es que las representaciones polinómicas decimales que vienen de un reparto son únicas. Salvo…

… salvo en las representaciones finitas, ya que también admiten otra representación a base de nueves periódicos. Y esta noción, la de que un mismo número admite diferentes representaciones, es fundamental.

Como decía al principio, formas de argumentar sobre representación decimal y fraccionaria hay muchas. Si queremos que el alumnado vea la fracción como número no podemos dejar que el peso de la secuencia en el parte-todo. Este modelo dificulta esa conexión. Enlace para saber más

Y sobre todo. Esto no se explica. Se hace, y mientras se hace, se reflexiona sobre lo que se está haciendo.

Esta cuestión está desarrollada en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Y las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en @FacultadEducaUZ @dm_unizar #cosicasdeDAII.

Algunos me habéis preguntado por la notación de corchetes. Es herencia de Gairín y compañía y es la que usamos en @FacultadEducaUZ @dm_unizar. Se trata de enfatizar el control de los trozos. Da pie a un trabajo simbólico mayor que no he puesto en este hilo.

De hecho, para dejar más claro que es un significado diferente del de medida, en Didáctica de la aritmética II lo que se hace es escribir $(a,b)$ en lugar de $a/b$ cuando estamos con los repartos.

Para curiosos: $(2,3)[1/10]$, en cierta fase de un reparto, indicaría que tengo 2 trozos, de tamaño $1/10$, a repartir entre 3 personas.

Dejo aquí unos hilos de hace poco:

Sobre socialización de repartos, que te permiten indagar en el orden, comparación, densidad de los números racionales. Enlace
Aquí el hilo de la multiplicación de fracciones, desde el significado de medida. Enlace
Y aquí el de división de fracciones, desde la medida. Enlace

División de fracciones, unpacked

Tue, 22 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La división de fracciones. Unpacked.

Parece que solo hay dos opciones de «dar» o «ver» esto. Una, como el producto cruzado; otra, multiplicando por la inversa.

¡Mucho mejor lo de la inversa! Claro, te aprendes la regla de la multiplicación de fracciones, y dividir es lo mismo dando la vuelta a una de ellas.

¡Pero yo prefiero la otra! Es como cuando miro si las dos fracciones son iguales, que se hace el producto cruzado. Déjate de inversas, ¿qué es eso de invertir?

He puesto comillas en dar y ver. Esto ni se da ni se ve, se hace, y mientras se hace, se reflexiona y se le da significado. De lo contrario, para ponernos a aplicar una regla que es magia, hay un atajo excelente que se llama calculadora.

Vamos a la faena. Aviso que conceptualmente es más complicado que el de la multiplicación. Por eso, sugiero haber visto este hilo antes de seguir, pero esto es como elige tu propia aventura.

Caso en que dos fracciones que representan cantidades de magnitud y que multiplicadas dan una cantidad de una nueva magnitud. Por ejemplo, el área de un rectángulo conocidos los lados (multiplico los lados, longitudes, para hallar el área).

Entonces, si conocemos el área y uno de los lados, veríamos que tenemos que dividir. Un ejemplo con números enteros: «Un rectángulo tiene área 15 u2 y uno de sus lados mide 5 u, ¿cuánto mide el otro?» Lo que sea, pero multiplicado por 5 tiene que dar 15.

Aquí, por tanto, la división tiene sentido combinatorio. Con fracciones: «Si tenemos un rectángulo de área 3/4 m2 y uno de los lados mide 7/5 m, ¿cuánto mide el otro?» Observemos que ahora nuestras unidades son metros y metros cuadrados (en genérico, antes las he llamado $u$ y $u^2$).

¿Tiene sentido aquí pensar en cuántas veces cabe el 7/5 en 3/4? ¿Tiene sentido aquí pensar en multiplicar la una por la inversa de la otra? ¿Qué significaría en este contexto 5/7m^-1 o 4/3 m^-2? 🤷🏻‍♂️.

Me construyo el lado conocido (7/5 m). He elegido una fracción impropia (pobrecitas) para que quede claro cómo se construyen. Comienzo con la unidad.

La divido en 5 partes iguales para tener quintos de metro.

Y añado dos más para tener los 7/5 m.

Me construyo un rectángulo de área 3/4 m2. Para ello, primero me construyo la unidad de área, el metro cuadrado.

Lo divido en cuatro para tener cuartos de metro cuadrado, y tres de ellas serán los tres cuartos de metro cuadrado. En rojo, a la derecha, he comenzado a dibujar el lado desconocido.

Esa misma área, la puedo expresar en veinteavos de metro cuadrado.

Y ahora lo que voy a hacer es recomponer ese área de 3/4 de metro cuadrado para formar un rectángulo que tenga como lado 7/5 de metro. Puedo mover cuatro de los veinteavos de metro cuadrado así, y me queda el azulito.

Tendré que repartir ese azulito a lo largo de todo el “ancho” del rectángulo. Por lo tanto, lo tengo que dividir en 7. Observemos las divisiones en el lado desconocido.

Y ya hemos resuelto el problema. El lado desconocido mide 15/28 m (7/28 + 7/28 +1/28). Esto responde a: 3/4 m2 : 7/5 m = 15/28 m

El denominador del resultado, 4x7, representa las subdivisiones que hemos tenido que hacer en el lado desconocido que queremos medir. Cada subunidad inicial, 1/4 m, se ha subdividido en 7 partes iguales, lo que da lugar a subunidades de tamaño 1/28 m.

El numerador, 3x5, se obtiene al buscar cuántas de estas subunidades de tamaño 1/28 deben aparecer en el lado buscado. Le acabamos de dar significado a la regla del producto cruzado para la división.

¿Vamos a por otro? Recordemos el caso de la multiplicación de fracciones, en que una fracción representa una cantidad de magnitud y la otra es un operador que la modifica. Ejemplo: «Hemos comprado 3/4 de 7/5 kg de harina».

Para hacer 3/4 de 7/5 kg ya vimos en el de la multiplicación que podíamos dividir primero entre cuatro y luego triplicar (tres cuartos de…) o triplicar primero y dividir luego entre cuatro (un cuarto del triple de…). En cualquier caso, 21/20 kg.

¿Qué ocurre si a 21/20 kg le aplico el operador inverso? Es decir, si antes he dividido entre 4 y luego he triplicado, ¿qué pasa si divido entre 3 los 21/20 kg y luego los cuadruplico?

Efectivamente, se obtiene la cantidad inicial. Aplicar el operador inverso (4/3 en lugar de 3/4) es lo mismo que, en sentido combinatorio, dividir los 21/20 kg entre la fracción del operador inicial.

Lo de antes podría responder a un enunciado de este tipo: «Hemos comprado 3/4 de un saquete de harina, y al irlo a pesar eso eran 21/20 kg. ¿Cuánto pesaba el saquete de harina».

Bueno pues si el saquete lo hemos dividido en cuartos y hemos cogido tres, ahora hago tercios de la cantidad que tengo y tomo cuatro. Le hemos dado sentido al operador inverso. Nótese que en el ejemplo del rectángulo no podíamos dar sentido a la fracción inversa.

Incido en el uso de magnitudes continuas porque todo esto con magnitudes discretas no tendría sentido. Se ha de poder fraccionar todo lo que queramos. Si hablamos de bolis, vacas o cualquier otro objeto no fraccionable (y hablo de vacas vivas), no tiene sentido la división.

Seguimos, que esto todavía no ha acabado. Tampoco voy a abordar exhaustivamente todo lo que quedaría, pero recuperemos la idea de división. La división no siempre indica reparto. Su significado como agrupamiento es algo que suele pasarse por alto. ¿Qué diferencia hay?

Comparad los enunciados «Tenemos 15 tortas y queremos repartirlas entre 5 personas, ¿cuántas tocan a cada una?» y «Tenemos 15 tortas y quiero hacer paquetes de 5 tortas. ¿Cuántos paquetes podré hacer?»

Efectivamente, ambos son 15:5, pero en el primero hacemos una división con significado de reparto (3 tortas por persona), mientras que el segundo es con significado de agrupación (3 paquetes de 5 tortas).

Vamos con las fracciones. Consideremos el contexto de las tortas (el gastronómico, no el pugilístico): «Tenemos una torta de 1/2 kg y quiero hacer trozos de 1/8 de kg. ¿Cuántos trozos podré hacer?»

Conecta con el significado de agrupamiento, ya que puede interpretarse como «¿Cuántos grupos de 1/8 kg puedo hacer con 1/2 kg?». Pero también con la medida: «Tengo una cantidad de 1/2 kg (expresada en fracciones de kg) y quiero medirla en porciones (nueva unidad) de 1/8 kg».

Sí, enlaza con la idea de «ver cuántas veces cabe el 1/8 en 1/2». Pero ojo, si lo hubiese planteado al revés, qué. ¿Cómo daría sentido a ver cuántas veces cabe el 1/2 en 1/8? La medida, de nuevo, permite abordar esto, porque simplemente se trataría de medir 1/8u con 1/2u. Es 1/4.

Es normal que el alumnado no perciba las fracciones como números. Trabajar las fracciones priorizando el parte-todo conlleva este y otros obstáculos. El modelo de medida, con las fracciones representando cantidades de magnitud, incide en las propiedades de los racionales.

Nos dejamos para otra ocasión el significado de razón, que también permitiría abordar la división de fracciones.

Como siempre, para ampliar. Sobre los obstáculos del parte-todo: aquí.

Y decir que estas cositas vienen abordadas de forma exhaustiva en el «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho de la Editorial Síntesis.

Me dejo guardado aquí el applet de @alegallardo28, que puede dar mucho juego si se discute lo que ocurre en torno a la medida.

Comparación y orden de fracciones, unpacked

Mon, 21 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Comparación y orden de fracciones. Unpacked.

Esto comenzaba con una pregunta.

¿Qué te sugiere esto de aquí?

A la cosita de arriba se le puede dar sentido desde el significado de reparto. Pero si recordáis, ayer vimos la multiplicación de fracciones desde el significado, o modelo, de medida. Ambos están relacionados, y no es que tengamos que decantarnos por uno o por otro.

En el de medida, lo de arriba (numerador) es el número de subunidades que necesitamos para medir una cantidad de magnitud. Lo de abajo (denominador), indica las partes iguales en que hemos dividido la unidad para hacer mi subunidad.

En el de reparto, el numerador son los objetos a repartir, mientras que el denominador son los participantes en el reparto, el cual ha de ser equitativo. Es decir, todos los participantes reciben la misma cantidad.

¿Cuál de estas fracciones es mayor?

Desde la medida, ambas representan cantidades de magnitud. Las dos utilizan subunidades del mismo tamaño, quintos de unidad. Es mayor 7/5 porque he tomado 7 subunidades en lugar de 6. Gráficamente, queda muy claro.

Desde el reparto. 7/5 representa la cantidad de, por ejemplo, tortilla que recibe cada participante en un reparto de 7 tortillas para 5 personas. En el otro reparto hay menos tortillas y son las mismas personas. Por lo tanto, 7/5 es mayor, porque reciben más cantidad.

Una diferencia entre el modelo de medida y el de reparto es que el primero hace referencia a acciones físicas (particionar la unidad, tomar tantas subunidades, etc.), mientras que el de reparto suele ser siempre más evocado.

Vamos con estas. Muchos alumnos van directos a hacer común denominador. ¿Really?

Desde la medida. En ambas fracciones tengo el mismo número de subunidades. Pero en una he dividido la unidad en 5 para hacer mi subunidad, y en la otra en 6. Son mayores los quintos porque he dividido mi unidad en menos partes iguales. Por lo tanto, es mayor 7/5.

Gráficamente también se ve muy bien. En verde, remarco la unidad de medida (ver hilo de la multiplicación unpacked).

Desde el reparto. En ambos repartos estoy repartiendo el mismo número de tortillas. Lo que ocurre, es que en uno hay 5 participantes y en otro hay 6. Reciben más cantidad los que participan en el 7 para 5.

¿Y si estamos en este caso? ¿Cuál será mayor? ¿Común denominador y nos lo quitamos de encima? Vamos a ver qué opciones tenemos.

Desde la medida, podríamos ver que ambas son un poquito mayores que media unidad. También, que a la primera le faltan 3/7 para la unidad y a la segunda 2/5. En fin, no sé, la primera son más subunidades pero más pequeñas.

Y gráficamente, o lo hago con precisión o con alguna aplicación o no está claro. Desde luego, con mis dibujines no salimos de dudas. ¿Lo hacemos con una app y ya? No. Mejor poner sobre la mesa que no está claro.

Tenemos que echar cuentas. Desde la medida podemos tratar de igualar el número de subunidades o igualar el tamaño de estas. Empecemos por el procedimiento más familiar: igualar el tamaño de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 20/35 u. Lo único que he hecho es tomar 5 veces más subunidades, las cuales son 5 veces más pequeñas (he partido en 5 los séptimos). 3/5 expresa la misma cantidad que 21/35. Por lo tanto, 3/5 es mayor. Sí, esto es común denominador.

Pero si os fijáis no hablo de numerador y denominador (que solo indican una posición en la notación, arriba y abajo), hablo en términos de medida. Y bueno, la equivalencia se habrá trabajado previamente. Vamos a hacerlo ahora igualando el número de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/21, mientras que 3/5 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/20. Al dividir la unidad en 20 partes iguales obtengo subunidades que son mayores que los que resultan al dividirla en 21. Por lo tanto, 3/5 es mayor.

Desde el reparto. También de dos maneras, puedo igualar el número de objetos a repartir o el número de participantes.

Igualo el nº de participantes. El reparto 4 para 7 es equivalente al 20/35, pues los participantes reciben la misma cantidad. Vamos, que hay 5 veces más tortillas y estamos 5 veces más personas. El 3/5 es equivalente al 21 para 35. Comeremos más en el 21 para 35. 3/5 es mayor.

Igualo el nº de tortillas. El reparto 4/7 es equivalente al 12/21, ya que hay el triple de tortillas y somos el triple de personas. Por lo mismo, el 3/5 es equivalente al 12/20. Comemos más en el 12/20, pues hay el mismo nº de tortillas, pero hay una persona menos. 3/5 es mayor.

Perdón por dejar la pregunta gancho para el final. Vamos con esto de aquí. Claro, no puse suma ni nada. Solo preguntaba que qué sugería. En el hilo de ayer hubo quien decía que le sugería un error muy común al tratar de sumar fracciones.

Estos errores, dificultades específicas aparte, suelen tener su origen en que no disponen de un modelo sobre el cual reconstruir lo que está pasando. Se aprenden unas reglas formales y ya. Si eres espabilado, pues vale. Si no, pues mal. Y en cualquier caso, es hacer malabares.

Desde el modelo de reparto, ¿qué significado tiene hacer (4+3)/(7+5)?

Antes de seguir, trata de imaginarlo.

En efecto, es un nuevo reparto en el que juntamos las tortillas de los dos repartos originales (pasamos a tener 7 tortillas) y juntamos los participantes (pasamos a estar 12).

Imaginaros que en una fiesta de cumpleaños, en la sala A, están los del 4/7. Y en la sala B, están los del 3/5. Ya sabemos, por lo de antes, que a los de la sala B les toca más tortilla.

Pero oye, resulta que se conocen y deciden juntarse. ¿Quién sale mejor parado en el nuevo reparto?

Los de la sala A, que tocaban a menos, ahora recibirán más cantidad de tortilla. Mientras que los de la sala B, que tocaban a más, recibirán menos cantidad. Es lo que tiene la socialización.

El reparto socializado está entre medias de los dos originales. Por eso, 7/12 es una fracción intermedia entre el 4/7 y el 3/5. Y si quiero buscar más fracciones intermedias, no tengo más que repetir el proceso. Por ejemplo, 11/19 es mayor que 4/7 y menor que 7/12.

Para encontrar fracciones intermedias, tanto desde el modelo de medida como en el de reparto, habríamos podido amplificar. Es otra técnica. Resumo. Ya sabemos que 4/7 es equivalente a 20/35 y que 3/5 lo es a 21/35. La primera a su vez es equivalente a 200/350 y la otra a 210/350.

De ahí podemos sacar varias fracciones intermedias.

Por el camino, además, está la idea de densidad de los números racionales. El significado parte-todo no permite lo esencial, que debería ser asumir que estamos ante un nuevo conjunto numérico.

Todo esto está desarrollado en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Estas cosas las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en FacultadEducaUZ.

Vuelvo a etiquetarlo con #cosicasdeDAII para que lo encuentren mis alumnos.

Multiplicación de fracciones, unpacked

Thu, 03 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La multiplicación de fracciones. Unpacked.

Lo voy a contar desde el modelo de medida. Y voy a empezar por la multiplicación de un número natural por una fracción, donde esta representa una cantidad de magnitud.

De esta manera, esta operación responde a enunciados donde se agregan cantidades de magnitud. Por ejemplo, 5 botellas de 4/3 de litro.

Ese 4/3 u son 4 subunidades de tamaño 1/3 u. En este caso hablamos de cuatro tercios de litro. Sí, vale, sé que sois mayores y os podéis inventar un enunciado más contextualizado. Como son 5 botellas, podría hacer 4/3+4/3+4/3+4/3+4/3.

Al fin y al cabo, ¿cuántas subunidades tendría ahora? Efectivamente, 5 veces 4 subunidades de tamaño 1/3 u son 20 subunidades de tamaño 1/3 u. En resumen, veinte tercios. Vamos a hacerlo gráficamente de manera que este discurso se alinee con los gráficos.

Primero representamos la unidad de medida (nuestra u, que en el ejemplo es un litro).

Pablo, has dibujado un rectángulo. Sin regla ni nada. Te habrás quedado ancho, ¿no? Pues es que es fundamental empezar representando la cantidad de magnitud, y para ello tiene que quedar clara cuál es la unidad de medida.

Seguimos. Como en el ejemplo estamos hablando de tercios de unidad, dividido la unidad en tres partes iguales.

Y luego, añado el tercio que me falta para hacer 4/3 u. Es decir, mis 4/3 de litro del ejemplo.

Ahora ya solo tengo que hacer 5 de estos. Y ya tengo unos gráficos que se alinean con lo que he dicho antes. ¿Cuántas subunidades hay ahí? ¿De qué tamaño? Efectivamente, 20 de tamaño 1/3u. 20/3 u. Pd. Sí, me he salido de la «pizarra».

He utilizado una fracción «impropia» para ilustrar que, mediante el significado de medida, aparecen de forma natural. Si me seguís, sabréis que no me gusta insultar a las fracciones con peyorativos de este calibre. Pobrecitas.

¿Acaso nos ha hecho falta poner un «partido por uno» para hacer esto? Pero es que ese uno es una ayuda… Una ayuda, ¿para qué exactamente?

Vamos con la división de una fracción por un número natural. Porque nos va a hacer falta antes de ir a la multiplicación de fracciones. Responde a enunciados del tipo «tenemos 4/3 de litro de agua y la repartimos de forma equitativa en 6 vasos, ¿cuánta agua toca en cada vaso?»

Si habéis estado atentos, ya sabéis cómo representar 4/3 de litro. Un método consiste en dividir cada subunidad en 6, cosa que se ilustra en este dibujo y que se corresponde con estas operaciones. ¿Qué tamaño tiene ese rectangulito gris?

Efectivamente, 1/18 u. Y aquí radica la importancia de tener clara cuál es la unidad de medida. ¿Alguien había pensado 1/24 u?

Finalmente, solo queda coger 4 de esos 1/18 u.

Segundo método. ¿Se podría haber hecho sin pasar por los dieciochoavos? No te hagas spoiler y piénsalo.

En el primer método hemos dividido el tamaño de subunidad por 6, de forma que a cada uno le tocan 4 de esos nuevos trocitos. Pero podíamos haber tratado de repartir el número de subunidades. No podemos repartir 4 subunidades de forma entera entre 6, así que amplifico.

Así tengo expresada la misma cantidad de magnitud en novenos. Y claro, 12 novenos sí que puedo repartirlos entre 6. Tocan a 2 novenos.

Cuando multiplicamos dos fracciones, pensando desde el modelo de medida, estas pueden tener dos significados: como operador y como cantidad de magnitud.

Caso 1. Una de ellas actúa como operador. Responde a enunciados del tipo «nos hemos comido 3/2 de 5/4 de kg de merluza, ¿cuánta merluza hemos comido?». El 3/2 es operador y el 5/4 es cantidad de magnitud.

Aclaración. Propongo 3/2 x 5/4 kg buscando que sean ambas impropias, que es el caso más llamativo. Pensemos que van en paquetes de 5/4 kg y que nos hemos comido tres medios.

El resultado va a ser otra cantidad de la misma magnitud que el 5/4. En este caso, masa o peso. Vamos a resolverlo de forma gráfica. Me salto los pasos que ya conocéis y represento los 5/4 kg.

Mostraré a la vez el discurso aritmético y el gráfico. Igual que antes, hay dos maneras de hacerlo.

El operador puede actuar primero disminuyendo y luego aumentando, o al revés. Pensemos en nuestro 3/2. Puedo disminuir dos veces la cantidad inicial y luego aumentarla tres veces (hacer la mitad y triplicar)

Represento la unidad (que resalto en verde fosfi), después construyo el 5/4 kg, y lo divido por la mitad. ¿Qué tamaño tiene el rectangulito gris? Recuerdo: son subunidades de kg.

Eso es, se trata de octavos de kg. Solo falta triplicar esa cantidad para construir el 3/2 de 5/4 kg. ¿Qué cantidad representa? 15 subunidades de tamaño 1/8 de kg. 15/8 kg.

La segunda manera consiste en aumentar tres veces la cantidad inicial y luego disminuirla dos veces (triplicar y luego hacer la mitad). La triplico.

Y luego la divido entre dos. Aquí tengo dos opciones, por la línea de puntos o a lo largo, relacionándose cada una de las opciones con lo que he comentado antes al dividir una fracción por un número natural.

No hay muchos applets que aborden esto desde la medida. Casi todos lo hacen desde el parte-todo, que para esto tiene limitaciones evidentes (¿hola impropias?). Os dejo el que preparó en GeoGebra nuestro compañero de @FacultadEducaUZ, Alberto Arnal.

Pero, ¿qué ocurre cuando multiplicamos dos fracciones en las que ambas son cantidades de magnitud? Pues que el resultado será una cantidad de OTRA magnitud. Por ejemplo, «cuál es el área de un rectángulo de lados 3/2m y 5/4 m».

Me empiezo representando esas cantidades de longitud. Esto es el 5/4 m.

Y esto es el 5/4 m y el 3/2 m.

El rectángulo de lados 5/4 m y 3/2 m, con la unidad de medida en que quiero expresar su área (metro cuadrado).

¿Cuánto miden cada uno de esos rectangulines? ¿En cuántos ha quedado dividida la unidad de área? ¿Cuántos de esos he tenido que usar para recubrir el rectángulo original?

Ahí tenéis el 15/8 de metro cuadrado. Necesito 15 subunidades de tamaño un octavo de metro cuadrado.

La división de fracciones es algo más compleja. Sin embargo, y a pesar de que el campo de problemas aumenta, aquí en el hilo están los elementos necesarios. Nos emplazamos para otro momento.

Eso sí, trabajar el significado de medida no es llegar y pum. Hay que articular todo un discurso basado en ciertas acciones físicas con diferentes magnitudes.

Y otro día puedo contar lo mismo desde el significado de reparto. En fin, cosas tontas que se ven en las facultades de educación. Aprovecho para etiquetar esto con #cosicasdeDAII, a modo de síntesis para el alumnado de @FacultadEducaUZ

Si quieres más lectura sobre esto de la medida y las fracciones para la merienda o el desayuno de mañana: enlace a obstáculos del parte-todo.

Recursos interesantes sobre medida: los materiales que prepararon @SergioMJGR y @auroradp64 para trabajar las fracciones desde el modelo de medida en ESO (adaptable a Primaria, claro): enlace.

Y sobre medida directa de áreas: enlace.

Una propuesta de evaluación en Matemáticas (ESO, adaptable a primaria)

Wed, 04 Nov 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Además, es un desarrollo fruto de las reflexiones que ya puse en este otro post.

Ahora que ya llevamos algo de rodaje, y ya que lo prometí, os cuento cómo ha quedado nuestra propuesta de evaluación y calificación para ESO (adaptable a primaria). Hablo de matemáticas. Pero seguro que podéis encontrar ideas para otras materias. Intentaré ser breve y práctico, a riesgo de tener que matizar más adelante alguna cosa.

A. Tareas generales de autoevaluación

Tareas generales de autoevaluación, donde simplemente les exponemos qué hemos trabajado en las últimas sesiones y deben indicar sus dificultades. Que hasta se pueden hacer con un formulario online. Nos proporciona una imagen rápida de cómo van (y a ellos también).

B. Tareas concretas de autoevaluación

Trabajo individual, cortitas (15-20 minutos de clase). Imprescindible escribir por detrás qué dificultades se tienen, cosa que justifica la opción que marcan. Esas casillas pueden ir variando dependiendo de la naturaleza de la tarea.

Estas autoevaluaciones se devuelven con comentarios. Ellos se las quedan y nosotros nos las guardamos escaneadas, cosa que hace en 30 segundos la máquina de la sala de profes. Se hace una puesta en común en clase, tanto de las tareas en sí como de las dificultades.

Si hay desajustes entre lo que observo y lo que escriben ellos, lo marco, me lo apunto en mi cuaderno, y lo comento con ellos en privado cuando están haciendo alguna tarea en clase.

Es sorprendente, salvo excepciones, lo honestos que son en esta parte de la autoevaluación. Por otro lado, es importante ser muy pesado con que detallen las dificultades y cualquier cosa que dé información. Antes de recogerlas, me paso para decirles que escriban más.

Son 15-20 minutos, pero si alguien necesita más tiempo, lo tiene. El resto de la clase doy tarea que pueden ir haciendo los que terminan.

Normalmente, a los pocos días, se repiten igual o muy similares, aunque esto depende de cómo vayan. De esta manera que los alumnos tienen opción de demostrar que han aprendido.

C. Tareas de autoevaluación con cuaderno

Como las anteriores, pero se realizan con el cuaderno en la mesa. El cuaderno es una herramienta de aprendizaje que tiene mucho valor. Hay que aprender a verlo así. Se incluyen tareas muy, muy parecidas a las hechas en clase.

La idea es que con un cuaderno con anotaciones sepas fácilmente encontrar cómo se hacen. Las casillas de autoevaluación, en este caso, hacen alusión al cuaderno.

Inciso. Este vídeo sobre el cuaderno es del curso pasado, donde indicamos algunas ideas sobre cómo organizar el cuaderno de matemáticas cuando se trabaja a partir de las tareas que se proporcionan en fotocopias. Son geniales los avances que se van viendo en este sentido.

¿Y la calificación?

Sí, Pablo, muy bonito, pero yo tengo que poner un número en el boletín de notas. Es más, en la programación tengo que indicar de dónde sale ese numerito.

Al calificar un examen, la variabilidad es enorme. O sea, que eso de que poniendo un número vamos a ser más objetivos, lo siento pero no. A no ser que hagas test de elección múltiple, pero claro… eso es lo que es.

En cualquier caso, hay una toma de posición en la elección de las tareas de evaluación. Hagas lo que hagas, evalúes como evalúes y califiques como califiques. Es normal.

Si interesa el tema de la corrección de exámenes, dejo aquí la excelente investigación de mis compañeros Arnal-Bailera, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén: Caracterización de las actuaciones de correctores al calificar pruebas escritas de matemáticas.

A lo nuestro. La nota del boletín saldrá de esas autoevaluaciones. De esas casillas del reverso de la hoja. En el momento de calcularla, al final del trimestre, asignamos números (1, 2, 3 o 4) a cada nivel y hacemos una media.

Se convierte a la escala de 1 a 10, de manera que el 1,8 es indicativo de aprobado. Ese 1,8 viene a INTENTAR expresar que en casi todas las autoevaluaciones y observaciones de clase ha alcanzado el segundo nivel de objetivos.

Como este número así obtenido es algo muy grosero, debe quedar sujeto a una valoración cualitativa, justificada (observad que tenemos muchas evidencias). Nadie nos dice que cada estándar vale lo mismo, ni nadie nos dice que hay estándares “bisagra” y otros que no, o no tanto.

Además de las autoevaluaciones, las evidencias se complementan con el cuaderno del profesor. Si estamos trabajando la simplificación de expresiones algebraicas ese día, y yo he visto a un alumno desenvolverse con ello, me lo marco en el cuaderno (1, 2, 3 o 4).

Esas anotaciones de mi cuaderno me sirven para ver si las autoevaluaciones se ajustan o no, y en caso de que no, ya he dicho que se habla con el alumno.

Esta propuesta se nutre de las reflexiones que ya compartí en este hilo, donde podéis ver, además, el esquema que seguíamos el curso pasado. Y que nuestra preocupación sigue siendo la misma, que la evaluación-calificación se alinee con el trabajo de clase.

Por otro lado, esto es, más o menos, una de las cosas que contamos hace una semana, con mi compañera Ana Martínez, en la Jornada Pensadero de @FundPromaestro. Durante el confinamiento del curso pasado, fue el esquema de evaluación que utilizamos. De hecho, si volvemos a un estado similar, permite seguir trabajando de esta manera.

Detalles que me he olvidado de comentar

De cara a poner la calificación, tomamos solo las segundas autoevaluaciones. No tiene sentido penalizar con la primera.

Por cierto, no avisamos de cuándo son las autoevaluaciones. Como son más cortas que un examen normal, hay más. Se trata de promover que lleven todo al día y se mantengan proactivos en clase.

Las autoevaluaciones «de cuaderno» no se rehacen. Las conclusiones obtenidas en ellas se deben traducir en posteriores mejoras en cómo se hace el cuaderno.

Un efecto secundario es que comentar esas tareas de autoevaluación, además de ser más eficaz que calificar en términos de aprendizaje del alumno, es mucho más llevadero. No pierdo tiempo en decidir si estoy ante un 0,5 o un 0,75 en una pregunta.

Por supuesto. Algún alumno pregunta:

¿Esto es para nota?
Todo lo que hacéis en esta clase es para nota. Sobre todo, para aprender.

También me dicen algunos alumnos que si las autoevaluaciones son exámenes. La verdad es que pinta de examen tienen, unas preguntas en una hoja.

Tómatelo como quieras, aquí tienes que mostrar qué has aprendido. Yo no te la voy a devolver con nota, solo con comentarios.
Solo te daré una nota numérica al final del trimestre, a partir de cómo vayas haciendo esas tareas de autoevaluación. Si veo que no vas alcanzando los objetivos, avisaré a tu tutor y escribiré un mensaje a tu familia para que estén al tanto.

Hacks

Hack nº1. Incluir casilla con el número de lista en las autoevaluaciones. Y recogerlas ya ordenadas. En la primera no lo puse y luego es un rollo.

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Sobre la resistencia al cambio en la cultura de aula

Sun, 18 Oct 2020 00:00:00 +0000

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Ya van varias conversaciones este curso al respecto de la enseñanza a través de la resolución de problemas.

Es que se quedan ahí, ni leen. No saben hacer nada. Y termino explicando yo en la pizarra.

En esa frase hay dos elementos. Primero, ese «no saben hacer nada». Partiendo de que algo sí que sabrán hacer, lo que ocurre es que es posible que apenas se hayan visto en la tesitura de tener que leer y poner en juego lo que ya saben. Segundo, ese «termino explicando yo en la pizarra». Claro, nos vemos agobiados porque si no, parece que no se avanza. Y esto es una sensación muy común.

Esta resistencia inicial, que siempre he mencionado en mis tuits, no es cosa mía. Es una ruptura del contrato didáctico, un cambio en la cultura de aula. Se ha descrito múltiples veces en la literatura especializada: ¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Si observamos que el alumnado no lee el enunciado. ¿La solución pasa por leérselo nosotros?

Si observamos que el alumnado no pone en juego conocimientos que ya posee, ¿tenemos que ponerlos nosotros sobre la mesa?

¿Qué tipo de actividad matemática tiene lugar en clase? ¿Hay actividad matemática?

Ese cambio en la cultura de aula lleva tiempo. Es mucho más fácil, además, en un 1ºESO que en un 4ºESO. Pero un par de meses no te los quita nadie. Y durante esos dos meses has de ser implacable en tu planteamiento (si es lo que quieres).

Los objetivos cambian. A lo mejor el primero de ellos es leer el enunciado de la tarea y hacerse preguntas. El papel del profesor, también tiene que amoldarse a esos objetivos.

Desbloquear, gestionar las puestas en común, hacer preguntas (sobre todo, orientadas a aprender a hacer preguntas).

Esos logros sí que perduran. Es alucinante el nivel de interacción que mantienen este curso a pesar de las evidentes dificultades.

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La semipresencialidad es un escenario inédito que añade un plus de malabarismo

Tue, 13 Oct 2020 00:00:00 +0000

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La semipresencialidad, con alternancia de alumnado que acude al aula, es un escenario inédito que añade un plus de malabarismo a la experiencia confinada del fin del curso pasado.

Me he decidido a reflexionar en voz alta porque, aunque no tenga la solución, repetir la misma clase para un mismo grupo (disociado) de alumnos me parece muy ineficaz.

Por supuesto, estamos ante una opción que resta calidad a la educación que van a recibir nuestros alumnos, hagamos lo que hagamos. Se habría podido evitar en muchos centros con más desdobles u horas docentes, como veremos.

Por mi parte, las que lidian con la semipresencialidad en ESO son mis compañeras de no-departamento, que son las que dan clase en 3º ESO (estoy en un CPI de transformación y todavía no hemos llegado a 4º).

Voy a contar primero lo que se hace en @FacultadEducaUZ

En la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza también hay semipresencialidad, y unas semanas van la mitad de los alumnos y otra semana, la otra. En las asignaturas de Didáctica de las Matemáticas hay 3 sesiones semanales de 2 horas.

Una de las sesiones es un desdoble donde la sesión es práctica y, por lo tanto, se divide al alumnado en dos aulas guardando aforos, distancias y precauciones pertinentes. Ese tipo de sesiones es fundamental porque es donde se enfrentan por primera vez a cada contenido.

En las otras sesiones, de carácter más «teórico», se revisitan esas prácticas para institucionalizar contenido, y se avanza también con pequeñas tareas/situaciones que se van comentando entre todos. Esas sesiones se hacen en grupo completo, donde alterna el alumnado.

Hay cámaras en el aula para poder seguir la sesión, grabarla, etc. Yo creo que optaré por compartir pantalla y llevar mi cámara de documentos. Grabaré dicha sesión para dejarla en el moodle, donde el alumnado que no haya asistido también tendrá disponibles las tareas/situaciones.

No sé si es la mejor opción, pero a priori me parece bastante aceptable. Al menos, resuelve la ineficiencia de repetir la clase y se siguen reservando momentos para la exploración de contenidos. Tampoco se exige seguir la sesión de manera síncrona, en directo.

En la ESO, entonces, ¿qué?

Lo que veo es que faltan medios, tecnológicos y humanos. Planificar esos desdobles de forma estratégica como he descrito antes es utópico. Por espacios, porque la clase es todos los días, varios grupos del mismo nivel que pueden ir a ritmos distintos…

Además, lo que se haga con los que estén en casa no puede ser síncrono, al menos totalmente. Por disponibilidad de equipos, organización familiar, etc. Pero creo que se debería poder proponer el mismo tipo de actividad que estén haciendo los de presencial.

Si los de presencial están en una actividad de construcción (hablo de Mates), donde hay mucho trabajo autónomo, los otros también. Ahora, los de presencial tienen un andamiaje por parte del profesor que, con las puestas en común, permite ir avanzando.

Los que están en casa ahí vuelan más rato solos. Pero pueden volar, como ya vimos el curso pasado. Y con una sesión que se grabe al final de semana e interacciones por la plataforma de turno se pueden emular esas puestas en común. O dejarlas para el primer momento cuando vuelven.

Solo ha sido una reflexión. Es un tema complejo, que no solo resta calidad, sino que exige doble trabajo del docente. Y esto último es tremendo. Nada impedía tener a un docente (o los que hagan falta) por materia para atender virtualmente y poder coordinar todo decentemente.

Qué bisoñez la mía, nada impedía eso. 😂

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Una reflexiones sobre semipresencialidad en tiempos de la COVID

Mon, 12 Oct 2020 00:00:00 +0000

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Hoy he leído sobre las orientaciones en mi comunidad y voy a comentar unas cosas sobre esto del flipped. #VueltaSegura

Plantearlo como un «if semipresencial then flipped» es reduccionista, porque no es la única manera de enfocar la semipresencialidad.

Tampoco me queda claro qué se entiende por clase inversa en este contexto. En el resumen de la reunión con los directores que circuló hace poco, señalaban que, a partir de 3º ESO «Se primarán contenidos más teóricos en los días de atención presencial y más prácticos en los días en los que el alumnado esté en casa (salvo en FP que se primarán los contenidos de prácticas presenciales). Se fomentarán actividades de clase invertida y se dará formación al profesorado para ello.»

En general, como veremos, en la clase inversa se hace la teoría, o parte de ella, en vídeos, y actividades más prácticas, resolución de dudas, etc. en el aula. Así que lo de antes de primar teoría en presencial y flipped para práctico, no sé si es una errata o qué.

Anécdotas aparte. Al lío. ¿Encaja el flipped con un escenario de semipresencialidad? Pienso que la respuesta corta es sí. Si vamos a una de las fuentes originales del flipped, al Bergmann y Sams de 2012, se dice que «el flipped consiste en hacer en casa lo que tradicionalmente se hace en clase, y lo que tradicionalmente se hace como deberes se hace en el aula. Pero el flipped es mucho más que esto.»

Lo de clase tradicional es un constructo peliagudo de definir. Sin embargo, cuando ves lo que se entiende por flipped, tanto al ver todos los vídeos que cuelgan generosamente muchos docentes como al leer artículos sobre el tema, en general se identifica bien qué significa esto.

A saber: que lo que se hace tradicionalmente en clase es ver la teoría. Y lo que se hace tradicionalmente como deberes son ejercicios. Y que entonces queda tiempo para resolver dudas y problemas majos en el aula.

Por tanto, en semipresencialidad se mandarían vídeos para casa con la teoría y luego se hace la parte más práctica en el aula y se resuelven dudas. Encaja. Teniendo en cuenta, claro, que el profesor va a estar toda su jornada atendiendo y preparando actividades de aula.

Y que además tiene que plantear algo dinámico para los que no están en el aula. Porque sobre los vídeos, los que hacen flipped, plantean feedback y otras historias que no se hacen solas.

Vamos ahora al cuestionamiento, por lo menos, del flipped como solución única e innovadora, que es lo que me inquieta. Realmente, son cosas que ya he señalado en alguna ocasión.

En primer lugar, lo que llama la atención es el adjetivo «invertida». No invierte nada. Bueno, miento, invierte en términos espaciales. Pero temporalmente la secuencia didáctica sigue siendo igual.

En el propio discurso de Bergmann y Sams se observa que el flipped asume muchas de las prácticas habituales en eso que llaman clase tradicional. Por ejemplo, que el contenido se presenta de forma explícita al alumno antes de darle oportunidad de construirlo mínimamente

Esto es lo que me incomoda de la propuesta de semipresencialidad que motiva el hilo, a nivel didáctico. Es como si no hubiera otro modelo de enseñanza… ¡Y vaya si los hay!

Porque si se asume que va a haber cierto trabajo en casa, por supuesto que hay opciones más allá del flipped. Se puede comenzar la indagación en el aula, y seguir explorando en casa. O al revés. Se puede ser muy flexible.

Hilos donde comenté ejemplos de actividades que hicimos durante el confinamiento. Dentro de las claras limitaciones de ese escenario, contentos por mantener y seguir favoreciendo una actitud proactiva.

No olvidemos que lo que está detrás de todo esto es la visión de las matemáticas que tenemos y que queremos transmitir. Aquí una turra reciente sobre el tema:

¿Por qué enseñar matemáticas?

Todo esto lo comento desde el prisma de la educación matemática en etapas obligatorias y desde los aspectos puramente didácticos. Cuando he hablado con compañeros de otras materias, termino pensando que pasa 3/4 de lo mismo, con sus matices.

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La idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función

Wed, 07 Oct 2020 00:00:00 +0000

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A partir de esto de aquí, si os apetece os cuento algo sobre la idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función:

No hubo muchas interacciones, pero todas tienen en común lo mismo que las escenas del estupendo «Graphing Stories» de Desmos. A ver si descubrís qué es antes de continuar.

Efectivamente, todas las respuestas a mi tweet, al igual que las escenas de Desmos, presentan la magnitud tiempo como variable para el eje horizontal.

Vale, el día anterior había propuesto yo mismo una interpretación de gráfica que sí que llevaba el eje X etiquetado como tiempo. Y pedir inventarse una «historia» puede sugestionar demasiado en ese sentido, lo admito. Mea culpa.

Pero imaginad, como indica en el «Lenguaje de funciones y gráficas» del Shell Centre, que el eje X fuera hambre y el eje Y fuera ansiedad. Tratándose de un paseo por el campo, cuenta una historia diferente al «subir despacio, estar un rato en la cima, y bajar rápido».

Podría ser que la ruta fuera difícil, el GPS no nos funcionase y no consiguiéramos ver las señales en el camino (ansiedad creciente). Al cabo de un rato, vimos una referencia clara que nos puso en el camino correcto de vuelta. ¡Pero se nos habían olvidado los bocadillos!

Se podrían haber inventado muchas otras historias, considerando cosas como la batería del móvil, la preocupación de alguien que espera nuestro regreso, etc.

A lo que íbamos, Janvier (1998) introduce la idea de crónica. Una crónica, aquí, viene a entenderse como un registro de eventos ordenados en el tiempo. A Janvier le llamaba la atención lo que ocurría al pedir a los estudiantes completar e interpretar gráficos como este.

Se trata del Bacteria Puzzle de Karplus (1979). Cada punto, representa el estado final de un cultivo de bacterias que ha crecido bajo unas condiciones de temperatura determinadas. Cuando los estudiantes lo completan tenemos algo así.

Al interpretarlo, un grupo lo hace bien, usando el gráfico para determinar el efecto de las condiciones de temperatura en el crecimiento del cultivo. Observemos que para hacer el gráfico ideal necesitaríamos infinitos puntos, uno para cada hipotético experimento posible.

Sin embargo, otro grupo no escapa a la ‘trampa’, y lo interpretan como una población microbiana que crece durante cierto período de tiempo, y luego muere.

Janvier señala también las dificultades para interpretar las curvas de oferta y demanda. Representan una situación que se mantiene estable (salvo sucesos como huelgas, desastres, etc.), pero tanto profesores como estudiantes se ven tentados a usar crónicas en sus razonamientos.

La curva no cambia durante una transacción. Así que cuando se dicen cosas como que ‘si compras más, cada artículo te costará menos’ se cae en una excesiva simplificación de la gráfica.

La investigación de Janvier le llevó a clasificar este tipo de obstáculos como epistemológicos (que dependen de la naturaleza del objeto matemático en cuestión, ni ontogenéticos ni didácticos).

Una tarea que propuso fue la del ‘Vuelo de París a Montreal’. Os animo a que antes de continuar, la penséis. “Dibuja en los siguientes ejes cómo varía la duración del vuelo de un avión que va de Montreal a París con respecto a su velocidad”.

Estos son los tipos de respuestas que obtuvo:

Como piden t respecto a v, lo suyo es poner la v en el eje horizontal. Pero vemos que en la 2.e) cambian los ejes. Eso es porque realmente están contestando a otra pregunta (¡obstáculo epistemológico!): ‘cómo cambia la velocidad del avión respecto al tiempo durante el vuelo’.

De una muestra de 226 alumnos de instituto (antes de dar cálculo, ¿4ºESO?, la mayoría no da con la gráfica correcta (2.a). Muchos (35%) tienden a esbozar una recta (ilusión de linealidad, ¿necesidad de mostrar un viaje-trayecto?) y un 15% caen en el obstáculo de crónica.

No nos olvidemos de trabajar gráficas y relaciones funcionales variadas para dar significado a la idea de función y de variable, y preparar para situaciones de cambio que desembocarán en la noción de derivada.

Ni de restar importancia a la interpretación de gráficas y a la conversión entre diferentes registros, frente al omnipresente mundo algebraico.

Para terminar, si nos paramos a pensarlo, la gráfica ansiedad vs hambre, tal como la hemos contado al principio, es otra especie de crónica. No aparece la variable tiempo, pero usamos un marco temporal para ordenar los eventos.

Así que os emplazo a retomar la historia de la excursión por el monte y ver una ‘historia’ que no sea realmente una ‘crónica’.

Un par de referencias para profundizar, porque el artículo de Janvier da para tres o cuatro hilos.

Janvier, C. (1998). The notion of chronicle as an epistemological obstacle to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 79–103.

Glazer, N. (2011). Challenges with graph interpretation: A review of the literature. Studies in Science Education, 47(2), 183–210.

Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz

Thu, 01 Oct 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Una actividad para trabajar la estimación en clase de Matemáticas con arroz. En P. Usán y C. Salavera (Coords.), Gamificación Educativa, Innovación en el aula para potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje (pp. 257-266). Pregunta Ediciones.

Se trata de una versión ampliada de Beltrán-Pellicer, P. (2019). Una de estimación en clase de Matemáticas con arroz [Entrada de blog]. Blog de experiencias de aula. Formación del profesorado (DGA). Disponible en http://dgafprofesorado.catedu.es/

Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria

Tue, 01 Sep 2020 00:00:00 +0000

A first approach to the analysis of educational statistics videos: the case of the median

Abstract

The objective of the work was to analyze the improvement with the school year of the understanding of the representativeness and sample variability in high school students. For this, we analyze the answers given by a sample of 536 students from three courses (second and fourth year of Secondary Education and second year of Baccalaureate) to a task in which four values of a binomial distribution are requested are analyzed. We analyze the average and the range of these values, which constitute a sample of four results of that distribution, comparing with the theoretical values of the sample distribution of the mean and range. The results suggest that students have a good perception of the expected value, but that the perception of variability is incorrect and does not improve with age. We also observe the equiprobability bias and the heuristic representation in a part of the students, improving the results in higher levels.

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M. M., & Beltrán–Pellicer, P. (2020). Comprensión de la representatividad y variabilidad muestral por estudiantes de Educación Secundaria. Yupana, 12, 8-22. https://doi.org/10.14409/yu.v0i12.9624

Un juego que da mucho juego: pillar al tramposo

Mon, 03 Aug 2020 00:00:00 +0000

De nuevo, esto es una versión de un hilo de Twitter. Pongo esto para disculparme, en todo caso, por el estilo de escritura, adaptado a ese medio. El caso es que, en esta ocasión, me mencionó @Picanúmeros en un hilo muy interesante:

Nota: esa actividad la tenéis descrita en Por qué experimentar en probabilidad.

El tweet en cuestión era este:

En fin, que todo esto me llevó a pensar en una actividad llamada pillar al tramposo o pillar al mentiroso, que le da un giro curioso al experimento de lanzar monedas. Aprendizaje basado en juegos.

La hago habitualmente, tanto con el alumnado del máster de ESOb, como en ESO (y puede hacerse un acercamiento en primaria). Divido la clase en parejas, de forma que habrá parejas honestas y parejas tramposas.

Para ello, les entrego a todas una tarjetita de estas (las tengo plastificadas) con su rol. Os dejo el imprimible.

Dependiendo del número de alumnos, meto más o menos parejas tramposas. Funciona mejor si por lo menos hay dos tramposas. En una clase normal con unas 12 parejas, meto 3 tramposas.

¿Qué hacen las parejas honestas? Lanzar una moneda un montón de veces y anotar los resultados que van saliendo. Se anotan en bruto, sin resumir. Es decir, algo así:

CCXCCCXXCXCXXCCCCCX…

¿Cuántas veces hay que lanzarla? Cuantas más mejor, claro. Con 150 ya se pueden hacer cosas majas y se puede pillar a los tramposos, cosa que no siempre se consigue. Mejor, 200 lanzamientos. Tampoco es mucho rato, si uno lanza y otro anota en 6-7 minutillos lo tienes.

Briconsejo: que lancen las monedas sobre el cuaderno abierto. Amortigua el ruido.

Y las parejas tramposas, ¿qué hacen? Pues disimular. Tienen que hacer como que tiran las monedas, pero se tienen que inventar la secuencia. Todos saben que el objetivo del juego será pillar a las parejas tramposas.

Inciso: se puede valorar que hagan los lanzamientos en casa, pero creo que es mejor tener cierto control sobre la recogida de datos. Aunque digas que no se deben resumir… hay algunos que resumen los datos. Y entonces, mal, porque se pierde información.

Y con las secuencias “aleatorias”, empezamos con el juego y la correspondiente discusión de aula. Para ello, les digo que pongan sus nombres y que intercambien la hoja con otra pareja.

Lo primero que surge (y esto depende mucho del curso) es contar caras y cruces. vamos ¿A quién marcamos como sospechosas? Se lanza esta pregunta y se espera a ver qué dicen.

Pero la cosa es, ¿a quién marcamos?

¿A las que tienen exactamente (o muy cerca) la mitad de caras que de cruces?
¿A las que se alejan mucho?

En la discusión parece que la cosa no queda clara. Entonces, hay que buscar otra forma de pillar a los tramposos. Alguien menciona las rachas que ve en la hoja de resultados.

Entonces, se pueden contar las veces que aparece CC, XX, XC o CX. ¿Cuál es la probabilidad de aparición de cada una? Aquí conviene observar que estamos asumiendo ya un modelo probabilístico.

¿Y si miramos cómo es la longitud de la racha más larga de caras y de cruces?
¿Y si…?
¿Y si…?

En definitiva, después de llevar a cabo varios análisis. Nos intentamos poner de acuerdo en quiénes son los tramposos. Si no hay acuerdo, se les puede decir que anoten sus candidatos.

Aquí una discusión en una pizarra con N=150 (da más juego con 200). Otras veces, lo hago directamente sobre una hoja de cálculo, como he dicho antes.

Esta actividad que he contado es una adaptación del proyecto “Comprueba tus intuiciones sobre el azar”, que menciona Carmen Batanero en varias publicaciones. Por ejemplo, aquí: Batanero y Arteaga (2011). Enlace

Y aquí Gea, Fernandes, Batanero y Benavides (2016) comentan este tipo de actividad realizada con un grupo de 5º de Primaria, trabajada desde la intuición. Enlace

Y en verano, ¿qué matemáticas pueden hacer mis hijos?

Thu, 30 Jul 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

De vez en cuando, algún amigo me pregunta que qué puede hacer de matemáticas con sus hijos en verano. Dejo aquí un par de sugerencias.

Te vas a la web de @nrichmaths y seleccionas primaria o secundaria. Voy a elegir primaria.

Sí, ya me he dado cuenta de que está en inglés. Pero la gran mayoría de actividades las vas a poder hacer con la ayuda del traductor. Con tenerlo abierto en otra pestaña, ya está. Así practicas inglés y matemáticas.

Hay muchos materiales, juegos interactivos, etc. Voy a ilustrar un ejemplo. Filtro por bloques temáticos.

Elijo números (por ejemplo), y después voy a elegir “multiplicación y división”.

Va por niveles, bastante amplios. Esto suele chocar al personal. ¿Cómo? ¿Entre 7 y 11 años? ¿Es que no pueden afinar estos del nrich, tanta Universidad de Cambridge ñeñeñe para que no sepan a quién va dirigida la actividad? 😱

Pues mira, es que es porque son actividades que ofrecen diferentes puntos de entrada. Low floor / High ceiling (suelo bajo y techo alto). Voy a seleccionar uno en apariencia bastante soso. What do you need? ¿Qué necesitas?

Pues se trata de encontrar un número entre el 0 y el 99. Y nos dan una serie de pistas.

Que sí, que están en inglés, corto y pego en un traductor. En este caso, también funcionaría bien traducir la página (en los juegos esto da fallos a veces). Bueno, que lo hace bastante bien.

¿Os animáis a encontrar el número? Después, no os conforméis con eso. Se trata de pensar y discutir qué 4 pistas son innecesarias.

Los juegos también son muy majetes. Aquí están jugando al “Play to 37”. Es un jueguecillo para dos jugadores donde cada jugador suma 1, 3, 5, o 7. Y gana el que dice (o escribe) 37.

Después, se piensa qué está pasando. ¿Quién está ganando? ¿Por qué? ¿Cómo sería la secuencia más corta que me lleva a 37? En todas estas actividades vais a encontrar la solución comentada, con estas cositas que tienen que aflorar.

No los machaquéis con cuentas porque sí, que es lo fácil. En las actividades del nrich de números que he comentado se trabajan también los hechos numéricos, pero de forma más rica. Si de todas maneras quieres un par de recursos más…

Estas tablas de cálculo, de Jesús Javier Jiménez, están muy bien, para todos los niveles y de bloques variados (no dedicaría más de 5 minutillos y no todos los días)
Para los más peques, estas hojas que se colorean y muestran un personaje o un dibujillo.

En cualquier caso, tened claro que las matemáticas en primaria no son solo aritmética; y en secundaria no son solo álgebra.

He puesto como ejemplo una actividad de números, porque es lo primero que buscan mis amigos. Pero las actividades de geometría, medida, estadística, probabilidad… son preciosas (y necesarias). Aquí las de geometría del mismo nivel que he buscado antes.

La idea, en cualquier caso, es que si se hace algo, sin agobios y que sirva para desarrollar una actitud de indagación, curiosidad… Hoy en día hay un montón de recursos interesantes.

Por supuesto, lecturas. En ESO, me gusta recomendar La fórmula preferida del profesor y El tío Petros y la conjetura de Goldbach. También, divulgación, que hay un montón, muy buena y de los temas más variados. Y juegos de mesa. Sobre todo, no los torturéis durante el verano.

Cuadrado de una suma (meme)

Wed, 29 Jul 2020 00:00:00 +0000

Una tontadica que puse en Twitter. Si eres profe de matemáticas, te ha pasado. Y lo sabes.

Y si me dejáis explotar el chiste…

Una propuesta sobre evaluación y calificación para ESO y adaptable a Primaria

Fri, 10 Jul 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Estas reflexiones las concreto en este otro post, con la propuesta que implementamos en el curso 2020/21.

Comparto mi propuesta de evaluación y calificación para matemáticas. Pienso en ESO, pero es muy adaptable a Primaria. Abro hilo.

Razones de ser de la propuesta

Antes de entrar en faena, voy a exponer las razones de ser del esquema (siento el rollo):

No se especifica en ningún sitio, y menos mal, qué tareas/preguntas/problemas conllevan la superación de un estándar en concreto. Espero no dar ideas a la mente legisladora.
De 1 se desprende que dos profesores pueden plantear -legítimamente- dos tareas distintas, incluso en esencia, para “certificar” la superación de un estándar.
O sea que la asociación exhaustiva de estándares con preguntas de exámenes es absurda y una pérdida de tiempo.

Si una tarea merece la pena, lo más seguro es que se relacione con varios estándares, y unos cuantos del bloque 1.
La utilización de hojas de cálculo para cuantificar la relación con las competencias vía la relación que marca el currículo es, de nuevo, ridícula. Lo siento.
Lo digo porque, en primer lugar, las tareas tienen que ser “competenciales”. Después, no sé si os habéis fijado pero las competencias están puestas un poco al tuntún. Los estándares de antes están relacionados con la CMCT, pero no veo por qué no iban a estarlo con la CCL.
Soy plenamente consciente de la normativa. En ningún sitio pone que tenga que hacer esas hojas de cálculo del punto 5.
Tengo que tener presentes los contenidos, criterios y estándares. Obvio, es la ley.
Realmente, confieso que no me gusta esa forma de concebir la legislación. Está pensada por una mente no ya evaluadora, sino certificadora. Aunque repito, con estas premisas cumplo. Y atiendo al olvidado bloque 1. En mis sueños, imagino que legisla alguien con, por lo menos, sensibilidad hacia la didáctica específica y desde los contenidos (entendidos en sentido amplio) y procesos y competencias específicas. Pero los sueños, sueños son.
En fin, que tengo que diseñar los instrumentos de evaluación y calificación de manera que el aprobado signifique que se han alcanzado los estándares. Pero esto lo puedo hacer a nivel de unidad o grandes grupos de tareas. Y ya.
Muy importante. El sistema de evaluación tiene que empoderar el trabajo habitual de clase.
Los exámenes finales de unidad, especialmente con un elevado peso en la calificación, no apoyan el punto anterior. Ya me conocéis, lo que está detrás de todo esto es el enseñar a través de la resolución de problemas.
Sobre esto suele haber debates a principio de curso en los departamentos. ¿Qué peso a los exámenes? ¿Cuántos hacemos? ¿Entra lo anterior? ¿Hacemos globales por evaluación? Me da igual, si se lleva el 80% vas a tener alumnado que, o pase de la clase (ya lo estudiará, irá a refuerzo o lo que sea), o se centre solo en aquellas cosas que preguntes. Hay muchas referencias sobre evaluación que estudian este fenómeno y cómo se relacionan las calificaciones con el aprendizaje. En fin, que quiero evitar el teach-to-the-test en mi propuesta.
Este curso íbamos con este esquema de calificación:

50% exámenes. Coherentes con lo hecho en clase, sí, preguntas de razonar, escribir, etc. Pero exámenes.
25% exámenes de cuaderno con problemas prácticamente iguales a los de clase.
12,5% pasaporte de tareas de clase. Observación del trabajo de aula. Era también una vía de comunicación con las familias, pero al trabajar en cada unidad las tareas en clase, indicaba si estaban en desarrollo los estándares de la unidad o no teníamos información.
12,5% diario de aula del profesor, observación. Porque como nos paseamos por las mesas y trabajan durante mucho rato, se habla con ellos y se termina viendo quién hace qué.

Hasta este curso no había podido implementar un esquema así. Sí que me las había ingeniado para darle la vuelta un poco a los esquemas habituales, incluyendo exámenes de cuaderno como exámenes “normales”.

Sin embargo, sigo sin estar conforme. Se notan los avances, porque veo que los exámenes normales son un freno para lograr buenas dinámicas de aula. Además de que, mira por dónde, hay bastante correlación entre los de cuaderno y estos.

Fin de la primera parte.

La propuesta

Vamos con la propuesta, que, por supuesto, está sujeta a debate y acepto sugerencias.

No es raro hablar con compañeros y estar de acuerdo en que casi no haría falta ni hacer exámenes porque ya sabes qué notan van a sacar. Eso es porque hay cierta evidencia que hace puedas decir eso. Vamos a aprovecharla.

Para los nuevos que me siguen. En clase hago una enseñanza a través de la resolución de problemas. Los alumnos se enfrentan a las tareas sin recibir instrucción previa (en pequeños grupos), hay un andamiaje y puestas en común donde se institucionaliza el contenido.

Cuesta mucho que entren en esa dinámica. Por eso me preocupa tanto la evaluación y la calificación. Me voy a centrar en la calificación (igual decepciono porque estoy en proceso de diseño):

Exámenes de cuaderno con problemas hechos en clase o pequeñas variantes. Pensando en que esos exámenes de cuaderno sean sustituibles o complementados por una evaluación de portafolio.
Tareas concretas, sobre las que se hará un feedback principalmente grupal (individual solo en ciertos casos) y habrá opción a reentrega. Sin nota.
Autoevaluaciones de los alumnos. Básicamente:

Necesito más tiempo para entender esto o necesito un ejemplo delante para poder hacerlo.
Puedo hacer esto por mi cuenta, pero hay cosas que no entiendo, me falta una explicación y/o estoy cometiendo errores de cálculo.
Puedo hacer esto por mi cuenta sin errores y explicar o mostrar cómo lo resolví.
Puedo hacer esto por mi cuenta sin errores, explicar o mostrar cómo lo resolví, y explicar qué significa mi solución o hacer alguna observación adicional.

Escribe un párrafo donde describas qué dificultad has tenido en la realización de esta tarea.
¿Qué he aprendido? Escribe un breve párrafo que describa qué has aprendido.
¿Qué me gustaría aprender?

Si no contestan a estas preguntas, la autoevaluación no vale.

Obviamente, tienen que aprender a hacerlas. Esto lo hemos visto durante el confinamiento. Pero esa nota (1, 2, 3 o 4) es tan válida como cualquier otra. Nos reservamos el derecho de entrevistar al alumno si detectamos discrepancias con el siguiente instrumento.

Observación del profesor, con una guía similar a la de las autoevaluaciones. Como me paseo por las mesas, hay multitud de momentos donde hablo con ellos, escucho y observo. Además de las puestas en común. Este instrumento no se ponderaría en la calificación.

No he puesto porcentajes, pero básicamente constaría del 50% los exámenes de cuaderno y 50% las autoevaluaciones (con las condiciones que he puesto antes, no es la alegría de la huerta).

Anexo 1

Algo que suele decirse, como me ha hecho notar @jjcanido esta mañana, es que estos esquemas se perciben como que facilitan el aprobado. JA. Sobre esto, también quiero recoger aquí alguna cosa.

Entre mis objetivos no está ni el facilitar ni el dificultar el aprobado.
Sí está el ser exigente, pero no es lo mismo eso que poner exámenes chungos porque sí.
Exigente para que todos den el máximo, quiero decir. A riesgo de sonar Mr Wonderful.
En 1ºESO, en la 1ª evaluación tengo que lidiar con unos cuantos lloros con el tema notas.

Y es que con estas cosas la cultura de aula cambia por completo. Sin más, hay que gestionar esas emociones, ir cambiando creencias sobre lo que es una clase y ya. Al final de curso, suelen decir que ha sido divertido, pero difícil.

Anexo 2

La plantilla (tontorrona) de cuaderno del profesor que utilizo en el aula. Enlace

Anexo 3

Sobre el examen de cuaderno. Que gusta a todos, porque es muy adaptable. Enlace

Anexo 4

Aunque pongo los hilos en mi perfil, en este momento recojo lo que escribo específicamente sobre la enseñanza través de la resolución de problemas. Para que os hagáis una idea de la cultura de aula que persigo. Enlace

Anexo 5

Sobre lo de que aquí estoy ponderando por instrumentos y no por criterios o estándares, que sería lo adecuado según cierto punto de vista.

No sale en ningún sitio qué peso tienes que dar a cada criterio/estándar. Así que si diseñas instrumentos diversos y ricos a partir de esos criterios/estándares a nivel de “unidad”, también terminas con un numerito que cumple con la norma.
Tal como están redactados, por lo menos en mates. Si un alumno no cumple cierto estándar, no le voy a poner una sola tarea concreta para ver si cumple con eso (porque además habría un amplio rango de tareas a elegir, y pueden ser extremadamente dispares).

Los estándares suelen estar bastante relacionados unos con otros, sobre todo a nivel de unidad. Si son tareas que merecen la pena, salen un montón. Me interesa evaluar conjuntos de estándares, no atomizar mi enseñanza ni el aprendizaje.

En fin, que la cosa es centrarse en tareas ricas en tiempo de clase, que desarrollen los contenidos de forma interconectada, mucha evaluación formativa, y que los instrumentos de evaluación y calificación atiendan a la norma.

Ah, y la autoevaluación que propongo, combinada con la observación del profesor, permite recoger evidencias no contempladas en los demás instrumentos.

Anexo 6

Suelo enlazar cositas del Shell Centre, como ese librito de funciones que todos sabéis Cara guiñando un ojo. Por si no doy bastante mal con esos materiales, enlazo de nuevo esta web con una infinidad de unidades centradas en la evaluación formativa. Enlace

¿Cómo fue mi primera clase como profesor?

Thu, 02 Jul 2020 00:00:00 +0000

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Recuerdo con cariño cómo fue mi primera clase como profesor. Un 1° ESO, en una sustitución. Estaban con el primer tema, de números y tal. Venga, de dividir os acordáis ¿no?

Hice una división en caja, desplegada, divisor de dos cifras 🤦🏻‍♂️ y tal, con todas las operaciones por escrito. En un afán por que quedara todo claro, clarito.

Más tarde aprendí que eso se conocía como el algoritmo extendido. Los chavales, no entendían qué leches estaba haciendo. Y yo…, en aquel momento llevaba más de una década sin hacer una división a mano. Y no me imaginaba cómo podía no entenderse aquello.

Y eso era lo que hacía que me observaran con una mezcla de cautela, sorpresa, e incomprensión: estaba escribiendo las restas completas.

También llegué a aprender la tontería que supone perder tiempo con según qué cosas. Como por ejemplo, dedicar esfuerzo a esa división por un número de dos cifras. Y a hacer divisiones, en general, porque sí.

Si alguien que ha trabajado el algoritmo de la división sabiendo por qué se procede así, no identifica el algoritmo desplegado… cuidado. Más adelante me percataría de que seguramente muchos de esos alumnos realmente no eran conscientes de que estaban restando en cada paso.

Aquella situación, aquella anécdota, se ha ido tornando extrañamente significativa para mí.

Fuente de la imagen: manelzaera.

Sobre la web australiana reSolve y libros de texto

Tue, 26 May 2020 00:00:00 +0000

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Esta mañana he puesto un enlace a una web que me parece increíble. Y me permite hablar sobre libros de texto y materiales.

Enlace a reSolve.

Un libro de texto, con su “teoría”, sus ejercicios y sus “problemas” es un obstáculo. Más por el hecho de la pauta de trabajo que marca que por el hecho de que suelen ofrecer una muestra de actividades muy pobre.

Sobre esto último hay muchos trabajos de investigación donde se analizan libros de texto. Que señalan importantes carencias. No obstante, aquí quiero criticar al modelo en sí.

Vale que es muy cómodo, aunque eso no debería ser razón para usarlo, más allá del obvio pragmatismo.

Vale también que no es más que un recurso y que se puede adaptar y utilizar de diversas maneras.

Sin embargo, para mí, la pinta que deben tener unos materiales es la que se muestra en esa página australiana. O en la del Shell Centre. O en la Guía Praxis (finales de los 90).

No son libros de texto. Por ejemplo, lo de funciones y lo de números de Shell son libros, sí, pero no son para el alumnado. Llevan cuadernillos imprimibles, sí. Pero es el profesor el que selecciona, adapta y gestiona las actividades.

Un libro de texto te da muy poco margen per se para realizar esa selección. ¡Si ya está seleccionado! ¿Cómo? ¿Sin saber a qué alumnos va dirigida la secuencia?

Esos materiales que menciono incluyen una justificación de las actividades, para el profesor, así como indicaciones que facilitan luego su puesta en marcha en el aula.

Vamos, que al docente se le trata como a un profesional. Esto es lo que hay, estas son las razones y aquí van algunas indicaciones. Coge lo que necesites y adáptalo para tu alumnado.

Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas

Tue, 19 May 2020 00:00:00 +0000

Abstract

BlocksCAD is a scratch-like programming environment to create 3D objects, which offers a web-based interface for the open-source OpenSCAD 3D modeling software. With this tool, bodies in space are described by algorithms that include the use of a few primitives, such as prisms and spheres; geometric transformations and logical and set operations. This article introduces the resource and proposes examples of tasks that have been implemented with students in the second cycle of secondary education in Spain.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Rodríguez-Jaso, C., & Muñoz-Escolano, J. M. (2020). Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas. Suma, 93, 39-48.

Atención a la diversidad a través de la resolución de problemas

Sat, 16 May 2020 00:00:00 +0000

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Un aspecto que me fascina de la enseñanza a través de la resolución de problemas es cómo permite la inclusión y la atención a la diversidad. Os cuento algo al respecto.

Si queremos atender a la diversidad, la opción, por sistema, de dar unas fichas para los que van más rezagados y material extra para los que tienen mayor capacidad, no hace sino excluir dentro del aula.

La inclusión y la igualdad de oportunidades tiene lugar cuando la tarea de clase es la misma para todos. Lo que se consigue con actividades del tipo “suelo bajo y techo alto” (low floor high ceiling).

El otro día puse el ejemplo de la actividad de la mediatriz, o del punto de encuentro. Empieza con tareas muy sencillas que puede abordar todo el mundo. Colocar un punto, medir distancias, observar…

De hecho, esa parte, que podría plantearse en primaria, no sobra para nadie. Porque contribuye a desarrollar el significado de mediatriz como lugar geométrico.

Conforme avanza la secuencia de actividades, hay puntos, como el que voy a comentar, que denotan que el aprendizaje no es el mismo para todos (no puede ser de otra manera).

En una de las actividades, se trata de averiguar el circuncentro de algunos cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

El del trapecio rectángulo no se puede hacer, claro, si trazas las mediatrices no se cortan en el mismo punto. Aquí es donde una alumna de 1º ESO ha realizado la siguiente observación. Interesante es poco.

En clase presencial puedes animar a los alumnos a realizar este tipo de observaciones, eligiendo bien las preguntas. Sin embargo, la interacción online es muchísimo más reducida. Por eso me alegro tanto cuando veo estos indicios.

Le pregunté que cómo podía estar segura de lo que decía, y que se animara a utilizar las herramientas de medida de geogebra.

Después, le propuse pensar acerca del porqué de que ocurra, que implica propiedades de la mediatriz y de ángulos, así como aspectos de perpendicularidad y semejanza.

En fin, que solo venía a compartir esta pequeña alegría en tiempos de crisis. Porque las matemáticas serán maravillosas, pero también pueden ser muy segregadoras, separando entre los que controlan y los que no.

Un aprendizaje inclusivo no implica que todos terminen aprendiendo lo mismo. Se trata de equidad y de permitir y buscar el máximo desarrollo de cada uno.

Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Sat, 02 May 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

Los tres actos de los enteros

Tue, 28 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter, sobre los que además se han incorporado una serie de correcciones y ciertos matices que se pierden en el formato de los 280 caracteres.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

¿Qué modelos concretos existen?
Inconvenientes de los modelos concretos.
Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

Los modelos de neutralización se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas que se neutralizan entre sí. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay que quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle $a$ veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar $b$ fichas azules un número $a$ de veces y quedan $ab$ fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Esto obliga a una nueva interpretación de los signos. Tanto en la suma como en la resta, los signos que acompañan al número son signos predicativos, signos que indican el tipo de objetos al que nos referimos (fichas rojas o azules), mientras que los signos entre números son signos operativos binarios, indican las operaciones de suma o resta. Sin embargo, en (–a)(–b) el signo que acompaña al primer número no es un signo predicativo, es un signo operativo que indica la acción de quitar.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Son modelos en los que los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas,, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza $a$ casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0)$, $(0,b)$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro…

Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

Representar el origen.
Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento pasa lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave. Si queremos que nuestro alumnos sean capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas, tienen que pasar por la experiencia de verlas surgir en el seno de la resolución de problemas.

Lo primero que hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc. Este tipo de problemas se resuelven con mucha más economía de medios en el ámbito de los números naturales o racionales positivos.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Es allí donde la presencia de letras impide efectuar todas las operaciones y obliga a operar con términos que a su vez son operaciones indicadas. Pero las reglas de manipulación de estos términos desembocan rápidamente en reglas para operar con términos que hacen un papel de sumandos o sustraendos dentro de la expresión algebraica. Posteriormente la aparición de los sustraendos en las soluciones de las ecuaciones y las necesidades de establecer una teoría general de ecuaciones, por un lado, y de construir la recta real para dar paso a la geometría analítica, por otro, forzaron la aceptación de los sustraendos como nuevos números en un proceso histórico que duró alrededor de 1600 años. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico que verdaderamente justifique su necesidad.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica, porque alguno de los datos es desconocido.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Esto escenifica mejor que estamos en un mundo nuevo. Hasta ahora las soluciones de los problemas eran numéricas. A partir de ahora podrán ser fórmulas que se convertirán en números cuando nos den el valor numérico del dato desconocido o relaciones entre expresiones algebraicas. Y más adelante el establecimiento de igualdades entre expresiones algebraicas nos permitirá encontrar el valor de una incógnita. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

2 cromos.
No se sabe.
2 menos que al empezar.

Entonces el profesor les comenta que no siempre que se intenta resolver un problema se conocen todos los datos necesarios para resolverlo y que en ese caso se sustituyen los datos desconocidos por letras. Los alumnos discuten sobre qué letra utilizar y aparecen una variedad de soluciones:

$a – 2$
$c – 9 + 7$
Etc.

Esto plantea dos problemas a discutir en la clase: la equivalencia de las expresiones aunque se utilicen distintas letras, es decir, la convencionalidad de la letra, y la posibilidad de obtener la expresión $a – 2$ a partir de la expresión $a – 9 + 7$.

Esta última posibilidad no está nada clara para los alumnos porque para muchos de ellos $a – 9 + 7 = a – 16$, ya que interpretan los signos como operativos binarios, que es el significado que tienen en aritmética. El profesor interviene preguntando: si a una cantidad le tengo que restar 9 y después sumarle 7, ¿eso a qué equivale? Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Aquí los alumnos comprueban el interés de obtener una fórmula lo más simplificada posible y de utilizarla cuando se conoce el dato que falta. Los alumnos que obtienen la expresión p + 1 y la usan para rellenar la tabla acaban mucho antes que los que manejan una expresión menos simplificada o reproducen todos los cálculos para cada valor de la variable.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

En la primera etapa se sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden ni de separar positivos y negativos. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad. Las técnicas de cálculo algebraico no son algorítmicas, exigen toma de decisiones para realizarlas de la forma más económica posible. Po eso se pide a los alumnos que lean toda la expresión antes de tomar decisiones y que busquen la manera de hacer cálculos sencillos.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos. zº Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas anteriormente, pero ahora el dato desconocido puede tener uno u otro sentido. Esto obliga a incluir la consideración de sumando o sustraendo en los valores numéricos que puede tomar la letra.

Hasta ahora las letras tomaban siempre valores absolutos, pero en el ejemplo aparecen dos fórmulas distintas: –2 + a o –2 – a, según que a sea una ganancia o una pérdida. Para poder unificar las fórmulas es necesario admitir que una letra puede tomar valores positivos o negativos. También ahora aparece por primera vez un sustraendo aislado como solución de un problema.

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal.

Ahora ya tenemos razones para considerar a los sumandos y sustraendos como nuevos números: pueden ser solución de un problema, las letras pueden sustituirse por ellos y se pueden definir operaciones y un orden entre ellos. Son los números enteros.

Una vez establecido el carácter numérico de sumandos y sustraendos se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

Agradecimientos

Esta versión de los hilos de twitter sobre los enteros ha contado con las inestimables sugerencias de Eva Cid.

La mediatriz a través de la resolución de problemas

Sun, 12 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Eres profe de mates y toca introducir “la mediatriz”, digamos en 1º ESO. Elige tu propia aventura.

A. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

B. Coloca 5 o 6 puntos en el mapa que estén a la misma distancia de dos amigos.

Si has optado por A, has elegido una enseñanza PARA la resolución de problemas. En principio, ahora toca explicar el procedimiento para dibujarla y, después, plantear unos ejercicios para ver si el alumnado ha “entendido”.

Estos ejercicios pueden ser, dados dos puntos A y B por sus coordenadas, trazar el segmento que los une. Luego, pueden venir ejercicios de aplicación, tal vez problemas.

Por ejemplo: si m es la mediatriz del segmento AB y C es un punto de la recta m, ¿cuál es la distancia del punto C al punto A, sabiendo que la distancia de C a B es 4 cm?

Por supuesto, aquí, una muestra variada de situaciones enriquecerá algo la propuesta. Pero veamos qué pasa si optamos por la B.

La opción B forma parte de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Que, como ya hemos dicho aquí, no es dejar al alumnado en la selva. Hay descubrimiento guiado, y hay un andamiaje.

Se les proporciona a los alumnos un geogebra con un mapa y dos puntos fijos. Sin ejes ni cuadrícula. No cuesta nada maquearlo para su localidad ( enlace a ggb).

Ana y María están en los puntos de la localidad que tienes marcados en la foto. Tienes que encontrar varios puntos (al menos cuatro) que estén a la misma distancia de las dos. Puedes comprobar las distancias midiendo con Geogebra. Marca los puntos en la hoja.

Esta actividad puede servir como introducción a geogebra. Colocar puntos, medir, arrastrar…

Una vez que tienes situados al menos cuatro puntos, contesta:

¿Qué tipo de forma o figura se formará al dibujarlos todos?
¿Podrías encontrarlos todos?

¿Qué nombre recibe el conjunto de puntos que has encontrado?
Escribe una definición de este conjunto de puntos.
¿Podrías escribir otra definición diferente?

Observemos que, hasta ahora, a los alumnos no se les ha mencionado el nombre de “mediatriz”, ni siquiera está en el título. Sin embargo, en la pregunta 3 ya aparece. Es posible que algún alumno lo conozca y asocie esta actividad con algo anterior.

Atención a las preguntas 4 y 5. En lugar de dar una definición, no se da ninguna. Y no contentos con eso, preguntamos por otra definición. ¿Estamos locos?

Para nada. Aquí la idea es que surjan dos definiciones. Una, relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico, que es lo que subyace intuitivamente en la tarea. Ejemplo de respuesta: “Es la recta que tiene puntos que están a la misma distancia de otros dos”.

Otra, relacionada con alguna propiedad. “Es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento”. Aquí se les suele olvidar el adjetivo perpendicular. Ocasión de oro para hablarlo en el aula.

Pero también hay respuestas curiosas, e interesantes por lo que nos cuentan acerca de las creencias de los alumnos. Alguno, ante la pregunta de si hay otra definición, dice que no. Que solo hay una. Claro. Ya.

En las puestas en común, el profesor puede institucionalizar el lenguaje. Así, puede hablar, explícitamente, de lugar geométrico. La diferencia está en que venimos de verlo intuitivamente y solo hay que poner nombre a las cosas

Es muy importante captar la esencia de recta como lugar geométrico. No es trivial. Que luego vienen esas dificultades para identificar la solución de un sistema como punto en común de dos rectas.

Vamos con la segunda tarea. Se vuelve a trabajar con el mismo archivo ggb. Y se les pide repetir la tarea, pero utilizando la herramienta “mediatriz”.

Tercera tarea. Ahora lo mismo, pero con tres amigos ( enlace al ggb).

Preguntas que se hacen.

¿Cuántas rectas has empleado para hallar ese punto? ¿Cómo se llaman?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con menos rectas?
¿Podrías haber determinado el mismo punto con más rectas?

Las preguntas dos y tres son para discutir si hacen falta dos o tres rectas. Con dos es suficiente, claro. Hay que argumentar por qué.

Cuarta tarea. Institucionalizamos ese punto que está a la misma distancia de los tres amigos. Se llama circuncentro (el nombre se dice, pero no es lo más importante) y podemos dibujar una circunferencia (llamada circunferencia circunscrita) que pase por los tres.

Observemos que, cuando decimos que la enseñanza a través de la resolución de problemas permite atender a la diversidad, tiene que ver con esto. Hemos empezado con algo muy intuitivo. Y poco a poco vamos introduciendo todo el contenido matemático. Las formalizaciones, además, llegan después de trabajar las ideas, y no suponen un obstáculo. Lo fundamental aquí es seguir enfatizando la idea de lugar geométrico.

Quinta tarea. ¿Qué ocurre con el circuncentro cuando el triángulo que forman los tres amigos es acutángulo? ¿Y si es obtusángulo? ¿O rectángulo? Prueba a mover los puntos. Aquí se pasa el ggb con los puntos sin fijar ( enlace al ggb).

Maravilloso. Geogebra para explorar y conjeturar.

Sexta tarea. ¿Qué ocurre si añadimos un cuarto amigo? ¿Te valdría el circuncentro como punto a la misma distancia de los cuatro?

Séptima tarea. ¿Puedes encontrar el circuncentro (punto a la misma distancia de todos los vértices) en el caso de que los cuatro amigos formen las siguientes figuras? Cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

Se les proporcionan los ggb de cada figura. Tienen que hacer las comprobaciones abriendo el archivo correspondiente y construyendo el circuncentro, cuando sea posible.

- Cuadrado. - Rectángulo. - Trapecio isósceles. - Trapecio rectángulo.

Octava tarea. Más problemas. ¿Puedes encontrar dónde puede estar el tercer amigo si tenemos como dato la ubicación de dos de los amigos y el circuncentro del triángulo formado por los tres? Se vuelve a proporcionar un ggb. Es importante dibujar y justificar el razonamiento ( enlace al ggb).

Novena tarea. Trata de encontrar el circuncentro sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”.

Terminando. Recordad que veníamos de elegir la opción B (a través de la resolución de problemas), que he desarrollado a lo largo de todo el hilo.

Una actividad relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico es trazar la mediatriz en geogebra, sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”. Pero no hacerlo y ya, sino argumentar por qué se traza tal o cual arco.

Por ejemplo: trazo este arco desde este punto para encontrar todos los puntos que están a la misma distancia de él. Ahora, trazo este otro arco desde el otro punto, para ver cuántos… Y el corte está a la misma distancia de ambos…

Aquí se plantea en la tarea 9, pero debería ser el núcleo de otra actividad, donde se enfatice el porqué del procedimiento de construcción de la mediatriz.

Todo esto viene de una práctica que se hace desde hace tiempo en el área de Didáctica de la matemática de la Facultad de Educación de Zaragoza, en Didáctica de la geometría, en Magisterio de Educación Primaria. También la tratamos en el máster de ESO.

El otro día, con @lolamenting comentábamos la actividad que hay en Desmos sobre la mediatriz, y cómo la introducían ahí. Con esto cumplo mi autopromesa de escribir sobre el tema 😊.

Hasta aquí, que hacía mucho que no me daba por hacer un hilo de estos. Espero que lo hayáis disfrutado.

Y bueno, si os interesan más propuestas a través a resolución de problemas, las voy dejando en el tuit fijado de mi perfil o en mi blog.

Gol, el juego

Wed, 01 Apr 2020 00:00:00 +0000

Aquí, ayer, jugando a “Gol” con el padawan D7. Os lo cuento.

En cada turno, los jugadores eligen una carta cada uno y la revelan al mismo tiempo. Si la carta del rojo gana a la del negro, la pelota avanza hacia la portería del negro.

Una carta a otra gana a otra dependiendo de su valor. Con la excepción del as, que gana a cualquier figura y pierde contra cualquier número.

Esto es un gol. No sé si os habéis fijado, pero el tapón está decorado al detalle 😍

Este juego tan majo es de @ReinerKnizia, de su libro “New tactical games with dice and cards”. Si os pica el gusanillo, apuntároslo para cuando pase todo esto, que ahora no es momento de ir haciendo este tipo de pedidos.

En el libro describe un montón de juegos para los que únicamente hacen falta, cartas, dados y contadores. Analiza la táctica en cada uno y propone variantes. Muchos de ellos han llegado a tener sus versiones comerciales, como este “Goal” (Tor, en la versión alemana).

Hasta entonces, podéis cotillear la web de @ReinerKnizia. En su zona de descargas gratuitas ha dejado un pequeño juego (solitario) ambientado en una crisis sanitaria. A los alumnos se lo voy a pasar.

Sobre las matemáticas que se hacen estos días en casa

Tue, 31 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Coincido con la lectura que hace Lynne McClure @clm4d de la situación a la que nos ha llevado el coronavirus en @CambridgeMaths: Home truths about mathematics

Traduzco libremente a la vez que comento y pongo ejemplo de actividad.

Y es que percepción que tiene @clm4d es que se está poniendo el énfasis en que el alumnado haga en casa lo que se “supone” que deberían estar haciendo en la escuela:

Formularios con preguntas tipo, orientados a algún examen.
Ejercicios mecánicos de respuesta cerrada, proporcionando abundantes ejemplos del mismo tipo.
Tareas centradas en grabar lo que hacen en lugar de explicar y describir.

Dejando aparte la cuestión de que todo esto no debería ser el núcleo del trabajo habitual de aula, Lynne señala que, precisamente ahora, hay una oportunidad para intentar algo diferente (y mejor).

Una oportunidad para estudiantes de todas las edades para experimentar, con calma y a su ritmo, lo que significa pensar matemáticamente, ser creativo, “ensuciarse” con un problema.

Esto es posible con muy pocos recursos. Dados, peonzas, papel, tijeras, tapones… se puede explorar, estimar, predecir y hablar sobre lo que piensa cada uno en cada una de esas situaciones.

Lynne termina proponiendo alguna actividad de @nrichmaths, como Dotty six y Got it!. Ayer, @javiarrospide compartía un documento recopilando y traduciendo alguno de estos juegos. 😍

Por otro lado, Lynne llama a la tranquilidad recordando algún ejemplo donde esta forma de trabajar no deja en desventaja a los alumnos frente a una forma de trabajar más “formalista”.

De hecho, esa pregunta que me hacen a veces, me parece falaz.

¿Y qué pasa si al curso que viene les lleva un profesor que no trabaja así? Bueno, pues es que es peor al revés. Aunque de esto ya hemos hablado alguna vez, podemos volver a sacar el tema otro día.

Así que gracias @clm4d por compartir esa reflexión. Por otro lado, ayer recibimos aquí en Aragón las instrucciones actualizadas. Me gustan bastante, aunque no se mojan en la evaluación final que, entiendo, es todavía un tema peliagudo.

Aunque tardar en decir lo inevitable ocasiona una angustia innecesaria. Las instrucciones hablan de seleccionar contenidos, de evaluar para adaptar los futuros procesos de enseñanza y aprendizaje.

Os cuento algo que hemos mandado a los de 1º y 2º de ESO. Es una actividad basada en una práctica que hacemos en @dm_unizar, sobre las áreas de las figuras planas. Dejo en este enlace la ficha para descargar.

En esos cursos, es algo que ya han trabajado, normalmente limitándose al aprendizaje de las fórmulas ☹️. En esta tarea se introduce la idea de polígonos equivalentes y se les pide que se olviden de esas fórmulas (de las que se acuerden, claro…).

Se trata de coger las tijeras y convertir esas figuras en un rectángulo equivalente, con el mismo área, de forma que se pueda deducir la fórmula del área. Aquí, producción de una alumna para el paralelogramo y los triángulos (esta última se les ha atragantado a muchos).

Les hemos hecho dos vídeos (hablo en plural porque mi compi y yo decidimos compartir aula virtual):

Uno para el primer día, dedicado a los que no leen el enunciado o no se aclaran, introduciendo la del paralelogramo.
Otro, ya con muchas entregas realizadas, comentándolas. “Igual” que hacíamos en clase, donde este curso apenas estaba usando ya la pizarra. Por ejemplo, en las que he mostrado antes falta indicar qué son b y a en la figura original. Es decir, falta la conexión entre esas áreas.

Es una pena enorme no hacer esta actividad en clase, porque da para una sesión y pico, y puedes llegar a conectar con el área del círculo (cosa que aquí hemos quitado) e, incluso, con áreas de figuras cualesquiera. Aquí, podada, la hemos propuesto para una semana.

No es que se pierdan la explicación, porque no hay explicación, salvo una pequeña institucionalización al final. Es que se pierden todo el proceso de exploración en conjunto y discusión de diferentes soluciones, uso de vocabulario, etc.

Les hemos propuesto que hablen entre ellos, claro, pero no es lo mismo. Ni de lejos. Luego, además, están los que no pueden conectarse, los que no tienen las mismas facilidades, los que se la copian y ya, etc.

Creo que es un ejemplo de algo que tocaba ver este año, pero que todos “conocían” ya. Permite trabajar explorando y fomenta la autonomía. En algún momento hablaba de enriquecimiento horizontal, refiriéndome a este tipo de cosas.

Y nada más, que quería compartir esto por aquí. Hacer esto a distancia no es guay, es un parche de los gordos. Pero va en la línea que comentaba Lynn, y la que pienso que piden las instrucciones. Ya está.

Experiencias y recursos TIC en la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad

Fri, 27 Mar 2020 00:00:00 +0000

Abstract

This article compiles and analyzes some of the existing ICT resources that can be incorporated into probability teaching and learning processes. A bibliographic review is made from which new features are presented that concern the technological issue and that have led to the emergence of certain resources that facilitate the negotiation of meanings in the classroom. In this way, in addition to the power offered by the simulation to systematically explore modeling and extend the number of repetitions of the experiments, we will see that didactic sequences can be raised that generate classroom dynamics that favor the use of language and that allow to put into play stochastic reasoning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Begué, N., & Roldán López de Hierro, A. F. (2020). Experiencias y recursos TIC en la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad. Investigación en Entornos Tecnológicos en Educación Matemática, 1, 15-22. https://doi.org/10.7203/ietem.1.16287

La sección del NY Times sobre gráficos: What's going on in this graph?

Fri, 13 Mar 2020 00:00:00 +0000

Hoy hemos comentado esta gráfica sobre el coronavirus (COVID-19) de la sección What’s going on in this graph? del @nytimes, en 1º y 2º ESO. Enlace aquí

Ha dado para un rato majo. En la misma página dan ideas para fomentar la discusión. Ha resultado interesante ver qué significaba cada eje, hablar del porqué de ese rectángulo para el COVID-19, etc.

Nos ha pillado viendo proporcionalidad, así que contento también con que haya salido que el eje vertical “no es proporcional”.

Es muy recomendable echar un ojo a la sección, que como actividad de calentamiento dan mucho juego.

También tienen lesson plans específicos para matemáticas.

Datos, operaciones, solución

Sun, 08 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. De nuevo, en este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

A ver si hay tema con esto. ¿Os animáis?

Parece que hemos tocado un punto sensible. Y el ambiente está animado, pero estoy viendo que se están diciendo cosas muy interesantes. Para mí, esto forma parte del mal (mal o bien depende de cómo veamos las matemáticas).

Luego sintetizaré aquí mi punto de vista, pero ahora voy a bucear por las respuestas. Desde ya, quiero agradecer especialmente a los que empleáis esta estructuración y habéis aportado vuestros motivos. Siempre ganamos con estas discusiones.

Para los que no tienen el gusto de conocer la rejilla (@jjcanido 😉), implica que el alumno busca los números del enunciado, los pone donde indica “Datos”, elige una operación y la hace en “Operaciones” y escribe el resultado en “Resultado”.

Lo que no esperaba yo es que esto llegase a ser asunto de claustro. Veo que hay coles que han aprobado que TODOS los “““““problemas””””” (no hay comillas suficientes) se hagan así. En el hilo ya hay respuestas muy interesantes, y si llegáis ahora os recomiendo disfrutar de ellas.

Para poder decir que una cosa de estas está bien o está mal, tenemos que tratar de responder a preguntas del estilo:

¿Qué son las matemáticas para mí?
¿Qué matemáticas quiero que aprenda mi alumnado?
¿Cómo consigo que mi enseñanza sea coherente con lo anterior?

Y no, no todos vamos a responder lo mismo. Simplificando, y usando la denominación de Skemp, hay profesores:

Relacionales.
Instrumentales.

Desde los trabajos de McLeod en los 80 sobre dominio afectivo en educación matemática se ha investigado mucho.

Así, hay profesores que se declaran instrumentales, y lo son; profes que se declaran relacionales, y lo son; y profes que se declaran relacionales, pero que atendiendo a su práctica, son instrumentales en su didáctica. Cosa que puede tener que ver con su visión de la matemática.

Vamos, un lío. A lo que iba, la rejilla se ubica en una visión de las matemáticas muy instrumental, tanto en la concepción de estas como de su enseñanza. Si es lo que buscas, ok, pero puede que no estés haciendo problemas en clase de mates. Y el currículo habla sobre ellos.

¿Qué pasa si el problema no tiene datos numéricos?
¿Y si no tiene solución?
¿Y si la solución no es un número?
¿Y si no sé la operación ya no hago nada? ¿Me la juego?
¿Y los dibujos o representaciones gráficas?

Esa rejilla no es una ayuda para ningún alumno. Si pensamos en ella para los alumnos con dificultades, estamos errando. Forma parte del “vamos a disimular que estamos haciendo mates”. Os pongo un enunciado, extraéis los números, operáis, y me escribís el número que sale.

Hay otros tipos de apoyos, de los cuales, además, se beneficia todo el alumnado. Manipulables, menos carga simbólica de entrada, representaciones gráficas, etc.

En 1º EP tampoco es adecuado. Menos, si cabe. Aunque menos que cero… ver link.

Puede que esto de la rejilla venga de una malinterpretación y simplificación del modelo de Polya sobre resolución de problemas. Modelos han surgido unos cuantos, y esto de la rejilla solo tiene en común con ellos una cosa: que tiene fases.

¿Entonces qué hacemos? No es dejarlos en la selva, no, va a haber un andamiaje y un trabajo de fondo. Algunas claves:

Quiero trabajar la comprensión del enunciado. Entonces puedo preguntar ¿qué sé? ¿qué puedo saber? ¿qué puedo usar? ¿qué tengo que averiguar? (Mason, Bruton y Stacey). Traducir a tus propias palabras, resumirlo, describirlo a un compañero…

Si una fase se llama “Operaciones”, inculcamos la creencia de que hay que elegir esas operaciones y ya.

Y a esos alumnos luego les supone un choque cultural el utilizar representaciones gráficas, verbalizar mínimamente su proceso de razonamiento, etc. Cuesta mucho trabajo sacarlos de ahí.

Ya lo dejo. Que hay interacciones muy buenas por el hilo. Algunas referencias para introducirse en esto del dominio afectivo. Este artículo

El libro de Vila y Callejo “Matemáticas para aprender a pensar”, que ya he recomendado anteriormente enlace.

Y otra referencia que había puesto en alguna respuesta. “La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación inicial de profesores de Primaria”, un libro disponible en la web de la @_SEIEM, aquí.

Hablemos sobre este triángulo para la velocidad, espacio y tiempo

Mon, 02 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

¿Os apetece hablar de esto de aquí?

Me da igual si es para velocidad, espacio, tiempo o para la ley de Ohm. Aquí tenéis la versión óhmica y la representación pictórica de lo que seguramente esté ocurriendo en la mente de ese alumno que “necesita” usar esto.

Yo la descubrí de mano de un alumno hace ya unos años.

Mira Pablo, si es más fácil así. Pim, pam, pum.

Para los que no sepáis de qué va el triangulillo este, es una regla para despejar velocidad, espacio, tiempo en v=e/t. Tapas la de la izquierda y operas con lo que te queda.

Una bonita reflexión es pensar con qué queremos que se quede un alumno que parezca que necesita ese triángulo. Estamos un poco en lo de siempre, llevado al extremo. ¿Queremos un aprendizaje profundo, relacional…? ¿O queremos un aprendizaje instrumental?

Claro, si luego los problemas no son problemas, sino que son ejercicios para identificar v, e, t y luego operar, la regla esa funciona a tope. Mejor me lo ponéis con la ley de Ohm. Me imagino que interesa conocer la relación de proporcionalidad que hay entre esas magnitudes…

Si un alumno no puede razonar que si en cada hora recorro el mismo número de kilómetros, y he recorrido 12 km en dos horas, la velocidad es 6 km/h, no veo qué le va a solucionar el triángulo. Ah, sí, aprobar el examen y disimular que estamos haciendo matemáticas (o fyq).

Estáis diciendo algunos que un problema es que se equivoquen a la hora de poner las letras. Para mí el principal problema es que se anulan razonamientos como el del tuit anterior.

También me gustaría saber si a alguien que fomenta o no le importa el uso del uno en los denominadores o la regla de tres, fomenta o no le importan además este tipo de reglas. O por el contrario, lo otro sí o meh, y con esto 😱.

Hablemos sobre el uno de los denominadores

Fri, 28 Feb 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

Algún día también tendremos que hablar sobre este uno de aquí.

No pensaba yo tocar tanta fibra sensible con este tema, pero ha quedado una bonita discusión. Ese uno, ¡ay!, ese uno… Voy a intentar sintetizar en un pequeño hilo mi perspectiva aludiendo a alguna de las respuestas al tuit original.

Podemos pensar que es correcto formalmente y que no hace daño, que no molesta. Pero si fomentamos su uso estamos claudicando ante unas matemáticas muy de mecanizar. En mi opinión, y espero que en la de alguien más, unas matemáticas pobres.

Podemos pensar, como apunta alguien por aquí, que es hilar muy fino y que hay cosas más urgentes. No lo veo yo así. Esto forma parte de una visión de las matemáticas poco ligada a la comprensión. Viene a indicar que ese alumno apenas tiene sentido numérico.

Pero es que hay quien ha mencionado que ese uno, precisamente, indica comprensión. Que es el primer paso para hacer común denominador.

A lo mejor lo que toca es replantearse el papel que deben jugar los algoritmos en la educación matemática. Llegará un momento, y ya os digo que como muy tarde será en la EvAU, que todas esas cuentas las harán con calculadora. Así que, ¿qué poso debe dejar el trabajo anterior?

No estoy diciendo que no se hayan de ver algoritmos, sino que hoy en día, más que nunca, deberíamos tener claro que han de servir, como un elemento más, en el desarrollo de la comprensión y, en este caso, del sentido numérico.

Si quiero sumar fracciones, usar el “procedimiento de común denominador” es solo una de las maneras posibles. Poner ese uno de entrada anula considerar cualquier otra de las opciones. Así que no, no es el primer paso. Y mucho menos denota comprensión, por ahí no paso.

A veces, basta con amplificar fracciones. Otras, con simplificar. Sí, el método del común denominador sirve siempre, ya. Por cierto, cuando en clase pregunto por cómo se multiplicaban las fracciones (1º o 2º de ESO), casi todos dicen que en cruz. 🤦‍♂️ 🤦‍♀️

Otros dudan, y solo alguno asevera que es el de arriba con el de arriba y del de abajo con el de abajo. Y nadie te sabe argumentar mínimamente por qué. Lo de poner el uno para sumas de naturales y fracciones, mano de santo.

¿De qué ha servido entonces todo el tiempo que se ha dedicado en cursos anteriores a “Venga, numerador con numerador y denominador con denominador, ahora vosotros.”? ¿Qué se ha quedado en la mochila de esos alumnos?

¿Quitamos ese uno y ya? Como también han dicho por aquí, un alumno puede aprender la regla de que para sumar $3+\cfrac{1}{5}$ se puede hacer $3\cdot 5+1$, que es $16$, y decir $\cfrac{16}{5}$. Puestos a aplicar una regla, es más eficiente esta para hacerlo mentalmente.

No, si quitamos ese uno tenemos que estar dispuestos a cambiar nuestro discurso en torno a las fracciones. Es más, si quitamos ese uno, puede que sea el primer paso hacia unas matemáticas más ricas.

No es quitarlo y ya. Una fracción puede tener diferentes significados. Puede representar una parte de un todo, un proceso de medida, un reparto (cociente), una razón, etc. En el caso de la medida, el denominador ya no es solo lo que está debajo de la rayita.

Indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. Y el numerador no es ya lo que está encima de la rayita. Es el número esas partes iguales que se necesitan tomar para medir una cantidad de magnitud.

Y esa tontería cambia radicalmente todo el lenguaje que acompaña al aprendizaje de las fracciones. Que sí, las vamos a sumar, las vamos a restar, comparar, multiplicar y dividir. Sobre todo, vamos a aprender sobre ellas a través de situaciones y problemas.

Por otro lado, qué interesante es el dominio afectivo y cómo influye en nuestra práctica docente. En las respuestas se ha venido a constatar que entre los docentes de matemáticas hay diferentes sistemas de creencias hacia lo que es la matemática en sí.

Desde luego, no me creo poseedor de la definición absoluta de lo que es la matemática, ¡faltaría más! Así que no puedo dar una respuesta categórica a si está “bien” poner ese uno o no. Depende de nuestra visión de las matemáticas y de lo que pretendamos que aprenda el alumnado.

Matemáticas sin pizarra

Wed, 29 Jan 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En la charla del otro día me permití un pequeño homenaje a un librito titulado “Matemáticas sin pizarra”, de 1986. Cuando hablas con Eva Cid, una de las autoras, te das cuenta de que sus preocupaciones y motivaciones siguen de plena actualidad.

A mí me gusta decir que lo que se busca es que haya actividad matemática en el aula. Indicios de vida inteligente. Para que quede claro, aquí no hablamos de formar matemáticos, que alguno habrá, sino de formar personas. Y el pensamiento matemático es fundamental para todos.

En el prólogo, exponen las razones que les llevaron a prepararlo. “Contenidos de 1º BUP excesivamente teóricos y sin relación con los intereses vitales del alumnado.” Ya entonces había quien cursaba el BUP por mero prestigio social o como extensión de la EGB.

Ahora, en 3º de ESO, tenemos lo de antes pero multiplicado por N, con N>1 y con la O de Obligatoria. Vamos, que lo tienen que cursar todos. Hemos de atender a todos y procurar el máximo desarrollo de nuestro alumnado.

Los autores continúan:

“Las clases se basan casi exclusivamente en explicaciones del profesor.” Con esto, se fomentan actitudes pasivas en los alumnos, que pasan más tiempo viendo hacer que haciendo. Imitando. 🙈🙉🙊

De esta manera, el profesor protege excesivamente al alumnado:

Explica con detalle el libro de texto, inhibiendo la competencia lectora del alumno. ¿Que luego no leen los enunciados? ¡Si es que muchas veces se les leen y se les explican!
El profesor dice cómo se tienen que resolver los ejercicios.
Avisa de los errores que no se deben cometer.
Resuelve dudas y preguntas antes de que ellos se las planteen.

Luego no nos quejemos de que de esta manera el alumno no desarrolla capacidad de crítica y evaluación de su trabajo. Es el profesor el que decide lo que está bien y lo que está mal. Esto es un contrato didáctico, “clásico”. Entre comillas. Que el libro este es de 1986.

Con este contrato, se produce una separación artificial entre la teoría y los ejercicios. Apenas se realizan problemas de verdad. No se trata de hacer problemas de “olimpíada”, que también. Medir una tira de tela es una situación-problema.

El librito incluye una colección de problemas para ir trabajando los contenidos mientras se van resolviendo tareas. El alumno lee. Discute con los compañeros. El profesor hace puestas en común e institucionaliza. Hay actividad matemática.

Por mi parte, entre otras cosas, cada vez uso menos la pizarra. Ya he comentado que lo que hago ahora es proyectar producciones de los alumnos y comentar sobre ellas. Incluyo alguna pequeña anotación, pero pocas.

Actividades para ver si sabemos contar

Sun, 15 Dec 2019 00:00:00 +0000

El problema de los triángulos

¿Cuántos triángulos pueden verse en el dibujo? Los triángulos deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo.

La solución a este… aquí:

El problema de los cuadrados y de los rectángulos

¿Cuántos cuadrados pueden verse en el dibujo? Los cuadrados deben tener sus lados sobre las líneas del dibujo. ¿Y si contamos cuántos rectángulos?

Nota: un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.

Si no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas!

Sat, 14 Dec 2019 00:00:00 +0000

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No, es que mira, el chiquillo o la chiquilla no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas! │ └> Error

Es un error y es el comienzo de una historia de terror con las mates en el papel del villano.

Vía formal y vía concreta en paralelo, por favor. La prioridad es comprender. Por ejemplo, en las situaciones aditivas, no se trata de “adivinar” si se tiene que sumar o se tiene que restar.

Si el niño o la niña las resuelven contando hacia delante o hacia atrás, pero saben qué hacer, estupendo. Ya iremos asociando una cosa con la otra.

Esto lo vi muy, pero que muy claro, cuando estuve en adultos. Una persona con muchas dificultades, incapaz de hacer un solo problema. Todo que tuviera texto, de hecho, era un verdadero problema. Pero oye, sumas, multiplicaciones, divisiones escritas casi sin errores. ¿Para qué?

Una propuesta para números en 1º y 2º de ESO

Wed, 11 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Más cosas sobre números que hemos hecho en 1º y 2º de ESO en una enseñanza a través de la resolución de problemas. Sobre sistemas de numeración, estimación, potencias… Hilo #AcRiMates

En esa actividad les indico que los símbolos egipcios fueron variando según las épocas. También tienen los chinos y los hindúes.

Las tareas consisten en interpretar esos ejemplos y responder a las siguientes preguntas, que enfatizan el uso de símbolos para representar números. De paso, potencias naturales.

Son pequeñas tareas en las que el alumnado tiene la responsabilidad de ponerse a trabajar sobre ellas. Sin más explicación que la consigna de la tarea. ¿Quién no sabe “contar” en 1º de ESO? ¿Quién no puede ver que una flor de loto egipcia vale mil?

¿De verdad no se ve en el ejemplo que los chinos no ponen 7 veces el símbolo del 10000, sino que ponen su símbolo del 7 y después el del 10000, una sola vez? ¿O que los hindúes del s. III aC no tenían el cero?

Sin embargo, hay dificultades, ¡claro que las hay! Las espero, de hecho. Porque no están acostumbrados a pensar en clase. Y este tipo de tareas rompe el contrato didáctico establecido, que no es otra cosa que la creencia de cómo debe ser una clase de mates.

Esta creencia está perfectamente descrita en la p.98 del libro “Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas” (@Matias_ArceSan, @Lau_Conejo y JM Muñoz) :

«Que el profesor debe debe presentar los hechos, reglas y procedimientos para aplicar en las actividades, y que, especialmente en los estudiantes con bajo autoconcepto, el aprendizaje de las matemáticas se liga a la memorización de estos hechos y procedimientos y la repetición rutinaria de actividades prototípicas.»

¿Qué hacemos entonces cuando vamos con este enfoque a una clase habituada a otra cosa? No voy a volver a insistir. Relentless consistency.

Otras tareas que hemos hecho y que implican pensar. Parece increíble cómo van surgiendo cada vez más alumnos que aportan razonamientos, tanto en la puesta en común como en su trabajo de cuaderno.

En el primero, solo hay que hacer cuentas para comprobar.

Tiene que ser base 9. Base 8 o menos no puede ser, porque aparece el 8. Y 11 tampoco porque las cifras son más grandes…

Para el segundo. Basta con probar las tres únicas posibilidades.

No me he inventado este tipo de tareas. Para nada. Estas actividades están sacadas de prácticas que hacemos en magisterio en @FacultadEducaUZ (Rafael Escolano, Eva Cid) y del libro Números y algoritmos de Gairín y Sancho.

Esta me encanta. Anda, si para hacer el 60 vuelven a utilizar el símbolo del 1. ¿Qué magia es esta?

Pero lo han puesto en otro sitio…

Y cuando en la discusión ves que al principio dicen aditivo pero que luego hay algo raro… ves que las cosas van bien. ¡Es la posición lo que me permite reutilizar los dos símbolos!

No es tan raro. ¿Cuántos segundos hay en 33 horas, 10 minutos y 2 segundos? 😉 Pues eso, los 119492 que hemos sacado en la tarea de antes.

Por cierto, gracias @followero por este regalo. Lo he puesto en alguna clase para discutir, entre todos, que no leemos los números igual que los escribimos. Leemos incluyendo un principio multiplicativo-aditivo (y cosas más raras) y escribimos simbólicamente en posicional.

En algún grupo, con más calma y porque surgió así. Cosas curiosas y divertidas.

Al mismo tiempo, cálculo mental y juego del 24 (en este último, obligatorio escribir bien la operación con sus paréntesis y su sintaxis).

También hemos trabajado la actividad de estimar cuántos granos de arroz hay en cierto recipiente, que ya comenté en su día.

Estrategias distintas que siempre dan lugar a charlas de aula muy interesantes.

Esto del arroz, es una tarea abierta, rica y abre una puerta que terminaremos de cruzar cuando lleguemos a proporcionalidad. Y me permite, por raro que suene, empezar a ver qué saben sobre divisibilidad vía los esti-misterios de @SteveWyborney

En 2º, para lo de las potencias de exponente negativo, que es algo que cuesta comprender. Lo hemos abordado de esta manera, intentado conectar diferentes representaciones simbólicas.

Y en 1º ESO, ahora estamos terminando unas tareas con policubos sobre divisibilidad. Ahora sigo con unas reflexiones, que se me acaba la tinta… —–>

Por si alguien tiene curiosidad, veníamos de hacer actividades de este tipo. Todo muy conectado.

Vamos terminando el hilo con alguna reflexión. Ayer nos reunimos unos cuantos profes de la @SAPMciruelos para discutir sobre el currículo de bachillerato. Y discusión hubo poca.

Es un problema grave que muchos estudiantes con 13 y pico de media lleguen a carreras tecno-científicas sin una mínima actitud matemática. Reflexionar sobre el resultado de un problema, ver si es posible o no, atacarlo de alguna manera, etc.

Igualmente inconcebible es que estudiantes en el otro polo del rendimiento académico salgan sin esa misma formación. Que luego nos echamos las manos a la cabeza con ciertos fenómenos. Siempre hay objetores, claro.

Sí, tal como está la EvAU (con v en unos sitios y b en otros) lo que se pide es una instrucción a base de recetas en un bachillerato con un currículo muy extenso y poco profundo. Pero es que a la ESO no llega la sombra de esa prueba y pasa lo mismo. Y en Primaria, también.

Si sumas la Primaria y Secundaria son diez años en donde algo se podría haber hecho, digo yo. Que luego, tal como están las cosas, vienen dos cursos bastante desaprovechados por el carácter de la EvAU… vale. Pero no echemos balones fuera todo el rato.

Lo de teoría->ejercicios->“problemas” hace que la mayoría de la clase esté con encefalograma plano gran parte del tiempo de clase. Mandar la teoría a casa tampoco es solución. Que no pasa nada por hacer algo que se salga del libro de texto. De verdad, no son el currículo.

Le he oído decir a @dsierraruiz decir, con razón, que los libros de 1º y 2º son, muchas veces, indistinguibles. Tanto, que puedes ir con el de 1º a 2º sin darte cuenta y no pasar nada. Por otro lado, se siguen tan al dedillo en tantos sitios que puedes saber con una elevada probabilidad lo que están haciendo en cualquier aula en cierto momento del año. Que una cosa es en espiral y otra en círculo. 🔚

Algunas limitaciones del modelo parte-todo (tarta) a tener en cuenta

Sun, 08 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

El significado parte-todo del número racional positivo no tiene un origen histórico natural. Vale, permite introducir de forma inmediata la representación fraccionaria, pero provoca graves limitaciones de comprensión. Vamos con #DidMatCita de Escolano (2007) e hilo.

Es evidente que toda génesis escolar de un tópico matemático es artificial y que no tiene por qué reproducir siempre el origen histórico, que puede utilizar constructos que hoy en día resultan extraños y complicados para nuestro alumnado. No es este el caso que nos ocupa.

Los modelos habituales utilizados ahora en la escuela para introducir los números racionales no solo son contradictorios con la historia de dichas nociones, sino que además no son una opción más económica desde el punto de vista didáctico, ni más cercana a las matemáticas de hoy.

Hoy nos centraremos en tres aspectos, creo, muy curiosos.

¿Cuándo surge el modelo parte-todo?
¿Por qué tiene un significado diferente al de medida?
¿Qué obstáculos genera?

Para responder, he seleccionado unos fragmentos de la propia tesis de Escolano.

«El origen de la enseñanza de la fracción con el significado parte-todo lo encontramos en la primera mitad del siglo XX, como consecuencia de la pérdida de la referencia del proceso de medida de cantidades de magnitud.»

Escolano se sirve de un libro de Edelvives de 1934 para ejemplificar el tránsito de la utilización de modelos de medida aparente al de relación parte-todo. Esto pudo venir de la mejora en las técnicas de impresión de libros, que pasan a incluir gráficos.

El caso es que en el período comprendido entre los años 1950 a 1970 la relación parte-todo se consolida como el método prioritario con el que se enseña la fracción. En 1962 se encuentra esta sugerencia en documentos oficiales de enseñanza:

«En los enunciados se habla de “representar”, que invita al escolar a aplicar un convenio previamente establecido; no sugiere la realización de acciones, físicas o mentales, que favorezcan el aprendizaje autónomo.»

¿Por qué tiene el parte-todo un significado diferenciado?

Hay autores que lo han relacionado con el de medida. Por ejemplo, Behr (1986) señalaba que “el subconstructo medida del número racional representa una reconceptualización de la noción parte-todo de la fracción”.

Escolano señala que no tiene significado de medida, tanto por las exigencias cognitivas que exige resolver los problemas de cada uno de los campos como por las ideas matemáticas implicadas en las respectivas estrategias de resolución.

Tampoco tiene significado de razón. Ese doble recuento en que se basa el parte-todo impide definir una nueva magnitud, aspecto crucial en este significado.

Y no tiene, tampoco, significado de:

Cociente partitivo. Porque no expresa el resultado de un reparto.
Operador.
Cociente indicado.

Escolano aporta razones para cada uno de estos casos, concluyendo que estamos ante otro significado. Más pobre.

Obstáculos que se generan y que serían evitables:

Se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas de la fracción.

No existen las fracciones impropias (esto ya lo apuntaba Freudenthal).
Las fracciones son números no medida.

Kieren (1992) señalaba que el conocimiento que construyen de la parte-todo es inflexible y difícil de aplicar a la amplia gama de situaciones que organiza el número racional.

El “todo” o unidad no es un número. No se explicita el sentido y funciones de la unidad.

Se obstaculiza la separación conceptual del número racional y del natural.

Como el parte-todo se basa en un doble recuento (uno para numerador y otro para denominador…), resulta que:

La fracción está formada por dos números naturales. No se entiende como un nuevo tipo de número.

Y los decimales tampoco. ¿No os suena lo de “Profe, creo que está mal, me sale decimal?”

Las relaciones y operaciones con números racionales tienen el mismo significado que en los números naturales. Y aquí no hay concepto de siguiente, sin ir más lejos.

Se obstaculiza la formación de ideas abstractas.

Los conceptos son las técnicas o procedimientos asociados a los mismos. Si siempre se usa la misma técnica, se confunde lo uno con lo otro.
Los contenidos útiles son los procedimentales. Se memoriza el algoritmo y… 🤦🏻‍♂️

Una propuesta

Para solucionar todo esto, se propone utilizar el modelo de medida y el modelo de reparto. Pero ya hablaremos más sobre el tema, que es apasionante. De momento…

Dejo enlace a la tesis de Rafael Escolano. Va con anexos. Y estos, con un pequeño tesoro: el material que se les dio a los alumnos

Los he puesto más de una vez. El libro «Números y algoritmos» (Gairín y Sancho) aborda también esta cuestión, para secundaria.

En este artículo, orientado a primaria (válido también como “secundarios”, se cuenta algo similar y está en abierto aquí

Referencias

Berh, M. J., Lesh, R., Post, T.R., & Silver, E. A. (1983). Rational number concepts. En Lesh & Landau (Eds.) Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 91-126). Academic Press, New York.

Escolano, R. (2007). Enseñanza del número racional positivo en Educación Primaria: un estudio desde modelos de medida y cociente. Tesis doctoral. Universidad de Zaragoza.

Kieren, T. E. (1992). Rational and fractional numbers as mathematical and personal knowledge: Implications for curriculum and instruction. Analysis of arithmetic for mathematics teaching, 323-371.

¿Sabemos contar en primero de ESO?

Sat, 07 Dec 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Esto va de contar puntitos. En 1º de ESO. Lo que pasó a continuación os sorprenderá. Mini hilo #AcRiMates

Se enmarca dentro de las primeras tareas sobre números que hemos hecho. Sigue siendo enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas, que después de los hilos de probabilidad y estadística he tenido que escuchar “es que ese bloque se presta mucho, pero el de números…” 🤦🏻‍♂️

Antes de esto hicimos tareas de conteo. El título… “¿Sabemos contar?”, que me sirve para sonreír y escribir en algunas hojas ese NO, cuando se ve que a cada grupo le sale un número y que nadie tiene la respuesta correcta.

Se trata de elaborar una estrategia que me facilite contar todos los triángulos, sin dejarme ninguno y sin contar alguno dos veces. Eso es lo que hay que plasmar y es lo que les valoraré en la prueba escrita.

Decía que el visor de documentos que vengo usando desde hace unas semanas me parece brutal. Permite cosas como las capturas que voy haciendo y que comparto con mi alumnado, y maravillas como esta (lleva spoiler si queréis intentar lo de los triángulos).

Son actividades que se sugieren en el libro Números y algoritmos de J.M. Gairín y J. Sancho, de la Editorial Síntesis. Recuerdo que ese libro aborda también la enseñanza del racional.

Vamos al punto de inflexión: la tarea con la que comenzaba el hilo. Ahí tienen que hacer agrupaciones, de 4, de 6, de 10 o de 12, según el caso. E ir escribiendo lo que sobra en la casilla de la izquierda. Ellos tienen unas instrucciones más detalladas que comentamos en clase.

Una vez han terminado viene la pregunta que, a mi juicio, nos tiene que llevar a reflexionar mucho como profesores. … …

¿Cuántos puntitos hay en esos rectángulos?

Y ves que todos (con muy, pero muy pocas excepciones) se ponen a contar de uno en uno. Cuando tienen esto delante de sus narices:

Aunque oye, mucho mejor entrar con la “teoría” y luego hacer unos ejercicios, claro. Esto es una captura de un best seller de 1ºESO. Anda que no habrán hecho de esto en primaria.

¿Parece una pregunta para ir a pillar? Creo que no. Han estado agrupando en decenas y centenas. Ellos. Y si no son capaces de decir que hay 127 después de haber hecho esas agrupaciones, es que nos tenemos que plantear muchas cosas.

Ahí es donde les indico que ya las han contado. Esas anotaciones indican lo que estamos haciendo. Un grupo de diez de diez, más un grupo de diez más siete unidades sueltas.

También nos hemos entretenido escribiendo números con agrupaciones como si fuésemos extraterrestres con cuatro dedos, seis dedos y doce dedos. Que ya lo hemos hecho contando puntitos, pero ahora escribimos.

He aquí una pequeña improvisación.

¡Hicimos algo parecido con vasitos en el cole!

Vamos bien, haciendo conexiones.

Tenemos que aprovechar este bloque de números para ganar en comprensión del sistema de numeración posicional y de los usos de los números.

Perdón por el clickbait del principio, pero a mí, por lo menos, siempre me sorprende. Y me hace reflexionar. Tanto si lo hago en ESO como en la práctica de magisterio de la que procede la actividad (créditos para Rafael Escolano y Eva Cid).

Dejo los hilos que creo que merecen la pena en mi perfil. Aquí pongo enlace al anterior, sobre la enseñanza de la dispersión. A través de la resolución de problemas.

Unas jugadoras de basket no tan parecidas (enseñanza de la dispersión)

Sun, 10 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Partido de basket. Queda un minuto y el entrenador tiene que decidir a qué jugadora sacar. ¿A quién elegirá?

Si va perdiendo de 8 puntos.
Si va ganando de 2 puntos.

Dentro hilo con secuencia de aula sobre dispersión con pinceladas de didáctica de las matemáticas.

Con este hilo participo en el #HilosDC6.

Esto de la dispersión nos servirá como excusa para diferenciar una enseñanza para la resolución de problemas de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Y esto sirve tanto para primaria como para secundaria.

Por ubicarnos, las medidas de dispersión aparecen como contenido curricular por primera vez en 2º ESO (13-14 años). Luego hablaremos sobre currículo, libros de texto y otras cosas del montón. Ahora, me centraré en presentar la secuencia de aula

A ver si vais a pensar que soy super original. No. Esta actividad que voy a contar está sacada prácticamente tal cual de la Guía Praxis, que fue coordinada por Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu. Lo que he hecho simplemente es darle una razón de ser con las preguntas iniciales.

¿Se podría decir que es innovación? Yo creo que sí, aunque tiene tela decir que sigue siendo innovación algo sacado de una guía de finales de los 90. Pero es que queda mucho por hacer. Y vamos a usarla también para hablar de resultados de investigación.

Esto lo he hecho este curso en una clase de 2º ESO donde ya empiezan a estar habituados a trabajar A TRAVÉS de la resolución de problemas. Lo ideal aquí es tener al alumnado en parejas o grupos de hasta cuatro.

Luego profundizaré en eso de A TRAVÉS y las alternativas que hay. De momento, basta decir que se trata de presentar tareas (situaciones-problema) al alumnado, de manera que los contenidos emerjan conforme se avanza.

Podría decirse que es una enseñanza de descubrimiento guiado. Ello no implica dejar a los alumnos solos, sino que se para la clase cada cierto tiempo para hacer puestas en común y que el profesor negocie los significados de los objetos matemáticos que van apareciendo.

La tarea que va a motivar todo es la del primer tweet. Es una decisión que debe tomarse considerando los datos disponibles. ¿Sacamos al mismo tipo de jugadora cuando vamos ganando por poco que cuando el partido está prácticamente perdido, pero con alguna posibilidad de ganar?

¿Y qué datos son esos? Nada más que el porcentaje de aciertos de tiro exterior de cinco jugadoras durante los últimos diez partidos. Es decir, esta tabla. ¡Cuánto número! Algo habrá que hacer…

Aquí se puede mencionar cómo ha cambiado el baloncesto en los últimos años, y por qué equipos como los Golden State Warriors tiran tantos triples (y les ha ido bastante bien).

Primera pregunta, para entrar en calor y ver que hemos entendido el contexto. Y que va a tener miga. ¿En qué partidos consigue Alba un % por encima de sus compañeras? ¿Solo en los que sea la mejor de todas? ¿O en los que esté por encima de la media?

Ya que hablamos de la media, ahora vamos a calcular la media de los porcentajes de acierto para cada jugadora. ¿Qué observamos? Pues que todas las jugadoras… ¡tienen la misma media!

¿Qué hacer? El entrenador está en un aprieto… Ya que tenemos datos, vamos a tratar de representarlos gráficamente, a ver si con eso podemos decir algo. Se les proporciona a los alumnos el diagrama de puntos de una jugadora y se les deja trabajar y discutir a qué jugadora sacar.

Resulta que visualmente no se aprecia cuál es más regular, más fiable. En la puesta en común unos grupos defienden a Clara, otros a Sonia… Seguimos necesitando algo más.

En estas puestas en común a veces pasan cosas maravillosas. En un grupo decidieron emplear un código de colores y mostrar a todas las jugadoras en el mismo diagrama de puntos. Discutimos sobre si es más adecuado o no. Parece que se ve más claro por separado.

Sin embargo, tiene la ventaja de que te asegura la misma escala para todas las jugadoras. También, que los diagramas estén alineados para facilitar la inspección visual. En la foto vemos este error de representación.

Vamos ahora a medir, esto es, a asignar un número a cada jugadora, a cada uno de los diagramas de puntos. Lo más fácil es calcular la anchura. Esto se llama rango. ¡Todas lo tienen muy parecido! María, quizás, un poco más alto…

Pero… ¿qué pasaría con una jugadora que durante 8 días encestase el 58% de los tiros, pero un día le saliese malo y tuviese un 31% y otro día hiciese un gran partido con un 75% de acierto? ¿Cuál es su rango? ¿Su diagrama de puntos? ¿Es más o menos fiable que las anteriores?

Si lo comparamos con el de Sonia, por ejemplo, vemos que el de la nueva jugadora está mucho más concentrado en torno a la media, salvo esas dos excepciones. El de Sonia está más extendido. Atención a los gestos que hacen las jugadoras en los gifs.

Está claro entonces que el rango se queda corto y que necesitamos una medida mejor de la dispersión. No puede ser que una jugadora que tenga un rango de casi el doble sea más regular, fiable, menos dispersa. El rango, como medida, es una castaña.

El lenguaje, en sentido amplio, no solo verbal, es un elemento muy importante en todos los marcos teóricos en didáctica de la matemática. La articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticos (verbal, gráfico, simbólico…) en indicador de una alta idoneidad.

Los gestos no son una excepción y son parte de la actividad. Abriendo o cerrando los brazos, como en los dibujines, damos una idea de rango y dispersión. De hecho, los gestos ocupan un lugar de privilegio en enfoques teóricos como el Semiotic Bundle.

A lo que íbamos, necesitamos algo mejor que el rango. Así que planteamos medir las desviaciones de cada jugadora respecto a la media. Sin embargo, al sumarlas ocurre algo ¿inesperado?

Digo que puede ser inesperado si no se trabajan las propiedades de la media en 1º ESO o antes de esta secuencia. En 1º hemos visto cómo hacer un diagrama de barras buscando cierta media. Es el principio de las gallinas que entran por las que salen.

«Un anuncio de cajas de cerillas indica que el número medio de cerillas por caja es 35. Representa una gráfica de una posible distribución del número de cerillas en 10 cajas, de modo que la media sea igual a 35»

«La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38, 1,42, 1,60, 1,40. ¿Cuál sería la altura más probable del quinto estudiante?»

Estas dos últimas actividades se han seleccionado de los apuntes de Análisis de datos y su didáctica, de Batanero y Godino. En esta referencia se muestran tipos de actividades para englobar las diferentes propiedades de la media.

Por cierto, estas capturas las estoy tomando con un visor de documentos. Desde que vi los tweets de @followero al respecto no hago más que verle potencial. Así puedo mostrar la producción de un alumno a todos y corregirla en vivo, o explicar sobre mi cuaderno, entre otras cosas.

Volviendo al lío. La suma de las diferencias respecto de la media sale cero para cualquiera de las jugadoras. Es una propiedad de la media. Tiene sentido, pues, considerar la distancia a la media. Y hacer un promedio de estas. Así obtenemos la desviación media para cada jugadora.

Si ordenamos a las jugadoras de esta manera vemos que la menos regular es María (DM=7,8), y que las más regulares (menos dispersas) son Sonia y Clara (DM=5,4). En la puesta en común hablamos de qué significan ese 7,8 y esos 5,4.

Ahora consideramos el caso de una jugadora, Berta, que ha estado lesionada durante 2 partidos. Durante los otros 8 partidos ha acumulado una cantidad de dispersión de 67. ¿Es más regular que María?

Ninguna tarea está puesta al azar. Si dividimos 67 entre 10, obtendríamos una DM de 6,7, concluyendo que es más fiable Berta. Ahora, ¿hemos tenido en cuenta que no ha jugado dos partidos?

Ah, es que habrá que dividir para 8, ¿no?
Entonces sale… 8,375, no es nada regular.

Y llegamos a la varianza. A los alumnos les hace gracia esta palabra.

Sí, varianza. Con zzzzeta.

Toca proponer considerar los cuadrados de las desviaciones, como otra estrategia. Es un punto que, de entrada, puede parecer tener poco sentido, si ya tenemos la desviación media.

Sí, aparece un poco forzado, pero tiene alguna ventaja. Como que los datos que se alejen más de la media van a tener un peso algo mayor en la medida de la dispersión. En nuestro ejemplo, nos ayudan a desempatar entre Sonia y Clara como jugadoras más fiables.

La más regular, la menos dispersa, es Clara. A la hora de interpretar esa varianza de 49 y pico, ¿qué? Al ser desviaciones al cuadrado no podemos decir que lo normal es que se desvíe 49 de la media de acierto. Por eso hacemos la raíz cuadrada para obtener la desviación típica.

Algunos alumnos se apuntan que anulamos el “efecto de elevar al cuadrado”. Señales de que vamos bien son:

Oye… ¿qué es la dispersión? ¿La varianza?
¿No lo sabes? Si llevamos tres días con esto la dispersión.
Ya…, pero no sé si es la varianza o la desviación típica.

Toca otra puesta en común. Se suelen reservar momentos para ello, pero si surge algo interesante, es el docente el que decide parar la actividad. Podemos decir que la dispersión es lo concentrados o alejados que están los datos respecto de la media (recordamos los gestos).

Una cosa distinta es cómo midamos esas dispersión. De hecho, al principio lo hemos hecho sin medir, de forma visual con los diagramas de puntos. Luego, hemos medido el rango, que no vale para mucho. Después, la desviación media, la varianza y la desviación típica.

Entonces… ¿a quién elegimos si queda un minuto y ganamos de 2 puntos? A la más fiable, claro, no queremos pifiarla. El entrenador tiene que sacar a Sonia.

Pero… ¿si vamos perdiendo de 8 puntos? Necesitamos un milagro, no vale con no pifiarla. Sacaremos a María, que teniendo la misma media que Sonia, es mucho más irregular. ¡Le puede salir uno de esos partidos en que mete todo!

O también puede que no. Sin embargo, habremos tomado la decisión adecuada.

Aclaración: los enunciados de todas estas tareas se les dan fotocopiados a los alumnos, que los pegan en el cuaderno.

Estuvimos prácticamente tres días con este problema. Finalmente, la secuencia culmina con un par de actividades de práctica. En el examen, los alumnos se enfrentaron a un problema similar. En una competición de natación, tenemos que elegir al cuarto relevista.

Decía que lo todo esto es enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas (RP). Si remarco el A TRAVÉS, será que hay otra cosa, ¿no? Porque todos estamos de acuerdo en que la RP es lo más importante, pero hay varias tendencias. Gaulin lo describe bien.

Podemos enseñar SOBRE RP; es decir, técnicas y estrategias, con problemas que tampoco tienen por qué estar muy ligados a ningún contenido. Sin embargo, la alternativa opuesta a la actividad comentada se ubicaría en la enseñanza PARA la resolución de problemas.

Los puntos, en orden, que sigue una secuencia PARA la RP son:

1- Esto se hace así. 2- Ejercicios sin contexto. 3- Ejercicios con contexto, pero les llamamos “problemas”. 4- Con suerte, en una secuencia PARA la RP se proponen problemas de aplicación interesantes.

Nada más sencillo que tomar un libro de texto para comprobar esa secuencia. En la mesa tengo un bestseller de 2º de la ESO donde se identifican los tres primeros puntos. El cuarto, ni está ni se le espera.

Los autores parecen ser conscientes de la pérdida de tiempo que supone todo esto. En el margen: no te preocupes, ahora haz, que ya si eso, el curso que viene, los dominarás.

Este gif es por el tweet de antes. No, no los dominarán. He visto alumnado de bachillerato con dificultades enormes para distinguir las medidas estadísticas obtenidas de una tabla de frecuencias de los parámetros de una distribución.

Y alumnado que solo ha llegado a la varianza a partir de la tabla de frecuencias, con el xi^2fi^2. OMG. ¿Estamos locos? Que sí, que son menos cuentas, pero para llegar a esa fórmula coges un atajo de los gordos. Y en educación matemática, lo interesante suele estar en el camino.

Para llegar a esa fórmula se realizan ciertas manipulaciones algebraicas, utilizando propiedades nada triviales de la varianza y la esperanza. Que a veces se nos olvida la O de la ESO. Que tenemos que intentar, como docentes, que cada alumno alcance su máximo potencial.

Añadiendo de entrada una carga simbólica innecesaria para mostrar la idea de dispersión, nos estamos dejando atrás a muchos alumnos. Y casi todos los que consiguen sobrellevar con “éxito” la secuencia, habrán aprendido unas reglas y poco más.

Bromas aparte, algo bueno es que el libro presenta la desviación media. Visto el currículo, peor habría sido ver el rango porque sí y a otra cosa, que es lo que especifica al concretar los estándares de aprendizaje evaluables. El cómo lo hace es otra historia.

Todo mi respeto por los autores de los libros de texto. Entiendo que lo normal será estar condicionado por una línea editorial, restricciones en número de páginas y otros factores que desconozco.

¿La comprensión de la dispersión mejora con la mera repetición de ejercicios? No. Desde la didáctica de la matemática hay herramientas que permiten analizar la idoneidad de secuencias de enseñanza y aprendizaje y reflexionar sistemáticamente sobre ellas.

Indicadores de una elevada idoneidad a nivel de contenidos, sin entrar mucho en detalle: muestra representativa de situaciones-problema, articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticas (verbal, gráfico, simbólico, etc.), modelización, problematización, …

Precisamente, en el último número de AIEM (revista de la @_seiem) hay un artículo que analiza la enseñanza de las medidas de dispersión en libros de texto de educación secundaria (3º y 4º ESO). Los resultados señalan las carencias de los libros de texto.

Hemos hablado sobre libros de texto. Son un recurso más y su uso depende de la competencia profesional del docente. Faltaría más. Sin embargo, marcan mucho el camino a seguir. Demasiado. Tanto, que algunos autores hablan de ellos como el currículo de facto. Y eso no puede ser.

Si ponemos el piloto automático con el libro, por comodidad, o porque nos empujan a ello las políticas educativas (horas lectivas, ratios, falta de formación en didáctica específica), hemos de ser conscientes de la escasa idoneidad del proceso de enseñanza y aprendizaje.

La enseñanza a través de la RP es rica, exigente y apasionante. Todo parece indicar su gran potencial, pero sigue siendo una línea abierta de investigación. Los dibujines y los gifs corren a cuenta de mi hermanita @creacionesbjara. ¿A que son geniales? 🔚

¿Por qué experimentar en probabilidad?

Sat, 09 Nov 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué es necesaria la experimentación (guiada) en el aprendizaje de la probabilidad?, dices mientras lanzas con ingenuidad ese dado de papel. ¿Por qué es necesaria?, ¿y tú me lo preguntas? … Dentro hilo (cuento la secuencia 1º/2º ESO)

Si me seguís, puede que sepáis que habíamos empezado por probabilidad en 1º y 2º ESO. Salvo pequeñas variaciones entre grupos, que ya sabemos que cada uno es un mundo y los profesores tenemos algo de ingenieros (o artistas) en ese sentido, la secuencia es la misma para todos.

El primer día, bueno, la presentación y esa actividad que me he acostumbrado a plantear para ir conociendo a cada clase, su cultura de aula, etc. Básicamente se pregunta: “qué sabes de matemáticas” e “inventa un problema”. Aquí enlace para saber más.

Hubo que tirar mucho de ellos para que pusieran algo de estadística y probabilidad. La geometría no creáis que salía mucho mejor parada… Además, el concepto que tenían de problema no se alejaba mucho del de ejercicio, y siempre eran problemas de situaciones aditivas.

Dedicamos tres semanas a probabilidad. Incluyendo la presentación y un examen de cuaderno, así como actividades de conteo con diagrama de árbol que son también del bloque de números. Estadística han sido dos semanas, pero dedicaremos otro hilo a ello.

¿Os acordáis de la #DidMatCita sobre qué pasa si vamos con un enfoque a través de la resolución de problemas (RP) a una clase con una cultura de aula diferente? Bien, pues el trabajo por parejas o pequeños grupos ya choca.

Lo primero: cada grupo (de 3 o 4) tuvo que construir un dado de papel. Fácil, con el módulo sonobe de origami. Se aprovecha para hablar sobre geometría. En el paso 6, “¿qué figura es esta?”. O, “ahora plegamos por la bisectriz”. Todo esto también da información al profesor.

Una vez con el dado, cada grupo lo prueba con el clásico juego de la carrera de coches o caballos. Es decir, apuestan por un número, indicando la razón de su elección (importante esto), y luego juegan. Si hay números no elegidos son PNJ (Personajes No Jugadores) o el “ordenador”.

Las razones de su elección, que a nosotros nos pueden parecer ingenuas, son sus significados personales. Algunos elegían el 3 o el 4 porque no eran números del medio, ni muy altos ni muy bajos. En 1º, muy pocos dijeron que daba igual. En 2º, hubo más.

Ahora, esto es un dado de papel hecho de aquellas maneras (a la foto me remito). A priori, por desconocimiento, la respuesta correcta es la de que da igual. Pero después de jugar, algunos grupos tienen gráficas como estas.

A los de la de colorines. Ahora, ¿qué número creéis que ganará? ¿Da igual? A los de la otra, con estos datos, ¿por cuáles no apostaríais? Con esto entramos no con el significado clásico (regla de Laplace) sino con el frecuencial. Y los vamos a ir conectando.

A nivel de contenidos la justificación de realizar esta actividad está clara. Pego aquí lo que tenemos de currículo para el bloque de probabilidad. Desde la didáctica, también, puesto que tratamos de evitar el sesgo de equiprobabilidad, entre otras cosas.

El bloque 1 no lo he pegado porque tendría que haberlo puesto casi entero 😉. Venga, va, que sí, que lo pego. Hay reflexión sobre lo hecho, actitudes personales hacia el quehacer matemático, modelización matemática, investigaciones…

Esta actividad continúa con una pequeña variante. Vamos a trucar el dado para que salga casi siempre “5”. Ahí que los tienes, dándole vueltas al coco. Esto enseguida les sale, poniendo un peso en la cara contraria. Algunos ponen una goma de borrar pegada con celo 😱.

Otros años he planteado actividades similares, incidiendo en lo mismo. Aquí describo una cosilla que hice con la impresora 3D ( enlace aquí)

Se aprovecha para preguntar cómo son los dados comerciales y por qué. Las caras opuestas siempre suman 7. Será por algo, ¿no? Hacemos algún dibujillo de dados irreales en ese sentido.

Después, vamos con el juego que, tal como lo encontré en su día, conozco con el nombre de Beano, aunque hay más variantes. Se dan doce fichas (judías, tapones…) y los jugadores las distribuyen por el tablero.

Se tiran los dados y se suman los resultados. Entonces, cada jugador retira UNA ficha de SU tablero de ese número en cuestión. Si sale el 8, todos retiran una ficha que tengan en el 8. Primero, juegan, sin más. Y sí, el 1 está puesto a propósito.

Hay muchos alumnos, más en 1º que en 2º, pero siempre ocurre, que ponen fichas en el uno. Y aquí es un ejemplo de suceso imposible (luego ponemos nombre a los objetos matemáticos, pero primero dejamos que aparezcan). La primera partida tienden a extenderlos.

En la segunda, sin tomar datos ni nada, se dan cuenta de que algo pasa. Pero ojo, ¡no es evidente! Es muy común que digan que los números altos salen más. Aunque hay algunos que ya se van oliendo la tostada y perciben que son los del medio. Te encuentras cosas así:

Ahora sí, ahora es cuando se analiza teóricamente lo que está pasando. ¡Hay sumas que salen más! Hay grupos donde cuesta más ver que hay 36 resultados posibles y, además de contarlos en la tabla, hacemos un diagrama de árbol. Si no, los árboles saldrán más adelante.

Después de esto puede ser un momento (o en otra actividad posterior) para nombrar y enunciar la regla de Laplace, que salvo lo de Laplace, es algo que han descubierto ellos. En 1º me basta con que me digan que la probabilidad del 7 es 6 de 36.

Quiero decir, que aunque lo introduzco de pasada, no enfatizo apenas la notación P(7)=6/36. Ese P(7), en el fondo, es lenguaje de funciones. Si entramos directamente con la regla de Laplace enunciada así, añadimos una capa de abstracción simbólica innecesaria.

Es importante que quede reflejado el proceso. Por eso, aquí se plantean estas preguntas:

(Nota: el próximo año llamaré al juego TAPONING en lugar de BEANO! y me evitaré la pregunta de por qué se llama así 😊.)

TO BE CONTINUED… Me falta hablar de ruletas, chinchetas, Numb3rs y del tiempo atmosférico. Y del examen de cuaderno que hicimos sobre esto. Pero también me falta tiempo 🤣

Sigamos. Antes de ello, hay quien me ha preguntado si esto vale para primaria. Nada más hacer el hilo, me he auto-retuiteado comentando que muchos de los elementos son válidos para EP. Deseables. Lo del dado de papel lo he hecho como taller en 3º-6º de EP.

En la secuencia hay que meter situaciones donde la regla de Laplace no se pueda aplicar. Por eso ahora viene una actividad con chinchetas. Son dos resultados posibles, o con la punta hacia arriba o tumbadas. La aplicación, sin razonamiento, de Laplace nos diría que es 1/2.

Pues esto lo probamos en clase. Doy a cada grupo un vaso con 10 chinchetas y a probar 10 lanzamientos. Luego, acumulamos el de todos los grupos, con lo que en pocos minutos te juntas con 600 repeticiones. ¡Anda! No se cumple Laplace. Sale un 70-30.

Importante. Antes de empezar tenían que expresar su creencia (subjetiva). Había de todo, desde los que decían que siempre tumbados, hasta los que razonaban que como el culo pesa más, caerían más veces hacia arriba. Otros, con el mismo motivo, decían que no, que tumbadas.

Después, a por las ruletas. En algunas clases no dio tiempo a hacer la experimentación física, que habría sido lo mejor, y fuimos directamente a la experimentación por simulación. Lo mejor, las dos cosas. Ya os decía que había diferencias entre grupos de clase. Pues eso.

Se trata de diseñar una ruleta (se juega con un clip y un boli) de manera que si juegas y eliges primero, tengas mayor probabilidad de ganar que el otro. La imagen de esa ruleta contiene una imprecisión, habla de mayor posibilidad (esto lo veremos después).

Lo mismo. Dejamos que expresen su intuición y luego contrastamos. Tampoco vamos a hacer un montón de repeticiones, que ya saben de qué va esto. Y haremos una simulación en el ordenador a la vista de todos.

Proponemos el Beano! pero con dos ruletas, como ejercicio. Esto solo lo comento brevemente, incidiendo en que este tipo de cosas se preguntan en el examen de cuaderno. Al día siguiente, alguien pregunta y discutimos sobre ello. También, jugar a mirar la resta en lugar de la suma.

El enlace de las simulaciones de las ruletas es este: https://nrich.maths.org/6123. @nrichmaths es lo más, ¿lo había dicho? El enlace lo tienen a su disposición, además de haberlo probado en clase.

Vamos con una actividad que está sacada, prácticamente tal cual, del librito de @edsintesis de Godino, Batanero y Cañizares. Hay que ordenar palabras, asignarles un número entre 0 y 1 y… bueno, me dicen que esto es Mates, no Lengua. De nuevo, choca con la “cultura de aula”.

Y ahí que estuvimos un rato discutiendo. Primero en pequeño grupo y después en común. Incierto no es imposible, no. Es todo lo que no es cierto. Y no se tiene mayor o menor posibilidad. Nos salió algo así:

En algunos grupos me puede detener y enseñar esta entrada de @benorlin (soy muy fan, lo sé), donde sale la escala usual de probabilidad, y la probabilidad entendida desde el punto de vista de varias profesiones. Y tal como la entiende Han Solo…

Para completar la cuestión de lenguaje e introducir un tipo de actividad que usaremos mucho, trabajamos este WODB (no dio tiempo en todos grupos, es una pena, sí). Hay que ver cuál es el que no encaja. Y la cosa es que hay que encontrar al menos una razón para cada uno.

Esto de la WODB lo tenemos publicado en las actas del último simposio de la @_SEIEM @xxiiiseiem2019. Lo presentó maravillosamente Maria Ricart. Aquí enlace al pdf.

Continuamos con la idea de juego justo, que ya habíamos introducido con lo de las ruletas. Aquí sí que vale la regla de Laplace.

Y terminamos con tareas varias y diagramas de árbol para contar. Esto último ya había aparecido como herramienta en alguna clase donde no quedaba claro el 36 aquel de los posibles resultados al sumar los dos dados.

Y aquí se me acaba el rollo. En 2º se ha hecho lo mismo que en 1º porque el curso pasado no vieron probabilidad tan apenas. Como he dicho, también hay pequeñas variaciones entre clases, que cada una es un mundo.

Este modo de trabajar choca con la cultura de aula. Tienen que pensar, ya habéis visto que a su nivel, y escribir. Y luego razonar. Decía en un tuit que un alumno me pidió, literalmente, hojas de multiplicaciones. Que más de esto no, por favor.

En esas estamos. El trabajo en grupos de 3 o 4 es lo mejor, porque permite irte pasando y controlar de forma más cómoda a todos. Pero hay clases (en este caso una) que me estoy planteando pasar a trabajo por parejas, porque no encuentro solución al tetris.

Y luego está lo del cuaderno. Lo examinamos con examen de cuaderno, donde van tanto preguntas sobre cosas que tienen que estar tal cual, como preguntas que son parecidas a las hechas en clase o las propuestas como ejercicio.

Hubo notas altas y notas bajas. Eso, como siempre, claro. Que a ver si nos vamos a pensar que esta propuesta genera matemáticos en potencia. No. Se trata de dar una respuesta inclusiva para todos y procurar explotar el máximo desarrollo de cada uno.

La cuestión es que entre las notas bajas encontramos alumnos que todavía tienen un desastre de cuaderno (iremos trabajando en ello) como otro perfil que, teniéndolo bonito y completo, está claro que no le sirve como herramienta (también trabajaremos en ello).

Lo del cuaderno es un tema interesante que trataremos otro día. Como aperitivo, os dejo con el enlace de la ponencia del otro día de @Matias_ArceSan en el seminario del @iuma_unizar @dm_unizar en la @FacultadEducaUZ y que hemos subido al canal del grupo: enlace al vídeo

En el turno de preguntas se planteó el dilema. Se piden en 1º y 2º, se corrigen (eventualmente con rúbricas, completitud, organización, …). Luego, en 3º y 4º muchas veces no se piden, creyendo que son autónomos y saben usarlos. ¿Se ha fomentando el trabajo de cuaderno adecuado?

De momento voy a dejarlo aquí, que ya me estoy yendo por las ramas. Feliz clase para todos y enhorabuena si has llegado hasta aquí.

Si te interesan más hilos como este, los voy guardando en mi perfil de Twitter. También intento ponerlos en mi web.

Quiero dar las gracias a mi compañera de no departamento (sic), Ana, porque estar alineados en el mismo enfoque es algo genial. Y sus aportaciones, siempre valiosas.

¡Pero si me había dejado de comentar una de mis actividades favoritas en la secuencia de probabilidad! #AcRiMates La cuento rápido. 👇🏻

Necesito que quitéis todo de la mesa y saquéis 16 objetos. Pueden ser 16 trocitos o gurruños de papel (me olvidé de llevar ese día los tapones del juego de Beano! 🤦🏻‍♂️). ¿Ya los tenéis?

Ahora vamos a colocarlos de forma aleatoria, al azar, sobre la mesa.

Ahora es cuando vemos el fragmento del primer episodio de la serie Numb3rs. Se hace una breve introducción, contando que son dos hermanos, uno que trabaja en el FBI y que pide ayuda a su hermano, que es matemático. ¡Prohibido tocar los trozos de papel!

Conforme ven el vídeo, ya se van dando cuenta de cómo han colocado ellos los trocitos de papel. La gran mayoría, así:

Claro, son alumnos que los han puesto y los han ido colocando, dejando huecos con una regularidad bastante acusada. ¿Es una configuración posible? Sí, pero muy improbable. Lo más probable es que hubiese amontonamientos, como señala Charlie Eppes.

Esta vez, creo que de 21 alumnos, solo dos hicieron algo así. Que básicamente consiste en dejarlos caer desde cierta altura. O en no toquetearlos demasiado.

Las imágenes son de una clase de 2º ESO. En 1ºESO, más de lo mismo. Pero no creáis que por ser mayorcitos nos salvamos de estos sesgos, que esto lo he hecho con alumnado de máster y también se detecta este fenómeno.

Se enmarca en la distinción de fenómenos aleatorios y deterministas, aunque sobre todo es un primer paso hacia la aceptación de aleatoriedad como modelo matemático. Se distingue entre el proceso de generación (el experimento, colocar los objetos) y el patrón obtenido.

Si alguien quiere profundizar un poquito, Carmen Batanero abordaba estas cosas en las JAEM de 2001.

Como dije en el hilo de la secuencia completa, algunas actividades no pude hacerlas en todos los grupos 😢. Aunque esto es una actividad rica y no lleva mucho tiempo, suma, y debido a ratios o falta de recursos de atención a ACNEAE (apoyos en el aula, …) no pude encajarla.

¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Sat, 19 Oct 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Dentro #DidMatCita con mini-hilo. ¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Está sacada de Sullivan Knott y Yang (2015), de un capítulo dedicado a la relación (e interacción) entre el diseño de tareas, el aprendizaje del alumnado y el enfoque didáctico al que están acostumbrados; es decir, la cultura de aula.

Es común encontrar resistencia cuando el enfoque que plantea el docente es a través de la resolución de problemas y la cultura de aula es todo lo contrario. Aquí usan la expresión «cultura de aula», aunque sería igual hablar de creencias hacia las matemáticas y su enseñanza.

En el capítulo se cita a otros autores, por ejemplo Brown y Coles (2013), que acuñan el término «relentless consistency» (¿coherencia incansable?) para señalar la actitud necesaria por parte del docente.

Si el deseo es crear un ambiente de clase donde los niños se sientan cómodos enfrentándose con tareas ricas y abiertas, entonces se debe dedicar tiempo a establecer este nivel de comodidad. No vale llegar un día, probar, y decir, “no hay manera”.

Requiere un esfuerzo y dan ganas de tirar la toalla al principio. Ahí es donde toma forma eso de «relentless consistency».

Una vez que los niños se acostumbran, su expectativa de trabajar así persiste. Si se usa un enfoque a través de la RP, el docente tiene que ser incansable y continuar proponiendo ese tipo de tareas.

Esto se consigue con tareas que, teniendo el mismo enfoque, resultan familiares y asequibles para el alumnado. Así, el docente se puede centrar en lo que se va a valorar del trabajo del estudiante.

Anécdota personal: este curso tengo un alumno de 1ºESO que ya me ha dicho que prefiere que le ponga hojas enteras de multiplicaciones. Stand my ground.

Sobre las tablas de multiplicar

Sun, 15 Sep 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

A ver, que ayer por la noche me pareció leer un tuit sobre el canturreo de las tablas de la multiplicación que degeneró en una retahíla de loas, abundando el manido “pues a mí me enseñaron así y no he salido tan mal”. Abro hilo, especial para #primaria #AcRiMates

El aprendizaje de hechos numéricos básicos, como las tablas de la suma o de la multiplicación, permiten acometer tareas de cálculo con mayor eficiencia. Llegar a la adolescencia sin saber estos hechos es fuente de dificultades. Entonces, ¿qué hacer?, ¿cómo enseñar esto?

Me centraré en las tablas de multiplicar, que son las más problemáticas, pues no es nada raro encontrar alumnos en ESO que no las dominan. Tenemos la opción más socorrida, que llamaremos la del martillo pilón.

Efectivamente. Se trata de llegar a clase cierto lunes y presentar la tabla del 2. La cantamos y mañana la preguntamos. Unos días más tarde presentamos la del 3, la cantamos y la preguntamos. Como tareas para casa, cantarlas.

Esto se hace muchas veces con cierta periodicidad. Cada semana, una tabla, por ejemplo. Siguiendo un orden de menor a mayor, cuando la del 5, sin ir más lejos, es más fácil de recordar que la del 3.

La memorización a palo seco de estas tablas exige un gran esfuerzo. Por eso hay ciertos alumnos que no pasan el corte. Los que sí lo pasan, ¿qué han ganado en el proceso? ¿Han aprendido técnicas y estrategias de cálculo flexibles que les permitan cubrir posibles olvidos? ¿Han progresado en sentido numérico? ¿Las técnicas aprendidas les permiten manejarse mejor en la división entera? Es más, los alumnos que se saben los hechos… ¿necesitan canturrear esa parte de la tabla que se han olvidado?

Ay, el sentido numérico… ese gran olvidado. Meto anécdota que no viene muy al caso: en secundaria a muchos alumnos les explota la cabeza cuando al dividir por cero coma algo les da un número mayor que el de partida.

Y los que no pasan el corte de aprenderse las tablas, ¿qué? Esos están todavía peor.

Vale, entonces qué hacemos. La premisa básica va a ser priorizar el aprendizaje de estrategias, a la par que, obviamente, abordar situaciones multiplicativas para dar sentido a todo esto.

Esta doble vía en paralelo, situaciones concretas y formales, se puede abordar con:

La construcción de la tablas, con una rejilla en donde los alumnos escriben los hechos. Se reflexiona en común, se puede subrayar, colorear… (ej., la columna del 2 siempre acaba en 2…)

La construcción puede hacerse más veces, empleando manipulables, fijándose en diferentes regularidades, etc.

Práctica espaciada y “aleatoria” (pero cubriendo todas las tablas) y trabajando estrategias de cálculo mental.

Lástima que no se pueda subrayar en twitter. TRABAJANDO estrategias, no dejando a los alumnos en la selva. Estas estrategias pueden surgir de forma natural y todos tenemos preferencias, pero se aprenden. Hay actividades muy majas, tanto con lápiz y papel como con TIC.

A mí me gustan mucho las tablas de cálculo de J.J. Jiménez (ojo, tanto para Primaria como para ESO, hay de todo). En la web se explica muy bien de qué van y cómo usarlas. Fichas para descargar.

Esos son algunos tipos de actividades para ir trabajando la vía formal. Hay más, pero con esto creo que se pilla la idea. Esencial también el uso de manipulables, como he dicho, que tienen un lugar claro y directo en la construcción de las tablas.

En paralelo, la vía concreta. Esto es una de las cosas básicas que transmitimos en @FacultadEducaUZ en Didáctica de la Aritmética I y II. La cuestión es ir trabajando situaciones multiplicativas que, progresivamente, se hacen de forma más eficiente sabiéndose los hechos.

Al principio, los alumnos las resolverán mediante sumas o restas reiteradas. Poco a poco, jugando con las variables didácticas, con el tamaño de los números, se introduce la necesidad de ir empleando hechos conocidos.

No conviene hacer packs de ejercicios (aquí uso el término ejercicio, no situación) todos iguales. Introducir diferentes estructuras semánticas e incluso situaciones aditivas, que se resuelvan “sumando” o “restando”.

Uso las comillas porque en esta vía concreta se prima la comprensión. Sobre todo al principio, no importa tanto que elijan la operación correcta (que muchos alumnos eligen en plan random) como la comprensión de la situación.

Sugiero la lectura del artículo: Ter Heege, H. (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16(4), 375-388.

Voy a ver si me organizo la semana, que me lío con estas cosas y no puede ser, que yo estaba con cosicas de probabilidad y tal.

Dibujos animados y dominio afectivo en matemáticas

Wed, 21 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Aprovechando que hace poco salió el último número de EDMA0-6 y que incluye la sección “Matemáticas animadas”, voy a dar la turra con un hilo sobre dibujos animados y dominio afectivo en #matemáticas. A ver lo que sale.

Si esperas leer sobre educación a lo Mr. Wonderful, este hilo no va de eso. Utilizando como excusa algunos fragmentos de dibujos animados que abordan este tema (a veces, de forma exquisita), vamos a tratar de reflexionar sobre el impacto que tiene lo afectivo en lo cognitivo.

Aunque me gusta explorar el uso de los dibujos animados y fragmentos de películas y series como recurso didáctico en #matemáticas, dejaremos eso para otra ocasión. Pensad en este hilo en relación con el análisis previo que se haría antes de usar un fragmento en clase.

En primer lugar, esto del afecto incluye emociones, actitudes, creencias y valores. Hay otras categorizaciones, pero esta está muy extendida y nos vale para lo que queremos mostrar.

La idea de escribir este artículo me vino cuando redactaba el anterior de “Matemáticas animadas”, sobre estimación. En el capítulo de Cyberchase que analizaba, ocurría algo maravilloso con Inez, uno de los personajes.

Al principio del episodio, vemos a Inez contando las gominolas de un tarro, una a una. Luego, se van sucediendo situaciones que tienen que superar los protagonistas, e Inez muestra su escepticismo ante las soluciones aproximadas. No le convence la estimación.

Sin embargo, poco a poco estas situaciones se suceden y se van resolviendo con técnicas de estimación en medida. Inez se va convenciendo y en las últimas ya es ella la que propone utilizar la estimación. Al final, se retoma la escena inicial del bote, y… ¿no es maravilloso?

Lo que se aprecia es un cambio en la creencia inicial de Inez. No es que no supiera sobre estimación, es que no daba como válidos los resultados así obtenidos. Esta evolución se produce porque comprueba in situ cómo la estimación les soluciona la papeleta una y otra vez.

Así que me pregunté si este tratamiento de lo afectivo se veía en más episodios de Cyberchase o de otras series. Y sí, en el 1x02, Castleblanca, sobre estadística (cada capítulo va sobre un contenido matemático en concreto), tenemos algo parecido.

Tiene la creencia de que los datos son una herramienta muy potente para sacar conclusiones. Aunque también intuye que no todo vale. Jackie tiene anotaciones sobre las casas donde consiguió dulces el pasado Halloween. ¡Pero no sabe qué hacer con ellos!

Ojo que esta creencia es más relevante de lo que parece en el mundo en que vivimos. Los medios de comunicación saben del poder de los datos y de las gráficas. Y si no, mirad cualquier campaña política y el material que genera para la clase de mates.

Motherboard llama a los protas para salvar el ciberespacio. Tienen que encontrar la ubicación del castillo donde Hacker (el malo malote) tiene preso al doctor Marbles. Y se les ocurre hacer un sondeo. Ya sabéis, el poder de los datos. Se separan y van haciendo la encuesta.

Siguen creyendo en el poder de los datos en bruto. Preguntaban a ver quién había visto a Hacker y dónde. Lo describían como mezquino, alto y con capa. Sin ser cuidadosos con la descripción, obtienen dos acumulaciones de puntos en la misma zona de los dos mapas.

Van a esa zona y… ¡no es el castillo de Hacker! Se trata del castillo de Drácula. Se dan cuenta de que tienen que ser más específicos y se ponen de acuerdo en preguntar quién ha visto un tipo alto, con capa, piel verde y barbilla puntiaguda.

Ahora, ninguno de los dos mapas de cada equipo de investigación muestra acumulaciones de puntos. No se dan por vencidos y piensan (actitud positiva hacia la resolución de problemas, no todo es llegar y triunfar).

Saben que lo han hecho bien esta vez, pero les falta algo. No tardan mucho en combinar ambas fuentes de datos y entonces sí, descubren la localización del castillo.

No vale todo con los datos. Sin ser cuidadosos, las conclusiones no son válidas. En otro episodio, 1x03, “Ciudad justa”, se suceden situaciones en las que las predicciones acerca del resultado de juegos de azar a veces resultan cumplirse y a veces no.

Por lo tanto, contribuye a combatir creencias relacionadas con el razonamiento probabilístico. Por muy alta que sea la probabilidad de ganar, no tienes por qué ganar. Al mismo tiempo, si decides jugar, por lo menos analiza si el juego es justo o no. Ojo con las casas de apuestas.

En el 1x18, “Resolviendo problemas en Shangri-La”, tanto Hacker como los niños protagonistas están prisioneros en Shangri-La y deben utilizar técnicas de resolución de problemas para conseguir su libertad. Es un episodio con mucho énfasis en lo actitudinal.

Su objetivo es transmitir que los problemas pueden tomarse como un reto, como un juego desafiante. Se tendrán más opciones de resolverlo si se sigue un plan de juego y, cuanto más se juegue, tanto mejor resolutor de problemas se será.

En Peg+Gato pasa algo parecido. Al igual que en Cyberchase, cada episodio se centra en un objeto primario y otro secundario y, aunque la resolución de problemas es contenido primario en alguno de ellos, todos los episodios giran en torno a la resolución de algún problema.

Tanto la frase “tenemos un gran problema” como la canción “problema resuelto” llevan camino de convertirse en clásicos. En “El problema del blabberwocky” se incide en la importancia de utilizar dibujos como técnica de resolución de problemas.

Los episodios de Peg+Gato duran la mitad que los de Cyberchase, por lo que la evolución del dominio afectivo con las situaciones que se van resolviendo no puede ser tan explícita como en Cyberchase. Eso sí, siempre se transmite una actitud de perseverancia ante los problemas.

Vamos ahora con dos series “no matemáticas” y sin intencionalidad educativa. Una muy reciente es Hilda, basada en la novela gráfica de Luke Pearson. En “La roca troll” la han liado y los amigos de Hilda le recuerdan situaciones curiosas con la profesora Hallgrim.

Como esta, donde ante un problema que se resuelve multiplicando decimales, Hilda cuestiona el enunciado: ¿Qué más da cuánto cuestan las manzanas? Lo importante es saber por qué un hombre necesita comprar tantas manzanas. ¿No será que está alimentando algún monstruo?

La actitud de Hilda es bastante matemática. No se trata simplemente de identificar los números y hacer la operación. Si son meros ejercicios, esto funciona, pero ante un problema es necesario cuestionarse el enunciado para ganar en comprensión.

Sí, Hilda se va por las ramas, pero la actitud de una buena resolutora de problemas está ahí, intentando leer más allá de los datos.

Las comillas de antes en el término “problema” son porque, dependiendo del curso, alumnado y contexto de enseñanza, el enunciado puede ser simplemente un ejercicio. Esto entroncaría con las creencias de los profesores sobre la enseñanza, que es otra cosa a tener en cuenta.

Cambiamos. En el primer episodio de “El príncipe dragón” hay un diálogo curioso:

CALLUM: Pienso ir contigo.
SOREN: Eres solo un niño, Callum.
CALLUM: ¡Cumpliré los quince en dos meses!
SOREN Uhh, catorce y tres cuartos… ¡hala!
CALLUM: Cinco sextos.

Es un fragmento breve, pero interesante y con humor, pero que contribuye a reforzar esa creencia de que solo eres inteligente si se te dan bien las mates, o viceversa. Esto adopta multitud de formas en el aula, como cuando un estudiante se excusa diciendo que “es de letras”.

¿Moralejas de todo esto? La importancia de lo afectivo. Determinadas creencias pueden provocar emociones de bloqueo o actitudes negativas que impidan avanzar. Si no se presta atención, luego no podemos quejarnos de que no saben resolver problemas.

Una enseñanza muy centrada en lo procedimental no permite desarrollar de forma adecuada lo afectivo. Estos alumnos terminan con una visión muy “estática” de las mates. Dime cómo se hace esto y lo repito. Las matemáticas no funcionan así.

El dominio afectivo es una línea de investigación consolidada en didáctica de las matemáticas. Tanto, que series especializadas y con un tratamiento muy cuidadoso lo tienen en cuenta.

Y ya termino. Prometo, más adelante, hilo sobre los dibujos como recurso. No es que fomente que se vea más tele de la que ya ven los niños, sino de aprovechar que la ven. Y partir del lenguaje y las situaciones que se abordan con personajes, muchas veces, conocidos.

Los capítulos de Cyberchase que he mencionado.

Si te interesa saber más sobre el tema, aquí dejo el enlace al artículo completo en la revista EDMA0-6, que incluye alguna referencia para profundizar.

Otro hilo relacionado.

La parte didáctica no se evalúa en las oposiciones

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Leo tweets sobre la fase de defensa de la programación y las unidades. Sobre que muchos compañeros se quedan en el tema y no pueden demostrar su valía en la parte más “didáctica”. Abro hilo que incluye anécdota.

Porque mi postura es que, tal como están las opos, no se evalúa la parte didáctica. Ni, por supuesto, en los temas y práctico, para lo que habría que modificar el temario (y se podría, y tendría sentido, que para eso hay áreas de didácticas específicas).

Ni en la programación ni en las unidades, donde sí que podría evaluarse esto de la didáctica. Pero ahí no se hace, porque falta formación.

Pienso sobre todo en secundaria. Aunque me reafirmo a partir de una conversación con un compañero de primaria, donde pasa más o menos lo mismo. O peor, porque en ese temario hay varios temas con orientación didáctica. Y aquí es donde entra la anécdota.

Hace unos cuatro años compartía horas de carretera con un maestro. Esas cosas buenas que tienen los centros de adultos, donde -por lo menos en los dos que he estado- conviven ambos cuerpos en armonía. Primaria y secundaria.

El caso es que salió el tema de que yo estaba de asociado en el área de Didáctica de las Matemáticas. Y que había hecho la tesis y tal.

Anda, pues a mí las mates me encantan. Yo cogí el tema de resolución de problemas en las últimas opos, y me pusieron buena nota (no recuerdo si me dijo 8 o 9).

Por contextualizar. El epígrafe del tema en cuestión: Resolución de problemas. Diferentes clases y métodos de resolución. Planificación, gestión de los recursos, representación, interpretación y valoración de los resultados. Estrategias de intervención educativa.

Ah, qué bien. ¿Y qué contaste? - dije yo. Algo sobre Polya, imagino…
¿Eh? ¿Quién? - No, no, no.
Ah, que te habrás basado en un autor más moderno, como Schoenfeld.
No, no. El tipo de actividades que trataría…. No sé, que les gustó.

Y así fue la cosa. Si esto pasa en un tema con fuerte carga didáctica, ¿qué no pasará en la programación y las unidades?

Veo que aparte de alguna guía con elementos que deben mencionarse, los tribunales (que vaya marrón) evalúan como pueden.

Veo también que por didáctica, en las opos, tiende a entenderse “ver cómo se desenvuelve el aspirante presentando algo en público” y/o a comprobar si hace uso de las TIC o menciona alguna “metodología activa”.

La solución a todo esto es compleja, muy compleja. No obstante, pasa obligatoriamente por más formación, especialmente en didácticas específicas. Tanto en primaria como en secundaria. Y por más cultura científica.

Con esto de la cultura científica no quiero decir, ni mucho menos, que todos los profesores tengamos que investigar, sino que hemos de leer y estar al tanto de resultados del área. Hay revistas variadas y de acceso gratuito.

Para eso hay que consciente de que no todo lo que se hace en investigación en didáctica es aplicable al aula directamente. Por resumirlo mucho, la distinción es similar a la de ciencia básica y aplicada. Además, hay que tener en cuenta que estamos ante una ciencia social.

Claro que todo esto se haría mejor si la formación contase como horas lectivas. O si no estuviéramos a 20h en ciertos sitios. Aun así, se dedica un gran esfuerzo a preparar actividades sin ninguna reflexión (y muchas veces, sin respaldo posible) desde la didáctica específica.

Eso es un coste de oportunidad tremendo que no nos podemos permitir. A menudo, se dice que el tiempo lectivo es oro. Bueno, pues el que tenemos para preparar clases también.

Y eso ha sido todo. Enhorabuena si has llegado hasta aquí, porque creo haber divagado bastante. No obstante, todo han sido temas que me tocan de cerca, me interesan y me preocupan.

Al maestro de la anécdota, que, por cierto, se sacó plaza merecida al poco. Un abrazo, porque si casualmente lees esto, sabrás que es a ti a quien cito. A ver si nos vemos pronto.

Valoración final del curso de los alumnos de 1º ESO

Tue, 20 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Ahora que ya casi no me queda papeleo por hacer del instituto, y antes de ponerme con otra cosa, dejo hilo prometido sobre la valoración final que hicieron del curso los de mi 1ºESO.

Es el curso donde más elementos de didáctica de la matemática he incorporado. Con diferencia. Si me seguís por aquí, sabréis a qué me estoy refiriendo, porque he ido compartiendo cosas, y más que espero compartir.

Se trata de innovación. Aunque llamar innovación a propuestas como las del Shell Centre para funciones que vienen de los 80 daría para otro hilo. Pero bueno, otras cosicas sí son más recientes, como los negativos en un entorno algebraico, que viene de la tesis de Eva Cid.

Ahora voy con el hilo. Pero quería dejar claro que lo que he hecho es enseñanza a través de la resolución de problemas, entendiendo problemas en sentido amplio. No penséis en problemas de olimpíada, que también ha habido de eso, sino más bien en tareas de clase.

Medir ha sido una de esas tareas. De esto, los que vayáis a las @19jaem19, os hablarán @auroradp64 y @SergioMJGR. Su propuesta, que es la que he adaptado para mis clases, está basada en investigaciones de R. Escolano y JM Gairín y es la que trabajamos en @FacultadEducaUZ.

Creo que tenía que dejar claro a qué estoy llamando innovación. Sobre todo, dado el debate que sigue imperando por estos lares. El polo de la enseñanza “tradicional” que denosta cualquier cosa que huela a innovación, frente al polo de la innovación de fuegos artificiales.

Venga, comento ya lo de mi 1º ESO. Al principio de curso les hice una evaluación inicial a partir de una idea de Mercado (2007) @suma_fespm Básicamente:

¿Qué sabes de #matemáticas?
En la otra cara, proponer un problema.

Esta forma de hacer la evaluación inicial me parece maravillosa. No empiezas con un examen a bocajarro (que sí, que no vale para nota, pero…) y sales del aula con una idea muy clara de qué tipo de experiencia han tenido con las mates y sobre lo que vieron el curso pasado.

Conforme los alumnos la van haciendo, es cuestión de pasarse, animando a que escriban más, y comentando cosas como:

Mmm, veo mucho de geometría, ¿visteis algo el curso pasado entonces?

Y dejar que fluya la conversación.

Resumo lo que pusieron en esa evaluación inicial los de mi 1ºESO:

Mucha operación. Mostraban orgullosos que sabían hacer divisiones con decimales, operaciones combinadas.
Más operaciones. Los más atrevidos, multiplicaciones de fracciones.

Conversiones de unidades (en la foto, con errores)
Fórmulas de áreas.

Y… no sé si será porque se preguntaba aparte, pero nadie habló de saber resolver problemas. Todo eran cuentas. Imagen

Este alumno enumera lo que sabe hacer. De nuevo, nada de problemas.

Todos los “problemas” que inventaron se resolvían con operaciones combinadas. Algunos, con una suma, otros con una multiplicación. Pongo problemas entre comillas porque esto son ejercicios. Podían haber puesto algún ejercicio-problema de geometría, por ejemplo, pero no.

Y ahora, en junio, les volví a preguntar lo mismo. Dándoles también espacio para que pusieran un comentario libre sobre el curso. Vamos con lo que saben ahora de matemáticas.

Sobre geometría, y mira que hemos visto pocas cosas y muy rápido. Ahora saben transformar figuras. Bien, no les hace falta saberse las fórmulas. Las saben obtener a partir de la del rectángulo.

Saben hacer cosas nuevas. Nombran los problemas de proporcionalidad. Aquí, el de la izquierda se refiere a lo que hemos hecho sobre interpretación de gráficas y lenguaje de funciones (lo del precio de la foto). Y el álgebra lo nombran mucho, se ve que les ha causado impacto.

Y todos, menos uno, se han expresado de forma similar en el comentario. Que han aprendido mucho, que ha sido diferente. Muchos también señalan la dificultad. Me encanta: “Ha sido complicado, pero divertido”.

Así y todo, me llamó la atención el alumno que se desmarcó. Porque escribió lo siguiente, y cito: “El sistema educativo está anticuado y mejorarlo no estaría mal ya que el rendimiento académico subiría en muchas personas y estaríamos más preparados para la vida real”.

Eso demuestra que los mensajes que mandan los grandes medios diciendo tontadas sobre nuestro sistema educativo, vertiendo basura sobre los profesores, llegan. Y vaya que si llegan.

Si se repiten mucho estos mantras, se convierten en creencias. Y luego, son muy difíciles de cambiar. Tanto, que después de todo un curso a través de la resolución de problemas y trabajando de un modo distinto al que estaba acostumbrado, escribe eso.

No digo que mis clases sean de 10, no. Y que mira tú este chico. No. Soy consciente de que tengo mucho por mejorar, y me alegro por ello, porque sino, vaya aburrimiento. Ahora, tachar de anticuado lo que hemos hecho en ese primero, precisamente en ese primero…

A lo mejor es porque solo he usado el ordenador con ellos en 3 o 4 sesiones (@geogebra mediante) y se esperaba más medios tecnológicos. No lo sé. Y mira que les dejaba cosas en Edmodo y tal.

Conforme me entregaban esa evaluación final, les devolví la de principio de curso. Algo se emocionaron.

¿Pero es que la has estado guardando?
Ay, mira qué letra tenía a principio de curso.
¿Esta división puse?

Después les puse un vídeo (que me guardo para nosotros) que hice recopilando alguna fotico de ellos trabajando, sus producciones y fragmentos de los vídeos que prepararon para el proyecto @eTwinning_es con los franceses de @MaryseDuprey.

Bueno, sí que hubo tres “quejas” por no haber usado el libro. Más bien, por haberlo comprado y no haberle dado uso. Lo primero que hice al conocer mi destino del curso que viene fue llamar para avisar de que no usaré libro.

Y eso es todo. Esto ha ido, principalmente, de contrastar las creencias sobre las matemáticas a principio y a final de curso. 🔚

Dejo aquí enlace a los vídeos del proyecto #eTwinning que he mencionado. Los compis de Inglés suelen entrar fácil al trapo. En clase de Mates se trabajan los problemas, las estrategias, etc. y en Inglés preparan los vídeos. Por si se anima el personal.

Cosas que hicimos para el día Pi 2019 en el proyecto Pi is travelling Europe

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Voy a contar las cosicas -bastante sencillitas- que hemos hecho en el #piday2019 @IESValdesparter en el #eTwinning #piistravellingeurope.

Al principio de clase, hemos contado qué íbamos a hacer. Básicamente, bajar al patio a medir. ¿El qué? ¿Qué creéis que vamos a medir si hoy es el π-day? ¡Círculos! ¡Circunferencias! Tenéis 15' para ir rellenando todas las columnas menos la última.

Ficha para descargar

La última la haremos después en clase, con la calculadora. Como ayuda, unos metros de papel y algún metro más profesional. Se ha hecho hincapié en utilizar también unidades de medida no estándar, como palmos, pies, etc.

Aprovechando que había un grupo haciendo Educación Física…

Luego en clase, hemos calculado las razones. Los más cuidadosos han tenido premio. Se podía oler el número π.

Aunque ha quedado poco tiempo, hemos empezado la segunda actividad. «Ecstasy of π». Es la escena final de «El bueno, el feo y el malo» (música espectacular), y se trata de estimar el número de tumbas. Porque parece que el cementerio es… ¡circular!

Ficha para descargar

Y eso es todo. Bastante sencillito. Pero que incide en el significado de π más allá del trescomacatorce. 🔚

Resolución de problemas y divisibilidad con el juego del 21

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Acabo de ver un post sobre un juego que da mucho juego 😉 en #matemáticas. Me ha recordado lo que hicimos hace unos meses en 1ESO. Lo cuento un poquito en un mini-hilo. 👇

“One of Favorite Games: The Skip Count Game” vía @jennalaib #AcRiMates

Suele conocerse como el 21. El primer jugador dice un número del 1 al 3. Y el otro jugador elige sumar 1, 2 o 3. Así, hasta que uno de los dos llega a 21, ganando la partida.

Se juegan dos o tres partidas y luego se busca la estrategia ganadora. Es fácil ver la secuencia que hay que encontrar.

Permitiendo elegir números hasta el 5 o el que sea. Si no ha salido la idea de divisibilidad con las primeras partidas, buscar la estrategia general en las variantes lo fuerza un poco.

O el modo de jugar que plantea @jennalaib en su post: pierde el que dice 21.

Aunque conmigo la clase es en castellano, decidimos hacer esto en un proyecto @eTwinning_es #etwinning en inglés con alumnos del Lycée et Collège Sainte-Anne. Gracias @EtwTerp por ponerme en contacto con Maryse Duprey.

Después de ese rato en clase de mates, los alumnos prepararon la explicación con su profe de inglés, Isabel, a la que nunca agradeceré lo suficiente que se haya prestado a estas cosas.

Uno de los resultados fueron estas explicaciones tan majas, que compartimos con nuestros amigos franceses desde el canal del @IESValdesparter @plan54zaragoza

Respuestas del examen de funciones que son oro puro (tos y caca mediante)

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Estoy corrigiendo el examen de 3ESO de la semana pasada, que incluye funciones, y las respuestas a esta pregunta son oro puro.

Los que se van a reír son mis alumnos cuando les diga el interés que muestran los profes de mates por un hilo sobre caca (y funciones, sí, pero sobre caca).

Dentro hilo con los highlights.

El fenómeno (científico) del desastre. «Las ganas de cagar siguen un patrón más o menos regular, mientras que la tos sigue un patrón muy irregular. Tras un tiempo coinciden y ocurren a la vez. A este fenómeno se le llama “desastre”»

Concisa. «En ese punto es cuando tienes muchas ganas de cagar y justo toses mucho, pues al toser se te escapa la caca.»

Todos tememos. «Contra (sic) más ganas de cagar y tos tengas, llegará un momento en el que coincidirán en un punto exacto y se desatará el desastre que todos tenemos.»

Todo en un día, montaña rusa de sensaciones. «Durante un día una persona tiene diarrea y le dan ataques de tos. El problema es que el momento en el que coinciden, al toser relaja el ano y cae la caca.»

El control es fundamental. «La tos es inesperada y no la controlas (no decido cuándo toser). Las ganas de cagar son constantes y reguladas. La tos, como es incontrolable, no sabes cuándo sale y si aparte te entran ganas de cagar, ocurre el desastre.»

«Ganas de cagar: una persona tiene un punto exacto en el que se hace caca, sigue siempre un patrón. Cuando acaba de comer, se caga, y luego por la noche no, y así todos días. Comer-noche-Comer-… (croquis) Tos: está con catarro y tiene mucha tos, pero de manera irregular…

El chiste describe la rutina de la persona y explica que cuando a la persona le entran ganas de cagar y tose mucho ese punto es un desastre (punto señalado en el gráfico) porque que te pasen las dos cosas a la vez es horrible.»

El sujeto.

«Como podemos observar, la línea de “ganas de cagar” va repitiendo su forma constantemente […], pero la línea de “tos” no va así, […]. Hay un momento donde la tos y las ganas de cagar coinciden lo que le lleva al sujeto a cagarse encima.»

Una reflexión. «Pues que parecen dos variables que no tienen mucho que ver pero en el punto “desastre” juntas las “ganas de cagar” y la “tos” con la fuerza de la tos es muy probable que te cagues encima. »

Los que parece que no saben de qué va. «Si toses siempre en el mismo momento, primero toses una vez, pasa un rato, y toses dos veces, pasa otro rato, y toses otra vez, pasa un poco más y toses otra vez, pero a la vez te vienen ganas de cagar.»

Otra simplemente descriptiva.

«Ganas de cagar->Constante. Hay un punto donde se juntan porque le toca tener ganas de defecar y también tiene tos de repente.»

▶️Comentarios◀️

Siempre les pongo algún meme en los exámenes para relajar tensión. Ellos lo esperan. En este, echaron un vistazo a la hoja y exclamaron:

¿Y el meme? ¿No has puesto? Halaaa.
Mirad la pregunta 9.

En esos momentos iniciales, una alumna me dijo que no lo entendía. Que en serio, que no lo entendía. Puede que fueran los nervios, pero aquí hace falta saber interpretar gráficas.

A la hora de evaluar, aspectos que busco:

La periodicidad de las ganas de cagar, que hace que vayan alternando máximos y mínimos de forma regular. Crece, decrece, crece, decrece…
El desastre (si tienes un baño lejos) se produce cuando coinciden los máximos de las funciones que describen las ganas de cagar y la tos.
Es 3ºESO, no se pide especificar que las ganas de cagar se han modelado con f(x)=sen(x)
Un error o imprecisión ha sido la confusión entre periodicidad, ritmo o frecuencia y ganas constantes. O no comentar nada sobre esto.
Se pide interpretar y explicar, no solo describir. Esto exige una mayor comprensión.

Ha habido un poco de todo, pero esto me da pistas para mejorar la secuencia e incorporar más situaciones. Sigo pensando que hay que trabajar más este aspecto de las funciones, pues creo que no todos han podido disfrutar del chiste en su plenitud.

No tengo claro que esto sean #perlasdeexamen, pero seguro que a @envozalta_libro le resulta interesante.

Si eres profe de mates y has leído hasta aquí, a lo mejor te interesan las actividades del librito del Shell Centre 🔚

Una actividad de interpretación de puntos

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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El otro día en 1°ESO tuvimos una interesante charla a partir de una actividad de interpretación de puntos tomada del libro “El lenguaje de funciones y gráficas” del Shell Centre. Comento brevemente.

Se trata de situar en cada gráfica, de forma aproximada, un montón de deportistas. Hay saltadores de altura, levantadores de peso y lanzadores de dardos. El eje horizontal es el peso del deportista. Los verticales: altura que saltan, peso que levantan y puntuación en los dardos.

Las fotos son producciones de los alumnos. Se ven diferentes notaciones (letras, colores) y distribuciones curiosas que pudimos comentar (para entender su significado y adecuación al contexto), como esa sinusoide para los de los dardos.

Tuvimos nuestra pequeña discusión sobre qué hacer con los de los dardos. Ahí que nos ves en clase buscando vídeos de campeonatos de dardos.

En el cuaderno anotan las razones que les llevan a colocar los puntos. El lenguaje aquí importa, y mucho.

Lo mejor, este tipo de actividades permite trabajar directamente sobre los significados personales de los alumnos y progresar, incorporando vocabulario y contenido de funciones y desarrollando la competencia de interpretación de gráficas.

A lo mejor me repito mucho, pero el libro, con un toque retro encantador, es la esencia de la enseñanza y aprendizaje de las funciones. Más info aquí

Vídeos de YouTube y educación matemática

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Hace unos días estuve hablando sobre vídeos de YouTube y educación matemática en el Seminario de Didáctica de las Matemáticas del @iuma_unizar en @facultaeducaUZ. Me apetece resumir aquí lo que conté el día de la charla. #DidMatHilo

Los vídeos educativos alojados en plataformas online están en auge. Nuestros alumnos lo saben y acuden a ellos para ayudarse en el estudio. Como docentes, es un recurso que se usa cada vez más, con un papel central en algunas propuestas pedagógicas, como en el #flippedlearning.

En el seminario, partiendo del artículo recientemente publicado con @giacoss y María Burgos, nos centramos en el análisis de vídeos sobre algo muy concreto: los repartos directamente proporcionales. En España se ven en 2ºESO (13-14 años).

Elegimos algo tan específico para poder hacer un análisis fino, usando un conjunto adecuado de herramientas teóricas. Y entonces nos pusimos en el papel de un estudiante de 13-14 años que pone en el buscador de YouTube “repartos proporcionales”.

Y nos salieron un montón de resultados. Nos quedamos con los que tenían más de 1000 visitas y que eran directos, no inversos. Al final, la muestra consistió en 31 vídeos.

Cosas en que nos fijamos. Primero, en el nivel de algebrización del tipo de prácticas. Esto permite distinguir soluciones:

Aritméticas
Proto-algebraicas: razones y proporciones
Proto-algebraicas: valor perdido
Algebraicas: símbolos analíticos sin aludir al contexto

Que sea de un nivel u otro no implica que sea ni mejor ni peor. Simplemente, que se ponen en juego objetos con mayor o menor grado de abstracción. En 2ºESO el análisis de la bibliografía revela consenso en un enfoque aritmético, con ciertas conexiones al álgebra.

En la muestra de 31 vídeos encontramos soluciones:

Parte-todo (fracción como operador): 7 vídeos (23%).
Reducción a la unidad: 6 vídeos (19%).
Valor perdido: en 11 vídeos (35%).
Ecuaciones basadas en “k”: 10 vídeos (32%)

También entramos a analizar qué lenguajes se usan, en sentido amplio, encontrando lo siguiente (obviamente, lo normal es emplear varios tipos de lenguajes en un mismo vídeo, de ahí que la suma sea mayor que el 100%).

Esto es un ejemplo de uso del del registro simbólico-algebraico propio de nivel 3 (izquierda) y un ejemplo de representación diagramática (derecha).

Vale, hasta aquí lo que observamos es una diversidad de significados y lenguajes importante. Un estudiante puede encontrarse con vídeos que aporten significados poco adecuados a su nivel o que incluso interfieran con el proceso de negociación que plantee su profesor de aula.

Aquí ya podríamos subrayar la necesidad de que sea su docente de referencia el que seleccione los vídeos. O la importancia de adquirir un sentido crítico. Pero sigamos que la cosa se pone interesante cuando analizamos las reglas que se explicitan en estos vídeos.

Únicamente UNO de los vídeos de la muestra aporta una definición correcta de la situación: «Si una persona aporta el doble, le corresponde el doble en el reparto, etc.»

9 de los vídeos (29%) incurren en el error de definir este tipo de situación en términos aditivos, como aquella en la que el que ‘más’ aportó inicialmente, ‘más’ recibe: «Eso es reparto proporcional, entre que a más cooperes, mayor cantidad te tocará»

Y esto es MUY grave. Se asume que es una situación de proporcionalidad, sin exigir una condición de regularidad. Y se contribuye a crear lo que algunos autores llaman la ilusión de la linealidad.

Por supuesto, hay muchos vídeos que no identifican las magnitudes que intervienen ni sus unidades de medida.

En 4 vídeos (13%) hay errores en el tratamiento de las operaciones aritméticas y/o de las expresiones algebraicas y en 5 de los vídeos (16%) se observan otras imprecisiones o errores.

En cuanto a los argumentos. Muchos de los vídeos carecen de ellos. Y de los que hacen, por ejemplo, una comprobación, el argumento destinado a verificarla suele incluir una condición necesaria, pero no suficiente. Volvemos al “a mayor… más…”.

Y llegamos a las relaciones o conexiones entre los objetos matemáticos. Esos vídeos que son recetas, no aportan significado, no hay relación alguna entre objetos.

Únicamente 4 de los vídeos (13%) identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen; mientras que en 15 vídeos (48%) solamente se identifican a veces; y en 12 vídeos (39%), el profesor no lo hace nunca.

El significado de ‘k’ es el que menos se identifica. Ciertos vídeos hacen uso de los literales x, y o z, para simbolizar las cantidades desconocidas en el reparto, identifican a qué se refieren, pero posteriormente aparece ‘k’ y no se establece su significados

Conclusiones del estudio, pues que muchos vídeos de los vídeos tienen errores o imprecisiones, y que hay una diversidad de significados que a lo mejor no puede gestionar el estudiante.

Con todo esto, ponderamos la idoneidad de estos vídeos en cuanto al contenido matemático, viendo que los más idóneos (que los hay) no son los que más visitas reciben. Obviamente, la reducción a un simple número conlleva una pérdida de información, pero ahí queda la lista.

El artículo origen de todo esto está en la web de Cultura y Educación. Si alguien quiere una copia del completo, basta con que me escriba.

Actividades que no siempre salen bien

Mon, 12 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Muchos profes tendemos a mostrar en las RRSS actividades ricas y que nos han funcionado. Sin embargo, hay otras que no salen igual de bien. Quiero hablaros un poco de esto y, de paso, os cuento una cosa que hago con @edmodo

Dentro hilo

No hablaré de matemáticas. Me basta con el ejemplo genérico de @edmodo para ilustrar esto. Si me sigues, a lo mejor sabes que lo uso en secundaria por su sencillez. Compartir documentos, mensajería, asignar tareas y planificar fechas. Fácil para ellos y para mí.

También aprovecho para que los estudiantes hagan un diario de aula. Cada día, o semana, se responsabiliza uno de ellos, que se encarga de escribir un parrafito con lo que hemos hecho ese día y si hay tarea pendiente.

Viene genial por si falta alguien. Y también da perspectiva de lo que vamos haciendo. Vamos, que me gusta. Y esto de los diarios de clase no es cosa mía. Basta ver los que hacía José Mª Sorando en mateselaios1.blogspot.com

Pues bien, con el grupo de 1ºESO me han bastado dos semanas desde que pedí las autorizaciones para que la cosa vaya rodada. Por cierto, el modelo de carta lo dejé aquí.

Es decir, que ya están casi todos en la clase virtual, leen los mensajes y los comentamos en clase, porque me gusta ponerles algún problemita especial o curiosidad. Hasta han probado a subir una tarea: una foto de sus sistemas de numeración inventados. Geniales, ¿o no?

Con otros grupos me cuesta más, y confieso que alguna vez desisto y tiro por otros caminos. Sé que este curso, habiéndolo planteado en todas mis clases, con algunas no va a funcionar, o no tan bien como en la de 1ºESO.

Estas cosas requieren esfuerzo y tengo que ver una ganancia clara en el aprendizaje o en la dinámica de aula. En otro grupo (4ºESO) he conseguido también el primer mensaje de diario, pero asignando a dedo, cuando en el 1ºESO me sobran voluntarios.

Os preguntaréis si es cuestión de la edad. Es que claro, es el primer año en el insti de los chavales de 1º y todavía tienen esa curiosidad innata ⁉️. Puede tener algo que ver, pero esto me ha funcionado muy bien en otros niveles, hasta con adultos y universidad.

De hecho, en un grupo de adultos que tenía de hace años, una ex-alumna escribió hace poco en la clase virtual para preguntar algo sobre formación y no solo contesté yo, sino que participaron varios.

En bachillerato sé que irá bien, aunque de otra manera. Y en los otros, ya veremos. Habrá que animar el asunto, pero aun así no lo veo claro. En fin, una misma actividad que en unos grupos carbura a pleno rendimiento y en otros no tanto. Un saludo y #felizclase!

Dados griegos, sesgos de razonamiento probabilístico y actividad de modelado en 3D

Sun, 04 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Estos dados griegos (s. V-IV aC) de la exposición del CaixaForum en Zaragoza me recuerdan mucho a los que diseñaron algunos de mis alumnos de 2ºESO de Matemáticas cuando les propuse diseñar, imprimir en 3D y probar un dado impresión3D. Dentro hilo.

La consigna de la actividad fue: diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados.

Conste que diseñar un dado no es nada fácil. No hay más que pasarse por esta discusión en thingiverse.

Una vez diseñado el dado les preguntaba

¿Es este el dado que diseñaste? ¿Te gusta cómo ha quedado?
¿Lo usarías para jugar a algún juego de mesa?
¿Cómo sabrías si es un buen dado? ¿Hacemos la prueba?

Ningún alumno vio nada raro en su dado que le llevase a pensar que no fueran adecuados para ser utilizados en algún juego. Pero prácticamente todos tenían graves sesgos. Por ejemplo:

No retiraban la misma cantidad de material en todas las caras.
Parecido si en lugar de retirar material, se añade (lo que ya es raro de por sí)
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado, si se hace con puntitos (tiene que ver con el error de tipo 1)
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

El dado griego chiquitín es un claro error de tipo 5 (cogerían la piedra o el hueso que les viniera bien). Y el grandote es un intento de cubo con esquinas muy pronunciadas, que apenas rodaría. Lo otro es una canica 😊

No es fácil diseñar un dado. Los sesgos vistos con el alumnado de 2º de ESO en esta experiencia son los mismos que los de los artesanos griegos de hace más de 2400 años.

No es fácil tampoco el aprendizaje de la #probabilidad. Hay multitud de investigaciones que muestran los sesgos de razonamiento tanto en edad escolar como adulta. Es necesario plantear experiencias de aula y reflexionar sobre lo que está pasando.

Es una pena que muchas veces sea lo primero en caerse porque no da tiempo. Históricamente, esta rama tan “fácil” no empezó a estudiarse en condiciones hasta el siglo XVI (Cardano) y XVII (Pascal y Fermat). Vaya trío de ases.

Si has llegado hasta aquí y te interesa saber más sobre la experiencia de #impresión3D del dado, la describí en thalesepsilon

¡Saludos y feliz clase!

Una actividad de estimación con arroz

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

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Estimación, necesidad de precisión en la medida, técnicas para estimar mejor, operaciones con naturales e iniciación a la proporcionalidad en mi grupo de 1ºESO de #Matemáticas. Solo con arroz, ¿qué más se puede pedir? Inspirado en este tweet:

Y todo, a través de la resolución de un problema. ¿Cuántos granos de arroz hay aquí? Trabajo por pequeños grupos (2, 3, o 4)

Estimación inicial (sin tocar el vasito).
Estimación con el vasito en la mesa.
Manos a la obra. Con discusiones de aula intercaladas.

Sí, al principio muchos grupos iban a contarlos de 5 en 5 o de 10 en 10. Con la idea de encontrar la cantidad “exacta”. Pero uno de los grupos ha acabado enseguida y los ha pillado por sorpresa.

-Claro, es que no nos interesa distinguir si son 2345 o 2357. Con saber que son, digamos, 2300 y pico, ya vale, ¿no? Redondeo a las centenas aquí.

El grupo tempranero ha tenido “suerte”. Han echado los granos sobre una de sus pizarras, que casualmente…

…tenía una cuadrícula la mar de maja. Se han dado cuenta de que bastaba ver cuántos cuadritos ocupaban 100 granos. Y a multiplicar. Proporcionalidad inside. Pero otros compañeros lo han tenido igual de cerca y no lo han visto de primeras.

Aquí tenemos como unidad de medida el puño de una de ellas (480 granos creo recordar). Buena idea, pero aquí entra en juego la precisión de la medida. Se ha ido por bastante de las demás.

Una pareja se ha ido a un razonamiento multiplicativo (proporcional) pero a través de la altura que ocupan los granos de arroz. Si en 1/2 cm caben estos, en 3,5 cm, 7 veces más. Veo caras raras 🤨.

Buena idea, pero aquí hay un error bastante grave, ¿no?

Y oye, que me han dicho que claro, el vasito es más estrecho por abajo. Ha habido otras estrategias, pero esencialmente son estas. Al final, preguntan “¿pero cuántos hay?”

Pongámonos de acuerdo. Son todas muy parecidas menos una (la de los puñados). ¿Hacemos la media?

Así nos han salido unos 2380 granos. Muy alejados de los 100, 400,… o 3000 y pico que ha dicho alguno. Acabando. Lo bueno de esta actividad es que su valor no se queda en el día de hoy.

Porque, cuando toquemos la cuestión de la proporcionalidad, tenemos ya trabajados un contexto y unas acciones a las que referirnos. Y eso es muy, pero que muy importante. ¡Un saludo y #felizclase!

¿Qué sistema de numeración utiliza este juego?

Sat, 03 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Tengo un grupo de 1°ESO con mucha curiosidad. Llevamos unos días trabajando el tema de “Números”. Pongo esta imagen en clase y pregunto: “¿Qué tipo de sistema de numeración usa este juego para llevar la puntuación?”

Y sí, ha salido sin dar más pistas. -¿Aditivo? Alguna cara extrañada, porque claro, hay que darse cuenta en la foto de que los puntos pueden tener algo que ver con ese montoncito de gemas.

-¿Por qué? -Bueno, no sé cómo va la cosa pero esas piedrecitas de colores… imagino que cada una valdrá algo. -¿Y específicamente aditivo por qué?

-Mmm…porque da igual cómo las pongas ¿no? -👏

Creo que ha sido una pequeña discusión de aula muy interesante. Denota comprensión, además de decirme que tengo algunos alumnos con capacidad de análisis. Y que posiblemente hayan jugado a juegos más allá de los típicos.

En general les ha parecido una pregunta rara y no sabían a ciencia cierta si lo estaban haciendo “bien”. Eso es una evidencia de que en estos primeros días se va formando el “contrato didáctico”.

Y como estábamos terminando, he aprovechado para contarles de qué iba el juego. Que para visualización y geometría está muy bien. Pero de eso ya hablaremos en otra ocasión.

Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2019). Análisis del tercer problema de la Olimpiada: Las partidas de dardos. Entorno Abierto, 28, 15-18.

An experience of training teachers to use technology in correlation and regression

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Gea, M. M., Batanero, C., Arteaga, P., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). Technological tools in the training of teachers: an experience in the topic of correlation and regression. INTED2018 Proceedings, pp. 2802-2807. doi: 10.21125/inted.2018.0527.

Polígrafos y canicas en Desmos como ejemplos de propuestas éticas de enseñanza y aprendizaje en matemáticas

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Cárdenas, J. A. (2019). Polígrafos y canicas en Desmos: propuestas éticas de enseñanza y aprendizaje en matemáticas. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 84, 40-44.

El problema de contar cubitos

Sun, 18 Nov 2018 00:00:00 +0000

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

La tarea

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque…¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con esta herramienta del NCTM, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización.

Vamos a contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.

Descargables

Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Una introducción a Desmos

Sat, 13 Oct 2018 00:00:00 +0000

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea. Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:

Una calculadora gráfica.
Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
Una calculadora científica.
Una herramienta de geometría dinámica.

Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas.

El mecanismo es similar al de otras aplicaciones, como Kahoot. Creamos un código de clase para la actividad y, a partir de ese momento, al docente le aparece un enlace en su lista de actividades para gestionar la misma a través de su dashboard. Este código es el que tienen que introducir los estudiantes en https://student.desmos.com, aunque también se genera un enlace que conduce directamente a la instancia de la actividad. Si los alumnos están registrados en Desmos, podrán volver a la sesión más adelante, pero no es un requisito.

En Las canicas, todo un manipulable virtual, los alumnos deben modificar la expresión de una recta, añadir otras rectas o definir restricciones a un nuevo dominio, de manera que consigan crear un circuito de canicas para que estas pasen por unos puntos predefinidos de antemano por medio de unas estrellitas. Realmente, se puede trabajar esta actividad con rectas o parábolas, ya que tenemos Marbleslides: Lines y Marbleslides: Parabolas y, en cualquier caso, el programa no restringe la función a utilizar.

Por ejemplo, en la Figura 2 basta con extender el dominio, definiendo la función para x<6 en lugar de para x<4, para que la fuerza de la gravedad haga su trabajo y la canica llegue a pasar por la estrellita que está en las cercanías del punto (10,1). Esta solución se muestra en la figura anterior, a la izquierda, y la expresión que hay que introducir es la siguiente:

$$y=-0.4x+6\left\{x<6\right\}$$

Sin embargo, otros alumnos podrían haber planteado:

$$y=-0.4x+6\left\{x<10\right\}$$

$$y=x-9$$

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

El escritorio del profesor (dashboard) ofrece información para gestionar el desarrollo de la secuencia. De esta manera, el profesor puede observar el avance de cada uno de los alumnos (o parejas, si lo estamos haciendo por pequeños grupos). Además, puede detener la actividad para las puestas en común o momentos de institucionalización.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

Al igual que las canicas,esta actividad forma parte del linear bundle, una secuencia más extensa sobre funciones lineales. Aquí se trata de encontrar la ecuación de la recta que representa la trayectoria óptima para el aterrizaje de un avión. Las primeras pantallas se dedican a explorar el entorno o implican cambiar únicamente algún parámetro, mientras que más adelante se ofrece menos guía al alumno y se plantean cuestiones para la reflexión.

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no.

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Esta actividad está inspirada en la madre de todos los recursos para el aprendizaje de las funciones. Bueno, puede que exagere. O no. Me estoy refiriendo al librito de Swan (1985) titulado The language of functions and graphs, del* *Shell Centre. Hay una versión traducida por Alayo (1990), *El lenguaje de funciones y gráficas, *publicada por el Ministerio de Educación que se puede descargar gratuitamente.

Si en el libro de Swan aparecen circuitos de carreras y otros ejemplos a los que hay que asociar o crear una gráfica, en este caso el valor añadido radica en que se trata de vídeos. Este hecho, junto con la posibilidad de ir representando gráficamente la función que describe cada situación según avanza el vídeo, aumenta el rango de contextos y situaciones que podemos utilizar en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Las tareas que contempla la secuencia, por otro lado, no se limitan a representar cada función, sino que antes de ello se incluyen preguntas para detenerse en las magnitudes involucradas, las unidades de medida apropiadas, etc.

Unos comentarios finales

Aunque el diseño de estas actividades está específicamente pensado para ser llevado a cabo en el aula con la guía del profesor, bien sea con portátiles, dispositivos móviles o en una sala de informática; también es posible asignar actividades de Desmos como tareas para casa. Esto es algo que tiene sentido, por ejemplo, con las actividades para practicar. Algo que solo hemos mencionado por encima es que Desmos permite que los usuarios (profesores) suban modificaciones a muchas de las actividades por defecto y otras nuevas. No resulta complicado modificar actividades ya existentes. Para ello, en la propia web hay bastante material de ayuda.

Dejamos para otra ocasión la experiencia de utilizar las funciones de edición avanzadas de Desmos. Al igual que hace Google con su Google Labs, al marcar las opciones de Desmos Labs accedemos a funcionalidades en estado beta que, en este caso, permiten crear tus propias Marbleslides, utilizar la herramienta de geometría en el constructor de actividades e, incluso, utilizar la capa de computación, con la que se puede utilizar un lenguaje de programación para diseñar actividades más sofisticadas.

Referencias

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

Introduciendo el modelado y la impresión 3D en el aprendizaje de matemáticas

Sat, 11 Aug 2018 00:00:00 +0000

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:

Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.

Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Otra actividad implementada por @crjaso, esta vez con un alumnos de 2º de ESO, fue la realización de un taller sobre los sólidos platónicos. Los objetivos eran conocer estos cuerpos y deducir cuáles son sus propiedades fundamentales, evitando la enseñanza de tipo memorística y ausente de significado. Las tareas que se plantearon utilizaron como recurso una impresora 3D y palos de brochetas. Los alumnos se organizaron en grupos de 3 o 4 integrantes, teniendo lugar la experiencia durante dos sesiones de clase de 50 minutos, incluyendo las siguientes tareas:

Tarea 1: fórmula de Euler para el cubo

A partir de la imagen mental, dibujos u objetos cotidianos.

Tarea 2: fórmula de Euler para el resto de sólidos platónicos

En este caso, a los alumnos con dificultades se les dejó un poliedro físico para facilitarles la comprobación.

Tarea 3: impresión de los vértices necesarios

Ahora los alumnos proceden a construir los poliedros correspondientes. Los vértices los tenía impresos el profesor de antemano, ya que es algo que puede consumir bastante tiempo. Lo interesante del modelo de vértice escogido (de W. Adams, disponibles en http://www.thingiverse.com/thing:9359 es que es un diseño paramétrico y, por tanto, permite adaptar el modelo al grosor del objeto que seleccionemos como arista (los palos de brocheta, en nuestro caso) posibilitando el hacer poliedros de gran tamaño.

Tarea 4: montaje de los poliedros

El uso de palos de brochetas como aristas conlleva una manipulación. Hay que cortarlas para que sean todas iguales y, pese a que al alumnado se le pidió que fuera riguroso, siempre hay alumnos que cuando pasan a la fase de montaje se dan cuenta que necesitan nuevas aristas de la longitud correcta.

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

*La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo. *

El mismo día de presentación de la actividad, se introdujo a los alumnos brevemente en el manejo de la aplicación online TinkerCad, y durante esa misma semana fueron entregando sus diseños.

Posteriormente, se les citó individualmente para hacerles una breve entrevista basada en las siguientes preguntas: ¿es este el dado que diseñaste? ¿te gusta cómo ha quedado? ¿lo usarías para jugar a algún juego de mesa? ¿cómo sabrías si es un buen dado? ¿hacemos la prueba? En la experiencia que realizamos se observó cómo, casi ninguno de ellos, intenta ni siquiera que las caras de los dados pesen lo mismo.

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Hemos esbozado diferentes opciones de introducir el modelado y la impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas. Los diferentes paquetes de software mencionados poseen características que complementan otros entornos de geometría dinámica, como Geogebra, que ya son habituales en las aulas, permitiendo articular álgebra y geometría y facilitando la manipulación y visualización de las piezas.

Por otro lado, el disponer de una impresora en el centro educativo abre las puertas a la introducción de la robótica. Si bien existen modelos de robots orientados al ámbito educativo, el abanico de posibilidades se extiende al poder diseñar piezas nuevas, modificar diseños existentes e imprimirlos directamente.

Referencias

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:

Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudioexploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras quela mía es el clon #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Elaboración de Indicadores Específicos de Idoneidad Didáctica en Probabilidad: Aplicación para la Reflexión sobre la Práctica Docente

Fri, 01 Jun 2018 00:00:00 +0000

Elaboration of Specific Didactical Suitability Criteria in Probability: Application for Reflection on the Teaching Practice

Abstract

This paper introduces the development of a didactic suitability assessment guide (DSAG) for probability studies in secondary education. The objective is to have an instrument that promotes teacher reflection about teaching and learning experiences within a specific content. The starting point which the research method takes is the systematic review of the didactic-mathematical knowledge of each of the facets in which an educational process is decomposed: epistemic-ecological, cognitive-affective, and instructional (interactional and use of technological means). Subsequently, the DSAG is applied to an educational experience with students of secondary education. The results of this application reveal this tool’s potential to streamline the reflection on the practice itself, to establish relationships between the different facets, and to identify possible improvements in the design in successive cycles.

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Godino, J. D., & Giacomone, B. (2018). Elaboración de Indicadores Específicos de Idoneidad Didáctica en Probabilidad: Aplicación para la Reflexión sobre la Práctica Docente. Bolema: Boletim de Educação Matemática, 32(61), 526-548. https://doi.org/10.1590/1980-4415v32n61a11

Alumnos como profesores: una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2018). Alumnos como profesores: Una experiencia sobre papiroflexia y lenguaje en matemáticas. Entorno Abierto, 21, 12-14.

Competencia de análisis epistémico de tareas de proporcionalidad de futuros profesores

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Burgos, M., Godino, J. D., Giacomone, B., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). Competencia de análisis epistémico de tareas de proporcionalidad de futuros profesores. ALME Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 31(1), 706-713.

Construcciones en blocksCAD para analizar el conocimiento en geometría

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Desarrollo de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica en futuros profesores de matemáticas | Developing the prospective mathematics teachers' didactical suitability analysis competence

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Developing the prospective mathematics teachers’ didactical suitability analysis competence

Abstract

In this article we describe analyse and evaluate the implementation of an educational design to develop the prospective mathematics teacher’s didactical analysis and reflection competence. Planning of the experience, its implementation, and evaluation are based on the application of theoretical tools of the onto-semiotic approach. In several studies supported within this theoretical framework, the notion of didactical suitability as a tool of reflection on a study process has been developed and applied. In this sense, the main objective of the learning processes described here is that prospective teachers know and be competent in the application of this tool. The research scenario is a Master course for Secondary education mathematics teachers in which 27 students participated. The information gathered is based on the analysis of: observer-researcher and teacher-researcher’s annotations on the debate in the classroom, audio recordings and the participants’ responses throughout the design cycle. The a priori analysis of the educational situation reveals a high epistemic and ecological suitability; nevertheless, time constraints have conditioned an adequate learning achievement. Finally, the analysis of class episodes, using the tools described in this article, is revealed as an ideal educational strategy, but it should be complemented with situations focused on the development of other didactical competencies.

Cítese como:

Giacomone, B., Godino, J. D., & Beltrán-Pellicer, P. (2018). Desarrollo de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica en futuros profesores de matemáticas | Developing the prospective mathematics teachers’ didactical suitability analysis competence. Educação e Pesquisa, 44, 1-21. https://doi.org/10.1590/s1678-4634201844172011

Do high school students understand the sampling distribution of a proportion?

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Gea, M. M., Batanero, C.,& Beltrán-Pellicer, P. (2018). Do high school students understand the sampling distribution of a proportion? En M. A. Sorto, A. White, & L. Guyot (Eds.), Looking back, looking forward. Proceedings of the Tenth International Conference on Teaching Statistics (ICOTS10, July, 2018), Kyoto, Japan. Voorburg, The Netherlands: International Statistical Institute.

Movies and TV series fragments in mathematics : Epistemic suitability of instructional designs

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., Medina, A., & Quero, M. (2018). Movies and TV series fragments in mathematics: Epistemic suitability of instructional designs. International Journal of Innovation in Science and Mathematics Education, 26(1), 16-26.

Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: el caso de las matemáticas

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics

Abstract

The vast number of online educational videos available at the moment has generated an emerging area of research concerning their level of suitability. This study considers the epistemic quality of educational videos on mathematics, focusing on the specific content of directly proportional distributions. A qualitative study is used, based on the application of theoretical and methodological tools from the onto-semiotic approach to knowledge and mathematics instruction, principally the notion of epistemic suitability and the identification of algebraic levels. The sample consists of the 31 most popular videos in Spanish on YouTube ™ on directly proportional distributions. Analysis reveals interesting results on these kinds of resources. In general, it is observed that they are weak in epistemic suitability, which does not seem to affect their level of popularity. Moreover, the existence of videos with inaccurate arguments or incorrect procedures, together with the diversity of algebraic levels used, indicates that teachers should be careful when selecting them and only recommend those that better suit their students’ needs.

Cítese como:

Beltran-Pellicer, P., Giacomone, B., & Burgos, M. (2018). Online educational videos according to specific didactics: The case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: El caso de las matemáticas. Cultura y Educacion, 30(4), 633-662. https://doi.org/10.1080/11356405.2018.1524651

Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks | Conocimientos y competencia de futuros profesores de matemáticas en tareas de proporcionalidad

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Artículo en inglés y en español

Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks

Abstract

This paper describes the design and implementation of a training process about proportional reasoning with students of a Master’s Degree in Secondary Education in Spain. The main objective of the experiment is to explore their initial knowledge and to evaluate how competent the participants on analysing relevant aspects of the epistemic facet of the didactic-mathematical knowledge, which are concretized in the recognition of algebrization levels through different solutions to proportionality problems, are. The participants in the experience have been 33 students, with diverse background education profiles, of the course Initiation to the Teaching Innovation and Investigation in Mathematics Education. Among the results, we highlight the students’ limitations and difficulties to identify propositions and procedures and their related arguments. Likewise, the assignment of algebrization levels has also been a complex and difficult task for the participants. Besides, some students have shown deficiencies in the common knowledge of proportionality, which serves as a basis for the didactic-mathematical knowledge of the content. It is concluded that an improvement of the results requires, among other actions, to increase the time allocated to the formative intervention, which will allow extending the number and variety of situations-problems posed, their solutions and discussions.

Cítese como:

Burgos, M., Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Godino, J. D. (2018). Prospective mathematics teachers’ knowledge and competence analysing proportionality tasks | Conocimientos y competencia de futuros profesores de matemáticas en tareas de proporcionalidad. Educação e Pesquisa, 44, 1-22. https://doi.org/10.1590/s1678-4634201844182013

Technological Tools in the Training of Teachers: an Experience in the Topic of Correlation and Regression

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Cítese como:

Un calendario con forma de dodecaedro rómbico

Tue, 19 Dec 2017 00:00:00 +0000

Vamos a dejar aquí un regalo para el nuevo año. Se trata de un calendario que se construye con los módulos rómbicos de Nick Robinson. Como en todo buen diseño de papiroflexia modular, no hace falta pegamento ni nada. Y además, existe una web con un formulario maravilloso para poder generar el calendario y personalizar cosas como el idioma, el día de comienzo de la semana (hay gente por el mundo que empieza la semana en domingo…). Lo que devuelve es un fichero ps, pero se convierte fácilmente a pdf. Se trata de un uno de los sólidos de Catalan y tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos, al igual que los hexágonos teselan el plano.

Las instrucciones de los módulos son de Nick Robinson y se pueden descargar en su web o aquí o aquí (fuente: creased.com).
El formulario para generar los calendarios está en toddsplace. A día de 10 de diciembre de 2025 está caído, pero…
Dejo un ejemplo de 2025 listo para imprimir que he conseguido descargar: dos meses por hoja

En el Centro Diffusione Origami (Associazione italiana sull’arte di piegare la carta) tienen una página dedicada a calendarios con plantillas para este y otros modelos (algunas en español y otros idiomas, algunas solo en italiano)

Para nostálgicos:

2024 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2023 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2022 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2021 (tamaño A4, sin color): dos meses por hoja, A4 o cuatro meses por hoja, A4.
2020 (tamaño A4): blanco.
2019 (tamaño A4): blanco, azul.
2018 (tamaño A4): azul, blanco, verde, plata, otro verde.

Como hemos dicho, lo que devuelve es un archivo .ps (postscript), que se puede convertir a pdf en ps2pdf.com.

En pleno proceso de preparación.

Ya que estamos en un blog de educación matemática, añadimos aquí alguna sugerencia para trabajarlo en clase de matemáticas, porque se pueden abordar diferentes niveles y contenidos:

Trabajar sobre el lenguaje. Punto, recta, bisectriz, paralela, punto medio, etc.
Deducir los ángulos que se forman en el módulo plano.
Deducir los anguloides que se forman cuando se ensamblan los módulos.
Calcular las dimensiones necesarias del papel original para que el dodecaedro ensamblado tenga una altura determinada.

Primer calendario de estos que monté, en papel «piel de elefante».

Para que se vea que no resulta excesivamente complicado, aquí van unas fotos de un niño de 6 años realizando los pliegues pertinentes:

Un ticket de la compra de un día cualquiera

Tue, 26 Sep 2017 00:00:00 +0000

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento. Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto… es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:

¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Examen de cuaderno

Sat, 23 Sep 2017 00:00:00 +0000

(Actualizado el 5 de mayo de 2020)

¿Qué es esto del examen de cuaderno?

Vaya por delante que la idea del examen de cuaderno no es mía. Me la contaron hace dos o tres años y enseguida me pareció fantástica, del tipo “vaya genio el que ha pensado en esto”. Hoy me ha dado por buscar en Internet y solamente he visto este artículo del blog de Mª Amparo Zapata. Así que voy a escribir una pequeña entrada para compartir mi experiencia con esta herramienta de evaluación, que se adapta muy bien a las circunstancias habituales de matemáticas.

Un examen de cuaderno es, simplemente, una prueba escrita que se realiza con el cuaderno personal encima de la mesa y cuyas preguntas van sobre lo que debería haber quedado reflejado en dicho cuaderno. Desde el punto de vista del profesor, hacer un examen de cuaderno por evaluación evita:

Tener que recoger los cuadernos de los alumnos (incluso hacer muestreos) y evaluarlos.
La subjetividad inherente al procedimiento del punto anterior.

Y en los alumnos se fomenta, entre otras cosas:

El trabajo autónomo y la responsabilidad de recoger en el cuaderno las tareas y lo que se vaya haciendo en clase.
En cierto modo, la creatividad, pues el modo de organizarlo no depende ya de lo que pueda gustarle o no al profesor.

¿Que podemos preguntar?

Para comprender el propósito de alguna de las siguientes preguntas, hay que tener en cuenta, por ejemplo, que yo, por regla general, prohíbo que mis alumnos copien literalmente el enunciado de un problema. Pienso que se pierde un tiempo precioso en el proceso de transcribir lo que está en el libro, en la pizarra, el proyector, etc. al cuaderno. En su lugar, mis alumnos pueden resumir o expresar con otras palabras dicho enunciado, algo que sí que les fuerza a pensar lo que están leyendo. Pero de eso ya hablaremos en otro artículo. Aquí la idea, simplemente, es que las preguntas se puedan responder con un buen cuaderno, entendiendo por buen cuaderno aquel que recoge lo que se ha hecho en clase.

Dependiendo del enfoque que asuma el profesor, las preguntas pueden ser muy diversas:

Desde preguntas que buscan comprobar la organización sin más:

¿Cuál es el resultado del problema 7 de la ficha n (o de la página m del libro) ?
¿En qué consistía el primer problema que hicimos el día 8 de octubre, cuando comenzamos la unidad de fracciones?

Hasta preguntas que, pudiéndose hacer en ese momento, mucho mejor si tienes el cuaderno, porque se han hecho antes.

Escribe los números primos hasta el 100.

En fin, es preguntar sobre tareas vistas en clase o muy similares. Sobre las preguntas más teóricas, si las hubiera, se podrá decir: ¿y si las saben sin mirar el cuaderno? Pues oye, mejor. El caso es que habrá que estar atentos para ver qué pasa con el alumno no se la sabe ni se la ha apuntado. Y si no se la sabe y simplemente copia lo que hay en el cuaderno… para eso están el resto de herramientas de evaluación. Un examen de cuaderno es lo que es, no otra cosa. Y es algo que puede adaptarse prácticamente a cualquier tipo de práctica docente.

Preguntas que pongo yo

Si bien comencé en el curso 2015/16 incluyendo la fecha para alguna de las preguntas, a modo de orientación, pues siempre podían resolverse sin haberla apuntado, he ido cambiando el tipo de preguntas. Actualmente, en el curso 2019/20, ya solo planteo estas dos clases de preguntas, con un claro predominio por las primeras:

Problemas que se han hecho en tiempo de clase. Es sorprendente la cantidad de alumnos que no consiguen el mínimo en esta parte. Y aquí está lo mejor, porque les hace conscientes de la importancia de anotar todo lo importante que ocurre en clase. Lo necesario. Sus reflexiones.
Problemas muy similares a los realizados en tiempo de clase. Y cuando digo muy similares, es que son muy similares. Básicamente, cambiar algún número. Estamos en las mismas de antes, si el cuaderno les ha servido para aprender, con esto no deberían tener problemas, valga la redundancia.

Aspectos a tener en cuenta

La utilización de cuadernos con portada no separable y hojas no intercambiables es algo altamente recomendado. El espiral de toda la vida sirve. Si no hacemos esto, se fomentará la creación de un imperio (comercial o solidario) de cuadernos entre los grupos del mismo nivel. Así que el cuaderno con hojas atadas y con el nombre bien claro en la portada, sin pegatina de por medio. Puede parecer tiquismiquis, pero la alternativa es marcar todas las hojas.
El factor sorpresa puede ser un aliciente para mantenerlo al día y evitar que los alumnos se copien el cuaderno entre sí justo el día de antes. Podemos hacer un examen de cuaderno pronto, digamos a las dos semanas de haber empezado el curso, para que los alumnos ven en qué consiste y, posteriormente, espaciarlos más.

(Foto de cuaderno de Lauren Manning CC BY 2.0)

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Sat, 09 Sep 2017 00:00:00 +0000

Este año 2017, la revista Making Of: Cuadernos de cine y educación dedicó el número 124-125 a la utilización del cine como recurso en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y pude colaborar con un artículo con una justificación de la utilización de este recurso. Así que, junto a los ya clásicos en esto del cine y las matemáticas José Mª Sorando, Alfonso J. Población (ver su reseña de este monográfico en DivulgaMat), Angel Requena y Abel y Marta Martín y otros apasionados de esto como Juan M. Sepulcre, Eva Mª Perdiguero y Jorge García escribí sobre la película Cielo de octubre, en clave didáctica.

El simple hecho de que una revista dedique un especial a la relación del cine con las matemáticas, ya es un indicativo de que no se trata de algo anecdótico. Existen multitud de referencias matemáticas, tanto en largometrajes como series de ficción, que conforman un recurso didáctico muy fácil de utilizar por el profesorado, al requerir únicamente de un PC y un proyector en el aula. Ahora bien, lo que justifica el empleo de este recurso, más allá de esta disponibilidad y facilidad de uso, es la riqueza en objetos matemáticos y de representaciones que ofrecen este tipo de fragmentos audiovisuales. El lenguaje cinematográfico articula estos objetos, en el seno del contexto introducido por la narración, y sienta las bases para efectuar propuestas didácticas que permiten un aprendizaje significativo.

En el artículo describo tres fragmentos de la película de una duración de no más de dos minutos, junto con los que propongo una serie de cuestiones sobre lenguaje algebraico, estimaciones, conversión de unidades, expresiones polinómicas y ecuaciones de segundo grado, para un nivel de 2º de ESO. En realidad, las actividades, muy directas a partir de los fragmentos, son una excusa para su análisis.

Realmente, Cielo de Octubre (Joe Johnston, 1999) es una vieja conocida en esto del cine y las matemática. No en vano, José Mª Sorando le dedica ya una de sus entradas en el maravilloso sitio Matemáticas en tu mundo. En la película se narra cómo Homer, un estudiante de un instituto de un pueblo minero de EE.UU., tras ver cruzar el cielo al Sputnik en 1957, reúne a sus amigos para participar en una feria científica. Es la única opción que tienen para conseguir una beca e ir a la universidad, ya que no son muy buenos en el aspecto deportivo, cauce usual para conseguir una de tales ayudas. El proyecto que eligen es la construcción de cohetes, para lo que necesitan documentarse, conseguir material y montar una base de lanzamiento en un lugar retirado.

En el primer fragmento, se observa la base de lanzamiento, desde la cual los estudiantes realizan las pruebas con los cohetes. Así mismo, se pone de manifiesto la expectación que crean en el pueblo, ya que se concentran muchas personas para asistir a uno de esos lanzamientos. Más adelante, se les acusa de que haber causado un incendio, al no poder explicar la localización de uno de sus cohetes. Homer, junto con uno de sus compañeros, se esfuerza en calcular dónde pudo caer dicho cohete (segundo fragmento). Previamente, en la película se observa cómo debe estudiar matemáticas para llegar a tales conclusiones. Un detalle interesante, que se aprecia en el fotograma, es que los papeles muestran esbozos de lo que parecen trayectorias parabólicas.

En el tercer y último fragmento, el protagonista principal, Homer, que había dejado el instituto para trabajar en la mina, debido a la acusación anterior, vuelve al aula para demostrar que no pudo ser su cohete el causante del incendio. Es entonces cuando se produce un conflicto, al entrar el director del instituto (Sr. Turner) en el aula y exigirle explicaciones.

HOMER: Aquel incendio fue a 5 km de nuestra rampa de lanzamiento y en aquella época nuestro máximo alcance era de 1,9 km, que es exactamente donde hemos encontrado este cohete. Verá, Sr. Turner, aquel cohete cayó durante unos 14 segundos, lo que significa que llegó a una altura de 900 m, según la ecuación de S =1/2 at2, siendo S la distancia, a la constante de gravedad y t el tiempo que tardó el cohete en volver al suelo. ¿Me sigue usted, Sr. Turner?

A lo largo de los fragmentos, se parte de una situación-problema -la pérdida de un cohete amateur- que ha de resolverse por medio de las matemáticas. En la secuencia fílmica no se observa todo el proceso, pero sí que se muestran diversas representaciones de expresiones algebraicas de segundo grado (la ecuación, la curva gráfica, los argumentos en torno al lanzamiento), articuladas gracias a la narrativa. A partir de este material cinematográfico, estático (no interactivo), es el docente el que ha de diseñar y proponer las situaciones de aprendizaje oportunas para trabajar sobre esos objetos y esas representaciones. Ya no se trata de una situación con un contexto pobre, o incluso sin contexto, como las que suelen aparecer en los libros de texto, sino que la base proporcionada por los fragmentos permite engarzar las diferentes representaciones de uno o varios objetos matemáticos.

Dentro del universo de referencias matemáticas en películas y series de ficción, existen multitud de fragmentos que, sin proporcionar tanta riqueza en términos de representaciones de objetos matemáticos, siguen siendo adecuados para el aula. Bien sea porque permiten plantear actividades que consumen poco tiempo lectivo, porque tratan precisamente sobre un aspecto que complementa lo ya tratado en clase, o porque dan pie a realizar un acercamiento diferente.

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65*.*

Una interesante actividad sobre probabilidad (y geometría) con la impresora 3D

Sun, 16 Jul 2017 00:00:00 +0000

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade 0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación, os explico cómo hacerlo.

Consideraciones en el diseño de dados

El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse. Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

Errores de los alumnos

Los errores de diseño que se identifican en los diseños de los alumnos, y que se prueban experimentando, son los siguientes:

Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras.

Para saber más

Todo esto se explica con detalle en: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad.Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Criterios de idoneidad didáctica para el estudio de la proporcionalidad en educación primaria y secundaria

Sat, 01 Jul 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Aroza, C. J., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Criterios de idoneidad didáctica para el estudio de la proporcionalidad en educación primaria y secundaria. Libro de actas de VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática – CIBEM (pp. 141-149). Madrid: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Meaning of sampling for secondary school students

Sat, 01 Jul 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Gea, M.M., Batanero, C., & Beltrán-Pellicer, P. (2017). Meaning of sampling for secondary school students. ICERI2017 Proceedings, 1430-1435. doi: 10.21125/iceri.2017.0456

Las tijeras, un gran recurso en geometría

Wed, 14 Jun 2017 00:00:00 +0000

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente ( sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m2 necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:

$$6 \times 4,5 \times 2,50$$

Lo cual es un volumen, expresado en m3, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

Vamos a clase con una caja de galletas, o de lo que sea, vacía. Y con unas tijeras. De hecho, lo mejor es planificar la actividad y pedir que cada alumno (o grupo de alumnos) traiga una caja y tijeras. Una sugerencia de secuencia podría ser la siguiente:

Antes de romperla, medir cada una de las aristas y calcular el volumen. Anotarlo en el cuaderno.
Antes de romperla, tratar de dibujar en el cuaderno cómo quedaría “desplegada”, de forma que pudiera plegarse de nuevo para formar la caja. Anotar las longitudes de las aristas y calcular el área de esa figura.
Romper la caja, cortando por las aristas que se quiera, pero de forma que quede “desplegada”. Estudiar la relación entre los rectángulos (caras) del cartón y los que se han dibujado en el cuaderno y calcular el área del cartón.
Comprobar si el área calculada antes de romper la caja coincide. Si no es así, ¿en dónde hemos cometido algún error?

En cualquier caso, es buena idea que el profesor repita la actividad en otro momento si detecta que sigue produciéndose esta confusión.

Aplicación de indicadores de idoneidad afectiva en un proceso de enseñanza de probabilidad en educación secundaria

Thu, 01 Jun 2017 00:00:00 +0000

Applying affective suitability indicators to a teaching process on probability in secondary education

Abstract

Teacher reflection is a key instrument for educational innovation. This paper describes and analyses a reflective experience on the affective suitability of a probability study process in secondary education. The objective of the research is to show the application of affective suitability indicators within a teaching experience, and how they are used to guide the teacher reflection and to identify improvements and to explain didactical phenomena. The methodology is qualitative, descriptive and interpretative, based on the application of affective suitability indicators to evaluate the level of adequacy to the context conditions and to identify significant didactical facts. The result is an application guide of affective suitability indicators to a study process of probability. Finally, after establishing the improvements to be implemented, the conclusions show the pertinence of this kind of reflective analysis as an instrument for teacher innovation.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017). Aplicación de indicadores de idoneidad afectiva en un proceso de enseñanza de probabilidad en educación secundaria. Perspectiva Educacional, 56(2), 92-116. https://doi.org/10.4151/07189729-Vol.56-Iss.2-Art.559

Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre

Mon, 01 May 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre. Making Of: Cuadernos de Cine y Educación, 124-125, 59-65.

Errores y sesgos de razonamiento en probabilidad

Mon, 13 Mar 2017 00:00:00 +0000

Es curioso cómo la probabilidad sigue siendo una rama de las matemáticas relegada al último tema del curso. Con suerte, porque si el calendario apremia, es lo primero que se descarta, como si fuera algo sencillo o poco útil. Y resulta que ni lo uno ni lo otro, pero esta forma de tratar a la probabilidad y la estadística desde las instituciones fomenta el asentamiento de una serie de concepciones erróneas. Y dichas concepciones son el origen de no pocas dificultades cuando nuestros estudiantes han de vérselas con situaciones en donde la probabilidad tiene algo que decir. Por ejemplo, en la toma de decisiones en contextos de riesgo o cuando se trata de continuar la formación en algunas disciplinas de conocimiento (matemáticas, ciencias de la salud, ciencias de la educación, ingeniería, etc.).

Vamos a dejar de lado la organización del currículo, para centrarnos en tratar aquí los sesgos y errores de razonamiento más comunes.

Heurística de la representatividad

Cuando alguien evalúa la probabilidad de un suceso exclusivamente a partir de su representatividad en la población de origen, está llevando a cabo un razonamiento heurístico, poco riguroso y que conduce a error. Es decir, no tiene en cuenta que el muestreo de la población presenta una variabilidad, que además depende del tamaño de la muestra. Las personas que razonan de este modo generalizan los resultados de muestras pequeñas al total de la población, o ven relaciones causales donde no tiene por qué haberlas.

###Sesgo de insensibilidad al tamaño de la muestra***

Este sesgo se aprecia en educación secundaria cuando, ante una situación en la que se estima de forma frecuencial una probabilidad (por ejemplo, probabilidad de obtener cara y cara en el lanzamiento simultáneo de dos monedas) no se tiene en cuenta el número de repeticiones del experimento. De hecho, incluso si los alumnos son conocedores del espacio muestral y de las probabilidades de cada suceso elemental, muestran sorpresa si la tasa obtenida no es la esperada (en el ejemplo, aparecerá p=1/4, sí, pero solo podremos asegurarlo con un N lo suficientemente grande).
Esto es debido a que, con los estadísticos habituales, la esperanza del estadístico muestral es la misma, sea cual sea el tamaño de la muestra, mientras que su varianza sí que depende de ello.

Concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias

Dentro de la heurística de la representatividad, nos encontramos con diversas concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias, ya que muchas personas consideran que una muestra, del tamaño que sea, ha de presentar las mismas características que la población de origen. Es común pensar que participaciones de lotería con secuencias de números “ordenadas”, como 11111 o 12345 son más difíciles de resultar premiadas, cuando la realidad es que su probabilidad es la misma que de cualquier otra combinación. Es el mismo sesgo que lleva a un apostador, que lleva una mala racha, a apostar una vez más porque cree que su suerte tiene que cambiar, que ya toca. Esto último se conoce como falacia del jugador.

Sesgo de equiprobabilidad

Es la creencia en que todos los sucesos de un experimento aleatorio presentan la misma probabilidad, sin tener en cuenta que puedan tratarse de sucesos compuestos o exista alguna asimetría, de carácter geométrico u otro, en la asignación de las probabilidades. Este sesgo se pone de manifiesto fácilmente, ante la pregunta de si es más probable obtener dos cincos o un cinco y un seis en el lanzamiento simultáneo de dos dados. Muchas personan optan por afirmar que sí. Es decir, no tienen en cuenta la descomposición del espacio muestral y la correcta asignación de probabilidades. La combinación formada por un cinco y un seis se puede obtener de dos formas distintas, mientras que el doble cinco solo de una.

Enfoque en el resultado aislado

Ante la pregunta explícita por la probabilidad de un suceso, hay personas que interpretan que tienen que predecir si el suceso en cuestión ocurrirá. Más que de un fallo de razonamiento, se trata de una ausencia de razonamiento probabilístico. Así, estas personas calificarán como seguros sucesos cuya probabilidad se acerque a 1. Por otro lado, los sucesos con probabilidad casi nula serán imposibles para ellos. Tienden a clasificar como aleatorios sucesos con probabilidades en torno a 0,5.

Por ejemplo, al interpretar una predicción meteorológica en la que se dan unas probabilidades de lluvia de un 70%, muchos sujetos indican que lloverá el día en cuestión. Si el día en cuestión no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones. Si llueve un 70% de días para los que se pronosticó un 70% de probabilidades de lluvia, pensarán que el meteorólogo es poco fiable.
Los estudiantes con este sesgo muestran verdaderas dificultades para asimilar la noción frecuentista de la probabilidad, pues no comprenden que cada resultado de un experimento aleatorio puede, y debe, estudiarse en el contexto del conjunto de repeticiones

Para saber más

Batanero, C., Chernoff, E. J., Engel, J., Lee, H. S., & Sánchez, E. (2016). Research on Teaching and Learning Probability. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Springer Netherlands.

Konold, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs About Probability. En E. von Glasersfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 139-156). Dordrecht: Kluwer.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive models and problem spaces in «purely random» situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Serrano, L., Batanero, C., & Ortiz de Haro, J. J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22, 43–50.

Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science, 185(4157), 1124-1131.

Créditos de imágenes:
Dice, por Steve Johnson.
Poker! por Viri G.
Portland Rain, por Gsloan

Circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro de un triángulo con Geogebra

Thu, 09 Mar 2017 00:00:00 +0000

Inauguramos una sección con construcciones geométricas en Geogebra. Aunque lo realmente interesante de esta herramienta, desde el punto de vista de la didáctica, sea el que los estudiantes la manejen para elaborar sus propias escenas, también resulta conveniente disponer de construcciones ya hechas. Así, se pueden emplear para explicar algo sobre ellas en el aula o manipularlas para sacar alguna conclusión.

En este post dejamos el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro de un triángulo y un montón de gifs. Sí, desde Geogebra… ¡se pueden exportar gifs!

Circuncentro de un triángulo

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Se define como el punto de corte de las mediatrices; es decir, de las rectas perpendiculares a cada lado por sus puntos medios. Es el centro de la circunferencia en la que se inscribe el triángulo.

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Baricentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las medianas. Recordemos que la mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Es el centro de masas del triángulo.

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Ortocentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las alturas de un triángulo; es decir, de las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto.
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Incentro de un triángulo

Se define como el punto de corte de las bisectrices; es decir, de las rectas que dividen cada ángulo en dos ángulos iguales. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (interior y tangente a los lados).

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Charla sobre Vitalinux y software libre en las JEMA

Fri, 03 Feb 2017 00:00:00 +0000

Nuestra pequeña aportación a la Segunda Jornada de Educación Matemática de Aragón ha sido una ensalada-presentación sobre software libre, que se puede descargar aquí. Han sido muchas las aplicaciones que teníamos que nombrar, así que no hemos podido detenernos en todas las posibilidades didácticas que ofrece cada una. ¡Y seguramente nos habremos dejado alguna! Habiendo aplicaciones libres para prácticamente cualquier cosa, la idea es buscar qué matemáticas queremos que aprendan nuestros alumnos. Así, ya habéis visto lo que nos gusta el modelado y la impresión 3D. Bueno, y mención aparte merece el proyecto Vitalinux, punta de lanza del software libre en los centros de Aragón.

Un saludo y hasta la próxima.

Perspectiva en la pintura y matemáticas I: Prehistoria y Antigüedad

Thu, 19 Jan 2017 00:00:00 +0000

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente. Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

En el Antiguo Egipto no mejoraron mucho las cosas. Es clásica la representación de las figuras en perfil absoluto, de manera que tanto personas como animales parecen adoptar posturas algo forzadas. Eso sí, algo se ganó en colorido.

Para saber más

Ruiz Redondo, A. (2010). La representación de la tercera dimensión en el arte paleolítico cantábrico: análisis de la perspectiva de las figuras zoomorfas.

Comprensión del enfoque frecuencial de la probabilidad por estudiantes de educación secundaria obligatoria

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

Cítese como:

Begué, N., Batanero, C., Gea, M.M., & Beltrán-Pellicer, P. (2017). Comprensión del enfoque frecuencial de la probabilidad por estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria. En J.M. Muñoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo, & J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 137-146). Zaragoza: SEIEM.

Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad

Sun, 01 Jan 2017 00:00:00 +0000

3D modelling and printing as a didactic tool in probability learning

Abstract

We introduce a pilot experience in the beginning of secondary education about the teaching and learning of probabilistic concepts, where students design some dice, then print them in 3D printing and finally study their fairness. The experience is related to the frequentist meaning of probability, and help students to relate it to the classic or a priori meaning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Sólidos platónicos en la impresora 3D

Tue, 27 Dec 2016 00:00:00 +0000

Recientemente, para seguir enriqueciendo mi colección de trastos del profesor de matemáticas, me he imprimido un set de sólidos platónicos. A los alumnos siempre les ayuda el poder tenerlos entre las manos y darles vueltas para contar caras, vértices y aristas.

En Thingiverse hay un montón de diseños. He optado por uno normalito, imprimiéndolos en PLA azul con un relleno del 5%, más que suficiente.

Ya en el aula, el tenerlos permite trabajar algo de vocabulario, descubrir la fórmula de Euler para poliedros y plantear situaciones con un soporte manipulativo.

Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2016). Articulación de los significados frecuencial y clásico de la probabilidad mediante el diseño y la impresión 3D. Comunicación en el grupo de trabajo de Estadística y Probabilidad en el XX Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).

Evaluación de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza de azar y probabilidad en tercer curso de ESO

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Incorporando el plano afectivo en el aula de Matemáticas

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Cárdenas Lizarazo, J. A. (2016). Incorporando el plano afectivo en el aula de Matemáticas. Actas del XVI Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, pp. 264-272. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales: Jerez, España.

Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad

Fri, 01 Jan 2016 00:00:00 +0000

Introducing educational innovation and research through the analysis of the didactical suitability for a teaching experience about proportionality

Abstract

Well-founded innovation in teaching and learning processes requires some skills from the teacher, such as a reflective attitude and a competence in systematic inquiring into his own practice. Developing this kind of competence should be an objective in initial teacher education. This article describes the inquiring and reflecting process into a teaching experience carried out within the practical phase of the initial teacher education master, Mathematics speciality in secondary education. Reflection is done applying the notion of didactic suitability to a teaching and learning process about proportionality and percentages, implemented in a first course of secondary education (12-13 years-old). The assessment of the didactic suitability, and the resulting identification of well-founded change proposals, oriented towards a redesign of the experience, require to review and to synthesise the didactic-mathematic knowledge coming from research and innovation in the teaching and learning of proportionality. The analysis of this knowledge leads to specific suitability criteria for the considered field. It is concluded that the implementation of didactic suitability criteria helps to systematize the didactic knowledge and supports its application to the reflection and the progressive improvement of the teaching practice.

Cítese como:

Aroza, C. J., Godino, J. D., & Beltrán-Pellicer, P. (2016). Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad. AIRES, 6(1), 1-29.

Primeros pasos en Edmodo

Sat, 31 Oct 2015 00:00:00 +0000

Dejo en el blog un mini tutorial que viene a describir qué se puede hacer con Edmodo y cómo crear nuestro primer grupo. Un grupo viene a ser el equivalente a una clase de alumnos. Os recuerdo que si queréis usar Edmodo con vuestros alumnos, hace poco subí al blog un modelo de carta de autorización.

Modelo de carta de autorización para emplear Edmodo

Thu, 08 Oct 2015 00:00:00 +0000

Es principio de curso y nos planteamos utilizar Edmodo como apoyo al aprendizaje presencial del aula. Muy buena idea, pero antes debemos tener en cuenta ciertos aspectos legales.

Porque aunque sea una plataforma estrictamente educativa y a pesar de que no haga ni falta introducir una dirección de correo electrónico, debemos contar con la autorización de los padres si nuestros alumnos son menores de cierta edad.

Debemos atenernos a dos marcos legislativos, como bien indica J.J. de Haro, y que ahora vamos a resumir teniendo en mente la utilización de Edmodo:

Por un lado, tenemos los términos del servicio. Edmodo indica que es necesario contar con el consentimiento de los padres o tutores legales de los menores de 13 años de edad para utilizar el servicio. De lo contrario, si advierten que un menor está usando la plataforma sin ese consentimiento, proceden a borrar los datos.
Por otro lado está la legislación española, en la forma del REAL DECRETO 1720/2007, de 21 de diciembre y la Ley de la Propiedad Intelectual. El RD 1720/2007 nos dice que los datos personales de los alumnos de 14 o más años pueden ser gestionados por ellos mismos. Sin embargo, la publicación de trabajos por parte de los alumnos, se atiene a la Ley de Propiedad Intelectual, que no especifica una edad concreta, siendo por tanto necesaria la autorización de los padres si el alumno es menor de 18 años. Como Edmodo es una red privada y la exposición de trabajos en su seno es similar a colgar murales en clase o en el centro educativo, en principio sólo sería obligado pedir autorización cuando los alumnos tuvieran menos de 14 años. Pero si te quieres curar en salud, es recomendable pedirla también para menores de 18 años.

En resumen, que para utilizar Edmodo con nuestros alumnos en España:

Obligatorio pedir autorización si son menores de 14 años.
Recomendable si son menores de 18 años.

Este es el modelo de carta que utilizo y que dejo aquí para que el que quiera lo use y modifique como crea oportuno:

MODELO DE CARTA

Para saber más:

¿De dónde sale el número e?

Fri, 24 Apr 2015 00:00:00 +0000

Cualquier matemático te dirá que sale hasta en la sopa. Y es verdad, hay varios caminos que apuntan hacia ese número llamado e. Sin embargo, aquí nos vamos a centrar en uno que puede seguirse sin problemas en una clase de secundaria donde, quizá en el último curso, aparezcan los logaritmos por primera vez.
Pensemos que ingresamos 1 euro en el banco. Pero no en un banco cualquiera, sino en uno que me da el 100% de interés anual. Vamos, que al final del año voy a tener:
\[1+1=2 \]
Ahora, voy a sacar el dinero a mitad de año, cobrando los intereses correspondientes a ese medio año:
\[1+\cfrac{1}{2}\cdot 1 = 1,5 €\]
Y lo vuelvo a ingresar, obteniendo:
\[\left(1+\cfrac{1}{2}\right)+\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{1}{2}\right) = \left(1+\cfrac{1}{2}\right)^2 = 2,25 €\]
¡Anda! ¡Esto es todavía mejor! ¿Y si saco el dinero todos los meses, cobrando los intereses y volviendo a ingresar el monto total? Entonces, el dinero que obtengo al final de año es:
\[ \left(1+\cfrac{1}{12}\right)^{12}=2,613 € \]
Aquí hay gato encerrado, yo esperaba cobrar más. ¡Espera! ¡Ya sé lo que tengo que hacer! Voy a sacar el dinero todos los días:
\[ \left(1+\cfrac{1}{365}\right)^{365}=2,71456748 €\]
Pues creo que no compensa el esfuerzo. No voy a pasar de 3 €. En realidad, si fuésemos capaces de hacer infinitos reingresos, tendríamos:
\[ \left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995\ldots\]
Número que se puede demostrar que tiene infinitos decimales no periódicos y que, por lo tanto, es irracional. Pero es tan real como el 0, el 1, o su amigo $$\pi$$.

Referencias

La foto de las monedas es de Jason Rogers y se puede descargar de aquí.

Los 5+1 mandamientos de las ecuaciones

Wed, 15 Apr 2015 00:00:00 +0000

La enseñanza de la resolución de ecuaciones de primer grado y una sola incógnita puede enfocarse de diferentes maneras. Por ejemplo, al principio pueden señalarse las diferencias entre lo que es una igualdad y lo que es una ecuación. Después, en qué consiste solucionar una ecuación. Y, finalmente, puede introducirse la metáfora de la balanza algebraica para justificar cómo proceder para despejar la incógnita.

Ahora bien, una vez superadas la primeras tareas, llega la fase de operacionalización. Es decir, automatizar la resolución de ecuaciones, olvidarnos de la balanza. Se puede plantear como una especie de juego con unas reglas básicas, siempre teniendo en cuenta que se ha llegado a este punto a través de situaciones ricas. El objetivo de dicho juego es dejar la incógnita, la x, sola a uno de los lados. ¿Y cuáles son las reglas? La siguiente colección de memes nos los explica, son los 5+1 mandamientos de la resolución de ecuaciones:

Memes para tus alumnos

Fri, 13 Feb 2015 00:00:00 +0000

En primer lugar, ¿qué es un meme? Seguro que habrás visto unos cuantos, pues es algo muy de moda en redes sociales tipo Whatsapp, Twitter o Facebook. Lo que no es tan seguro, es que sepas que estas curiosas fotos que incluyen un breve comentario para transmitir una idea, concepto o gracia, se denominan memes.

Antes de que corras al diccionario de la RAE, ya te avisamos de que no hay entrada para meme. Aunque tiempo al tiempo. Si aceptaron cederrón en un calentón… cualquier cosa es posible. Donde sí nos explican qué es un meme, es en Wikipedia:

El término meme de Internet se usa para describir una idea, concepto, situación, expresión y/o pensamiento manifestado en cualquier tipo de medio virtual, cómic, vídeo, textos, imágenes y todo tipo de construcción multimedia y colectiva que se populariza a través de Internet.

*Y la razón de llamar meme a estas cosas, viene de un libro de R. Dawkins, quien nombra como meme a la unidad mínima de información que se puede transmitir.

A continuación verás unos ejemplos y, al final, te explicamos cómo puedes generar tus propios memes de una manera sencilla y rápida.

Utilización didáctica

Sí, amigos, podemos usar los memes con nuestros alumnos. Y de diversas maneras, como mostrar un concepto o motivar antes de los exámenes. Siempre adaptados a nuestro alumnado, claro. No es lo mismo un grupo de primaria que uno de secundaria, o de adultos. Aquí van algunos ejemplos:

*Un par de días antes de un examen sobre el aparato digestivo, *

las dudas nos corroen.

*Por mucho que recordemos la regla de los signos, siempre habrá alumnos que fallen. *

Este meme es una forma de recordarlo.

* La responsabilidad y saber que hay que estudiar es en sí mismo algo que se aprende. *

Este meme se lo dediqué a mis alumnos de secundaria para adultos.

¿Y cómo genero los memes?

Nada más sencillo. Internet pone a nuestra disposición multitud de recursos en este sentido. Pongamos como ejemplo:

http://www.memegen.es
Meme generator (aplicación Android)

La filosofía es la misma en ambos casos:

1- Tener un idea de lo que se quiere transmitir.
2- Elegir una imagen acorde con esa idea.
3- Escribir el texto. Cuanto más corto y directo, mejor.
4- Integrar texto e imagen, cosa que hacen automáticamente las dos herramientas que hemos enlazado antes.
5- Publicar o enviar dicha imagen.

Parece tonto decirlo, pero los dos primeros pasos son los más complicados. Hacer un buen meme requiere de una buena idea.

Así que adelante y a probar con ello.

Series y largometrajes como recurso didáctico en matemáticas en educación secundaria

Thu, 01 Jan 2015 00:00:00 +0000

Cómic - Estrategias de resolución de problemas de Polya

Wed, 05 Nov 2014 00:00:00 +0000

Aquí dejo un cómic que he creado con Marvel’s Create Your Own Comic para el curso de Digital Storytelling for Teachers del Intef. Ha tenido cierta difusión por Twitter, lo cual me llena de orgullo y satisfacción :)

Utilización didáctica del cine en Matemáticas

Wed, 01 Jan 2014 00:00:00 +0000

Didactic use of cinema in Mathematics

Abstract

The use of cinema as didactical resource in the Mathematics classroom has interested several authors and teachers during the last years, mainly because of its power to motivate students. On this point, suggestive compilations of scenes containing mathematical references, detailed analysis of movies closely related to Mathematics and even didactical materials to be used in the classroom have been developed. This article proposes a theoretical framework for designing classroom sequences based on the didactical situation which can arise from movies or fiction series scenes. In order to develop such a framework, we follow a didactical engineering process, taking into account some specific characteristics, as the one related to the didactical transposition, as it is required to consider the mathematic knowledge within the chosen scene, overall the way it appears. As well, a classroom experience is described, designed following the mentioned guidelines and implemented in the course of a collaborative project between two secondary education centers, where a significant motivation increase has been detected, due to using mathematical situations from the real world (or from fictional contexts but which can be easily assimilated by the students). There was also evidence about the fact that the designed didactical sequences allow to reduce the cognitive gap required to acquire certain mathematical concepts, because of the scenes provide additional information within an extra-mathematical context. Therefore, our proposal establishes some basic considerations in order to efficiently design didactical sequences using movie scenes as a resource, underlining its power to motivate as well as its facilitating ability when introducing new mathematical concepts to our students.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Asti, A. (2014). Utilización didáctica del cine en matemáticas. Enseñanza & Teaching: Revista Interuniversitaria De Didáctica, 32(2), 123–145. https://doi.org/10.14201/et2014321123145

Sobre la revista

Dialnet métricas

7art Maths: un progetto vincente

Sun, 01 Jan 2012 00:00:00 +0000

Cítese como:

Asti, A., & Beltrán-Pellicer, P. (2012). 7art Maths: un progetto vincente. XlaTangente, 35, 10-12.

El cine y la TV como recurso didáctico en matemáticas en la educación secundaria

Tue, 15 Nov 2011 00:00:00 +0000