Didáctica de las matemáticas | Pablo Beltrán-Pellicer

¿Cuál es el siguiente a 1,29 euros?

Sun, 03 May 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter(X).

¿Es el sistema monetario un manipulativo excelente para aprender sobre «números decimales»? Si estás meneando afirmativamente la cabeza, la pregunta clave es: ¿Cuál es el siguiente precio a 1,29 €?

En la tienda, el «siguiente» precio a 1,29 € es 1,30 €, pero la respuesta a cuál es el número siguiente a 1,29 no es 1,30. Resulta que entre 1,29 y 1,3 puedo encontrar infinitos números. Por ejemplo, 1,29001 es mayor que 1,29 y es menor que 1,3. Podría seguir intercalando números eternamente. Y esto es algo que distingue al número racional del número natural. He puesto antes «números decimales» entre comillas porque de lo que se está hablando en realidad es del número racional, eso sí. Y de su representación decimal.

Así que una cosa es aprender sobre sistema monetario y otra sobre representación decimal de los números racionales. Los racionales no hacen falta para abordar problemas alrededor de sistema monetario, con los naturales sobra (basta con pensar en el céntimo de € como la unidad). De hecho, cuando se ejercitan -habitualmente de manera bastante pobre- algoritmos de las operaciones con cantidades que expresan valores económicos, los algoritmos son los mismos que para naturales.

Se pierde el foco en las propiedades de ese nuevo tipo de números, los racionales, a los que nos vamos asomando progresivamente en la primaria y al comienzo de la secundaria. P. ej., esa idea de densidad de los racionales, que comentaba antes y que los distingue de los naturales. Pero cambian muchas más cosas, ya desde la misma representación. Con los naturales, un número más largo que otro es mayor. Ahora no. Y desde las operaciones, que un número puede ser más pequeño cuando lo multiplicas.

Por lo tanto, el sistema monetario, billetes y monedas, no sirve como manipulativo o contexto adecuado para la representación decimal de los racionales. De hecho, mucho énfasis en esto provoca la falsa ilusión de que si sé sobre monedas, sé sobre «números decimales».

En el fondo (y en la superficie), veo que estoy diciendo lo mismo que hace unos años en este otro post. 🤭

Créditos

Imagen destacada obtenida en Unsplash

Para despejar x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de unos hilos publicados en Twitter(X): este y este otro.

Es desolador encontrarse en un libro de 2º ESO, al respecto de la fórmula de la ecuación de segundo grado, que:

La justificación de esta fórmula queda para cursos superiores. Por ahora, conviene que la memorices y que aprendas su manejo como se muestra en los siguientes ejemplos.

Más todavía, ver que, en el curso inmediatamente superior, lo prometido se queda en agua de borrajas (el subtexto es añadido mío):

Para despejar $x$, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver aquí. Es lo que parece sugerir el currículo, pero como ni el profesorado está en condiciones de plantear situaciones al respecto ni el alumnado de aprender a razonar, disimulemos que hacemos matemáticas.

No me lo estoy inventando, no:

Nótese que en ese subtexto que me he permitido añadir no utilizo el verbo explicar. Ocurre que, a veces, se explica la demostración y, claro, solo se enteran un par, con suerte. Va de plantear situaciones donde el alumnado razone, represente y, en el proceso, emerja el completar cuadrados. Como he dicho muchas veces, y lo mantengo: uno de los problemas en la educación matemática es que se explica demasiado.

Sobre ecuaciones y funciones cuadráticas

No pasa nada por taladrar a palo seco la fórmula de la ecuación de segundo grado. Es muy importante aunque en otros países o no se vea o se aborde dos o tres cursos más tarde que aquí. Por cierto, cada vez que un alumno hace $(a+b)^2=a^2+b^2$ muere un gatito.
¿Cómo dices?

Sostener las dos afirmaciones anteriores al mismo tiempo es incoherente. Si las identidades notables se quedan a vivir en su tema correspondiente y no muestran su gracia en ningún momento más, el calificativo de notables se les muda a «aquellas del tema ese que yo qué sé».

Una conexión intramatemática muy clara es aprovecharse de estas identidades para resolver ecuaciones de segundo grado. Vaya por dios, sin la fórmula. O que esta aparezca más adelante al generalizar este tipo de técnicas. Vamos a dar sentido aquí al cuadrado de una suma. Considera un rectángulo de lados $3$ y $b$, su área es $3b$, ¿no?

¿En cuánto aumenta su área si aumentamos el lado que mide $b$ en $3$ unidades?

En efecto, aumenta en $9$ unidades de área. Ahora tenemos un rectángulo de lados $3$ y $(b+3)$, con lo que hemos descubierto que $3·(b+3)=3b+3^2$. Si ahora, además, aumentamos el lado original que medía $3$ en $b$ unidades, ¿en cuánto aumenta el área?

Ahora a lo que hemos llegado es que el área del cuadrado de lado $(b+3)$ es igual a $b^2+3b+3b+3^2$; es decir:

$$(b+3)^2= b^2+6b+3^2$$

Y ya podemos decir lo que aumenta el área, cuánto es ese área, etc.

Basta generalizar permitiendo que el lado que mide $3$ pueda variar, para llegar a nuestro querido $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$.

En otras palabras, el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Lo mismo se puede hacer con $(a-b)^2$ y con $(a+b)(a-b)$, conectando lenguaje algebraico con gráfico y consideraciones geométricas. Si tenemos cierta soltura (aka competencia). Con esto, convertir $f(x)=x^2+3x+2$ en $f(x)=(x+p)^2+q$ es bastante directo.

No hay más que jugar un poco. Si pienso que $x^2+3x$ forma parte del cuadrado de una suma, vendría a ser el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, lo estaría viendo como $x^2+2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$.

Como resulta que $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$, tengo que gestionar ese $\frac{9}{4}$, quitándolo (como estoy añadiéndolo, hay que restarlo):

$$f(x)=x^2+3x+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Si lo que quiero es resolver la ecuación $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0$, ya está a huevo:

$$\left( x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Hago la raíz cuadrada y blablabla. Pero es que, además, tener $f(x)$ como $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ visibiliza qué está pasando aquí:

¡Anda! Más conexiones intra matemáticas. El eje de simetría me lo está dando el que acompaña a la $x$ dentro del paréntesis. Y la ordenada del vértice, su coordenada en $Y$, me la está dando el número que va suelto, $-\frac{1}{4}$.

Para que todo quede más claro, ¿no sería mejor convertirla en $f(x)=(x-p)^2+q$? Nótese el cambio de signo donde $p$. Claro que sí, porque entonces el vértice no sería $(-p,q)$ sino directamente $(p, q)$. Pero es que esto también es hacer matemáticas, discutir, hacer conexiones.

Si vamos teledirigidos a la fórmula y a hacer cosas con la fórmula nos dejamos muchas matemáticas por el camino. Y resulta que lo interesante está en el camino. Además, ojo, resolver la ecuación de segundo grado completando el cuadrado se hace también en una línea.

No digo nada nuevo, esto se puede ver en materiales de, por ejemplo, el año 1981, Grup Zero, donde se asume también un trabajo previo en identidades (que lleve a algún sitio, claro).

Había una página con todos los libros del Grup Zero: www.grupzero.cat/llibres/, pero parece estar caída. He conseguido recuperar algunos en el archive.

Tablas de multiplicar, sí, otra vez en redes, calculadoras y cuñadismo

Sun, 22 Feb 2026 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Tablas de multiplicar, otra vez

Qué cansancio con las tablas ( hilo). Como a mí me las hicieron aprender de memoria, primero la del 1 (la del UNOOOO), luego la del 2, luego la del 3 (POR QUÉEEE está y no por lo menos la del 4 que se obtiene desde la del DOS), y así… pues será que es bueno porque fíjate.

Saberse algún hecho numérico no va mal, para estimar y tal. Pero una cosa es eso y aprenderlos en el seno de tareas ricas y otra aprenderse de forma machacona y exhaustiva las tablas porque si no no saben hacer nada más. Pues mira, no. Y yo las cuentas del restaurante, calcu.

Es que no hay que aprenderlas de forma machacona y previa a abordar ideas sobre la multiplicación.

Que no sepas 8x6=48 de memorieta, pero sí que 8x6=8x5 + 8, es indicativo de que sabes más sobre la multiplicación que si solo supieras recuperar cantando el 8x6=48.

Uso de calculadoras

Nivel de cuñadismo ( hilo) con lo de las calculadoras que hace honor a esta red. Os resumo el espresso de @CambridgeMaths al respecto:

El uso temprano de calculadoras está respaldado por la investigación. No obstante, faltan estudios, debido a q muchas veces se prohíben por norma.
El alumnado con acceso sin restricciones a calculadoras desde chiquitines no parece volverse dependiente de ellas.
Las calculadoras pueden (y deben) utilizarse para múltiples propósitos, incluyendo la exploración y la evaluación de errores conceptuales en aritmética.
El diseño de las tareas debe prestar especial atención al modo en que se utiliza la calculadora.
Las calculadoras deberían ser un catalizador para rediseñar los currículos, no solo un complemento de los ya existentes (los currículos no deberían ignorar que existen).
Su uso en matemáticas en Primaria puede hacer que la asignatura sea más abierta e interesante para el alumnado.

Hubo quien decía, desde el sarcasmo, supongo, que estaba compartiendo un estudio para decir que faltan estudios, que qué brillante. Bien, ya sé que eso es Twitter(X) y allí se va a jugar. Sin embargo, dos apuntes:

Cada espresso de CambridgeMaths no es un estudio, es una síntesis divulgativa de cómo está el tema en investigación.
Siento decepcionar a los que piensan así, pero la ciencia pocas veces ofrece certezas absolutas. En este espresso se citan estudios que sugieren que las prohibiciones existentes acerca del uso de calculadoras en muchos centros, a menudo en contra de los currículos oficiales, dificultan que haya más estudios.

Operaciones, operaciones, operaciones

Lola Morales ( hilo) comentaba que qué sentido tenía pasar clases y clases en 6º de Primaria haciendo operaciones infernales con decimales.

Aporto un giro más hilo. A veces, en sexto se hace así porque creen que es lo que se les pide en el IES. Y, a veces, como me dijeron en un cole hace poco, no es que lo crean, es que el IES de referencia les pide que multiplican y dividan “como dios manda”. Es bien triste que estén intentando hacer las cosas bien en ese sentido, trabajando estrategias flexibles y variadas, etc., hasta 5º. Y luego, en 6º EP, se vean empujados a repetir esas multiplicaciones y divisiones con el algoritmo que quiere ver el de secundaria.

Matemáticas es lo que se entiende

Vamos a decirlo una vez más. Matemáticas es “lo que se entiende”. Hay que erradicar ese mantra de hay que saber hacer muchas cuentas (o cosas con números o letras), practicar y luego ya si eso llegará la comprensión. Porque mientras llega, si es que llega, oh, no se hacen mates. ( hilo).

Siguiendo ese mantra, lo que se hace es enseñar a obedecer sin rechistar. Porque toca. Porque luego… luego ya verás (que si son necesarias, que si son muy bonitas, que si manzanas traigo). Cómo será la cosa que ha transcendido al cine alguna vez:

Recuerdos del ayer

Concursantes de OT que no saben leer la hora

Sat, 20 Sep 2025 00:00:00 +0000

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Más allá de si están actuando o no, me jugaría lo que fuera a que todos pasaron por fichas de lectura de relojes analógicos en los primeros años de Primaria o incluso en Infantil. Entonces, ¿qué es lo que falla?

El vídeo está haciendo las delicias de los apocalípticos. Pero vamos, esto lleva así desde la popularización de los relojes digitales que, como todos sabemos, es cosa de antes de ayer. Es que claro, cómo van a ir por la calle con cinco, seis o siete añitos y no saber leer la hora en un reloj de agujas. Madre del amor hermoso. La educación, que tiene mucho margen de mejora, pero mucho, no es peor a la de hace 40 años. El problema de entonces y de ahora es que el tratamiento de la magnitud tiempo suele ir enfocado a este tipo de tareas.

Y mira, no. Al igual que también se hacen muchas tareas sobre “medida” (ojo comillas) que consisten en pasar de hectómetros a decímetros con la ayuda de una escalerita. Pues es que aprender sobre medida no va de eso. Porque en estas actividades apenas hay un porqué. Te las encuentras en versión con colorines, gamificadas, etc. pero suele ser “esto se hace así y asá, hala, ejercita”. Y eso no es hacer matemáticas. Matemáticas es “lo que se entiende”.

Comprender la magnitud tiempo es bastante más complicado que comprender, por ejemplo, la longitud. Y leer la hora en un reloj de agujas, por mucho que lo tengamos interiorizado muchos de nosotros, es cosa chunga. Para empezar, porque el sistema de numeración que empleamos para escribir números es decimal posicional. Que además es diferente al que empleamos cuando leemos los números. Sí, cuando lees 342 no dices “tres cuatro dos” sino trescientos cuarenta y dos.

Pero es que, además, para el tiempo, gracias a las personitas que habitaron mesopotamia hace milenios, usamos un sistema sexagesimal. De base 60, vamos. Con lo que 1,5 horas no es una hora y cincuenta minutos, sino hora y treinta minutos u hora y media. Porque claro, 1,5 horas es una hora y cinco décimas de hora. Y como las horas tienen 60 minutos y no 100 porque escaparon a la tiranía del decimal #sarcasmoON de la Revolución Francesa, pues cinco décimas de 60 son 30.

Ojo, el hecho de que ahora todo el mundo lleve relojes digitales que te dan la hora no implica que no haya que abordar la magnitud tiempo y su medida en el cole, eh. De hecho, las orientaciones didácticas al respecto siguen siendo las de siempre. Y se pueden resumir en no ponerse con las fichas dichosas de lectura y escritura antes de tiempo. Y sí, con 5, 6 o 7 años es pronto. Y las orientaciones que emanan de la didáctica específica son similares a las de otras magnitudes, con las particularidades de cada una. El tiempo corre de forma continua e inexorable, no es algo tangible, etc.

Primero habrá que abordar términos de uso cotidiano, vocabulario, comparar eventos, ordenarlos. Y más adelante, abordar el problema de la medida del tiempo, para lo que hay propuestas estupendas. Construir relojes de arena, o de agua (clepsidras) y usarlos para comparar duraciones de eventos. Cuando la duración excede varias veces el tiempo que permite un reloj de arena… ¿cómo podemos seguir utilizándolo? Ah, registrando cuántas veces le hemos dado la vuelta. Y ahí ya estamos más cerca de la conexión con un dispositivo circular compacto (aka reloj de agujas). Pero es que lo chulo es construirlo, con esas unidades arbitrarias, porque ahí se ve la necesidad. La medida en horas, minutos y segundos ya se puede justificar después. Y todo esto responde a un problema esencial de las sociedades, la medida del tiempo.

A la vez que resolvemos este problema, razonamos, argumentamos, representamos, comunicamos, conectamos… es decir, hacemos matemáticas.

Si os quedáis con ganas de saber más sobre esto de medir en matemáticas, os animo a escuchar este episodio del podcast Ábacos y geoplanos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

De lo instrumental a lo relacional: historia de ida y vuelta en clase de matemáticas

Sun, 07 Sep 2025 00:00:00 +0000

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Os cuento nuestra pequeña investigación para indagar cómo cambia la actitud del alumnado hacia las matemáticas cuando se pasa del «esto se hace así, ejercita» a una cultura de aula a través de la resolución de problemas. Y qué pasa cuando se vuelve al modelo instrumental.

Este hilo es una especie de resumen de nuestro artículo en Revista RIFOP «Evolución de la actitud hacia las matemáticas de alumnado de primaria tras cambios en la cultura de aula». @SergioMJGR @chussiabaleston @gremor @colectivoDIME

A pesar de que los avances curriculares (🤞), orientaciones internacionales y literatura científica inciden en la importancia de aprender mates a través de la resolución de problemas, la realidad es q este enfoque no termina de llegar a la mayoría de las aulas. Las razones de esta resistencia al cambio en el enfoque de enseñanza son variadas y complejas. Desde que el profesorado muestra una tendencia a emplear modelos de enseñanza similares a los que experimentó en su día como estudiantes (Wright, 2017), hasta el importante papel que siguen jugando los libros de texto como currículo de facto (Remillard y Heck,2014).

Como consecuencia de esta resistencia al cambio, se encuentran resultados no deseables que permanecen en el tiempo a pesar de los avances curriculares. Por ejemplo, en el reciente informe TIMSS 2023 se observa que ya en 4º Primaria hay una brecha de género terrible. Solo cinco países de toda la muestra, con contextos muy particulares (Irán, Sudáfrica,Jordania, Baréin y Azerbaiyán), presentan igualdad o una diferencia de rendimiento a favor de las niñas. Y PISA también señala la mayor ansiedad matemática en niñas que en niños. Esto sugiere que el origen de esta brecha (y otros problemas que no comentamos) está en la cultura de aula, en lo que pasa en el aula. Que no es capaz de superar los fenómenos sociales relacionados con el tema y que permean, evidentemente, la escuela.

En el trabajo exploramos cómo los cambios de enfoque en la enseñanza influyen en las actitudes hacia las matemáticas. Se ha investigado con un grupo de 19 estudiantes al pasar de 3º a 4º y de 4º a 5º curso de Educación Primaria (8-9 y 9-10 años). Nos hemos centrado en tres componentes del dominio afectivo, de manera similar al modelo de Di Martino y Zan (2010) para la actitud hacia las matemáticas: visión de las matemáticas, competencia percibida y dimensión emocional.

Al igual que Di Martino y Zan, se propuso al alumnado participante elaborar pequeñas redacciones bajo la consigna «Yo y las matemáticas: mi relación con las matemáticas hasta ahora» y con unas breves aclaraciones de qué significaba esto. Estas redacciones se recogieron en tres momentos:

Septiembre de 2023, al inicio de 4º curso (venían de un modelo instrumental e iban a pasar a uno relacional)
Junio de 2024, al final de 4º curso
Enero de 2025, a mediados de 5º curso (otra vez instrumental).

Todas las producciones menos una (55 de 56) reflejan al menos una de las tres dimensiones del modelo para la actitud hacia las matemáticas de Di Martino y Zan (2010). Este resultado es coherente con lo observado por estos autores.

Antes de empezar 4º Primaria de manera relacional a través de la resolución de problemas

¿Qué pasaba al comienzo de 4ºEP? El primer resultado de interés es la práctica unanimidad sobre la visión de las matemáticas. De las 18 redacciones, 16 manifiestan explícitamente una visión instrumental. Ninguna de las 18 redacciones relata historias de cambio. Ejemplo de ello es la siguiente producción:

«Las matemáticas son una asignatura. Puedes descubrir varios resultados con números. Y aprender. Ejemplo: [realiza la división por caja 198:3]. Puedes resolver problemas ¿Qué son los problemas? Los problemas son resolver multiplicaciones, sumas, restas, etc.»

La competencia percibida se ve reflejada en 12 redacciones. La mayoría (11 de las 12) relatan baja competencia, considerando, al igual que Di Martino y Zan (2010) competencia percibida baja los registros en los que se dan indicios tanto de alta como de baja. Un ejemplo representativo:

«Las matemáticas me parecen un poco difíciles porque los problemas y las multiplicaciones me resultan muy difíciles. Después ya es fácil, pero me equivoco mucho.»

Es curioso que fuera de la aritmética, no encontramos ninguna alusión a los demás bloques clásicos de contenidos de la matemática escolar, pero sí aparece una alusión al uso de materiales, otra al uso de símbolos y dos a que las matemáticas son una asignatura escolar.

La parte emocional ha sido más complicada de rastrear en este momento, pues solo aparece en 7 producciones. En general, el alumnado expresa una emoción positiva sin mayor argumentación (“me gustan”, “me encantan”). Pero en dos de las redacciones se explicita que esas emociones positivas son debidas a que las matemáticas son divertidas, o como un juego, y en otra de las redacciones se vincula la emoción positiva a la utilidad de las matemáticas (cosa curiosa a una edad tan temprana).

El mayor número de co-ocurrencias se da entre la visión instrumental, competencia percibida baja y dimensión emocional positiva, reforzando que este es el perfil predominante en ese momento.

Al terminar 4º Primaria a través de la resolución de problemas

Pasamos a junio de 2024, después de un curso siguiendo un modelo relacional a través de la resolución de problemas y siguiendo orientaciones metodológicas en la línea de thinking classrooms (@pgliljedahl). Os pongo directamente la gráfica de co-ocurrencias.

Los resultados obtenidos en cuanto a visión de las matemáticas son prácticamente opuestos a septiembre. 15 de los estudiantes relatan una visión relacional y solamente dos, instrumental. La visión relacional se identifica en:

Aspectos sociales, ej. trabajo en grupo para hacer mates (17).
Resolución de problemas complejos (9).
Comprender y dar significado a los conceptos (7).
Relacionar las mates con la acción de pensar (5).
Procesos matemáticos como comunicación y representación (3).

Hay 14 historias de cambio. Vamos, que los estudiantes se han dado cuenta de que ahora ha cambiado algo. Así, vemos que ahora el alumnado no relaciona de forma tan intensa las matemáticas con un contenido concreto de las matemáticas, en particular con las operaciones aritméticas como sucedía en septiembre. De hecho, casi no hay menciones a contenidos tradicionales de las mates. Si las hay, están relacionadas a procesos matemáticos (aka competencias específicas en los currículos españoles) como la resolución de problemas, la comunicación, la representación o las habilidades socioafectivas, claves para un aprendizaje competencial de las matemáticas. Además, se identifica como propósito de las matemáticas escolares comprender y dar significado a los diferentes conceptos. En una de las redacciones podemos leer (me encanta):

«Las matemáticas para mí son poder entender los números. Cuando llegué a esta clase no sabía entender los números. Son divertidas porque las entiendo. Me gusta trabajar en grupos en las pizarras en vez de hacerlo en solitario.»

El cambio hacia una visión relacional de las mates se acompaña de un incremento de estudiantes que se perciben con alta competencia. En concreto, 6 estudiantes en junio frente a uno en septiembre. Solo tres relatan ahora una autopercepción de baja competencia. Además ahora hay una menor presencia de frases en las que se califica a las matemáticas como “fáciles” o “difíciles”, ya que los estudiantes se centran en otros aspectos.

En cuanto a lo emocional, también hay cambios. 16 redacciones muestran una dimensión emocional positiva frente a dos redacciones en las que se muestran una dimensión emocional negativa. Más interesante es la relación de estas emociones con la visión de las matemáticas. Las dos redacciones que relatan emociones negativas son las que muestran que siguen teniendo una visión instrumental de las mates a pesar del cambio de modelo (la resistencia al cambio también se ha constatado en alumnado y solo se soluciona con más tiempo y coherencia). Muy interesante el hecho de que los estudiantes relacionan sus emociones positivas hacia las mates con la resolución de problemas, el trabajo en grupo en las pizarras o con la comprensión. No hay relaciones con otros elementos contextuales ni con la actuación del profesor.

Otro ejemplo de producción y pasamos al siguiente curso:

«Hay problemas difíciles y fáciles, pero no pasa nada, se piensa. Yo he aprendido a pensar, pero no me estreso (antes me estresaba porque me ponía nerviosa).»

Vuelta a un enfoque expositivo o instrumental

Vamos a enero del curso siguiente, de vuelta a un modelo instrumental. Hay historias de cambio, que evidencian que el alumnado se da cuenta. Os pongo la figura de co-ocurrencia y pasamos a comentar los highlights.

Ahora menos de la mitad de las producciones hablan sobre la visión de las matemáticas. Se reparten entre las visiones instrumentales y relacionales y el alumnado, por un lado, expresa su visión de las matemáticas y, por otro, describe la visión que percibe en su docente. Un ejemplo:

«Este año las mates son muy distintas trabajamos individual, no hacemos problemas, son más aburridas porque la mayoría de las veces hacemos cuentas. Este año las matemáticas también me parecen más fáciles porque los problemas son una payasada y las divisiones y eso las hago desde 1º. Lo más divertido me parecen los juegos en los que hay que pensar, pero hacemos muy pocos. En lo que más nos centramos es en el cálculo y hacemos problemas difíciles una vez. Cuando hacemos matemáticas a veces me aburro.»

La dimensión emocional de este alumnado es baja, aunque tiene buena competencia percibida. Esto parece contradecir a Di Martino y Zan (2010) q destacaban q una disposición emocional negativa siempre se relaciona con una visión instrumental o con baja competencia percibida. Sin embargo, como decíamos, aunque la visión de las mates del alumnado es relacional, la afectividad negativa la provoca la visión instrumental del docente. Según relata el alumnado, emplea enseñanza expositiva, despreocupada por la comprensión y centrada en los algoritmos de operaciones.

En contraposición hay un grupo de alumnado que basa sus emociones positivas en vivir una enseñanza con una visión instrumental que coincide con la suya y con la que están cómodos. Parecen sentir un cierto alivio por no tener que realizar tareas con mayor demanda cognitiva. Es ilustrativo el siguiente ejemplo:

«No tenemos casi ningún problema difícil, o sea, no nos reventamos la cabeza. En concreto, me gustan las matemáticas.»

En cuanto a competencia percibida, tras el curso con un enfoque a través de la resolución de problemas 12 de los 19 alumnos tienen una competencia percibida positiva, la mayor observada en los tres grupos de redacciones. Y esto es así tanto para el alumnado con una visión relacional que siente emociones negativas hacia la visión instrumental del docente, como el alumnado con una visión instrumental, se siente competente en matemáticas durante el curso siguiente.

Esto viene a responder la clásica inquietud de: «y si ahora hacemos aprendizaje a través de la resolución de problemas, al año que viene cuando estén con mengano o mengana, ¿qué?». Conclusión en lenguaje no académico: pues eso que se llevan.

En resumen…

Los resultados sugieren que la transición de un enfoque instrumental a uno relacional basado en la enseñanza a través de la resolución de problemas tiene un impacto positivo en la visión de las mates, la competencia percibida y la dimensión emocional del alumnado. De manera inversa, el retorno a un enfoque instrumental genera una disminución en la percepción positiva de las matemáticas, particularmente en aquellos estudiantes que han desarrollado una visión relacional de la disciplina. Y esto es una pena tremenda. Estos estudiantes desarrollan una actitud crítica ante enfoques instrumentales y expresan desánimo y aburrimiento ante la falta de motivación intrínseca en la asignatura. Al mismo tiempo, se observa otro perfil de alumnado para el que el descenso en la demanda cognitiva de las tareas a las que se enfrenta en el enfoque instrumental provoca una identificación positiva en la dimensión emocional.

Para cerrar, esto ejemplifica la potencialidad de los modelos de enseñanza y aprendizaje a través de la resolución de problemas. No solo para promover aprendizajes profundos y significativos (Takahashi, 2021), sino para desarrollar afectos positivos hacia las matemáticas.

Gracias por llegar hasta aquí, y lo dicho, en nuestro artículo completo encontrarás más ejemplos de producciones, referencias y demás. 😊

Empezar lenguaje algebraico definiendo monomio: por ahí no es

Sat, 03 May 2025 00:00:00 +0000

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Recuerdo aquellos hilos que hacía de «Elige tu propia aventura». Pues para empezar lenguaje algebraico en, digamos, 1º ESO, habría varios caminos, pero el peor de todos es el que empieza definiendo monomio. Al mismo nivel que la regla de tres para proporcionalidad. Va hilo.

Ese camino empieza por ahí y sigue explicando muy claro (¿?) lo de la parte literal (aka las letras) y lo de, mira, hay monomios que tienen la misma parte literal y se les llama semejantes. Resulta que esos los puedes sumar y restar. Los demás no.

Inciso. A que mola el meme del mono mío. Pues tiene dos niveles de lectura. O es un mono mío a secas o un monomío semejante al monogrande. ☂️☂️☂️☂️☂️

‪ Hay varios enfoques o visiones del álgebra escolar, sobre los que hay multitud de literatura científica (al final pondré alguna referencia) y ninguno contempla empezar por el camino descrito anteriormente. Ninguno. Sin ser exhaustivo y teniendo en cuenta que hay autores que solapan algunos enfoques y que estos no son para nada excluyentes:

Aritmética generalizada. Expresar las leyes o propiedades de la aritmética en términos generales.‪
Identificación y generalización de patrones. Hay quien unifica el estudio de patrones con el anterior, pues también va de generalizar regularidades. Estructura.
Enfoque funcional, donde las letras, cuando llegan, tienen el significado de variables. Expresar relaciones, que pueden emanar de un contexto intramatemático o físico.
Modelización de situaciones físicas. Puede verse como incluido en el punto anterior.
Álgebra para resolver problemas. Ecuaciones, etc. Donde las letras, cuando llegan, tienen significado de incógnita. Las reglas algebraicas, una vez establecidas, permiten resolver tipos específicos de problemas, una vez identificados. En efecto, la regla de tres puede verse como un método algebraico para resolver problemas de valor faltante o perdido.
Álgebra como lenguaje. Para comunicar. Para explicar. El álgebra con literales me ayuda a explicar una regularidad.

El álgebra es mucho más que hacer cosas con letras. Por eso, antes, he ido poniendo la coletilla cuando llegan a las letras. Porque, sí, el pensamiento algebraico arranca desde la más tierna infancia, en infantil. ¿Acaso no hay patrones en infantil? Pues eso. Sin embargo, vamos a centrarnos en ese punto de ruptura que suele estar en 1º ESO que es cuando se empieza a hacer álgebra con letras. Cuando se introduce un contenido (sí, los saberes son contenidos) lo mejor es que sea motivado por algo.

‪No me refiero a algo extrínseco como tratar de encajar el camino del principio en una gamificación sobre la serie de streaming que esté de moda. No. ¿Por qué aprender álgebra? Eso tiene que apreciarse en la mismísima primera actividad. Los que me habéis ido siguiendo, sabéis de mi predilección por el enfoque de la propuesta de Eva Cid, donde a la vez que se introduce el álgebra con literales, se van construyendo los enteros como estructura numérica. Eso sería una aproximación funcional con tintes de aritmética generalizada. Funcional porque las letras aparecen en los primeros problemas como variables. Y aritmética generalizada porque echa mano de estrategias de cálculo oral. Pero dejemos eso a un lado, porque hoy quiero hablar de patrones. Que, por cierto, no es incompatible con lo anterior. Imaginemos que la primera actividad de la unidad «lenguaje algebraico», que es un clásico de 1º de ESO, fuera un patrón de los de visualpatterns.org (otra de esas páginas especializadas en un tipo de recurso), como este:

La actividad consiste en continuar un par de pasos la serie, y dar el número de elementos del paso <un número suficientemente grande como para que me resulte cansado dibujarlo> (en visualpatterns.org lo hacen con 43). Eso ya es trabajo algebraico. Reconocer la regularidad y explicarla. ¿Cómo los cuentas? ¿Cómo explicas cómo lo has hecho a un compañero? Si estamos en un ambiente #thinkingclassroom con pizarras verticales, cómo lo registramos para que un compañero comprenda cómo lo hemos hecho?

‪En el patrón anterior vemos que la sucesión es 5, 10, 15, etc. Ah, siempre es 5 veces el número del paso. ¿Cómo será el paso $n$? ¿Escribirlo así ayuda a explicarlo? Dos observaciones. Este patrón es demasiado sencillo y apenas requiere del dibujo. Sin embargo, aparecen otras formas de contar. ‪ Y hay quien lo expresa como $4·n+n$. ¿Será lo mismo eso que $5·n$? Bueno, pues ahí tienes ya una forma de empezar a manipular expresiones algebraicas. Tras una charla de aula más que rica y más que llena de matemáticas.

¿Qué puede pasar si propones esta actividad después de una aproximación como la de los primeros posts? Pues varias cosas, que cuando se pide generalizar, sin más, el alumnado no sabe qué se le pide. ¿Por qué no pedir el paso $n$? ‪ Pero lo más llamativo es que, si después de dos o tres semanas con las cantinelas de parte literal y operaciones con monomios semejantes, se pone sobre la mesa la cuestión de si $4·x+x$ es lo mismo que $5·x$ y un alumno se arranca a decir que no, que $4·x+x$ es lo mismo que $4·2x$, vamos apañados. Porque en general, estar varias sesiones dando estirando patrones como el anterior y como estos, y discutiendo diferentes maneras de contar y expresar esos conteos, se ve como pérdida de tiempo. Sin embargo, lo otro no tanto, porque parece que es lo que toca.

Pues lo siento, pero no.

Inciso. Probad diferentes maneras de abordar este de aquí. Y que una de ellas sea fijándoos en los incrementos. Tremendo.

Y nada más. Como había prometido alguna referencia, esta de aquí es amplia, relativamente reciente y viene a hablar de todo un poco: The Learning and Teaching of Algebra de Abraham Arcavi, Paul Drijvers y Kaye Stacey. No obstante, como lectura introductoria, suelo recomendar este texto de Marta Molina sobre concepciones del álgebra escolar, que está accesible en abierto).

¡Feliz clase!

Reflexiones ante el uso de manipulativos para el número racional (fracciones, decimales, etc.)

Sun, 29 Oct 2023 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter y este otro hilo. También en BlueSky aquí y aquí

Algo característico de una didáctica específica, como la de las matemáticas, es que tiene muy presente el objeto de aprendizaje y su naturaleza. Ejemplo: si nos planteamos usar las regletas de Cuisenaire para construir el racional (fracciones…), ocurren cositas.

Hay que tener claro q son material estructurado y discreto. Y que, por lo tanto, no son lo mejor para trabajar con magnitudes continuas, como la longitud, cuya medida es lo que hace que emerja la necesidad del número racional positivo.

No es la primera vez que doy la turra con esto, ni será la última. Me fascina reflexionar sobre el uso de manipulativos. Desde luego, esto no es un alegato en contra del uso de manipulativos, ni mucho menos. Son esenciales. Pero hay que planificar su uso y ver cuál es el más adecuado. Unas simples tiras de papel aquí lo hacen estupendamente ( ver esta publicación).

¿Y con los “números decimales”?

Los bloques multibase vienen bien para cositas del sistema decimal posicional con naturales (ej., 10 u hacen 1 d). Conectan genial con técnicas intuitivas de conteo. Pero, si presento esto para q el “output” sea 3,24, ¿estaremos trabajando una representación del número racional?

Los números decimales no existen. En todo caso, hablamos de la representación decimal de los números racionales (de ahí las comillas). Y no es sencilla. Y hay que tener en cuenta propiedades de ese conjunto numérico (densidad, especialmente, pero no solo), para que no estemos trabajando con pseudonaturales en lugar de con racionales.

No puedo evitar mencionar el gran trabajo de aula en Primaria de docentes como Manuel Siaba Lestón. En este hilo muestra reflexiones profundas sobre representaciones decimales en un contexto de reparto:

Curso 2022 5º . Recomiendo SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS UN ESTUDIO CON MAESTROS EN FORMACIÓN (Tesis J. M. Gairín Sallán). Y sí ,ahora, el reparto fuera de 5 tortillas 11 personas 🤔

La reflexión más interesante q surge en este momento es q los números q admiten una representación decimal finita también admiten otra infinita, disminuyendo la última cifra significativa y añadiendo una «cola» infinita de nueves.

Para ampliar

Grupo de Telegram sobre racionales

Si estás interesado/a en una aproximación con significado a todo lo que tiene que ver con el número racional (medida, magnitudes, fracciones, decimales, proporcionalidad, etc.) este es tu grupo de Telegram: https://t.me/+BBaYf0FZZlszYTc8

Lee el post fijado porque ya hay mucha información y materiales. Internivelar Primaria/ESO.

¡Salu2!

Una propuesta rompedora a nivel conceptual

Sat, 22 Jul 2023 00:00:00 +0000

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De todas las propuestas que he compartido por aquí, de la que más orgulloso me siento cada vez que alguien me dice que la hace en el aula, es la de la construcción de los enteros a la vez que se introduce el álgebra con literales (aka tesis de Eva Cid). ¿Quieres saber por qué?

Porque supone un desafío a todos los niveles. Suele cuestionar, no solo la cultura de aula, sino el lugar asumido en la planificación curricular de un objeto matemático tan «básico» como los enteros. Y el álgebra que se hace al comienzo de la ESO.

¿Qué leches hacen en la aritmética? Ahora tenemos el sentido númerico, que podríamos definir como «la buena aritmética». Pero el problema es el mismo. ¿Qué hacen ahí, antes que el álgebra?

Una prueba muy sencilla e interesante es pasar los problemas que hay en una unidad de enteros de un libro de texto cualquiera de 1°ESO a un niño o una niña de 4° o 5° de primaria.

Porque para resolverlos, los enteros no hacen falta para nada. Algunos autores, de hecho, hablan de números relativos.

Los modelos concretos (todos) patinan en el tema de los enteros. Porque en la aritmética no son necesarios, su hábitat natural es el álgebra.

Si te pica la curiosidad, aquí dejé los hilos en versión blog. Y el grupo de Telegram «De la aritmética al álgebra», donde hay material y una comunidad de docentes interactuando en torno a él: enlace aquí.

Vídeos con Eva Cid hablando sobre su trabajo:

¿Qué algoritmo elijo para la resta?

Sun, 30 Apr 2023 00:00:00 +0000

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En efecto, la resta como sustracción detrás del “tomar prestado” de algunos algoritmos (anglosajón); y la resta para cuantificar la diferencia en una comparación detrás del “sumar arriba y abajo” (tradicional español). Añado unas reflexiones al interesante hilo de @bpalop.

La pregunta «¿cuál elijo para mi alumnado?» está viciada de entrada. Si el progreso en Matemáticas (la pongo en mayúscula porque me refiero a la asignatura) va a depender exclusivamente de que se maneje con un algoritmo en concreto, mal vamos.

Es que no sabe ni restar.

Si al decir esto nos referimos a que no sabe manejarse con un algoritmo, no estamos hablando de si sabe o no sabe restar. No hace falta ningún algoritmo para restar. Mucho menos, las situaciones-problema de primer ciclo de Primaria.

Sobre todo con el nuevo marco curricular, la cuestión es que estos algoritmos se engloban maravillosamente dentro del sentido algebraico y pensamiento computacional. Os voy a pegar, literalmente, fragmentos del currículo de Primaria de Aragón.

«Está claro que en la sociedad actual, las técnicas escritas de cálculo han perdido relevancia y utilidad, por lo que el aprendizaje de algoritmos ha de convertirse en un aprendizaje sobre algoritmos, relacionado con el pensamiento computacional. Al mismo tiempo, las actividades planteadas sobre estos algoritmos deberán permitir establecer conexiones y aprender elementos básicos y propiedades del sistema decimal posicional. En ningún caso debe articularse el aprendizaje del sentido numérico desde la ejecución automatizada de algoritmos que hayan sido aprendidos sin significado. Cuando eso ocurre, se anula el desarrollo de prácticamente cualquier estrategia de cálculo mental,pues este se relaciona más con las técnicas orales (calcular mentalmente no pasa por tratar de imaginarse un algoritmo escrito). La calculadora aparece como un recurso excelente para plantear tareas de exploración sobre estructuras numéricas e indagar con números grandes.»

Más, dentro de la descripción del Sentido algebraico y pensamiento computacional:

«Un ejemplo muy claro de pensamiento computacional en matemáticas lo encontramos en el análisis, adaptación y creación de algoritmos. Desde la popularización de las calculadoras, el énfasis en el aprendizaje de algoritmos para las operaciones aritméticas básicas ha quedado en entredicho. Evidentemente, la repetición mecánica e insistente de una serie de pasos para sumar, restar, multiplicar y dividir hace tiempo que no se justifica de ninguna manera. En la vida cotidiana, los adultos no solemos sacar papel y lápiz: o hacemos la cuenta mentalmente (posiblemente, estimando), o utilizamos un dispositivo.

Más aún, tanto las pruebas de acceso a ciclos formativos como las pruebas de acceso a la universidad se hacen con calculadora. Esto no quiere decir que no haya que aprender algoritmos, sino que los objetivos no pasan por conseguir que el alumnado haga el mayor número de cuentas inverosímiles en el menor tiempo posible. El objetivo es desarrollar el pensamiento computacional al mismo tiempo que se profundiza en aspectos propios del sistema de numeración posicional y el sentido numérico.»

Y la madre del cordero en las orientaciones de primer ciclo sobre Sentido numérico:

«Es más importante dominar las estrategias anteriores, que llevan a un cálculo más comprensivo, que trabajar un algoritmo. Las sumas y restas, que además deben presentarse de forma intercalada, pues ambas forman parte de las situaciones aditivas, deben acompañarse de la manipulación del material, para garantizar la representación con la comprensión y se tenga un buen dominio de la agrupación de unidades en decenas. Los algoritmos de las operaciones no tienen sentido en este ciclo y no favorecen el desarrollo del sentido numérico a estas edades. Sí tienen valor como objeto de estudio dentro del pensamiento computacional en ciclos posteriores.

Pero ahora se trata de enfatizar cálculo oral y mental, así como flexibilidad sobre las operaciones y comprensión de las situaciones-problema que responden a ellas. Se trata de trabajar con situaciones aditivas (“de suma o de resta”) con la intención de que las reconozcan, las resuelvan utilizando su conocimiento de los números y traduzcan a lenguaje matemático. Que se enfrenten a situaciones que se pueden modelizar y resolver de diversas maneras e igualmente correctas, por ejemplo, 7+2=9 es lo mismo que 2+7=9, o que si tenemos que saber el dinero que nos falta para comprar algo que cuesta 11 euros y ya tenemos 5, podemos resolverlos preguntando ¿cuánto me falta de 5 a 11 euros? Y después escribirlo 11-5=? o 5 +?= 11. La iniciación en la resta, tendrá que hacerse de la misma manera, manipulando materiales, y empleando estrategias diversas para calcular el resultado, entendiendo que con frecuencia es necesario descomponer decenas y centenas.

Cuando se llegue a un resultado, tanto si es correcto como si no lo es, hay que iniciar la reflexión de cómo han llegado, cómo lo han hecho, comunicarlo y contrastarlo con sus compañeros o compañeras. Esta conversación ayudará a ampliar las estrategias y encontrar la más eficiente. Después de este proceso de reconocimiento, obtención del resultado, explicación de cómo se ha llegado se puede escribir con lenguaje matemático, (+, -, = ); en grupo, pautado por el profesorado y hacia una mayor autonomía.»

Volviendo a la cuestión de qué algoritmo elijo. Que se lían si mezclo varios. Pues es que en primer ciclo la respuesta es fácil. NINGUNO. Y en segundo ciclo, VARIOS, de forma comprensiva y para movilizar pensamiento computacional y aspectos del sistema decimal posicional.

Para más orientaciones buscar el currículo de Mates de Primaria de Aragón aquí. Recuerdo que va hasta con referencias y enlaces a recursos. 89 páginas.

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Imagen destacada obtenida de Unsplash.

La planificación (programación LOMLOE) en matemáticas debe hacerse desde los saberes

Tue, 21 Feb 2023 00:00:00 +0000

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La secuenciación o planificación en matemáticas (y en todas aquellas materias con mayoría de competencias transversales no ligadas a saberes) debe partir de los saberes (contenidos). Intentar hacer esta tarea a partir de los criterios de evaluación es una aberración.

Eso sí, antes tenemos que tener claro qué nos dicen esos criterios, porque concretan los procesos que describen las competencias específicas. Más que nada, porque no es lo mismo ver las fracciones o el teorema de Pitágoras movilizando esos procesos que sin movilizarlos.

Por ejemplo, dependiendo de la secuencia constructiva, a lo mejor encuentro puntos de unión entre unidades. Porque esta es otra, creo que ahora más que nunca no es viable planificar 12-15 unidades.

No puedo decir que voy a comunicar (una de las competencias específicas de mates) en una unidad y que voy a resolver problemas (otra competencia) en otra unidad.

Otra vuelta de tuerca

Me reafirmo en lo anterior y voy a tratar de explicarme un poco mejor. ¿Qué sería planificar por competencias específicas?

Septiembre: interpretamos problemas.
Octubre y noviembre: resolvemos problemas.
Diciembre y enero: exploramos conjeturas y todo eso.
Febrero y marzo: pensamiento computacional.
Abril: hacemos conexiones, las semanas pares intramatemáticas y las impares extramatemáticas.
Mayo: comunicamos y representamos. Lo mismo que antes, comunicamos las semanas pares y representamos las impares.
Junio: lo socioafectivo, así si algo se cae que sea esto.

¿A que no tiene sentido? Cualquier otra combinación que dé como resultado una planificación basada en las competencias específicas será igual de absurda.

Para los que no han leído el hilo que cito en el primer tuit, hablo de Mates y de materias con mayoría de competencias no ligadas a saberes. ¿No planificar por competencias específicas significa que paso de ellas? NO.

No, no y no. Empiezo a leer el currículo entendiendo bien qué procesos me describen esas competencias. Y sus criterios de evaluación, que básicamente ayudan a concretarlas. Me vienen a decir qué tendría que ver alguien que entra a mi clase.

Decía en el otro hilo que para la planificación tiene que partirse de los saberes. Por supuesto que sí. Ahora, ya estamos con que si los contenidos y las competencias y que si me fijo en los contenidos estoy haciendo no sé qué.

Los contenidos. ¿Qué es “ver el teorema de Pitágoras”? Porque aparece en los saberes, eh. ¿Es llegar y cascar en la pizarra la fórmula? ¿El vídeo ese tan majo de los cuadrados con agua que se va transvasando conforme gira el triángulo rectángulo?

Habrá varias maneras de trabajarlo en en el aula, pero todas ellas, para ser coherente con el currículo, deberán movilizar las competencias de antes. Leches, es que en algo tan profundo como el teorema de Pitágoras, vas a movilizar todas.

El significado personal que construyamos para el teorema de Pitágoras no es el mismo (ni de coña) con la opción a), que con algo como la b) (ver enlace). Y digo “como la b)”, porque no es una propuesta única y maravillosa.

En otras palabras, “teorema de Pitágoras” es el nombre del saber. Pero luego está la cuestión del significado. ¿Qué proceso haría -idealmente- para planificar este saber (contenido)? Pues como voy a construirlo (ver hilo) a partir de la medida directa de áreas, esta cuestión, que también es un saber, la planifico antes. ¡Estoy secuenciando! Estoy secuenciando, no lo que voy a ir poniendo en la pizarra o en unas diapositivas, sino las tareas que va a realizar el alumnado. No nos flipemos, las tareas concretas no, que eso no es objeto de la programación. Pero el arco argumental ya se ve cuál es.

El papel de la competencias específicas en este proceso de pensar cómo planificar es importante porque condiciona la búsqueda de una secuencia constructiva que permita que emerjan los saberes de las situaciones-problema.

Esta manera de planificar, ¿cómo encaja con la atención a la diversidad? Me alegra que me hagas esa pregunta, porque esta mirada al saber, al contenido me lleva a planificar con qué conocimientos previos enlaza. Lo de antes de Pitágoras, al considerar la medida directa de áreas, como sustrato del que partir, lleva a que luego la tarea presente un suelo bajo, punto de entrada accesible. Luego, claro, todos tendrán oportunidad de bloquearse.

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¿Las Matemáticas de Bachillerato son propedéuticas? Pues lo que no debería pasar es esto

Tue, 13 Dec 2022 00:00:00 +0000

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Matemáticas de Bachillerato. Propedéuticas. Vale. Pues algo que no debería pasar es lo siguiente.

Hace unos meses un amigo me pasó un audio de una compañera de trabajo, sobre una duda, más bien inquietud, matemática, que podría haber surgido en una oficina comercial cualquiera.

Quiero saber cuál es la relación gráfica entre las derivadas y las integrales. ¿Cómo puede ser que si yo derivo una función el área debajo de la… entre la función y el eje de coordenadas tenga alguna relación con la función primitiva? O sea, ¿por qué existe esa relación?

Estaba preguntando por el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Una de las construcciones matemáticas más bellas, potentes y profundas de la historia. El equivalente, yo qué sé, a preguntarse por qué El Quijote es una obra maestra de la literatura.

Pongo la mano en el fuego por que esta persona hizo derivadas e integrales a cascoporro. La técnica, que qué pasa con la técnica, por dios. Que sí, que no nos olvidamos de ella. Ahora, ¿en serio hacen falta tantas técnicas en Bachillerato?

No sé, es que igual nos encontramos luego en un galeón en medio del océano y tenemos que hacer no sé qué cuentas porque si no vamos a perder la guerra de turno o algo.

Primero, habrá que ver qué técnicas contribuyen a ganar comprensión sobre el objeto matemático en cuestión. Y luego, que tipo de campos de problema resultan de interés. Eso sí, aprender el teorema fundamental del cálculo tiene, entre otras, una clara finalidad CULTURAL.

Porque mola.

Y bueno, con los nuevos currículos, que tendrán sus cosas, no es que no podamos trabajar técnicas. Es que sobre todo hay que evaluar su comprensión y uso significativo.

Ya sabéis que no soy muy de vídeos, pero aquí os dejo un par de Jim Fowler, por si tenéis curiosidad. Está en inglés, pero los subtítulos funcionan de maravilla. Este no es más que la pregunta inicial.

Y este, la respuesta.

Esta reflexión combina muy bien con esta otra: ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre?. Y con la historia del avioncito y el sesgo del superviviente también. Las técnicas.

Ya llegará la comprensión 🤦🏻‍♂️.

Si es que llega.🙃

Cuando se dice que no pasa nada por aprender técnicas de memorieta porque la comprensión puede llegar después, lo primero que hay que hacer es dejar de pensar en el estudiante que fuimos.

Ya que el tema de los mitos gusta tanto, aquí va artículo de dos clásicos en educación matemática, Clements y Sarama. Desde chiquitines, por dios, comprensión. Y si no hay tiempo pa tó, decide qué privilegias. En concreto, vistazo a estos dos:

Lo del sesgo. Hala, Javi, que te voy a desgastar el hilo.

Ayer escribía sobre lo que no debería pasar. Por ejemplo, que recuerdes que hiciste nosecuántasderivadas y nosecuántasintegrales del derecho y del revés, pero no recuerdes qué narices implica el teorema fundamental del cálculo.

A lo mejor, esto último pasó por la pizarra, sí, ay, la pizarra. Pero el énfasis está claro dónde estuvo puesto. No recuerdas esa conexión maravillosa, no. Recuerdas que hiciste mogollón de derivadas y mogollón de integrales.

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La imagen destacada es una captura de uno de los vídeos de Jim Fowler.

Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender números decimales

Sat, 26 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Enseñar el sistema monetario no lleva a aprender «números decimales». Porque, ¿cuál es el siguiente a dos euros y tres céntimos?

Como la respuesta es dos euros y cuatro céntimos, queda demostrada la proposición inicial.

Ocurre que los «números decimales» son una representación simbólica de los números racionales. Y una propiedad fundamental de estos es su densidad. Vaya, que no hay siguiente. Ni anterior.

¿Cuál es la unidad cuando digo «dos euros y tres céntimos»? ¿El euro? ¿Seguro? ¿O el céntimo? Se trata, sin más, de una manera de expresar el valor económico con cantidades compuestas. Daría lo mismo que el céntimo se llamase penique, real o lacito de chocolate.

Vamos, que en Primaria se aprende sobre sistema monetario, pero los decimales implican meterse en asuntos del racional. Si nos empeñamos en que «decimales = sistema monetario» luego no nos extrañemos de que los traten como a los naturales.

Este fenómeno, tratarlos como naturales, con todos los obstáculos asociados, está más que identificado en la literatura científica. Algunos autores, como Ni y Zhou (2005) le ponen nombre propio: natural number bias.

Y ya está. No era más que una reflexión que quería dejar por aquí después de una charla de pasillo con Rafael Escolano.

Reflexión añadida

Ponemos «números decimales» entre comillas porque… ¿eso qué es? Aquí hay cierto abuso del lenguaje, ya que técnicamente se trata de representaciones decimales.

Al hilo de lo que señalaba @SergioMJGR, no se trata tanto de no trabajar el sistema monetario como de ser conscientes lo que estamos trabajando y los obstáculos que pueden surgir.

Aunque dentro de unos años nos podemos volver a hacer esta pregunta, porque a ver qué pasa con monedas y billetes y cómo medimos el valor económico.

Aprovecho para recordaros a los frikis de la medida, el reparto, la proporcionalidad desde la razón y estas aproximaciones al racional que comparto por aquí, que tenemos un grupo de Telegram.

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Dictados de representaciones gráficas

Fri, 18 Nov 2022 00:00:00 +0000

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Una de las actividades que trabajamos en el HelloMath de Zaragoza la semana pasada son los dictados de representaciones gráficas. Mucho lenguaje, muchas matemáticas y pensamiento computacional unplugged. ¿Vamos con ello?

Por parejas o pequeño grupo. Consiste en que todos nos inventamos un problema que se resuelve con una operación de fracciones (nos restringimos a suma, resta o multiplicación, dejando la división para otro día, jeje).

Y hacemos una representación gráfica de la operación que lo resuelve. Todo esto sin que nos vean los compañeros. Luego, uno actúa como codificador (hablando de dictados, dictador suena feo 🤭), debiendo dar instrucciones para que el los demás reproduzcan su representación.

No solo reproducir la representación, sino averiguar cuál es la operación que da solución al problema y su resultado. Eventualmente, inventarse un problema que se resuelva con dicha operación.

Se puede hacer de muchas maneras, nosotros pedimos que el codificador no viera la producción hasta haber terminado de describir la representación.

Antes de ponerla en práctica hice una prueba con unos sujetos que tengo cerca y que, en algunas ocasiones, son susceptibles de ponerse con estas historias. Sin darle al scroll, ¿qué creéis que dije para que el otro sujeto llegase a esto?

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 porciones iguales.
Añade una división más.
…

Alegría (la del codificador, yo) 🤭😂, esto… vamos a empezar de nuevo 🤪

Lo que hay detrás de todo esto es que se ponen en juego un montón de consideraciones al respecto de estas representaciones. No solo eso, sino cómo se relacionan estas con los significados del racional, dando libertad para que afloren significados personales.

Si alguien está leyendo esto y le recuerda a otro tipo de actividad, sí. Está inspirado en los dictados geométricos, donde lo que hay que describir es una figura geométrica. Y lo hemos hecho con fracciones, pero es extrapolable a otros contextos.

Retomemos la imagen inicial. Dejo como ejercicio para que deis rienda suelta a vuestra imaginación. ¿Qué operación aparece aquí representada? ¿Qué instrucciones pude haber dado? Os leo.

¿Vamos con la puesta en común? Hilo aquí.

En primer lugar, es una actividad muy abierta y que permite establecer importantes conexiones entre registros lingüísticos. Así que todas las interacciones que hubo (porfa, visitad el hilo original porque son geniales) son valiosas.

Si antes de seguir leyendo una pista más quieres, la raya diagonal que cruza la figura en cuenta deberás tener.

Las instrucciones fueron algo tal que así. Prometo que esta vez dejé que hiciera antes de ver el resultado.

Dibuja un rectángulo más largo que ancho.
Divídelo en 4 partes iguales
Añade otra parte como una de esas.🤔🤪
Sombrea de verde el rectángulo del principio.
Divide toda la figura por la mitad.
Sombrea de rosa una de las dos mitades.

Antes de ir a por la operación que estamos representando, el sombreado de verde, en la cabeza del codificador es para marcar la unidad de medida.

El rosa, para marcar la cantidad de magnitud de interés. Antes de continuar, ¿ya está más clara la operación que estaba en la cabeza del codificador?

En efecto, $\frac{5}{4}:2$ ó $\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}$, lo que da como resultado $\frac{5}{8}$. ¿Se ven los $\frac{5}{8}$ en la figura?

Si os animáis a hacerla en clase, este plato combina muy bien con la invención de problemas (problem posing).

Pd1. Lo de por qué de es multiplicar también lo trabajamos un poquito, pero eso lo dejo para otra ocasión.

Pd2. En la cabeza del codificador, obviamente, la cuestión de las particiones (todas) y los sombreados estaba de diferente manera. 🤭

Tensiones y prácticas inclusivas en la enseñanza de las matemáticas

Mon, 05 Sep 2022 00:00:00 +0000

Tensions and inclusive practices in the teaching of mathematics

Abstract

Within the context of the current educational law, the set of mathematics curricula keep moving in the direction of pedagogies centered on the student and the learning processes. This option must not be merged with a lower importance or impact of the classroom teaching practices. A certain role of the teacher and the teaching is critical to the development of an inclusive mathematics education project that values the contributions and characteristics of all the students. In this chapter, we recommend three teaching practices, relatively simple and responsible towards the equitable distribution of mathematics learning opportunities. We associate every practice with underlying tensions in the institutional mathematics teaching, namely: between formal and informal languages, between academic and everyday contexts, and between verbal and non-verbal communication. We finish with reflections on how these tensions relate to each other, and how they can be regulated by classroom cultures of participation in the mathematical discourse through problem solving.

Cítese como:

Planas, N., Alfonso, J. M., Arnal-Bailera, A., Beltrán-Pellicer, P., & Morell, M. (2022). Tensiones y prácticas inclusivas en la enseñanza de las matemáticas. En L. Blanco, N. Climent, M. T. González, A. Moreno, G. Sánchez-Matamoros, C. de Castro, C. Jiménez (Eds.), Aportaciones al desarrollo del currículo desde la investigación en educación matemática (pp. 352-372). SEIEM.

El libro completo se puede descargar gratuitamente en este enlace.

El conde Draco y su aritmomanía

Fri, 19 Aug 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Te invito también a que visites el artículo que que publiqué en The Conversation.

Quizás sabías que el TOC que sufre el Conde Draco se llama aritmomanía. Lo que quizás no sabías es que no es tan casual que se eligiera a un vampiro para las cosas del contar en Barrio Sésamo. Va hilo con curiosidades y un poquitín de didáctica del conteo.

La aritmomanía puede llegar a ser muy limitante. Consiste en sentir la necesidad de contar constantemente o relacionar cualquier aspecto de la vida cotidiana a números, evitar ciertos números, etc. Por ejemplo, tener que abrir y cerrar la puerta un número determinado de veces.

Dentro de la abundante y variada mitología vampírica, además de ajos y crucifijos para ahuyentar a estos seres, podemos aprovecharnos de su… ¡aritmomanía!

Es decir, que, si les ponemos un montón de granos de cereal o de arena, el vampiro se entretendrá contándolos hasta que se haga de día y ya no pueda hacernos daño por el tema del sol y el bronceado poco sano que les produce.

Aprovecharse de la aritmomanía de las criaturas maléficas está más extendido de lo que parece. Cuando hablé con @turmasalduitana de todo esto me dijo que le recordaba a la leyenda vasca del eguzkilore.

📷 Alicia Egara

Hay varias versiones. En algunas, es el parecido de esta flor con el sol lo que ahuyenta a los malvados espíritus nocturnos. Sin embargo, en otras, se relata que las lamias, para poder entrar en una casa y llevarse a los niños, debían contar los flósculos y dar con el número.

Y claro, como se equivocaban, pues se les hacía de día y salía el sol. Pero volvamos a nuestro querido Conde Draco. Es una lástima que el nombre por el que se le conoce en España no refleje su verdadera naturaleza, porque en el original estaríamos hablando del Count von Count.

Lo cual es delicioso juego de palabras -intraducible- que viene a significar algo así como Conde de la Cuenta. En Latinoamérica fueron fieles a esta idea y se le bautizó como el Conde Contar.

El Conde es de los personajes más queridos. Son varios los motivos que ayudan a ello, desde el carácter que muestra en todo momento, hasta que no comparte todos los clásicos atributos vampíricos. Así, se le ha visto relajándose a la luz del sol.

Su primera aparición en el Sesame Street original fue en 1972, contando bloques dentro de un sketch con Epi y Blas. Aquí, da la impresión de ser algo más siniestro de lo que sería después. De hecho, se observa cómo el Conde hipnotiza a Epi y a Blas.

📷 http://muppet.fandom.com

En ese estreno también se aprecia, cuando termina el conteo y aparece la grafía del número resultante, el que después sería su característico relámpago de fondo.

Es muy característico el humor que desprenden sus sketches a partir de las situaciones más absurdas en torno al conteo. Eso sí, este es siempre es impecable. Desde el punto de vista didáctico, ofrece múltiples oportunidades en Infantil, Primaria y en formación del profesorado.

Los principios en que se sustenta el conteo son un contenido habitual en las asignaturas de los grados de Magisterio. En su presentación clásica (Gelman y Gallistel, 1975, recogido, por ejemplo, en Chamorro, 2005), son los siguientes (contemos):

Principio de correspondencia uno a uno. Cada elemento de la colección que se va a contar debe corresponderse, de manera únivoca, con una, y solo una, palabra-número de la secuencia de palabras numéricas.
Principio de orden estable. La secuencia de palabras numéricas que escojamos para contar debe ser recitada siempre de la misma forma. Uno, dos, tres, cuatro, … One, two, three, four, …
Principio de abstracción. Contar una colección supone interesarse solo por el aspecto cuantitativo de la misma, dejando de lado otras características físicas, irrelevantes, de los objetos de dicha colección.
Principio de no pertinencia del orden. El número obtenido al contar una colección no depende del orden en el que se enumeran sus elementos. Da lo mismo empezar a contar por uno que por otro, el cardinal de la colección no varía.
Principio de cardinalidad. El número enunciado en último lugar no representa únicamente al elemento correspondiente, sino también al total de la colección. ¡Cinco! Cinco maravillosos principios del conteo. Ah, ah, ah.

Cualquiera que conozca mínimamente al Conde (qué pena no escribir este hilo en inglés: “anyone who knows just a little bit about the Count” observará que tiene bien interiorizados todos estos principios.

Es especialmente cuidadoso con en el principio de cardinalidad. Cada vez que termina de contar una colección, el Conde repite el cardinal, cuyo símbolo numérico aparece a veces en pantalla. Entonces, explota su carcajada, a la vez que surgen truenos y rayos de su nube personal.

Por supuesto, el dominio de recitado de la secuencia de palabras numéricas por parte del Conde es absoluto. Resulta imprescindible, como docentes, conocer los niveles de dominio en el recitado para poder promover situaciones de aprendizaje adecuadas.

Los guiones están repletos de juegos de palabras que pierden algo de gracia al doblarse. En una ocasión, el Conde lo que quiere es contar pájaros. Previsor como es él, y conocedor del principio de correspondencia, prepara un conjunto de miguitas.

El Conde, al igual que otros Teleñecos, tiene sus propias canciones. Y son recurrentes las escenas con el órgano, que aprovecha, cómo no, para contar notas musicales del derecho y del revés.

Entre las colecciones más extrañas que ha contado el Conde, estaría sin duda alguna, el número de rechazos que sufre por parte de la Condesa Natacha (the Countess) a sus peticiones de mano

También ha compartido escena -muy divertida- con Susan Sarandon. De regreso al castillo se encuentran con la puerta cerrada y Sarandon observa que tendrán que llamar, a lo que el Conde añade que será una excelente oportunidad para…

La grafía de los números no aparece en todos los sketches del Conde. Ya hemos mencionado alguna vez que son muchos los autores que previenen de una introducción prematura de los símbolos, por lo que tampoco es que sea algo necesario para el conteo y el recitado. No obstante, aunque la grafía en sí es algo puramente convencional, hay que trabajar su trazado en algún momento. Dentro del universo de Barrio Sésamo nos encontramos con algunos personajes que enseñan directamente esta cuestión.

Muchos de los teleñecos tienen cuenta de Twitter, y el Conde no es una excepción. En @CountVonCount se dedica a contar, como no podría ser de otra manera. Si es que cuenta algo, claro. ¿Estará, simplemente, recitando? A día de hoy va por el 3617. ¿Hasta dónde llegará? Veamos…

Podemos jugar a elucubrar a partir de una entrevista que le hicieron en el programa de radio More or Less, de la BBC, a Jerry Nelson, su marionetista de siempre. Perdón, no, ¡al Conde en persona!

📷 http://muppet.fandom.com

La entrevista comenzó con una charla distendida sobre parámetros numéricos de la conexión y con unas preguntas para calentar, como qué fue lo primero que contó (sus dedos de las manos, sus dedos de los pies y las orejas, en ese orden) o acerca de cómo era vivir con aritmomanía. El Conde confesó que tuvo un problema una vez que intentó contar unos pollos que quería vender antes de que nacieran. Al eclosionar los huevos, lo que pensaba que eran 10 pollos, en realidad eran 5 pollos, 3 tortugas y 2 caimanes. Claro, esto no hizo gracia a los compradores.

Sin embargo, la pregunta del millón fue más simple. “¿Cuál es su número favorito?” 34969, respondió el Conde, añadiendo: “Es algo que tiene que ver con raíces cuadradas”. En efecto, la raíz cuadrada de 34969 es 187, pero… ¿qué tiene de especial 187? Los oyentes del programa comenzaron a especular, realizando las siguientes observaciones:

Toby Lewis señaló que 187 es el número total de puntos en las casillas del Scrabble, pudiendo resultar que el Conde las hubiese contado (y le gustase el juego).

David Lees observó que 187 puede escribirse como el producto de dos números primos (11 y 17), algo, sin duda, hermoso.
Simon Philips calculó que 187 es igual a 94²-93², además de que 187=94+93. Lynn Wragg estuvo atenta al indicar que eso es cierto para cualquier pareja de números consecutivos.

Como también señalaron, lo más inquietante de todo es que 187 es también el número del código penal de California para el homicidio, usándose prácticamente como sinónimo en la jerga en unos cuantos estados. ¿Estará ocultando algo nuestro Conde? Quedémonos con su amabilidad y aventuremos que habrá sorpresa en su cuenta de Twitter el día que llegue a 34969. ☺️

Tenéis una versión extendida de esto en la última entrega de Matemáticas animadas en la revista EDMA0-6, con más referencias.

Termino agradeciendo. A José María Muñoz Escolano, compañero en @dm_unizar con quien comparto una línea de TFG sobre dibujos animados que nos lleva a hablar mucho sobre estos temas (¿o es al revés?). A @turmasalduitana, quien me señaló la semejanza de la aritmomanía vampírica con el mito vasco del eguzkilore. Y también quiero dedicarlo con cariño a twitteros con los que he interactuado sobre el Conde, como @mininacheshire y @chussiabaleston, entre otros.

Por cierto, si tenéis sketch favorito del Conde… ¡ aquí hay espacio de sobra para compartir! ¡Feliz lunes!

Ay, la nostalgia de las matemáticas modernas

Fri, 29 Jul 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hala, pues vamos a hablar un poco de la «new math», aquí llamadas «matemáticas modernas». Si hiciste la EGB, es posible que te suenen cosas como esta (de mi libro de séptimo).

Buaf, eso sí que era nivel, no como ahora.
Es que a ver cómo quieren que veamos probabilidad sin teoría de conjuntos con rigor.
Rigor, eso es lo que hace falta. Yo demuestro, eh, a mí que no me miren, que luego llegan a primero de carrera sin haber visto una demostración.

Ay, la nostalgia, otra vez la nostalgia… (un poco de banda sonora)

Cada vez que se menciona el asunto de las matemáticas modernas por aquí es habitual ver interacciones parecidas a las anteriores. Tranquilidad, que no va a ser tan destroyer la cosa, pero sí que pediría tomar distancia. Somos supervivientes y podemos estar sesgados.

Dibujar un diagrama de Venn no es ver teoría de conjuntos

Antes de entrar en faena sí que diré un par de cosas para quitármelas de encima. Usar diagramas de Venn no es ver teoría de conjuntos, así que aparquemos por favor lo de que por dios qué hacemos con la probabilidad en secundaria.

Anda, mira, una actividad de clasificación la mar de maja con diagramas de Venn en infantil.

📷 Howse, T. D., & Howse, M. E. (2014). Linking the Van Hiele Theory to Instruction. Teaching Children Mathematics, 21(5), 304-313.

En la mente del docente claro que puede estar la idea de clase de equivalencia, conjunto de referencia, etc. ¡Debe estar! Pero a la hora de llevar al terreno la actividad, pues tiene lugar un proceso de transposición didáctica (Chevallard).

Vamos, que el objeto a nivel académico se trata con el rigor que se quiera, pero para su enseñanza en la etapa X, se adapta.

La otra cosa que quería quitarme de encima es el «yo demuestro, eh, que ahora es que no se demuestra nada de nada». Los que tienen que desarrollar la capacidad (competencia, pero parece que esto a veces produce urticaria) de conjeturar y probar es el alumnado.

Parece una tontería, pero no. ¿Habéis probado a demostrar a palo seco la fórmula de la ecuación de 2º grado «delante» del alumnado? No se enteran más que dos o tres, y uno de ellos se limitaría a repetirte la demostración.

Pues eso no es porque no se hagan nunca demostraciones delante de ellos, sino porque no se les ha puesto en la tesitura de conjeturar anteriormente ni de elaborar pruebas con un rigor relajado.

¿Una ida de olla?

Venga, que decía que no iba a ser tan destroyer. Y es verdad, no es justo quitarse de encima la matemática moderna diciendo que era una ida de olla que nunca tuvo que haber ocurrido, que cómo estaban las cabezas, etc.

Ocurrió porque se produjo una conjunción del estructuralismo de Bourbaki con los estudios de Piaget y con que la didáctica de la matemática no estaba desarrollada (surge a finales de los 70 y a «consolidarse» a mitad de los 80, aunque lleva teniendo que justificarse desde entonces).

Además, ocurrió porque se quiso mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, ofreciendo a todos algo más que lo básico. Pero estoy corriendo mucho y me estoy dando cuenta de que a lo mejor no todos los lectores saben muy bien qué fue esto de la new math.

Pues fue un movimiento que intentó cambiar la forma en la que se veían las matemáticas escolares, desde mediados de los años 50 a mediados de los años 70, llegando a los años 80 en ciertos lugares. Nos podemos imaginar esto como un péndulo.

Se partía de una situación en la que el contenido en la escuela primaria se reducía prácticamente a la aritmética básica y, en la secundaria, a álgebra tradicional, algo de geometría euclídea y trigonometría. También, un enfoque muy del yo explico y tú repites.

Se quiso introducir álgebra moderna (conjuntos, funciones, vectores, etc.), matemáticas computacionales (otras bases), geometría moderna (transformaciones) y probabilidad y estadística.

Fuente: Kilpatrick (2012)

¿Y esta necesidad de cambio? Pues es la misma que lleva a los muchachos de un pueblecito de EE.UU. a hacer un cohete para una feria científica en la película Cielo de octubre: el lanzamiento del Sputnik.

En el contexto de la Guerra Fría, se quiso mejorar la enseñanza de las matemáticas a ambos lados del atlántico. Esto lo recoge Kilpatrick (2012) en su artículo en la ZDM.

Espera que en la captura de antes he visto las siglas malditas de la OCDE. ¿Cómo? Curioso que ahora haya quien critique a esta organización por querer una enseñanza más ¿competencial? ¿utilitarista? cuando en tiempos buscaba lo más lejano posible.

Las conspiraciones y opiniones sobre las políticas comerciales mundiales me las guardáis para otros hilos, porfa. Con el anterior tuit solo resalto una curiosidad.

Es verdad que los esfuerzos reformistas estuvieron dirigidos primero a cursos de la secundaria orientados a la preparación universitaria, pero no tardó en extenderse el movimiento a la escuela primaria y a países fuera de la OCDE.

¿En la Unión Soviética qué se estaba haciendo? Allí fue Kolmogorov quien, a principios de los 60, sentó las bases de los nuevos currículos. Si bien estos incluían algo de teoría de conjuntos, ni de lejos tanto ni en un lugar tan central como en la new math de la OCDE.

De momento vemos que la motivación de la new math incluye un factor político nada desdeñable. Pronto surgieron dificultades, como en la adaptación de los materiales a los diferentes contextos educativos de los diversos países.

Llegan las críticas

Y llegan las críticas, tanto de personajes no implicados en el movimiento reformista de la matemática moderna, como de otros dentro de las comisiones e, incluso, parte de Bourbaki.

La más sonada fue, quizás, la de Kline (1973), con su Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math. Pero antes, en 1962, Kline, Bers, Polya (sí, el del modelo de resolución de problemas) y Schiffer ya habían escrito un memorando firmado por otros 61 matemáticos.

Se titulaba «On the Mathematics Curriculum of the High School» y venía a señalar que el currículo debía abordar unas matemáticas para todos y no solo para los que fueran a hacer matemáticas en la universidad.

Esto es un poco confuso, porque precisamente la new math tenía un lema que rezaba «unas matemáticas para todos». Los objetivos eran loables, sí, pero el énfasis en las estructuras matemáticas generales y los conceptos teóricos fundamentales jugaban en su contra.

Hace poco hablaba de Chevallard y a cómo usaba el término monumentalismo para referirse a ese tipo de enseñanza que se reduce a presentar una especie de obra ya construida que el alumnado solo puede visitar, sin participar de ella. Y que tiene que maravillarse, claro.

Ese estructuralismo también fue fuertemente criticado por Freudenthal, quien lo calificó de «inversión antididáctica». Es decir, no hay nada didáctico en dar todo ya construido de forma estática y axiomática.

Todo esto no se sabía entonces, claro. Antes hablaba del movimiento pendular, aunque en el fondo no es muy apropiado, ya que es un problema multidimensional. Pero estirémoslo un poquito. Las críticas ocasionaron una reacción llamada «back to basics», la vuelta a lo básico.

Es decir, déjate de tonterías y vamos a la matemática para la vida real, junto con el enfoque del «yo explico y tú repites» (que, ojo, era el elefante en la habitación y tampoco se abandonó durante la matemática moderna).

Luego llegarían los nuevos movimientos reformistas y las math wars, pero eso es otra historia. Que la nostalgia por la matemática moderna debería estar superada no quiere decir que no tuviera su relevancia. Antes de ella se pensaba que las matemáticas escolares eran las que eran.

A pesar de que los reformistas de la new math no sabían gran cosa de diseño curricular (pero esto no lo sabían), pusieron sobre la mesa cuestiones importantes y ya nada volvió a ser lo mismo.

Además, calificar de fracaso a la matemática moderna no es tampoco justo. Davis (2003) pone en duda que existiera algo como tal, ya que la cosa varió mucho de un cole o instituto a otro, al menos en EE.UU. Incluso, que hubo muchos centros que apenas se vieron influidos.

Davis, de hecho, va más lejos y se anima a señalar que hubo centros donde el programa se implementó de forma cuidadosa por docentes muy bien formados, y que comprendían lo que se traían entre manos, obtuvieron buenos resultados.

Yo qué sé, tomemos la actividad que ponía al principio de los diagramas de Venn para clasificar bloques lógicos. No hay capas de abstracción innecesarias ni formalismos que oculten la chicha. Las ideas potentes están ahí.

Ese era el problema que tan bien describen, aunque escueza, Chevallard o Freudenthal. No habrá capas de abstracción extra, pero esos niños y niñas identifican características y clasifican con criterios lógicos. Trabajan con el material, se familiarizan con él, discuten y piensan.

A nosotros, como docentes que conocemos la maravillosa construcción que son las matemáticas nos puede tentar el exponerla así. Tenemos que superar ese síndrome de Stendhal. No solo eso, sino asumir que son eso, una construcción, donde los procesos son muy importantes.

Epílogo y referencias

Pero, ¿se habla alguna vez de esto en los congresos de didáctica? @carlosyedma lleva un tiempo fuera de Twitter, pero en tiempos comentaba esto, que es ilustrativo. Básicamente, que una vuelta a la teoría de conjuntos ni se contempla:

El año pasado asistí en un congreso de Didáctica de las Matemáticas a una comunicación (en una sesión no evaluada por pares) en la que proponían recuperar la teoría de conjuntos. Produjo tanto bochorno que al final no hubo preguntas ni comentarios. En instantes quedó la sala así.

Aquí un documento gráfico que me llega vía @chussiabaleston

Justo hoy, @mallemar hablaba del sesgo del superviviente. Si viviste como alumno la matemática moderna y te ha resultado útil, ¿cómo no?

@totipm tiene unos hilos muy personales narrando su experiencia vital con todo este tema que merece la pena leer.

Teorema, lema o algo

A modo de teorema, lema o algo. El talento prospera en las condiciones más insospechadas. ☺️

Tom Lehrer

@CMCI2M nos recuerda esta canción de Tom Lehrer.

Recreación de algunos personajes

En este hilo, podéis poner gifs a los personajes de esta historia.

Algunas referencias

Kilpatrick, J. (2012). The new math as an international phenomenon. ZDM, 44(4), 563-571.

Phillips, C. J. (2015). The new math: A political history. The University of Chicago Press.

El contexto, la vida cotidiana y las situaciones de aprendizaje

Tue, 26 Jul 2022 00:00:00 +0000

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Hasta hace poco no era consciente de que había cierto debate sobre a qué se le puede llamar situación de aprendizaje LOMLOE™️. Va un mini-hilo.

Que si no tiene contexto, no es situación de aprendizaje.
¿Ein?

Para que no lo tengáis que buscar, ya os lo pongo aquí. El Anexo III del RD 157/2022 de Enseñanzas Mínimas. Me centraré en las partes resaltadas, referentes al contexto y a la vida cotidiana. Y en Matemáticas.

Aunque debo decir que dejo aparcada la cuestión, por haberse tratado en anteriores episodios, de la vida cotidiana. Solo señalar que sería preferible hablar de situaciones cercanas y significativas para el alumnado.

Venga, vamos a verlo con un ejemplo. En efecto, las figuras geométricas se abstraen de formas y cuerpos del mundo real. Por eso, en el primer nivel de razonamiento (Van Hiele), podemos llegar a decir que un rectángulo es como una puerta o que un cuadrado es como una ventana.

Pero cuando progresamos en los niveles de razonamiento y queremos pasar a trabajar clasificaciones de cuadriláteros, lo haremos con entidades abstractas, no con puertas o ventanas.

Las actividades de clasificación de cuadriláteros y otras figuras con criterios exclusivos, primero, e inclusivos, después, ya os digo que bien planteadas son situaciones de aprendizaje en toda regla.

El caso es que el término «contexto» en matemáticas no implica algo real necesariamente. Y, cercano, no implica algo de la vida cotidiana, sino que sea significativo. Evidentemente, existe un problema cuando introducimos capas de abstracción innecesarias.

Si hay una escuela de didáctica centrada en el contexto, esa es la escuela holandesa, conocida como «Enseñanza Matemática Realista» (Realistic Mathematics Education).

¿¿¿ R E A L I S T A ???

Pues sí, porque en primer lugar, realista no implica real, sino que pueda ser imaginado.

Toda esta cita, de una de las autoras más representativas de la EMR nos viene que ni pintada, pero subrayo la conclusión.

Van Den Heuvel-Panhuizen, M. (2005). The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the learning of mathematics, 25(2), 2-23.

El mundo de la fantasía o de los cuentos de hadas e incluso el mundo formal de las matemáticas [¡anda!, como los cuadriláteros] pueden proporcionar contextos adecuados para un problema, siempre que sean reales en las mentes de los alumnos y puedan experimentarlos como tales.

Por si lo queréis leer completo, dejo el enlace.

Bueno, que esa es otra, también os podéis pasar por el imprescindible NRICH, a ver cuántas tareas/problemas/juegos tienen contexto «real». Y luego, a ver quién tiene narices de decir que no son situaciones de aprendizaje válidas. Por cierto, en su web tenemos los retos de verano. Cada día, del 18 de julio al 2 de septiembre:

Aquí enlace para los retos para Primaria.
Aquí los retos de verano para Secundaria.

Y para terminar, el Instituto Freudenthal (EMR) también tiene unos cuantos materiales. Aquí, sobre ecuaciones y gráficas.

Breve anexo sobre vida cotidiana y funciones

Dejo también un breve anexo sobre alguna de las repercusiones que puede tener el tomarse la vida cotidiana en sentido estricto. Lo puse en este hilo:

Ay, que me meo. “Otra concepción errónea sobre funciones tiene que ver con la causalidad […]. Se confunde dependencia con causalidad […]. Esto suele ocurrir en alumnado expuesto sobre todo a funciones relacionadas con contextos concretos de su vida cotidiana […]”

Reducir vida cotidiana siempre a cotidianidad estricta en lugar de a lo cercano y significativo es mala idea. Ah, el artículo clásico sobre funciones y gráficas de Leinhardt, Zaslavsky y Stein es maravilla.

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No existen las «matemáticas manipulativas»

Mon, 25 Jul 2022 00:00:00 +0000

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No existen las «matemáticas manipulativas». Los manipulativos no son recetas mágicas ni su uso implica una comunión con una visión concreta de las matemáticas. Intento compartir una reflexión veraniega sobre ello.

Mi ejemplo favorito para ilustrar esto son los números enteros. Cualquier modelo concreto, sea con manipulativos o un modelo referido a un fenómeno sensible, presenta obstáculos. Cualquiera. Para saber más sobre los enteros, aquí.

Los números enteros, con sus propiedades de orden y su estructura aditiva y multiplicativa, surgen por una necesidad interna de las matemáticas. A más de uno (a mí me pasó) le vuela la cabeza que haya que detenerse en clase en «tontadas» como por qué (-8) es menor que (-2).

Cuando utilizamos un modelo concreto para esto, funciona porque nosotros, como docentes conocedores de las reglas del juego, explicamos cómo usar el manipulativo. Se suma así, se resta asá, etc.

“Funciona”, en el sentido de una regla nemotécnica. En lugar de aprenderse a palo seco unas reglas algebraicas, te aprendes cómo usar un manipulativo. Dos de estas hacen un -2, junto estas para hacer un cero, etc.

¿Sirve mejor como recordatorio de las reglas de los signos en este caso? Evidentemente, porque tienes más puntos de apoyo para recordar. Pero si se te olvida lo uno, y sigues sin dar sentido a lo otro, estás perdido.

¿Hemos hecho matemáticas en el proceso? ¿Qué matemáticas? Si el manipulativo solo sirve como facilitador para recordar y no como medio para reconstruir el objeto en caso de olvido, cuando hablamos de técnicas como estas de la regla de los signos, lo siento pero tecnología.

El otro día decía que yo nunca digo que no es que no haya que ver técnicas, sino reflexionar acerca de qué técnicas son interesantes y cómo llegar a ellas. Si evitamos ciertos procesos en su construcción, no pasa nada por tirar de tecnología.

Ay, profe, que no sé si $(-2)(+3)$ es $+6$ o $-6$. Había una regla o algo. Desde luego, tendremos algunos alumnos que ya pueden haber vivido la experiencia más constructiva al respecto posible y que sigan teniendo estas dudas.

Pero cuando estemos haciendo matemáticas, tengamos claro qué matemáticas queremos hacer. Si eso es coherente con lo que pensamos, adelante. Nada más.

Otro ejemplo que he mencionado alguna vez, y admito que puede ser más sutil, lo encontramos en las regletas de Cuisenaire. Es verdad que un buen o mal uso pasa, en primer lugar, por el lenguaje que se utilice. Dejando a un lado el tema del color, que se las trae…

Resulta que en aritmética mal, porque no conectan directamente con el conteo. Y en medida, su propósito, regular, porque al ser estructuradas se saltan cositas del proceso de medida y no dan pie a que el alumno construya eso por sí mismo.

Por eso las tareas iniciales suelen ser muy guiadas. Que sea estructurado significa que, aquí, hay 10 regletas con unas medidas concretas. Hay una estructura que permite hacer unas cosas y otras no. Es un material diseñado de antemano para reflejar cierto objeto matemático.

Esto último no es malo per se. De hecho, las regletas podrían servir para establecer conexiones en cierto momento, pero como tareas iniciales de medida tienen sus pegas. Mucho mejor un material sin estructurar para tener que tomar decisiones a la hora de construir la subunidad.

A tope con los manipulativos (en mi perfil hay varios hilos que muestran que los he usado en secundaria). Pero también con la reflexión acerca de su uso. A mí, personalmente, me ha servido de mucho preguntarme si lo que hago concuerda con mi idea de las matemáticas.

Vaya, que con esto no quiero desanimar al uso de los manipulativos, eh. Que sé de coles de primaria donde su presencia es testimonial o nula y eso no puede ser. Y en secundaria, en fin.

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A vueltas con los algoritmos tradicionales

Mon, 14 Mar 2022 00:00:00 +0000

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Con lo bueno que es este tuit y ya he leído por ahí que si los algoritmos tradicionales por aquí y por allá. Hasta las narices, pero lo diré una vez más.

Link al tweet

El ÚNICO problema que tienen los algoritmos tradicionales radica, en todo caso, en la enseñanza «tradicional» de estos con objetivos «tradicionales».

Más aún, ahora en el currículo de primaria está el sentido algebraico y pensamiento computacional. No sé cómo lo veréis, pero los algoritmos forman parte de ese pensamiento computacional.

Que en primero y segundo de EP habría que limitarse a algoritmos en contextos de orientación espacial, acciones varias, etc. Sí. Y no ver un algoritmo de las operaciones, ni tradicional ni otro, también.

Pero a partir de final de 3ºEP o 4º EP los algoritmos de las operaciones son una oportunidad excelente para revisitar conceptos que tienen que ver con el sistema de numeración posicional y, vaya, cosicas del pensamiento computacional.

Las actividades sobre algoritmos de las operaciones pueden (deben) arrancar del trabajo con manipulativos. Como siempre, la reflexión sobre las acciones físicas que se hacen es la que motiva las instrucciones del algoritmo.

A partir de ahí, y teniendo claro que el algoritmo con lápiz y papel para obtener, simplemente, resultados de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, deja bastante que desear y que, como mínimo, es una alternativa más… se plantea un mundo de posibilidades.

Y con estos números, ¿habría que modificar el algoritmo?
¿Y si empezamos por la izquierda en lugar de por la derecha?
Y este otro algoritmo (se enseña una representación, como el de la multiplicación “japonesa” o “maya” -viral en cualquier caso 🤪-).. ¿cómo funciona?

¿Con manipulativos? ¿Cómo? Algo así. En el hilo lo muestro con billetes de base decimal, pero para los de la suma y la resta usaría puntos-barras-placas o similares.

Sumas y restas con llevadas, traditional flavour, con billetes

Aquí multiplicación y división

¿Distintos algoritmos en clase?
Sí.
Es que se lían.
Es que una cosa es restar y otra trabajar algoritmia (por lo de pensamiento computacional).

Y si en clase tengo alumnado que usa el algoritmo anglosajón y otro que…

Multiplica al revés

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¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir?

Mon, 31 Jan 2022 00:00:00 +0000

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¿Sabes que usamos un sistema de numeración diferente al hablar que al escribir? Haz la prueba con unos cuantos.

Al escribir usamos un sistema posicional regular de base diez. Para ello, se utilizan 10 símbolos, que llamamos cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y, al hablar, qué. Porque al leer 3200 no se dice tres-dos-cero-cero.

Tampoco se lee cero-cero-dos-tres, como apunta @arivero por los comentarios. 11 por ejemplo se lee ‘once’ y eso es una irregularidad, porque no se dice ‘dieciuno’. Pero más aún, cuando hablamos, ¿usamos realmente un sistema posicional?

Venga, que después de recuperarnos de lo de Nadal y mientras se la juegan los hispanos… Nuestro sistema oral va a ser que lo que se puede llamar un sistema híbrido de base 10 pero con irregularidades.

¿Qué es un sistema híbrido? Pues tenemos el ejemplo del chino tradicional (o del japonés, o como apuntaba @bpalop por los comentarios, el coreano nativo). En el chino tenemos estos símbolos. Es decir, no hay símbolo para el cero, porque no va a hacer falta.

Hay símbolos para la unidad (1), la base (10), para las potencias de la base (100, 1000, 10000, etc.) y para todos los números entre la unidad y la base (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

O sea, que para escribir 50347, lo que hay que hacer es pensar (y escribir) algo así:

5 veces diez mil, 3 veces cien, 4 veces diez y 7.

Y por qué nos vamos al chino para hablar de cómo decimos nosotros los números. Como decíamos, es muy parecido. El nuestro hablado también es híbrido.

Observemos que hay símbolos para los números entre la unidad y la base (dos, tres, cuatro, …, nueve) y también para la base (diez) y sus potencias (cien o ciento, mil). 3200 lo leemos como ‘tres mil doscientos’. 3 MIL 2 CIENTOS.

Pero tiene irregularidades, vaya que si las tiene. Como apuntaba antes, 11 se lee ‘once’ y no ‘diez y uno’ que sería lo normal si el sistema fuese regular. Esto ocurre hasta el quince (hablo del español, eh).

Además, decimo ‘veinte’ y no ‘dos-dieces’ o ‘dos-decenas’. Es decir, hay palabras específicas para las decenas: veinte, treinta, … noventa.

Con las centenas, la cosa empieza regular (regular de bien, de lógica, 😉): dosCIENTOS, tresCIENTOS, cuatroCIENTOS. Pero tenemos la cosa esta del quinientos, donde se pierde un poquito este principio multiplicativo.

Por otro lado, no todas las potencias de la base (10) tienen su propia palabra específica. 10000 es diez mil. Sin embargo, luego 1000000 es ‘millón’.

En el aprendizaje de la lectura y escritura de números hay que tener todo esto en cuenta, porque no es trivial en absoluto. En vocabulario técnico, tenemos que pasar de un sistema posicional a un sistema híbrido. O al revés, claro.

Si queréis profundizar sobre todo esto, os dejo link al capítulo de Cid, Godino y Batanero sobre sistemas numéricos en el proyecto Edumat-maestros.

Y bueno, qué mejor referencia sobre sistemas de numeración que el libro de G. Ifrah, From One to Zero.

Algunas actividades sobre sistemas de numeración al comienzo de la secundaria en este enlace.

Relacionado

@smargeli mencionó una interesante actividad de Fisher y Vince en Investigando las matemáticas. ¿Sabrías rellenar los huecos?

Aprender a pensar como un matemático

Sat, 29 Jan 2022 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter, junto con alguna mención a otras cosas que puse estos últimos días.

Comprendo que la frase esa de que no te tienen que enseñar matemáticas (o lo que sea), sino a pensar como un matemático (o lo que toque), pueda parecer místerwonderfuliana y produzca rechazo. Pero cuidado.

Porque vamos a volver a lo de siempre. ¿Qué es enseñar matemáticas? ¿Qué es aprender matemáticas? O sea, me tienen (¿tengo?) que meter en la cabeza definiciones y procedimientos hasta que un día diga…

Ahoooora, ahoooora ya puedo empezar a pensar como un matemático.

A ver. Si para ti, pensar como un matemático empieza con «Sea un épsilon tal que…», entonces deja de leer este hilo y sigue a tu rollo.

No creo que la f(x)=tipo de pensamiento sea una función discontinua 😉. Es decir, no te levantas un día y dices:

Ayer no pensaba como un matemático. Pero hoy, mira por dónde, sí.

Esto solo pasa en las pelis de Spiderman. Cambia lo de los superpoderes por un «Sea un épsilon…».

En INFANTIL se puede empezar a pensar como un/a matemático/a. Se debe, qué narices. Porque desde el momento que les sueltas un cubo de piezas de Duplo, o de bloques lógicos y se ponen a clasificarlos… ¡están haciendo matemáticas!

Es más, están pensando como lo haría un matemático. Desde el principio. Se discuten criterios de clasificación, se abstraen propiedades de esos objetos que no dependen de que se cambien de orientación, etc. Y cada vez emplearán argumentos y criterios más elaborados, claro.

Aprenderán hechos matemáticos, nuevo vocabulario, etc. Sin embargo, se aprende a pensar como un matemático desde el primer minuto. Y esto enriquece a cualquiera, aunque luego no vaya a hacer un grado de matemáticas.

No olvidemos que quizá, el contrato didáctico más poderoso y determinante sea el que establece quién es el primero que dice qué sobre el objeto de aprendizaje.

Te invito a leer este hilo de @sergioMJGR. O pasarte por mis entradas sobre aprendizaje a través de la resolución de problemas. Aunque, ya que estamos, quizá quieras leer nuestro reciente artículo sobre el tema.

Relacionado

@aperezsanz mencionó la excelente reflexión de Paul Lockhart en su Lamento de un matemático. Enlace al artículo en la Gaceta de la RSME.

Enseñar a través de la resolución de problemas

Fri, 31 Dec 2021 00:00:00 +0000

Through problem solving

Abstract

We describe the fundamentals of teaching mathematics through problem solving, the essence of which is that the content emerges from the situations and problems that are proposed to students. Based on our experience, we walk through the curriculum to illustrate what the tasks are like, the organization of the classroom and the role of the teacher in providing the necessary scaffolding. We also offer some ideas to face a possible lock down, due to a pandemic scenario, to maintain coherence with this way of conceiving teaching and learning.

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11-21.

Recuerdos del ayer

Thu, 30 Dec 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

«Recuerdos del ayer» (Takahata, 1991) es una película preciosa de Ghibli. Pero es que se marca la escena más impactante sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de la historia del cine. Visionado obligado. Y punto. Va hilo.

Dedicado a los que cuando se habla de comprensión (relacional) preguntan que qué problema hay con la mecanización. O que no pasa nada por ver primero la técnica y luego ya, si eso. Que si se pierde tiempo.

O que por qué entonces desde la mecanización hay alumnos que avanzan y progresan estupendamente (a pesar de y de aquella manera, diría yo). Etc.

Pongamos primero un poco de contexto. «Recuerdos del ayer» no puede decirse que sea una película para el público infantil. Desde luego, no solo. No porque haya violencia o imágenes poco apropiadas para los más pequeños, pues no hay nada de eso.

Sino porque se trata de una película serena, sosegada e intimista, que aborda temas que exigen cierta madurez. Podría decirse que el tema central es la nostalgia, aunque eso sería simplificar mucho las cosas.

Hay espacio para poner en juego el contraste entre el mundo rural y el urbano (temas clásicos en Ghibli), la relación de la civilización con la naturaleza o, como veremos, la ideología que subyace a los objetivos que nos planteamos en la educación, sean explícitos o implícitos.

Taeko, la protagonista, es una joven de 27 años que vive en Tokyo. Solicita un permiso de vacaciones para poder pasar unos días trabajando en el campo, donde pasó algunos de los momentos más felices de su vida.

La película irá intercalando el presente con los recuerdos del pasado de Taeko, cuando tenía 10 años. En este sentido, hay que reconocer la labor de Takahata, ya que desde el punto de vista narrativo no resulta sencillo hilvanar ambos períodos temporales y que el relato fluya.

Y lo consigue, vaya que si lo consigue. Cada recuerdo de Taeko surge del presente y, al mismo tiempo, presiona para tambalear su vida, llegando un momento en el que ya no sabe qué hacer. Es entonces cuando su nostalgia se vuelve fuerza transformadora.

En cierto momento de la película, Taeko conversa con Toshio, un joven del pueblo con el que entabla amistad y comparte muchos de sus recuerdos y reflexiones, y le saca el tema de las matemáticas escolares. Es algo que hace completamente a bocajarro.

No esperas que alguien te pregunte si aprendiste con facilidad a dividir fracciones, ¿no?

Por cierto, Toshio, cuando ibas a la escuela ¿aprendiste enseguida a dividir fracciones?
¿Ein?
Sí, lo de intercambiar numerador y denominador para después multiplicarlo.

¿Que a qué viene esa pregunta? Atención a la bomba que deja caer la buena de Taeko, como si nada:

Creo que los que pueden dividir fracciones sin dificultades después tienen pocos problemas en la vida. ¿Y eso?
Tenía una compañera que no era muy buena en matemáticas, pero intercambiaba numerador y denominador como le decían y sacó un 10. Creció haciendo caso de lo que le decían y no tuvo ningún problema. Ahora es madre de dos niños. Yo era muy mala en eso.

Taeko señala que no era especialmente lista 🤷‍♀️. Pero sí que le gustaba preguntar y cuestionarse. La película no se limita a mencionar el asunto de la división de fracciones, sino que, en consonancia con su estilo intimista, se deleita en ello.

Entonces Takahata vuelve al ayer de Taeko y nos muestra sus intentos por comprender la división. Rememora aquel día en que suspendió un examen de matemáticas y su madre instó a su hermana mayor a que se lo explicara.

Veamos qué significa dividir fracciones para Yaeko y por dónde empieza su explicación.

Siéntate. Dime las tablas de multiplicar.
¿Las tablas? Ya me las sé, que estoy en quinto.
Entonces si te las sabes por qué te has equivocado.
Lo que se me da mal es dividir fracciones.

Yaeko lo ve tan sencillo que no entiende qué le pasa a Taeko.

Tienes que intercambiar el numerador con el denominador. Y luego lo multiplicas. Solo eso, te lo han enseñado en el colegio, ¿no? Entonces, ¿por qué te has equivocado?

Y aquí viene la pregunta clave que lanza Taeko y que descoloca a su hermana.

¿Qué sentido tiene dividir una fracción por otra?
¿Ein?
Si dos tercios de una manzana los dividimos entre un cuarto… Es decir, si dos tercios de una manzana los dividimos entre 4 personas, se trata de saber cuántos trozos de manzana le tocarán a cada una, ¿no? Entonces, 1, 2, 3, 4, 5… Les toca una sexta parte de la manzana.

Claro, esto a Yaeko le vuela la cabeza.

No, no, no, ¡eso es multiplicar!
¿Sí? ¿Por qué? ¿Cómo va a ser más pequeño un número cuando lo multiplicas?
Mira, dos tercios de una manzana dividido por un cuarto significa que…

CRI CRI

Lo que estamos viendo es que Yaeko, la hermana mayor no posee el conocimiento especializado del contenido.

¡Eso no importa! No te compliques pensando en manzanas, solo memoriza esto. Al multiplicar lo dejas igual, al dividir lo inviertes.

Y YA ESTÁ

Esto de las fracciones es una excusa para tratar temas que van desde el papel de la mujer en la sociedad nipona de aquellos años hasta cómo nos dejamos abrazar, a veces, por la seguridad reconfortante de saber que estamos haciendo simplemente lo que nos piden, sin cuestionarlo.

Más adelante, Taeko vuelve a recordar el episodio de las fracciones, mostrando cómo se resistía a darlo por imposible, por mucho que le dijera su hermana. Y es que actitudes como la de Taeko son inhibidas en multitud de ocasiones sin darnos cuenta.

Desconocemos si el profesor o profesora de Taeko era capaz de proponer una situación que diese significado a la división de fracciones. Es decir, no sabemos si carecía de conocimiento didáctico-matemático para ello o que, simplemente, se dedicaba a enseñar la técnica.

Lo que está claro es que en clase no se le había dotado de significado a la división de fracciones. Y que, desde luego, su hermana Yaeko tampoco era capaz de darle significado, aunque a ella no le importaba. Asumía el contrato didáctico.

La división de fracciones tiene miga. Es curioso el paralelismo que encontramos con algo que escribió Ma acerca de esto en su libro, cuya primera edición data de 1999, sobre las matemáticas fundamentales para la enseñanza, tanto en China como en EE.UU. a modo de comparación.

Uno de los ejemplos que más le llama la atención a Ma es, precisamente, la división de fracciones. Y, ya en la introducción hace referencia a la sorpresa que le causaron las dificultades que mostraban los docentes de EE.UU para calcular el resultado de la operación 1¾ : 1/2.

No nos distraigamos por el hecho de que aparezca un número mixto, ya que en ambos países están acostumbrados a ellos. Ma señala que prácticamente todos los docentes chinos calculaban el resultado sin vacilar, mientras que en EE.UU. solo lo hacían correctamente la mitad.

Ma sitúa el origen de estas dificultades en que los docentes estadounidenses no habían llegado a construir un significado adecuado de la división de fracciones, debido a que su conocimiento al respecto carecía de conexiones y relaciones.

En otras palabras, no era una comprensión relacional, sino que se basaba únicamente en una idea: el modelo partitivo de la división entera. ¿Acaso no es complejo entender la división de fracciones? Claro que sí.

Probad a pensar en situaciones contextualizadas que respondan a la operación anterior de 1¾ : 1/2 (o, lo que es lo mismo, 7/4 :1/2). Son estas situaciones las que permiten desarrollar esa comprensión a nivel conceptual.

Ma pone el siguiente ejemplo:

Corta una manzana en cuatro piezas del mismo tamaño. Toma tres de estas piezas y ponlas junto a una manzana entera. Consideremos que 1/2 manzana será una ración. ¿Cuántas raciones podremos obtener de 7/4 de manzana (1 manzana y tres cuartos)?

Hay muchas más historias que responden a la división de fracciones. Se puede jugar con las magnitudes involucradas, si ambas fracciones indican medidas o una de ellas actúa como operador, etc.

Todo este conocimiento forma parte del conocimiento especializado del contenido. Es conocimiento didáctico-matemático. En otras palabras, siguen siendo matemáticas, aunque orientadas a la enseñanza.

Y los primeros que debemos procurar poseer este tipo de conocimiento, así como las competencias que lo ponen en juego, somos los docentes. Si queremos que nuestro alumnado desarrolle una comprensión relacional, claro.

Volvamos a Japón, cuna de nuestra película. Llama la atención que hayan sabido sobreponerse a esa tradición tan estricta que permea «Recuerdos del ayer». Al igual que Taeko, han sabido respirar y tomar perspectiva.

Akihiko Takahashi rememora en su reciente libro cómo recogieron en los años 80 y principios de los 90 las ideas de los estándares que iba publicando el NCTM, asumiendo que eso era lo que se estaba haciendo mayoritariamente en Estados Unidos. Nada más lejos de la realidad.

Después de veinte años de experiencia y habiéndose establecido el lesson study como un verdadero plan de desarrollo profesional, volvió a EE.UU., comprobando que no se estaba haciendo enseñanza a través de la resolución de problemas de forma extendida. 🤷‍♂️

Actualmente vivimos una etapa de cambio curricular. Las orientaciones internacionales siguen empujando en la misma línea de aprender a través de la resolución de problemas, puesto que no se puede concebir de forma aislada. Aunque claro, depende de a lo que llamemos matemáticas.

Me permito enlazar el hilo ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre? que va precisamente sobre lo anterior.

Voy terminando. Como decía, para mí estamos ante una de las escenas de cine más profundas, si no la que más, sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Va a ser un fragmento de visionado obligado, tanto en Magisterio como en el Máster ESOb.

Da pie a montar un pequeño debate donde, al igual que Taeko, intentamos recordar cómo vivimos aquellas matemáticas escolares.

Comento todo esto en el artículo de la sección «Matemáticas animadas» del reciente número de EDMA0-6, donde aprovecho para hacer un repaso de anteriores entregas.

No os perdáis ese último número y guardad la revista EDMA0-6 en favoritos como referencia en educación matemática para infantil (especialmente) y primaria 😊.

Y con esto… hilo-novela terminado. ¡Felices fiestas!

¡Pero si la revista EDMA0-6 tiene nueva casa digital en la Universidad de Valladolid! 👏

Créditos

📷 El copyright de las imágenes pertenece a sus respectivos autores y/o productoras/distribuidoras.

¿Y si empiezas a multiplicar al revés, de izquierda a derecha?

Sun, 14 Nov 2021 00:00:00 +0000

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Peque mayor (5º primaria) me ha dejado plantearle un problema. Están con multiplicaciones. Algoritmo tradicional.

Vale, ¿y si empiezas al revés?
¿Cómo que al revés?
Sí, de izquierda a derecha.

Hemos empezado con uno más tontorrón.

Y a escuchar justificaciones.

¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre?

Sat, 23 Oct 2021 00:00:00 +0000

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A este equipo de fútbol se le dice que tiene que jugar un partido el domingo a las 18:00.

A este otro también. En el mismo lugar que el del tuit anterior. Y a la misma hora.

Ambos equipos creen que van a jugar a fútbol el domingo. No se les pasa por la cabeza otra cosa. De hecho, empiezan el partido.

Y la situación es loca, muy loca. Nadie entiende nada. Como no paren y hablen largo y tendido sobre qué entiende cada uno por fútbol, la cosa puede acabar mal. No querrán volver a saber nada de aquellos locos que decían que jugaban a fútbol.

Algo parecido pasa en la educación matemática (y en la educación, en general), con la palabra «comprensión». Pero hay una diferencia fundamental con los del fútbol.

Al menos uno de los equipos no puede negarse a jugar. El partido es obligatorio. Y no es un solo domingo, no. Se juega cinco días a la semana durante 9 meses al año. A lo largo de, al menos, 10 años de la vida de un niño.

Y hay profesores que juegan a la comprensión instrumental y otros que juegan a la comprensión relacional.

Skemp, al que luego enlazaré, señala que dejando a parte la cuestión de cuál de las dos comprensiones es «mejor», si la instrumental o la relacional, hay dos tipos de malentendidos.

Alumnado cuyo objetivo es comprender instrumental, cuando su profesor quiere que comprendan relacionalmente.
Al revés.

El malentendido 1 causa menos problemas a corto plazo al alumnado, aunque puede ser frustrante para el docente. Los alumnos lo que quieren es una regla para conseguir la respuesta. Cuando lo consiguen, el resto les da igual.

Obviamente, el alumnado piensa de esa manera en base a su experiencia previa. Ellos saben lo que son las matemáticas. No solo eso, sino cómo se enseñan. Recordemos que pueden llevar 10 años con entre 3 y 5 clases de mates a la semana.

Cuando el profesor pregunta algo que no encaja con la regla aprendida, toca aprender una regla nueva. Bueno, o ir a por la comprensión relacional.

En cualquier caso, lo instrumental requiere una multiplicidad de reglas una detrás de otra. Y ahí es donde comienza la particular historia de terror de algunas personas con las matemáticas.

El malentendido de tipo 2 es más dañino. Tenemos a un niño o una niña que tratan de comprender relacionalmente (COMPRENDER). Pues resulta que ahí empiezan algunos abandonos, desidia por las matemáticas.

Skemp dice que al principio él pensaba que todos los profesores de matemáticas daban clase de la misma asignatura, unos mejor que otros. Y tardó en darse cuenta de que lo que ocurre es que hay dos asignaturas distintas que se enseñan bajo el mismo nombre.

Este hilo no es más que una adaptación de parte de este artículo de Skemp (1978), que enlacé en uno de los últimos arrebatos contra la regla de tres (y todo lo que simboliza). Aunque se haya escrito mucho más desde 1978, creo que transmite ideas potentes.

En particular, me inquietan y fascinan a partes iguales conversaciones que empiezan así:

Pero es que así se enseña más rápido.
Ah. Vale.

En realidad, todo este tema es fascinante. Antes he dicho: «Hay profesores que juegan a la comprensión instrumental y otros que juegan a la comprensión relacional». Se da también el fenómeno siguiente: «Hay profesores que creen ser relacionales pero realmente son instrumentales».

Más sobre la regla de tres

Mon, 18 Oct 2021 00:00:00 +0000

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En este caso, de nuevo, recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

Ha vuelto a hablarse mucho de la regla de tres esta semana. Ocasión que aprovecho para escribir un poquito más sobre el asunto. Prometo que incluyo novedades respecto a episodios anteriores.

No es que esté obsesionado con el asunto particular de la regla de tres. O sí y me lo tengo que hacer mirar, yo qué sé Cara de loco. Tan solo es que me parece algo paradigmático. Lo que me quita realmente el sueño es el aprendizaje mecanicista e instrumental de las matemáticas.

Ñeñeñe, cómo que las matemáticas no son instrumentales. Mira, no vivo en burbuja. Ya sé el papel que juegan en otras disciplinas y en la vida cotidiana (y en esto último está sobrevalorado). Sin embargo, centrarse en lo instrumental es una receta para el desastre.

Pero eso es otra historia que debe ser contada en otra ocasión. A lo que íbamos, esta semana me animé a plantear un hilo interactivo, donde animaba a compartir problemas «de regla de tres», que me tuvo muy entretenido. Más de la cuenta, quizás, aunque sarna con gusto, no pica.

El hilo fue muy interesante porque aparecieron problemas de valor perdido o faltante, tentativas de comparación (donde no procede la regla de tres y sigue siendo proporcionalidad), repartos, pseudoproporcionalidad (que no tienen sentido), etc.:

Recuerdo que la regla de tres es una técnica que encuentra su justificación en las reglas del álgebra. Es decir, la justificación es sintáctica. $\cfrac{a}{x} = \cfrac{b}{c} \Rightarrow x = \cfrac{a \cdot c}{b}$

El «este por este entre este» sale de ahí.

Pues ya está, ¿no?
Pues no.

El caso es que los problemas «de regla de tres» son aritméticos. Y una característica esencial de la aritmética es que el control no es sintáctico, sino semántico. Es decir, radica en el significado de los números que intervienen. En cada momento.

He puesto problemas «de regla de tres» entre comillas porque técnicamente se conocen como de valor perdido o faltante (missing value problems). Es decir, se trata de encontrar uno de los cuatro valores de la proporción. No son los únicos problemas de proporcionalidad.

Están los de comparación, por ejemplo, donde no vale la regla de tres. O situaciones donde no tenemos números.

Entre las interacciones, aparecen variantes de esto:

No, es que siempre hay que comprobar si se puede aplicar. Con eso ya estaría evitando esa ilusión de linealidad.
¿Comprobar el QUÉ?

Para los nuevos, la ilusión de linealidad consiste en creer que una relación es de proporcionalidad cuando no lo es. El aprendizaje mecanicista basado en técnicas tipo producto cruzado o regla de tres la fomenta.

Lo fomenta por mucho que nos hagamos la pregunta, ¿es directa? ¿es inversa? Lo de comprobar si se puede aplicar se las trae. En primer lugar, para comprobar algo primero hemos de haberlo CONSTRUIDO. Y eso pasa por caracterizar muy bien a qué llamamos relación de proporcionalidad.

En lo que sigue me centraré en la proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa es un objeto muy alejado matemáticamente y daría para otro hilo. De todas formas, mucho de lo que comento aquí es, en esencia, extrapolable.

COMPROBAR. El qué.

¿Que a doble de una tengo doble de otra? ¿Y a triple?
¿Que a más, más, y a menos, menos? Esos argumentos como caracterización no valen. Pueden servir, una vez CONSTRUIDO el modelo en matemáticas, para ver si es sensato para estudiar un fenómeno físico.

Esa construcción es delicada y lo que está detrás como idea matemática es el significado del número racional. La proporcionalidad nos ofrece, quizás, el más abstracto de todos los objetos de la aritmética escolar.

Pensemos en los números naturales, que ya son abstracciones. Cuando «repartimos» una cantidad de magnitud entre otra para obtener una razón, esa razón es un nuevo tipo de objeto, con un nivel mayor de abstracción. Simboliza una relación. Aparece una nueva magnitud.

Si para una receta de limonada echo 3 litros de zumo por cada 10 de agua, puedo calcular las siguientes razones: 3/10 (tres décimos o 0,3, que son otras representaciones de dicha razón) y que significa los litros de zumo que echo por cada litro de agua.

10/3 de litro de agua que echo por cada litro de zumo. Aún podrían obtenerse más razones, como la cantidad de zumo por litro de limonada. O al revés. Bien, el caso es que el 3/10 es una cantidad de una nueva magnitud que no aparecía en el texto de la situación.

A veces, estas nuevas magnitudes tienen nombre propio. Cuando digo que María corre 10 km en 50 minutos, 10/50=1/5=0,2 es velocidad. Los km que recorre en cada minuto. Al revés, 50/10= 5 sería ritmo, minutos que tarda en recorrer un km.

Por supuesto, para poder hacer esas divisiones tengo que asumir una «condición de regularidad», sino no tiene sentido ni plantearla. En el caso de la limonada, que siempre se eche la misma cantidad de zumo por cada litro. Sobre esto ya he hablado en otros hilos.

A fin de cuentas, esta abstracción se traduce en verbalizar el significado de las razones implicadas (decir qué significa una «división»). Es muy importante, porque claro, luego están las conexiones que aparecen con funciones, análisis y con álgebra.

Vaya por delante que la aproximación vía el uso de estas razones ya es mucho más potente que la regla de tres para situaciones cotidianas. Si no lo piensas es porque te enseñaron así. Hay gente plenamente funcional a la que no se la enseñaron. Luego volvemos a esto.

Cuando nos vamos a identificar la relación de proporcionalidad desde funciones y gráficas, vuelve a aparecer el concepto clave que conecta todo, en este caso. La razón, tal y como la hemos introducido antes.

La representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen. ¿Y su pendiente?

Si no quiero reducir todo a una serie de ejercicios triviales, tendré que recurrir a darle significado, para además conectar con los conocimientos previos. Y aquí entra en juego el significado del racional como razón.

Significado que la regla de tres no desarrolla porque directamente lo ignora. Por lo tanto, si no lo he desarrollado y quiero conectar con esa idea, ¿qué? A ver, que el significado de estas cositas no se construye por arte de magia. Exige una planificación y cierta coherencia.

Esta idea de pendiente, razón… se conecta, mirando hacia el álgebra, con la constante de proporcionalidad. Y mirando hacia el análisis, con la tasa de variación media. Concepto sobre el que sustenta la derivada. ¿Vamos con los cimientos bien asentados?

Por supuesto, en el hilo ha habido quien detecta esta eliminación de la regla de tres como un ataque. Tanto docentes como familias. En este último caso, en un tuit me dicen que eliminemos lo que queramos, que en casa seguirán enseñando la regla de tres.

Aquí tenemos un problema de creencias, que se puede sintetizar en algo así:

A mí me enseñaron la regla de tres y aquí me tienes. No será tan mala. Además, la uso para todo. Controlo perfectamente cuándo se puede usar y cuándo no.

La divulgación en este sentido ha de ser cuidadosa y respetuosa. Lo mismo que en clase, no se trata de prohibir la regla y ya. Es cuestión de enfocarlo dando significado. Y que la evaluación sea coherente con lo que se hace.

Creo que pensar que el objetivo de fondo no es resolver un tipo concreto de problema, sino estudiar un tipo de relación y desarrollar el significado del racional como razón, ayuda.

Cuando terminé de responder a los problemas planteados en el hilo interactivo, me dio por poner este problemita.

https://twitter.com/pbeltranp/status/1448405548924293129

Se trata de la traducción de un problema utilizado por Cramer et al. (1993), quienes lo propusieron a una muestra de 33 futuros docentes de educación primaria.

32 de los 33 futuros docentes emplearon la proporción: 9/3 = x/15; 3x = 135; x = 45. Cabe observar que este problema es perfectamente resoluble, no como otros de pseudo-proporcionalidad (si hay 10 médicos en la planta 2, ¿cuántos habrá en la planta 5?).

De Bock et al. señalan que la cuestión con el problema de las corredoras es que se presenta en el formato clásico de un problema de valor faltante («de regla de tres»). Eso ocasiona que esta situación aditiva se interprete como multiplicativa.

En mi encuesta gana la opción correcta de 9 vueltas. Pero casi la cuarta parte opta por decir 5 vueltas, resultado que se obtiene aplicando la regla de tres o una estrategia multiplicativa.

La diferencia con el estudio original, donde casi todos contestaban 45 vueltas, puede tener que ver con el idioma o con la forma de plantear la regla o el producto.

Y nada más, que vaya turra. Más hilos como este, o con secuencias didácticas, en mi perfil. Sí, si os sabe a poco este, tengo alguno más sobre la regla de tres, proporcionalidad y número racional.

Epílogo 1

Como os habéis quedado con ganas, me parece muy pertinente este hilo de @RadiactivoMan. Realmente, el tema de la modelización en experimentales lo he mencionado ya, pero aprovecho para escribir un poquito más.

La modelización en matemáticas y experimentales sigue caminos opuestos. En matemáticas se construye y se abstrae ese modelo ideal, mientras que en experimentales se utiliza para predecir y conocer más de lo sensible.

Al hilo de lo que dice @RadiactivoMan, en experimentales se comprueba si el modelo matemático se ajusta o no a cierto fenómeno y bajo qué condiciones.

Tengo un PERO importante con respecto a los factores de conversión. Son muy fáciles de aplicar (tacha, tacha, tachán) y, de nuevo, ocultan la relación de proporcionalidad que hay detrás de, en muchos casos, un simple cambio de unidades.

Verbalizar esa relación, aunque cueste más, da un mayor control de lo que se está haciendo. Vamos, que no se trata de despejar de aquí y de allá, entiendo, sino de comprender a fondo cómo es la relación entre esas magnitudes.

Además, el uso de esos factores da la sensación de que el alumno en cuestión sabe lo que está haciendo. Cuando a lo mejor solo le interesa que “cuadre”.

Epílogo 2

Nada, como veo que hay quien se interesa por esto, aquí va una referencia fácil de leer de un clásico como Skemp sobre las matemáticas instrumentales y las relacionales.

Un saludo y… ¡feliz clase!

Cosas que tuvimos en cuenta al hacer la programación didáctica de 2º de ESO

Fri, 01 Oct 2021 00:00:00 +0000

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Os puedo contar cómo hicimos la programación de Matemáticas el curso 20/21 para 2º ESO. Todos sabemos que fue un curso especial y que añadió un reto especial por lo del curso anterior. Creo que ilustra el proceso de planificación anual.

A ver, antes de que alguien se haga ilusiones, no voy a describir cómo hacer el documento de la programación. Me voy a centrar solo en el aspecto más importante, la organización de los contenidos. Es necesario, al menos en Matemáticas, para que tenga cierta coherencia.

¿El reto? Pues que este alumnado durante el curso 19/20, en 1º ESO, había trabajado en presencial probabilidad y estadística, naturales, divisibilidad y racional (fracciones, conexión con la notación decimal y proporcionalidad).

En modo confinamiento optamos principalmente por tareas ricas de geometría relacionadas con el área de figuras planas y lugares geométricos. Muchas de ellas, aunque siempre había alternativas, para hacer con GeoGebra.

Hubo tareas de conjetura que suponían avanzar hacia la generalización. Pero álgebra como tal, no. Y si alguien echa de menos los enteros, qué poco me ha leído Cara guiñando un ojo. Esperábamos hacerlo en un entorno algebraico y decidimos dejarlo para el curso siguiente.

¿A favor? Que en estos grupos hasta marzo del 19/20 se consiguió construir una cultura de aula en un enfoque de enseñanza y aprendizaje a través de resolución de problemas. Y que las actividades en tiempo en confinamiento fueron bastante coherentes con ello.

Hasta aquí el contexto. Siempre es importante, pero, en este caso, más. Vamos a ver ahora cómo planteamos el asunto. En primer lugar, tomamos la decisión priorizar bloques que no se hubiesen visto bien durante el curso anterior.

Por ello, probabilidad y estadística iban a tener poca presencia. Ninguna no, que os veo venir. El curso anterior se trabajaron muy bien. Y se planificó incluir alguna tarea aislada o charlas de aula, así como dedicar unos días sobre dispersión al final.

Plato fuerte. Evidentemente, álgebra y enteros. No es mayor problema, casi mejor porque el alumnado es más maduro y, como he dicho, estos grupos desarrollaron una actitud muy proactiva hacia la resolución de problemas.

Enteros y álgebra. Parte 1. Lo que pensábamos haber hecho en primero y que son unos dos meses. Es una secuencia particular a la que os podéis aproximar desde estos hilos.

Estuvimos hasta mediados de noviembre, más o menos según lo planificado. Intercalando alguna actividad corta de números o estimación.

Hasta la primera semana de enero, nos pusimos con funciones. Que tampoco se vieron el curso anterior y ofrecen una conexión brutal con el enfoque que estábamos usando para el álgebra, donde la idea de letra como variable es fundamental.
Vuelta al álgebra con la parte 2, que culmina en la «formalización» completa de los enteros y sus propiedades. Esto fue un mes más. En este punto se ha hecho álgebra, mucha álgebra. Ecuaciones de primer grado con las técnicas estándar habituales, ninguna. Ni falta que hace.

Que el álgebra aparezca en dos momentos (serán tres) ofrece una oportunidad para reenganchar a alumnado al que le cuesta esa inevitable capa de abstracción. El esquema de evaluación lo tengo por los hilos y, desde el sábado, en el canal de MatEduMat.

Divisibilidad. Una semana. Se había trabajado bien el curso anterior. Problemas ricos y pa’lante. Esto nos plantaba, más o menos, en marzo.
Modelo de reparto para revisitar las fracciones y obtener representaciones polinómicas decimales y conectar con la notación decimal en un sentido. Necesario porque en 3º ESO se usará para culminar esa conexión entre representaciones vía álgebra en el otro sentido.

En paralelo, a veces se planteaban pequeñas situaciones o cálculo mental sobre diversos aspectos, como propiedades de potencias. Con esto nos poníamos a finales de marzo.

Algunos días para proporcionalidad compuesta e inversa y porcentajes. Hasta mediados de abril o así. Los días los íbamos ajustando sobre la marcha, que una cosa es la planificación inicial y otra la realidad, claro. Recuerdo que hablo de la planificación anual.

El ajuste se consigue en aquellos bloques familiares para el alumnado, con la selección de más o menos tareas de clase. El currículo a día de hoy es espiral… Suele ser una espiral de atontamiento, pero también podemos usarla para el bien.

Así que a finales de abril nos ponemos con geometría. Secuencia del teorema de Pitágoras donde se revisitaba la cuestión de las áreas de figuras planas, cosillas de álgebra (anda, he dicho álgebra en tres momentos, pero serán cuatro).
Mediados de mayo. Vuelta al álgebra, con sistemas de ecuaciones. Esto lo tengo que contar porque nos encantó el trabajo. Había hecho cosillas parecidas, pero nada tan sistematizado como la propuesta de @srdelafu. ¿Cómo? ¿Sistemas sin haber «visto» ecuaciones? Sí. Y repetiría.
En junio hicimos lo de la dispersión que comentaba al principio. El tener juniembre es algo lamentable (septiembre también, pero juniembre más), por lo que creo que el trabajo de planificación fue más necesario que nunca.

Y hasta aquí. Obviamente, es necesario sentarse en las no-reuniones de no-departamento (aquí en los CPI no tenemos departamentos) para ir ajustando y planificando a corto-medio plazo. Sin embargo, es indispensable organizar el curso de manera coherente.

Créditos

Imagen de cabecera: Unsplash

La resolución de problemas, mucho más que un eslogan

Wed, 01 Sep 2021 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). La resolución de problemas, mucho más que un eslogan. Entorno Abierto, 42, 13-16.

¿Competentes o incompetentes?

Thu, 26 Aug 2021 00:00:00 +0000

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Me pierdo. ¿Queremos alumnado que sepa o que no sepa? ¿Queremos alumnado competente o incompetente? ¿Queremos profesorado que sepa o que no sepa? ¿Queremos profesorado competente o incompetente?

Para mí, las respuestas a esas preguntas son evidentes. Por favor, ahorrémonos el clásico «pero es que si no tienen conocimientos, qué sentido tiene hablar de competencias». También existe el «pero si es que no movilizamos esos conocimientos, qué sentido tiene hablar de ellos».Están relacionados, vaya.

Que la noción de competencia es hasta cierto punto ambigua y controvertida es un hecho. Es algo que recogen muchísimos de los investigadores en educación, además de tuiter. No es un problema grave. Cada marco que la emplea, establece su descripción en los fundamentos teóricos.

A ver cuántos de los que se quejan de que es un concepto “mal definido” sabrían decir qué es un número. Y creo que todos usamos números sin tener que hacer un tratado sobre la cuestión. Para todo. Incluso para tomar decisiones de vida o muerte.

A mí me gusta la posición que indica Font (2011), que es la de entender la competencia de una forma que no sea contradictoria con las directrices curriculares vigentes.

Así, en el seno del CCDM (un modelo de conocimientos y competencias didáctico matemáticos para profesores) se emplea como indicador de competencia…

… una acción eficaz realizada en un determinado contexto con una determinada finalidad.

Esto es lo que pone el BOE (RD 1105/2014).

Y bueno, el gran error, desde mi punto de vista, es que las competencias del currículo LOMCE son absolutamente generales. Sin haber desarrollado competencias específicas por materias (como en Cataluña, por ejemplo), hablar de competencias (desde el currículo oficial) es ridículo.

Créditos

Foto destacada de Unsplash

Sobre la clase magistral en comparación con otras cosas

Thu, 29 Jul 2021 00:00:00 +0000

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Ya que últimamente han caído en mi TL algunos tuits sobre la «clase magistral» vs «otras cosas», solo quiero aportar mi punto de vista desde las matemáticas.

Se está diciendo que la clase magistral es compatible con otras metodologías, que no es solo expositiva, que con técnicas variadas de instrucción directa se puede promover la actividad del alumnado, etc.

En matemáticas (disculpadme, pero hablo de mi campo, ya si queréis establecer paralelismos, vosotros mismos), ocurre que hay una diferencia radical de enfoque, con muchas implicaciones, entre exponer las matemáticas o construirlas.

Hablo de enfoque en lugar de metodología. La clase magistral, desde luego, se ubica en ese enfoque expositivo de las matemáticas. Es decir, vemos la teoría primero para luego hacer ejercicios para luego, si acaso, ver problemas de aplicación majetes.

Aunque se trabajen heurísticos de resolución de problemas de forma explícita, ese proceder no hace de la resolución de problemas el eje vertebrador. No se construyen las matemáticas. Se dan.

De hecho, trabajar explícitamente heurísticos como los de Polya ya se vio hace bastante (años 80) que no llevaba a ningún sitio. De ahí el rumbo que tomó la cuestión con Schoenfeld y otros autores.

¿Es la clase magistral, entendida como expositiva, la única metodología que se ubica en ese enfoque de enseñanza PARA la resolución de problemas (teoría->ejercicios->¿problemas?)?

No. Y menciono los proyectos (ABP) porque se les ha puesto últimamente de ejemplo como una de las metodologías enfrentadas a la clase magistral. Un proyecto puede pecar exactamente de lo mismo que va a pecar -sí o sí- la clase magistral: dar las matemáticas ya construidas.

El otro enfoque, constructivo, es una enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas. Implica hacer primero problemas o situaciones, desde donde emerge «la teoría».

Posteriormente, hay un espacio para hacer más problemas, ejercitar las técnicas que sean necesarias, desarrollar más el significado, etc.

En este enfoque no admito que quepa la clase magistral. Que sí, que viene de «hecho con maestría» y tal, pero en este contexto es una clase expositiva. Y, como he dicho antes, no es solo que sea una metodología distinta, conlleva un enfoque opuesto.

Obviamente, en una enseñanza a través de la resolución de problemas, los procesos de institucionalización donde se gestionan las puestas en común pueden tener más o menos «peso» del docente, sobre todo en contextos como los de este curso, donde la interacción se ha visto mermada.

Pero nada que ver. Pongo «peso» entre comillas, porque en el fondo, el papel del docente es brutal, y complejo, en todo momento. Hay que darse cuenta de las producciones que va haciendo el alumnado, animar a los grupos a que exploren, proponer variantes, etc.

No puedes alternar un día expositivo y otro a través. Formar una cultura de aula basada en la resolución de problemas lleva tiempo e implica ruptura del contrato didáctico. ¿Cómo? ¿Que no me vas a explicar primero? Ah.

Observad la diferencia: se empieza abordando situaciones que, aunque tengan cierto andamiaje (esto es clave, no es dejarlos en la selva) y suelo bajo, son problemáticas. No se sabe muy bien cómo afrontarlas, y se pueden poner en juego diversas técnicas.

Cambiar esa cultura de aula exige un trabajo muy coherente y machacón en la misma línea. Hombre encogiendo los hombros

Y como sobre esto ya he dado la turra en otras ocasiones, cierro enlazando este otro hilo (va con alguna referencia).

Y aquí otro hilo para los que queráis profundizar en esto de los enfoques.

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No sabe multiplicar en 1º de ESO

Thu, 15 Jul 2021 00:00:00 +0000

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1º ESO.

¡Si es que no sabe ni multiplicar!

Cuando he tenido este tipo de conversaciones, siempre he respondido con:

¿A qué te refieres con que no sabe «multiplicar»?

Pongo comillas porque primero hay que ver qué es lo que no sabe exactamente. Pero vaya, el big problem es que no se saben las tablas del todo o que no controlan los algoritmos para hacer cuentas con números de más de dos cifras.

El big big problem sería que no fuera capaz de abordar situaciones multiplicativas y que no tuviera estrategias alternativas. Este big big problem resulta que muchas veces va de la mano del big problem anterior.

Porque si se incide en la repetición mecánica de algoritmos sin comprensión se quita tiempo a la resolución de problemas de verdad. Y la repetición mecánica basada en la memorización bruta de hechos numéricos sin darle significación conlleva que nos dejamos atrás a muchos.

No solo eso, sino que los que «no nos dejamos atrás» y «tiran para adelante» lo hacen con una base matemática muy pobre. Pero vaya, que me estoy yendo por las ramas…

¿Qué nos puede hacer pensar que, si en 6 años de primaria no ha sido capaz de hacerse con las tablas o con el algoritmo, va a ser capaz de coger soltura repitiendo más de lo mismo?

Si en 1º ESO no se sabe la tabla de multiplicar, que trabaje con ella al lado. Si no controla los algoritmos, que utilice la calculadora. Lo que sea. Cualquier cosa, menos tenerlo anclado a esas matemáticas en las que lleva tiempo fracasando. Nuevos horizontes.

Lo que no quita para que, en el contexto de un taller, se puedan reconstruir ciertas cositas. Revisitar los algoritmos con material manipulativo y reflexionando sobre lo que se hace, sin más afán que la comprensión, es un momento ¡ajá! en toda regla.

Momentos de los que he sido testigo incluso en prácticas de Didáctica de la Aritmética I.

¡¡Así que esto era por esto!!

Pd1. No me vengáis con el no sé qué de las tablas de multiplicar y la memoria, por favor. Distingo memoria de memorieta. Asociar excelencia matemática y exigencia a saberse las tablas es de risa. Enlace a otro hilo sobre esto de las tablas de multiplicar

Pd2. Formas de ver los algoritmos desde la comprensión en primaria para profundizar en propiedades del sistema decimal posicional y que pueden continuar con tareas ricas sobre estos no centradas en la mera repetición:

¿Alguien más ha puesto melodía a lo del big problem o es que estoy muy mal?

Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas

Sun, 09 May 2021 00:00:00 +0000

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Por qué las coordenadas geográficas van «al revés» y algunas implicaciones didácticas.

Spoiler: no van al revés de nada.

¿Cómo localizamos puntos en la superficie terrestre? Con las coordenadas geográficas, que indican latitud y longitud.

Ea, pues ya está, como x e y. Abscisas y ordenadas. Horizontal y vertical.
Esto… no.

¿Qué es la latitud de un punto de la superficie de la Tierra? Imagina una recta que pase por dicho punto y el centro de la Tierra. El ángulo que forma dicha recta con el plano ecuatorial es la latitud. Por eso va acompañada de una N (si es hacia el Norte) o una S (Sur).

Cualquier punto del ecuador se corresponde con el paralelo 0°, el polo norte con 90°N y el polo sur con 90°S.

¿Y qué es la longitud? Ahora toca imaginar meridianos (semicircunferencias que pasan por el polo norte y por el polo sur). Se elige uno de referencia, el de Greenwich, y la longitud de un punto es el ángulo entre ese meridiano de referencia y el que pasa por este punto.

En la imagen, la latitud es el ángulo Φ y la longitud es el ángulo λ.

Medir la longitud es mucho más complicado que medir la latitud. Pensad que sois navegantes del s. XVI. Es más fácil percibir que te desvías hacia el Norte o hacia el Sur que en términos de longitud (E-O). Problemón que llevó al desarrolló del cronómetro y otros instrumentos. Enlace al museo virtual del CSIC

Además, resulta que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, por lo que podríamos añadir la altitud sobre el nivel del mar a nuestro sistema de coordenadas. Pero no lo liemos más.

📷ICGEM

Un alumno, o cualquier persona, puede pensar que las coordenadas geográficas van «al revés» porque primero se indica la latitud (Norte o Sur) y luego la longitud (Este u Oeste). Y claro, como Norte es arriba y Sur es abajo, ya la tenemos liada.

Ya la tenemos liada porque, en matemáticas, [modoironíaON], como todo el mundo sabe, eje X es horizontal y eje Y es vertical. Y los puntos en el plano son (x,y).

En el currículo nacional aparece esto de las coordenadas como contenido en Ciencias Sociales:

Coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Con su criterio «Identificar y manejar los conceptos de paralelos, meridianos y coordenadas geográficas» y su estándar «Localiza diferentes puntos de la Tierra empleando los paralelos y meridianos y las coordenadas geográficas.»

En Matemáticas aparece como contenido esto:

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos. Y un estándar que dice «Describe posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros.»

Para mi gusto, aparece muy ligada la idea de sistema de coordenadas cartesianas a la descripción de posiciones y movimientos, lo cual es un uso de los ejes. ¿De dónde salen los convenios en los ejes? ¿Cuáles son? ¿Cómo los usamos para representar cantidades de magnitud?

Mucha tela que cortar, como el problema de restringir la ‘x’ y la ‘y’ como etiquetas exclusivas. ¿Y si son ‘e’ y ’t' ya no son ejes cartesianos?

Todo esto se aborda con suma delicadeza en el librito del Shell «El lenguaje de funciones y gráficas». Os lo descargáis de aquí: https://sede.educacion.gob.es/publiventa/el-lenguaje-de-funciones-y-graficas/pedagogia/1065

Por ejemplo, si queremos hacer reflexionar al alumnado acerca de todo esto de los ejes, vamos a ponerles la altura en el eje horizontal.

Volviendo a lo nuestro, si el objetivo es comprender el concepto de coordenada geográfica, la secuencia didáctica no puede empezar con un mapa plano. Hemos de empezar con un globo terráqueo. Solo así quedará claro que para localizar un punto utilizo ángulos.

La cuestión es que claro, no vamos con un globo terráqueo en el bolsillo. Hoy en día casi, porque usamos el móvil y dispositivos que lo permitirían. Observa que cuando queremos presentar en 2D el globo terráqueo se produce una deformación. Probadlo con el Google Maps.

Estas deformaciones son diferentes según el tipo de proyección que se realice. Y unas conservan unas cosas y otras, otras. Paralelismo, perpendicularidad, distancias, áreas, etc. Enlace sobre tipos de proyecciones

Lo importante, si nos acercamos a esto en primaria, es comprender que necesito indicar los ángulos de latitud y longitud para localizar un punto. Que por convenio se suela decir antes la latitud es lo de menos. Eres igual de capaz de localizarlo si te doy la información al revés.

Ahora, si reduzco la secuencia didáctica a localizar puntos en un plano 2D a partir de latitudes y longitudes, pues igual no hace falta hacer nada.

Gracias @Jaimetimiraos por la conversación de esta mañana, donde me señalabas este posible conflicto.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Thu, 29 Apr 2021 00:00:00 +0000

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En este caso, te recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas. Y ya.

Hacia el final del hilo pondré referencias sobre los obstáculos y dificultades que ocasiona esta forma de presentar la proporcionalidad. Ignorarlos sería, cuando menos, poco responsable como profesionales. No obstante, no adelantemos acontecimientos y vayamos poco a poco.

No lo entiendo. Con lo útil que es la regla de tres, mi profe de matemáticas no nos deja usarla. ¡Qué manía!
¡La mía tampoco! ¡Mira que son especialitos! Lo que no saben es que con eso de las fracciones equivalentes hago lo mismo: este por este entre este.

Si estás pensando que la regla de tres es muy útil y que por qué no enseñarla, es fundamentalmente por:

Se asocia a situaciones que son muy cotidianas. Recetas de cocina, repartos, ofertas, porcentajes, etc.
Es lo que te han enseñado.
Evita pensar.

Sí, pensar cuesta y por eso tendemos a evitarlo. Por eso, la solución a «es que la regla de tres es caca» no puede pasar simplemente por un «usamos igualdad de razones y lo planteamos como fracciones equivalentes». Porque entonces se hace producto en cruz y chispún.

Yo es que les enseño todos los métodos: reducción a la unidad, fracciones equivalentes, regla de tres y constante de proporcionalidad… y luego ya que elijan el que quieran.

El que quieran. Claro.

Para empezar, cómo no van a optar por la regla de tres si es con el que menos piensas. Total, luego los ejercicios a realizar o son directamente proporcionales (a más, más) o inversamente proporcionales (a más, menos).

No voy a profundizar en esto porque ya doy bastante la turra de normal. No se trata de mostrarles las ««matemáticas»» (y con esto de la regla de tres no hay comillas suficientes en el universo) y luego pretender que sepan resolver problemas.

Ahora bien, en este caso es más flagrante todavía. Los objetos matemáticos que están detrás de la proporcionalidad directa y la inversa están más alejados de lo que parece. ¿Habéis visto cómo son las representaciones gráficas de uno y otro?

La inversa, además, requiere de unos razonamientos más complejos desde el punto de vista cognitivo. Pero centrémonos en la proporcionalidad directa: el «a más, más» y «a menos, menos», no vale.

«A más, más» no funciona porque cualquier modelo funcional que sea creciente, lo cumpliría. Piensa en el crecimiento exponencial en el comienzo de las olas de la COVID. Cada día hay más casos, pero no responde a un modelo de proporcionalidad directa.

Aunque no fuera estrictamente creciente, el «a más, más» se cumpliría. Imagina una tarifa telefónica, que ya pongo adrede para ver que al «a doble, doble» habría que exigirle algo más:

Gratis hasta los 3'.
2 € cuando la duración de la llamada esté entre 3' y 6'.
…

Si observas la tarifa anterior, con 4' estás pagando el doble que con 2'. Y con 8' el doble que con 4'. Coste y duración de las llamadas son magnitudes que están relacionadas, pero no son directamente proporcionales.

La clave, por tanto, es reflexionar sobre las condiciones que hemos de exigir a una relación entre dos magnitudes para que sean directamente proporcionales.

Primero, que sean dos magnitudes. Porque, a veces, en la descripción de una situación aparecen números que no indican cantidades de magnitud. En 2º de ESO hay 80 alumnos en el instituto, ¿cuántos alumnos habrá en 4º de ESO?

Y si son cantidades de magnitud y están relacionadas, habrá que explorar cómo es esa relación. Veamos, ¿se puede asumir que a una unidad de una de las magnitudes le corresponde siempre la misma cantidad de la otra?

Por ejemplo, he ido a una tienda y he comprado 15 productos, que me han costado 30 euros. ¿Cuánto cuesta cada producto? ¿Cuántos productos puedo comprar por un euro? Piensa, por favor, sobre las preguntas anteriores antes de seguir.

Solo se pueden responder si suponemos algo. Hemos de asumir una condición. Que cada producto cueste lo mismo, o que pueda comprar la misma cantidad de productos por un euro. Es lo que, en términos de Gairín, Oller-Marcén, Martínez-Juste y otros se llamacondición de regularidad.

Pero vamos, reflexionar sobre la relación entre las magnitudes que intervienen es un elemento común en distintos autores.

Si no asumes dicha condición, es que no puedes ni plantear 30/15=2 ni 15/30=1/2. Si la asumes, entonces puedes dar significado al 2 y al 1/2 (o 0,5 si quieres). Venga, qué significan esos números.

Vale, dos qué. Como he repartido los 30 productos entre los 15 euros, puedo comprar dos productos con un euro. Y el un medio qué. Pues que cada producto me cuesta medio euro, o 0,5 euros.

Y una vez das significado a esas razones (lo cual constituye un significado propio del número racional), ya puedes abordar situaciones de valor desconocido (los que abundan en libros de texto y mucha gente llama problemas de regla de tres) y de comparación de razones.

Si sé que cada producto me cuesta 0,5 euros, ¿cómo no voy a poder decir cuánto me costarán 20 productos? Si sé que por cada euro puedo comprar 2 productos, ¿cómo no voy a poder decir cuántos compraré con 30 euros?

O si, en otra tienda, compro 20 productos por 15 euros, ¿cómo no voy a poder decir qué productos son más caros, si los de esta o los de la otra?

Pablo, pero es que todo esto que me estás contando es más complicado que presentar la regla, preguntar si es directa o inversa y este por este entre este. GOTO 10 primeros tuits.

Y me alegro de que me hagas esa pregunta, porque, dejando de lado el hecho de que la regla de tres como instrumento «matemático» ejem, estás poniendo sobre la mesa una de las grandes diferencias entre el quehacer en matemáticas y el quehacer en experimentales.

En matemáticas se trata de construir el objeto matemático en cuestión. Aquí, la proporcionalidad directa. Podemos fijarnos en contextos reales que reproducen de forma intuitiva sus propiedades, pero el objetivo es construir y justificar ese objeto.

Sin embargo, en experimentales es al revés. Se da por hecho el modelo matemático y se aplica a una situación o fenómeno para extraer nueva información y predecir su comportamiento.

En matemáticas, por tanto, no nos podemos «conformar» con revolver correctamente problemas en donde intervienen magnitudes directamente proporcionales. La justificación de esa estructura multiplicativa, la exigencia de las condiciones, etc. son objetivos de aprendizaje.

Por cierto, ya que hablo de experimentales. Los factores de conversión, que muchas veces se plantean como alternativa rigurosa a la regla de tres y la odiosa escalera para cambios de unidades, no son la panacea.

Introducidos de prematuramente (casi siempre lo es) constituyen un atajo que facilita no dar significado completo a lo que se está haciendo. Si sé que cada hora tiene 3600 segundos, ¿dónde está el problema para saber que he de multiplicar por 3600 para pasar de horas a segundos?

Vamos, que terminan muchas veces en una serie de trucos de magia para que al final te salgan las unidades correspondientes. Pero como decía Michael Ende, eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

Terminaré aludiendo a los obstáculos de pasar de todo esto y arrojarse a los brazos de la regla de tres porque es muy útil porque patatas.

Autores como De Bock, Van Dooren, Jannsens y Verschaffel hablan de la ilusión de linealidad. Esto consiste en aplicar el modelo de proporcionalidad en situaciones que no lo permiten.

Hay muchísimos ejemplos. En geometría los hay muy claros. Si duplico el radio de esta circunferencia, ¿cuánto será el área? Pues el doble. Pos va a ser que no.

Aquí dejo enlace a una traducción en español del trabajo de estos autores: La búsqueda de las raíces de la ilusión de linealidad.

Pero es que el mojón de la regla de tres y la consecuente ilusión de linealidad planearán como una sombra incluso cuando se aborde la probabilidad.

O cuando se exploren las tasas de variación, etc. En fin, ¿qué queremos? ¿Dar una receta para salir del paso y disimular o construir las matemáticas con los alumnos?

Evidentemente, los alumnos con más talento podrán salir inmunes, ya que el talento prospera en las condiciones más adversas. En todo caso, habrán perdido el tiempo. ¿Y los demás? Peor, claro.

No he hablado de la compuesta. Aunque vaya, os podéis imaginar.

En fin, enlazo los elementos básicos de una propuesta innovadora, que tiene en cuenta todos estos elementos, de mis compañeros de la Facultad de educación de Unizar, Martínez-Juste, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén, junto con Pecharromán.

Esta propuesta me parece maravillosa, y arranca del trabajo sobre racional de gente como Gairín y Escolano.

Por si no queda clara todavía la relación de la regla de tres con la ilusión de linealidad y los obstáculos que se genera. La regla de tres es el paradigma de estrategia que fomenta eso porque no le da significado a lo que haces. Y esto no solo lo mencionan los autores que he ido citando, es una constante: Freudenthal, Schoenfeld, etc.

De verdad, pasaros por las interacciones en twitter. No sé si existe otro objeto en la educación matemática que desate tantas pasiones (a favor y en contra) como esto de la regla de tres. Cuando escribí el megahilo sobre la regla de tres, en una sola tarde vi cómo se elevaba a rango de teorema, se ponía al nivel de las leyes de Newton, se ignoraba su contribución a futuras dificultades de los alumnos y se me tachaba de talibán.

Con este hilo participo en el #CarnaMat12_2: Carl Friedrich Gauss del @CarnaMat, que en esta ocasión organiza @gaussianos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

¿Qué pasa con los números romanos?

Fri, 02 Apr 2021 00:00:00 +0000

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Esto que se levanta uno y ve el tuiter on fire con los números romanos. Y entonces, el tuiter se divide en dos clases de personas. Resulta que en el aprendizaje de las matemáticas hay por lo menos dos factores que se relacionan con los sistemas históricos de numeración. Mini Hilo

Uno, la apreciación de las matemáticas. Como producto cultural, por su belleza, relación con el progreso, formas de pensamiento, etc. Otro, con el desarrollo del sentido numérico y la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Al final enlazaré ejemplos de actividades sobre numeración.

Los números romanos tienen una preponderancia excesiva y ocurre que no es el sistema histórico más apropiado con el que empezar a «comparar» nuestro sistema posicional.

Pareciera que están en el currículo para saber leer siglos, reyes y relojes. Y para eso no hace falta un tema entero.

No conviene empezar con los romanos porque presentan muchas peculiaridades. Primero habrá que distinguir el papel que juega la base de numeración, por ejemplo. Y qué es un sistema aditivo. Los números egipcios son un sistema aditivo de base 10 sin excepciones.

Los romanos tienen dos bases. 10 como principal y 5 como auxiliar. Y a eso se añaden sus conocidas excepciones para reducir la cantidad de símbolos escritos. Todo eso hace que su enseñanza muchas veces se centre en esa sintaxis.

Propuestas alrededor de los sistemas históricos se pueden hacer muchas y muy interesantes. Hoy en día nos parece muy sencillo nuestro sistema de numeración, pero no lo será tanto cuando costó muchísimo que apareciera. Incluso ya llegado a Europa, costó su aceptación.

Esta actividad no falla. Contar no es algo tan fácil. Enlace
Continuación sobre sistemas de numeración. Enlace
Y pequeñas ocurrencias que surgen alrededor de estas cosicas. ¿Qué sistema de numeración usa este juego?

Créditos

Imagen destacada obtenida de UnSplash

Sobre una secuencia de enseñanza de la medida de infantil a secundaria

Sun, 21 Mar 2021 00:00:00 +0000

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Actividad en 2º ESO: mide el área del mantel (amarillo) tomando como unidad la servilleta (naranja). No te creerás lo que pasó a continuación.

Hilo sobre medida en el Día Internacional de las Matemáticas #idm314

Efectivamente, hay alumnos que sacan una regla, miden el largo y ancho del mantel, multiplican y te dicen que el área mide no sé cuántos centímetros cuadrados.

No, tomando esto (la servilleta) como unidad.
¿Ein? [Insert aquí cara de «pero qué me estás contando»]

También los hay que miden el perímetro con la regla y te dicen que el área mide tantos centímetros. Ojo, que estamos hablando de alumnado de 13-14 años de edad.

Que a lo mejor nos ponemos a hablar alegremente de unidades, fracciones y demás cosas del montón y a saber lo que estará pasando por esas cabecitas.

Eso sí, la escalera para cambiar unidades se la conocen todos. Porque parece que hablar de medida en primaria es hablar de cambios de unidades del sistema métrico decimal (con la escalera o regla similar). Eso, y aprender sobre el sistema monetario.

Resulta que aprender sobre el sistema monetario es… aprender sobre el sistema monetario. Sí, vale, hay una magnitud, que es valor económico. Y este valor puede expresarse con diferentes unidades, como euros o dólares. Sin embargo, ¿qué procesos de medida ponemos en juego?

Es decir, ¿cómo puedo adjudicar un valor económico a determinado objeto? ¿Cómo se establecen las equivalencias entre las diferentes unidades? Aunque estos procesos existen con esa magnitud, quedan muy, muy lejos de lo que debería ser la medida en infantil, primaria y secundaria.

Me habéis leído poner a caldo la dichosa escalerita para el cambio de unidades. Este es el hilo que (quizás) estabais esperando y que intenta sintetizar de qué hablamos cuando hablamos de MEDIDA.

Las investigaciones de Piaget dieron lugar al establecimiento de estadios evolutivos en esto de la medida:

Comparación perceptiva directa.
Comparación por desplazamiento de objetos.
Medida con unidades objetales.
Medida con unidades convencionales.

Ello propició el diseño de secuencias didácticas en las que, por ejemplo, no se abordaban tareas de medida de cierta magnitud hasta que el niño o la niña fueran conservadores. Sin embargo, Carpenter y otros investigadores mostraron que la cuestión no era tan dicotómica.

Mostraron que plantear tareas de medida podía favorecer el desarrollo de la idea de conservación. Después expondremos los diferentes tipos de situaciones de enseñanza, pero primero vamos a detenernos en la ya mencionada noción de conservación y en la de transitividad.

¿Qué es conservar? Decimos que un niño o una niña son conservadores respecto a una magnitud cuando son conscientes de que, aunque cambie la forma, posición u otras características del objeto, hay algo que permanece constante, que se conserva.

Toma esta pastilla de plastilina. Toma esta otra, mira, antes de darte esta, voy a hacer una bola con ella. ¿Cuál pesa más? Lo que se conserva ahí es la masa. Hemos cambiado la forma, pero la masa permanece constante.

Otro ejemplo con la magnitud longitud consiste en presentarle dos juguetes a un niño o una niña, poner en medio una pared de bloques de construcción y preguntar: ¿están ahora más cerca los juguetes? ¿más lejos?

¿Qué es la idea de transitividad? Posiblemente te suene haberla visto en lenguaje formal. Si a≥b y b≥c, entonces a≥c. Pues aquí es lo mismo, pero expresado en cantidades de magnitud.

Es decir, si un objeto A presenta una cantidad de magnitud igual a la de un objeto B, y la cantidad de magnitud de B es igual a la que presenta un objeto C, entonces A y C tienen la misma cantidad de magnitud. Esto se extiende si cambiamos los iguales por desigualdades.

Vamos con las situaciones de enseñanza que conformarían un trabajo en medida desde infantil hasta secundaria. Los numeritos indican cierta progresión, pero esta progresión habría que verla para cada magnitud.

En todo caso, no es una secuencia fija. Y nos podemos imaginar situaciones de enseñanza que combinan algunas de estas que nombraré, que podríamos llamar «fundamentales».

1. Situaciones de identificación y conservación de la magnitud

Como ejemplos, ya he comentado lo de la plastilina y lo de la distancia con una pared. ¿Alguien está pensando que esto es algo propio de infantil?

Estas figuras… ¿tienen la misma área? ¿el mismo perímetro? La confusión área-perímetro es algo que pervive muchísimo más allá de los primeros cursos de primaria. Si cambia el perímetro… ¿cambia también el área?

¿Alguien está pensando que esto es algo que ya tiene superado del todo como persona adulta? Os invito a pensar qué pasa en esto de aquí.

📷 Trekky0623

De verdad, pensadlo antes de buscarlo en internet. Os dejo las imágenes en grande para vuestra comodidad.

📷 Dnu72

2. Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios

¿Cuál de estos útiles de escritura es más largo?

Esto lo puedo resolver alineando los extremos, sin utilizar ningún objeto adicional. A veces, incluso, se puede responder a este tipo de pregunta comparando por percepción visual.

Cabe observar que todavía no hemos medido nada. Y es que, para comparar no tenemos por qué estar midiendo nada.

3. Situaciones de comparación cantidades de magnitud con objetos intermedios

Mira, tengo esta mesa y quiero saber, sin moverla, si cabrá por la puerta. En la clase podemos tener listones o tiras de papel o de tela.

Podemos coger una tira de papel y utilizarla para marcar la cantidad de longitud presente en el ancho de la mesa. Luego, con esa tira vamos a la puerta, y si la cantidad de longitud del vano es mayor a la de la tira, concluimos que la mesa cabrá.

No hemos medido nada, solo hemos aplicado la idea de transitividad. Obviamente, esto también podría haberse resuelto midiendo. Por eso, es bueno retomar este tipo de situaciones más adelante jugando con las variables didácticas, como el material a disposición del alumnado.

4. Situaciones de ordenación cantidades de magnitud

Dentro ejemplo con la magnitud capacidad. Ordena estos vasos de mayor a menor capacidad. Os invito a realizar esta actividad sin medir, solo trasvasando.

Trasvasar. Rebosar. Llenar. ¡Cada magnitud tiene su propio vocabulario asociado!

La situación de los vasos se puede hacer con un objeto intermedio, poniendo a disposición un recipiente mucho más grande sobre el que marcar la cantidad de magnitud de cada uno. O midiendo, claro, con una cazoleta o similar.

Me gusta pensar en las variables didácticas como mandos de control para sacar todo el jugo posible a una situación en diferentes momentos.

Antes de seguir, voy a dejar una pregunta, como ejercicio. Cuando comparamos el peso de dos objetos con una balanza, ¿es la balanza un objeto intermedio? Me encanta el debate en #cosicasdeDAII.

5. Situaciones de medida con unidades antropométricas o arbitrarias: de cálculo y de construcción

Empezamos con la medida. ¿Empezamos con el SMD? No. Comenzaremos con unidades objetales (tazas, listones, etc.) o antropométricas (palmos, pies, etc.). En definitiva, arbitrarias.

Distinguiremos entre situaciones de cálculo, donde nos dan un objeto y tenemos que averiguar su cantidad de magnitud; y de construcción, donde tenemos que construir cierto objeto con una cantidad de magnitud determinada.

Situaciones de cálculo son medir la capacidad de una jarra en tacitas, expresar recetas de cocina en medidas de la abuela (ojo con esto, porque ese «harina, la que coja», jejeje), medir el área de la mesa en hojas de papel, etc.

La situación del tuit original es una situación de medida de cálculo, con la magnitud área, para abordar la representación fraccionaria del número racional. Se puede hacer en 2º de ESO tranquilamente. Si se hubiese hecho en 6º EP, bastaría algo muy breve o cambiar de magnitudes.

Resulta que esta situación obliga a hacer subunidades.

Y como necesito 9 de esas unidades, el mantel mide 9/4 u.

Esto es medir áreas de manera DIRECTA. Fundamental haber hecho en primaria este tipo de situaciones. Mide esta hoja con estos rectangulines. Mide esta otra. Compara. Etc.

Cuando empleamos las fórmulas de las áreas estamos midiendo áreas de manera INDIRECTA. Porque medimos longitudes y luego operamos con ellas para dar con el área. Hay magnitudes que solo podemos medir de forma indirecta, como la temperatura.

Como ejemplo de situación de construcción, podríamos plantear recortar el forro necesario para forrar un libro, sabiendo que el área es de tantas unidades.

6. Situaciones en las que resulta necesario utilizar las equivalencias de los sistemas de medida

¡Anda! ¿Cómo? Equivalencias sin haber introducido el SMD. Efectivamente. Mira, esto es del episodio de «El problema del tesoro enterrado» de Peg+Gato (serie para 5-7 años).

Mide el área de esta hoja con estos rectangulitos azules. Ahora mídela con estos rojos (tienen un área cuatro veces mayor, pero no lo decimos). ¿Qué observas?

Las situaciones 7 y 8 están muy relacionadas.

** Situaciones de medida con unidades del Sistema Métrico Decimal.**
** Situaciones para determinar el grado de precisión de la medida.**

Un clásico es medir el ancho de la clase con pies. A unos les sale un número y a otros, otro. ¿Qué hacemos? ¿Usamos el zapato de María como unidad estándar? ¿Y si queremos encargar un mural? ¿Enviamos el zapato de María con el pedido? ¿Qué hacemos? ¿Cómo solucionamos esto?

La cuestión es que los niños, actualmente, están en contacto continuo con el SMD, y la respuesta a esa pregunta es prácticamente directa. Mucho mejor medir en metros, claro. Nos hemos puesto de acuerdo en muchos países para medir las cosas.

La situación 9 es transversal completamente a todas las anteriores:

9. Situaciones de estimación de la medida de cantidades de magnitud y ejercitación del cálculo mental en situaciones de medida

No es estimar «en plan adivinar», no.

Podríamos distinguir situaciones de estimación con la unidad presente o no. O situaciones de estimación por exceso y por defecto, tanto a priori (antes de echar las cuentas) como a posteriori (después de echar las cuentas).

Escribía en EDMA0-6 sobre situaciones de estimación en Cyberchase (ver este post).

Y hasta aquí el esbozo de lo que constituye el tratamiento de la medida. Importantísimo en la fundamentación de conceptos matemáticos como el racional.

Todo esto es una especie de resumen de lo que se les cuenta desde @dm_unizar en #cosicasdeDAII a los alumnos de @FacultadEducaUZ desde hace tiempo.

Os enlazo también un hilo que hice sobre el tratamiento de la medida en esa maravillosa serie que es Peg+Gato.

Nada más, feliz #PiDay (que, aunque no hayamos nombrado a Pi, también se fundamenta en todo esto de la medida). Y feliz Día Internacional de las Matemáticas #idm314.

¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

Sun, 21 Feb 2021 00:00:00 +0000

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¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

(Docente) Fácil, dibuja una recta numérica y lo verás.
(Estudiante) A ver si me aclaro. Yo dibujo la recta, marco el cero y luego escribo los números a la derecha, que van aumentando, cada vez son mayores. Luego me pongo a escribir los números de la izquierda, que también irán aumentando, ¿no? 😖
(Docente) A lo mejor es porque te lo he puesto en horizontal. Vamos a verlo con un termómetro. Las temperaturas aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo, ¿no?
(Estudiante) Sí, pero a -8 ºC tienes más sensación de frío que a -2ºC. De toda la vida, digo yo… 😖
(Docente) ¿Y si pensamos en un garaje subterráneo?
(Estudiante) Cada vez estás a mayor profundidad, ¿no será que el -8 es mayor que el -2? 😖
(Docente) Espera, que lo podemos hacer con estas fichas azules y rojas. Puedes pensar que son cargas eléctricas. Si tienes 5 rojas y 7 azules, 5 de ellas se neutralizan y te quedan 2 azules, que son negativas. ¿No es mejor tener menos de estas azules?
(Estudiante) 😖

Nota: nos vamos a encontrar obstáculos de este tipo intentando argumentar así con cualquier modelo concreto. Otro ejemplo que me compartía esta mañana @charotaber es esta balanza numérica

Para esto que pretendemos aquí, esa balanza también es un obstáculo. Si puedo compensar el +2 y el +6 con el -8, es que este es mayor, “pesa” más (ya sé que aquí la cosa va de momentos, pero los alumnos en este nivel argumentan legítimamente en estos términos).

¿QUÉ HACEMOS ENTONCES? 😱

Oye, Pablo, que no es para tanto, se enseñan las reglas de los signos y ya lo entenderán más adelante. Bueno, es una opción, pero este “pequeño” gesto se orienta hacia cierta visión de las mates, que a lo mejor no es la que queremos transmitir.

Por ejemplo, cuando en primaria se enseña a dividir con decimales y se habla de bajar ceros, es posible que se piense que:

a) Ya lo entenderán. b) No hace falta que lo entiendan.

Pues con esto lo mismo.

Venga, ¿qué hacemos? Y ojo, que vienen curvas.

(Docente) Deja que piense… Antes hemos aprendido a calcular diferencias de expresiones algebraicas, ¿verdad? Vamos a ver qué tal con esta situación que te voy a plantear. En la primera semana de curso, Alberto consigue ahorrar cuatro euros, mientras que en la segunda semana no recuerda si consiguió ahorrar o no. Por otro lado, María gastó dos euros en la primera semana y tampoco recuerda qué ocurrió en la segunda.
(Docente) ¿Cuál es la diferencia entre lo ahorrado por uno y por otra en la primera semana?
(Estudiante) Hay una diferencia de 6 euros a favor de Alberto… ¿4 - -2?
(Docente) Usaremos paréntesis para no escribir esos dos signos seguidos. Además, así dejamos claro que ese (-2) modeliza la pérdida de euros.
(Estudiante) Vale, entonces 4-(-2)=6. Puedo decir que restar un número que resta equivale a sumar ese número.
(Docente) ¿Y teniendo en cuenta lo que ocurre también en la segunda semana?
(Estudiante) Como no sabemos lo que ocurre, la diferencia será 6+a-m, siendo a lo que ahorra o gasta Alberto y m lo que ahorra o gasta María.
(Docente) Analicemos qué puede ocurrir en la SEGUNDA semana, donde la diferencia es a-m.
(Estudiante) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María ahorra 4,la diferencia es de 2 euros a favor de Alberto. a-m = 6 - (+4) = 2
(Docente) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = 6 - (-4) = 10. La diferencia es de 10 euros a favor de Alberto.
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María ahorra 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (+4) = -10. La diferencia es de 10 euros a favor de María. Y por cierto, entonces restar un número que suma es lo mismo que restarlo, ¿no?
(Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María gasta 4.
(Estudiante) a-m = -6 - (-4) = -2. La diferencia es de 2 euros a favor de María.
(Docente) Y volviendo a la pregunta que motivaba todo esto… La diferencia nos sale positiva cuando es mayor el primer término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 8-5= 3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Y cuando la diferencia sale negativa es porque es mayor el segundo término, ¿no?
(Estudiante) Sí. Por ejemplo, 5-8 = -3. El 8 es mayor que el 5.
(Docente) Vamos a hacer la diferencia de esos números. (-8) - (-2) = -6
(Estudiante) Mmm, ¡sale negativa! ¡Eso quiere decir que el (-2) es mayor que el (-8)!

Disclaimer. Esto forma parte de una secuencia didáctica mucho más amplia en la que, poco a poco, se van construyendo los números enteros en un entorno algebraico.

La secuencia ideal no es tan dialógica (ni breve) como la que he dramatizado en estos tuits, sino que hay momentos en que los alumnos se enfrentan a estas y otras situaciones y después se comentan sus soluciones y argumentos.

Si quieres saber más sobre los obstáculos de los modelos concretos para la enseñanza de los negativos (es un tema apasionante de la didáctica), aquí enlazo el artículo de Eva Cid. http://quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/nr_460/a_6233/6233.pdf

Y la secuencia de la que hablo está basada en la que describe Cid en su tesis, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015.

Veo comentarios que surgen, obviamente, de un conocimiento matemático avanzado, como lo de extender ciertas propiedades de los naturales. Quizás no he remarcado, culpa mía, que se trata de introducir los enteros, pensemos en estudiantes de 1º o 2º de ESO (12-13 años aprox.)

La idea de la secuencia, entre otras, es evitar presentar a los enteros como un monumento. Y mientras se introducen, fíjate, hacemos matemáticas, en una etapa obligatoria.

Si este hilo os ha sabido a poco, intenté capturar la esencia de la propuesta de la tesis de Cid en este post, aunque la fuente original siempre será mucho mejor.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Sun, 07 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Algoritmos tradicionales de la multiplicación y de la división con billetes.

Para los nuevos. Con esto de los algoritmos (con los tradicionales y con cualquiera) hay que tener claro que el papel principal que deben jugar en el aprendizaje no es el mismo que el que pudieran tener hasta mediados del s. XX. No tienen la misma importancia social que entonces.

Habrá que poner el foco en el desarrollo del sentido numérico, la estimación y técnicas de cálculo oral y mental. Así mismo, trataremos de profundizar en la comprensión de nuestro sistema de numeración posicional.

Una propuesta adecuada, por ejemplo, evitaría el uso de algoritmos en 1º EP, porque en el momento que los introduces y pones ahí el centro de atención, olvídate del cálculo mental. Tiene sentido introducirlos hacia finales de 2º EP, con números de tres cifras.

Pero entonces… ¿cómo los pongo a hacer problemas si no saben ni sumar? Bueno, pues es que una cosa es sumar y resolver situaciones aditivas y otra es cómo llegues al resultado de la suma.

De hecho, centrarte en los algoritmos hace que dediques muy poco tiempo a otras cosas. Confunden idea de suma con procedimiento para sumar. Y entonces los problemas son o de suma o resta. Y me lo juego, si es la una será la otra. Datos, operación, solución. Hombre llevándose la palma de la mano a la cara

Algoritmo de la multiplicación

Venga, al lío. Vamos a justificar con billetes el algoritmo tradicional de la multiplicación por un número de una cifra. Representamos el número 1426 con el menor número de billetes posible.

Esto ya es una situación interesante. Con el MENOR NÚMERO DE BILLETES. Si hubiese usado 26 billetes de uno, podría haber cambiado 20 de ellos por 2 billetes de diez.

Construye ahora una cantidad de dinero tres veces mayor. De nuevo, represéntala con el menor número de billetes posible. Pasaré a tener 18 billetes de uno, 6 billetes de diez, 12 de cien y 3 de mil.

Pero como tengo 18 billetes de uno, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de diez. Y como tengo 12 billetes de de cien, puedo cambiar 10 de esos por 1 billete de mil. Esos cambios van a ser las llevadas.

Pd. Para este hilo he tenido ayuda.

Veamos ahora el algoritmo en relación con las acciones que hemos hecho con los billetitos. El primer paso es escribir el número grande arriba (multiplicando) y el pequeño debajo (multiplicador). Bien alineados

Triplicamos los billetes de uno. Nos salen 18.

Pero 10 de esos los podemos cambiar por 1 de diez. De ahí viene el “y nos llevamos una”.

Se pasa a multiplicar la siguiente cifra del multiplicando, a cuyo resultado añadiremos la “llevada” que hemos guardado del paso anterior.

Se procede de la misma manera hasta llegar a la última cifra del multiplicando. El resultado de esta última se escribe íntegro.

Vamos a por la multiplicación por un número de dos cifras. Como paso previo, veamos qué ocurre cuando multiplicamos un número por 10.

La tarea es igual que la anterior. Representa el número 327 con la menor cantidad de billetes posible. Entonces, construye una cantidad 10 veces mayor y represéntala con el menor número de billetes posible.

Lo que ocurre es que, en este caso, te juntas con 70 billetes de uno, 20 de diez y 30 de cien; que puedes cambiar por 7 de diez, 2 de cien y 3 de mil. En definitiva, tienes ante ti el número 3270.

Por eso cuando multiplicamos por 10 basta con añadir un cero a la derecha. Nos apoyamos, como se ha visto, en que diez unidades de un orden equivalen a una unidad de un orden superior.

Ahora sí estamos en condiciones de multiplicar el 327 por un número de dos cifras, como el 24. Habiendo trabajado técnicas orales de cálculo, discutimos en clase que para hacer una cantidad 20 veces mayor, podemos duplicarla primero y luego construir algo 10 veces mayor.

Después de haber manipulado con algunos ejemplos, reflexionamos y justificamos el algoritmo, relacionando los pasos de este con las acciones realizadas.

Realmente, como veremos, hacer una cantidad 24 veces mayor que otra, es lo mismo que hacer una cantidad 4 veces mayor, una cantidad 20 veces mayor, y sumar ambos resultados.

Si quiero hacer mentalmente 35x24, puedo pensar en hacer 35x20, que se puede hacer duplicando 35 y multiplicando por 10 (sale 700). Luego le sumo lo que falta, 35x4, que es 140, número al que puedo llegar duplicando 35 y volviendo a duplicar el resultado. Total, 700+140=840.

Que me voy por las ramas. Estábamos en 327x24. Primero, multiplicamos por 4 el multiplicando, cosa que ya sabemos hacer. Ahí tenemos el 1308.

Si recordáis el algoritmo, ahora pasamos a multiplicar 327x2, pero el resultado lo ponemos desplazado. Esto es porque estamos duplicando y multiplicando por 10, que ya sabemos que es añadir un cero (por lo que hemos explicado antes). Ese 654 es en realidad un 6540.

Y ahí tenemos el resultado final, al sumar ambas filas.

El “problema” está en que no se suele justificar ese desplazamiento de la segunda fila, con lo cual tenemos a gran parte del alumnado ejecutando un algoritmo sin saber lo que está haciendo para algo que en realidad no le hace falta.

Algoritmo de la división

Lo de la división, que parece que trae más de cabeza al personal, ya lo traté de pasada en el de las tortillas, hilo que enlazaré después. La cuestión es que voy a presentarlo aquí como el reparto de una cantidad de dinero.

Comenzamos igual que antes. Representa el número 6284 con el menor número de billetes posible y reparte esa cantidad entre 6 personas. Cuando esto se plantea así, sin más, tampoco hay por qué ir en orden, pero van a salir elementos clave en los que se apoya el algoritmo.

Por ejemplo, un niño o una niña podrían empezar repartiendo los billetes de diez. Como hay 8, pueden dar 1 billete de diez a cada participante. Sobran 2. También pueden dar 1 billete de mil a cada uno, y en este caso no sobra ninguno.

Me quedan por repartir entonces 2 billetes de cien, 2 de diez y 4 de uno (es decir, 224). Está claro que puedo seguir repartiendo. Vaaaale, cambio los 2 de cien por 20 de diez y sigo repartiendo, porque ahora puedo dar 3 de diez a cada uno y me sobran 2 de diez.

Y así puedo seguir hasta ver que a cada participante le tocan 1047 y que sobran 2 billetes de uno. Nota: he elegido un ejemplo en el que sale un cero en el cociente que suele ser fuente de dificultades. Se puede empezar con otros que no incluyan estos ceros.

Sin embargo, quiero ilustrar que teniendo un control semántico sobre lo que estamos repartiendo en cada momento, evitamos que se «olvide» ese cero y que el resultado final no tiene sentido. Cosa que, con algo de sentido numérico, se vería al instante (¡¡no puede ser 147!!)

Cómo justificamos el algoritmo. El tradicional en España tiene la siguiente pinta inicial.

Lo voy a describir desplegado del todo, para incidir en todo lo que está pasando. Esto suele llamar la atención, porque si se usa el algoritmo tradicional de la resta (el que modifica el sustraendo), no suele escribirse lo que se resta, sino que se hace “on the fly”.

Hay alumnos que cuando hacen lo de la división, no saben que están restando. Y no es culpa suya.

Tenemos esto. Empezamos por la cifra de mayor valor posicional. ¿Cuántos billetes de mil puedo dar a cada uno de los 6 participantes? A ver, tengo 6, pues puedo dar 1 billete de mil a cada uno.

Aquí lo tenemos. He dado 1 billete de mil a cada uno y por eso esto irá en la cifra del cociente correspondiente a las unidades de millar. He dado 6 billetes de mil en total y no me sobra ninguno.

Vamos ahora con los billetes de cien. Tengo solo 2 de cien, por lo que los participantes no van a recibir ningún billete de cien.

Si quiero continuar, con el algoritmo habitual se dice que “bajamos el 8”. Lo que hacemos en realidad es convertir los 2 billetes de cien en 20 billetes de diez, que junto con los 8 de diez del dividendo, nos hacen un total de 28 billetes de diez a repartir entre 6 personas.

De esos 28 billetes de diez, puedo dar 4 a cada uno de los 6 participantes, dando en total 24. Me sobran 4 billetes de diez.

Igual que antes, cambio esos 4 billetes de diez por 40 de uno, que añadidos a los 4 “que bajan del dividendo” me hacen un total de 44 unidades.

Y ya estaría. De esas 44 unidades, puedo dar 7 a cada uno de los participantes, doy un total de 42 y me sobran dos unidades.

La idea de reparto permitirá conectar más adelante representación decimal y fraccionaria del número racional. Más información sobre esto aquí en el de las tortillas, donde ya hablaba de esto de la división.

¿Y cuando el divisor es un números de dos cifras? Bueno, ya sabéis que hay países que no lo tienen en el currículo. No tiene mucho sentido perder mucho tiempo en ello. Pero vaya, se justifica igual que la que acabamos de hacer. Lo que ocurre es que es tedioso.

Fijaos si son tediosas las divisiones estas que he puesto un número donde no era en una de ellas y he usado tippex para no repetir el asuntoHombre llevándose la palma de la mano a la cara. Espero que me perdonéis. Yo nunca lo haría, porque soy de elogiar el tachón Rodando por el suelo de risa.

Y con esto ya estaría. En el hilo de los algoritmos de la suma y de la resta (tradicional y anglosajón) dejé unas plantillas muy cutres para los billetes. Recuerdo que vale con material estructurado de base decimal (puntos, barras y placas, casi mejor).

Todo esto está basado en las prácticas preparadas por @dm_unizar en @FacultadEducaUZ para Didáctica de la Aritmética I.

¡Un saludo y feliz clase! Si has encontrado interesante el hilo, ya sabes, a compartir.

Epílogo

El siguiente hilo, sobre el tratamiento de la medida en diferentes etapas.

Pd. Me dicen por el pinganillo que son muy pequeños estos billetines. Sí, lo son, son los que imprimí en casa para trabajarlo con mis pequeños. Mejor más grandes y, como he dicho en el hilo, mejor puntos, barras y placas, por lo menos para los de la suma y resta.

Aunque no me diréis que no habéis pensado en un kit individual para tiempos pandémicos. En cualquier caso, tened en cuenta que esto se supone que se plantea para niños y niñas de 2ºEP (hacia mitad de curso) y 3ºEP. Antes, como he dicho, ni hace falta ni viene bien.

Pd2. Siempre que hago un hilo sobre esto me gusta mencionar que las matemáticas en primaria no son sólo aritmética. Al igual que las mates en secundaria, que no son solo álgebra.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Sat, 06 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes.

Ahora que tengo vuestra atención, debo deciros que el tuit anterior lo tiene todo mal. En primer lugar, no hay «sumas con llevadas». En todo caso, se puede hablar del algoritmo tradicional o estándar con llevadas. Digo esto porque 23+18 es una suma. Punto.

Puedo calcular 23+18 sumando 20 a 23 (en lugar de sumar 18) y quitando 2. Total, 41. O puedo hacer 23+10, que da 33, y luego sumar 8, cosa que hasta podría hacer contando con ayuda de los dedos.

O sea, que una cosa es sumar, restar, multiplicar y dividir, y otra, la forma de hacerlo. Los algoritmos tradicionales son UNA FORMA de efectuarlas. Más turra sobre implicaciones educativas de esto al final del hilo.

En el gif salen billetes porque voy a justificar los algoritmos con billetes, pero esos del Monopoly no sirven. No hay de 1 €, ni de 10 €, y además hay de 2000 €, 5000 € y 50000 €. Necesitamos un sistema de billetes estrictamente decimal, desde la unidad.

Como estos de aquí. Tranquilidad, que al final dejaré plantillas. Sosillas como estas (pero que son pequeñas e incluso pueden proponerse kits individuales para el contexto actual) y otras más realistas.

De todas maneras, dependiendo de la edad, sería mejor utilizar material del tipo de puntos, barras y placas. Se diferencia de los billetes en que la barra se ve que está compuesta por 10 puntos.

Dicho todo esto, vamos al lío. La suma. Comenzamos representando los dos números que queremos sumar, con el menor número de billetes posible. Pongamos como ejemplo que quiero hacer 356+878.

Ya con la representación de los números tenemos un interesante problema. Con el MENOR número de billetes posible. Es decir, que esto de aquí no nos vale, aunque represente el 356.

No nos vale porque podemos cambiar 10 billetes de uno por 1 billete de diez.

Aquí tenemos el 356 y el 878.

Ahora juntamos las del mismo tipo y contamos. Me salen 14 billetes de uno. ¡Pero puedo cambiar! Recordemos que quiero utilizar el menor número de billetes posible, así que si puedo cambiar 10 de uno por 1 de diez, lo hago.

Y si hago esto con las demás, ocurre lo siguiente:

¿Qué ocurre en el algoritmo tradicional o estándar de la suma?

Pues que cuando hago 8+6 y me sale 14, digo que pongo 4 y «me llevo una». Ese «me llevo una» es la decena del catorce. En lo que hemos hecho antes, viene de que podemos cambiar 10 billetes de uno por uno de diez.

Es tan icónico esto del «y me llevo una» que es el título de un libro de @tocamates 😉. Aquí es fácil de comprender qué es eso de la llevada, pero luego veremos que en el de la resta tradicional no lo es tanto.

Se llaman algoritmos porque son una serie de instrucciones sistemáticas. O sea, que se pueden programar. Este es el de la suma:

Escribe los sumandos uno debajo de otro de manera que las unidades de un mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
Si el resultado de la suma es menor que 10, escríbelo en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente. Si no, salta al paso 5.
Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe sus unidades en la columna actual y añade la cifra de las decenas a la suma de la columna siguiente.
Continúa el procedimiento (vuelve a paso 3) hasta llegar a la última columna.
El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
El número que aparece debajo de la raya es la suma de dichos sumandos.

Aquí está la suma anterior completa. Los unos en rojo son «las llevadas»; es decir, los cambios que hemos hecho. Observemos que la última suma («el doce», doce centenas) se pone íntegra (una unidad de millar y dos centenas), tal y como indica el algoritmo.

Inciso: una actividad muy maja sería programar estas cosas en Scratch.

Algoritmos de la resta: tradicional (en España) y anglosajón

Vamos con la resta. Explicaré dos algoritmos. El anglosajón y el tradicional (el estándar, en España). El anglosajón es más fácil de justificar y, por tanto, de comprender. Luego tiene alguna implicación que hay que tener en cuenta, pero sin mayor importancia.

Hagamos 425-178. Represento 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 significa quitar (sustraer) 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero, ¿qué ocurre? Que no puedo quitar 8 de donde solo hay 5. Solución anglosajona, cambiar uno de los billetes de 10.

Aquí el algoritmo anglosajón completo con billetes y en notación simbólico-numérica.

Una característica fundamental del anglosajón es que, para poder hacer la resta, solo se modifica el minuendo (el de arriba). El sustraendo permanece igual.

El anglosajón se basa en que 425 = 410 + 15. Es decir, que puedo cambiar 1 unidades de un orden por 10 unidades del orden inferior. Por ejemplo, 1 decena por 10 unidades; o 1 centena por 10 decenas. Según me convenga.

El tradicional o estándar (en España) se basa en una compensanción. Antes de introducirlo hay que tener claro que si tú tienes 25 euros y yo 10, tú tienes 15 euros más que yo. Y que si nos dan 10 euros a ti y otros 10 euros a mi, seguirás teniendo 15 euros más que yo.

Parece una tontada, pero no es evidente. Sobre todo cuando hablamos de niños y niñas de 7-8 años y que «la llevada» del tradicional tiene que ver con esto. Hay muchísimos alumnos que no llegan a entender qué es la llevada. Lo hacen, y punto.

Vamos a verlo con billetes. 425-178, como antes. Representamos 425 con el menor número de billetes posible. Restar 178 implica quitar 8 billetes de uno, 7 de diez y 1 de cien. Pero no podemos quitar 8 de uno. Así que cojo 10 billetes de uno del montón y los añado a los cinco.

Pero claro, para compensar tengo que añadir la misma cantidad al sustraendo. Añado 1 billete de diez. Esa es la llevada del tradicional. Aquí lo represento (y en simbólico-numérico he escrito más de lo que normalmente se escribe).

La compensación en que se basa el algoritmo tradicional es la siguiente:

$$425-178 = (425 +10 ) - (178 +10)$$

Volvamos al anglosajón. Una vez aprendido como antes, hay que poner sobre la mesa qué ocurre cuando tenemos ceros intermedios en el minuendo. Tal y como lo hemos hecho, no sirve. Os planteo como ejercicio hacer 2001-975. ¿Qué instrucciones adicionales necesita el algoritmo?

Y el tradicional, ¿tiene este problemilla? Intentad hacer el 2001-975.

No tiene el problemilla del anglosajón. Sin embargo, cuando el sustraendo tiene menos cifras que el minuendo, hay lugares vacíos en las cifras de órdenes superiores. En esos casos, hay niños que no compensan la llevada porque son lugares vacíos.

A los que os enseñaron el tradicional, sabed que seguramente también hayáis restado alguna vez con el anglosajón. Y si no, pensad en cómo hacéis para calcular intervalos temporales expresados en horas, minutos y segundos.

El anglosajón implica, más adelante, que en la división se tienen que escribir las restas parciales. Se necesitan, porque se va escribiendo sobre el minuendo. El tradicional, en cambio, se hace on the fly y no suelen ponerse.

Para terminar, la turra prometida. No se debería enseñar ningún algoritmo (ni estos ni otros) en 1º de Primaria. Y en 2º, únicamente que se manejen los alumnos mentalmente y con diversas estrategias con números de dos cifras. Vamos, que con números de 3 cifras.

Si introducimos algoritmos de forma prematura vamos a anular esas estrategias de cálculo mental. Que, por cierto, pueden aparecer de forma espontánea, pero hay que trabajarlas y discutirlas en clase.

No solo eso, sino que muchos alumnos asimilarán suma y resta con sus algoritmos.

El objetivo de introducir estos algoritmos será el de comprender cómo funciona el sistema decimal posicional. Son adecuados, ya que explotan al máximo sus características. El objetivo, desde luego, no es que hagan N operaciones en 30 minutos.

Más objetivos de aprendizaje: valorar si me compensa hacer la operación de una forma o de otra, estimar lo que va a salir antes de hacerla.

Las plantillas: aquí. Recordad que sería mejor con puntos, barras y placas. Y dejar esto, quizá, para la multiplicación y la división.

Esto que os he contado está basado en una de las prácticas de Didáctica de la aritmética I que se hacen en Zaragoza desde hace mucho, antes de que yo llegara. Así que crédito para @dm_unizar en la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza.

Si os portáis bien, el año que viene continúo con la multiplicación y la división.

Pd1. Todo esto en paralelo con situaciones concretas (problemas). Y recordando dos cosas:

Que la aritmética no solo es hacer cuentas.
Que las matemáticas en primaria no son solo aritmética.

Pd2. Aquí un pequeño test.

Pd3. Hubo un tiempo en que hacía falta dominar estas técnicas de cálculo para el día a día. De ahí a verlas hoy en día sin comprensión (que, como muestra el hilo, se puede), hay un trecho. Mirad aquí cómo se apañaban hace no tantos años.

Al menos en matemáticas, se explica en exceso...

Sun, 17 Jan 2021 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Y yo que creo que, al menos en matemáticas, se explica en exceso…

En primer lugar, mis disculpas, porque esto es un tema recurrente en mis tuits (turra). Pero como suelo leer por aquí muchas alabanzas de la clase expositiva, llega un momento en que me saturo y me apetece soltar una de estas.

Hablo de mates. Esto es importante. Intuyo que en otras materias puede pasar algo parecido, pero no igual. Por ejemplo, en matemáticas no puedo llevar el 3 a clase un día y decirles a los alumnos, ESTO es el “3”. Trabajamos con abstracciones de ese tipo ya desde infantil.

Y esto solo es una diferencia. Hay más. Por eso hay una cosa que se llama didácticas específicas. En fin, que me desvío.

Imagina que te pegas los tres años de infantil, seis de primaria y dos de secundaria aprendiendo mates de la siguiente manera:

Esto se hace así porque tal. Venga, ahora vosotros.
Esto otro es patatas, se relaciona con esto otro, ¿lo veis? Y se hace asá. Ahora vosotros.

Esa forma de trabajar puede incluir problemas majos de aplicación al final, no digo que no, pero estos se resuelven muchas veces eligiendo simplemente los procedimientos aprendidos. Los enunciados están llenos de pistas, etc.

En cualquier caso, es una visión muy instrumental (buscamos la mera aplicación) y monumentalista o platónica. Las mates son algo estático y mi misión es transmitirlas. Maravíllate. ¿No te maravillas? Entonces es que no entiendes nada. Lo de «monumentalista» no es mío. Es un calificativo que introdujo Chevallard. Me encanta.

Bueno, imagina que estás 11 años aprendiendo mates de esa manera y ahora llega alguien y te plantea una situación (no tiene que ser un problema de olimpíada, ni mucho menos) en la que tengas que observar, relacionar, indagar, donde la respuesta no tenga por qué ser un número… Tú llevas 11 años viendo mates. Sabes lo que son. Buff, no tengo ni idea, me espero y que me diga cómo se hace.

Enseñar a través de la resolución de problemas es más complicado que expositivamente. En la investigación, todavía quedan muchas cuestiones por resolver (es algo que me fascina), como cuáles son las mejores tareas para desarrollar cada contenido. Pero cuanto más expliques, menos espacio dejas para la indagación y el descubrimiento (guiado). Si quieres explicar todo, adelante. Eso sí, luego no te sorprenda que no sepan resolver problemas.

Las explicaciones son mucho más potentes al final, como puestas en común alrededor de lo que han trabajado los alumnos sobre cierta tarea.

No me extiendo más por hoy. Entre los hilos de mi perfil (y en este blog) hay ejemplos de secuencias de este estilo.

Y este otro hilo de @SergioMJGR también incide en lo mismo.

Continuación

La continuación es este hilo

Leo en tuiter cierto discurso que, tal como lo percibo yo, se esfuerza por asociar «exigencia» con clase expositiva. Desde mi punto de vista, no veo mayor exigencia que la que supone trabajar a través de la resolución de problemas.

Tanto para el alumnado como para los docentes.

Hablo de clase expositiva y no magistral. Nos entendemos. ¿Acaso no puede ser magistral (hecha con maestría) una clase a través de la resolución de problemas?

Conexión decimal-fracción, con tortillas, unpacked

Sat, 26 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

4,99… es aproximadamente 5
No, es que es 5.
¿Ein?

Conexión decimal-fracción. Con tortillas. Unpacked.

Sí, hay varias maneras de razonar. Por ejemplo, trata de buscar un número entre el 4,99… y el 5, complicado, ¿verdad? O toma 10 veces el 4,99… y quítale una vez el 4,99…, con lo que tienes 9 veces el 4,99… O con series geométricas.

Pero este hilo no va de eso. Y como buena pregunta cebo, se responderá al final. Voy a tratar de mostrar ejemplos de tareas que comenzarían en primaria y que culminarían en 3º ESO aprox.

Me gusta hablar de tareas porque se trata de hacer. Y mientras se hace, se piensa y se le da significado a lo que se hace. Y se discute. En definitiva, se construye conocimiento a partir de la resolución de situaciones y problemas. No se presenta a las mates como un monumento.

Si habéis leído los hilos de multiplicación y división de fracciones, recordaréis que hablaba de medida. Es decir, las fracciones representaban cantidades de magnitud u operadores que actuaban sobre esas cantidades.

Pues bien, ahora cambiamos las gafas para meternos en el modelo de reparto. El numerador va a indicar el número de objetos a repartir (hablaré de tortillas) y el denominador el número de participantes (hablaré de personas).

Como los objetos a repartir tendrán que ser fraccionables, este significado de la fracción como reparto no está aislado del de medida. Hay un control del tamaño de los trozos que se reparten.

Con $5/4$ simbolizaremos, por tanto, dos cosas. Por un lado, el reparto en sí; es decir, el proceso de repartir 5 tortillas para 4 personas. Por otro lado, la cantidad de tortilla que recibirá cada uno de los participantes.

Reparte de forma equitativa 5 tortillas entre 4 personas, al menos, de 3 formas distintas. Intenta explicarlo de manera verbal, gráfica y simbólica. No te hagas spoiler y piénsalo.

Puede que digas… ¡Qué fácil! Parto cada tortilla en cuatro trozos iguales y a cada participante le doy un trozo de esos de cada tortilla. Venga, os presento a los participantes (soy original y los llamo a, b, c y d ) y en el siguiente tuit lo muestro gráfica y simbólicamente.

Eso es, aquí está. Cada uno recibe 5/4 de tortilla. ¿Pensamos otra manera?

Si en lugar de partir cada tortilla en cuatro, las parto en ocho trozos, a cada uno le tocarán dos trozos (octavos) de cada tortilla.

Sí, reciben la misma cantidad. En el primero $5/4$ y en el segundo $10/8$. ¿Puede decirse que son «iguales» esas fracciones? Representan la misma cantidad de tortilla, pero el proceso ha sido distinto.

Pero vaya tontada, Pablo. Y si las parto en 16 ya tengo otra forma, que pedías tres. Veamos, tanto el de cuartos como el de octavos los hemos hecho en una sola fase. ¿Qué ocurre si quiero dar tortillas enteras en este caso? Porque aquí podríamos, ¿no?

En una primera fase, daría una tortilla a cada participante.

Y después, en una segunda fase, esa tortilla que sobra, la partiría en 4 (si quiero terminar ya), y daría uno de esos trozos a cada participante. Cada uno recibiría una tortilla entera y un cuarto. Es decir, $1+1/4$.

Como ejercicio, os propongo que la última tortilla no la dividáis en cuartos, sino en quintos. Os saldrá, por lo menos, una fase más.

La exploración de estos repartos ya da pie a interesantes discusiones de aula y movilización de contenidos, como la equivalencia de expresiones aritméticas.

Veamos ahora qué pasa si en cada fase no partimos lo que sobra de cualquier manera, sino que imponemos la condición de partirlo en 10 trozos (siempre iguales, eh, aunque en los dibujines se vea todo muy cutre).

Recuerdo. Cinco tortillas para cuatro personas. Primera fase, reparto tortillas enteras. Una a cada persona, doy en total cuatro y me sobra una. Usaré corchetes para indicar el tamaño de los trozos que estoy repartiendo.

Vamos con la segunda fase. Parto lo que sobra en 10 trozos iguales, por lo que ahora tendré 10 décimas (10 trozos de tamaño 1/10). Puedo dar 2 décimas a cada uno, dando en total 8 décimas. Me sobrarán 2 décimas por repartir.

Sigue sobrando, por lo que hacemos una tercera fase. Parto esas dos décimas en 10 trocitos cada una, por lo que paso a tener 20 trocitos de tamaño 1/100. A cada uno le doy 5 de esos trocitos, dando en total 20 y no me sobra nada.

Por lo tanto, cada participante recibe 1 tortilla entera, dos trozos de tamaño $1/10$ de tortilla y cinco trozos de tamaño $1/100$. Según la tabla que hemos hecho, podemos escribirlo así:

$1+2[1/10]+5[1/100]$

Cuando algunos hablamos del papel de los algoritmos tradicionales, que hay que repensarlo y todo eso, es por esto. No sé cuántos os estáis dando cuenta de que esto es UNA DIVISIÓN DE LAS DE TODA LA VIDA. Cuando lo cuento en ESO o en magisterio, resulta que no es tan evidente.

Los algoritmos tradicionales pueden ser estupendos para profundizar en el sistema decimal posicional. Trabajarlos de forma machacona no lleva a ningún sitio, pero desde el significado, con manipulables, etc. llegamos a sitios maravillosos. CONTINÚO.

Hemos dado $1,25$ de tortilla a cada uno. Efectivamente, UNA tortilla entera, DOS décimas y CINCO centésimas. Aquí tenéis la primera fila de la tabla, la primera fase del reparto, con significado, según la división en caja.

¿Alguien se ha preguntado alguna vez que es eso de bajar un cero? ¿De dónde se bajan? ¿De las nubes? Pues hala, aquí veis que es el comienzo de la segunda fase del reparto, me ha sobrado una tortilla entera y la parto en diez, por lo que tendré que repartir DÉCIMAS.

Y aquí está el final de la segunda fase. Tengo 10 décimas, puedo dar dos a cada participante, doy en total ocho, y me sobran dos DÉCIMAS por repartir.

En la siguiente fase, parto las décimas en 10 trocitos cada una, por lo que tendré 20 centésimas a repartir entre 4 participantes. Tocan a 5 CENTÉSIMAS y no sobra ninguna.

Ya hemos establecido la conexión fracción con decimal. Decía que todo esto culmina en 3º ESO. Hasta llegar a ese momento, podemos incorporar situaciones en las que se consideren diferentes repartos.

Si pensamos en el 5 tortillas para 3 personas, veremos que el reparto decimal no termina nunca. Pero, ¿eso quiere decir que cada uno recibe una cantidad infinita de tortilla? No, porque ya hemos visto que cada uno recibe siempre una cantidad equivalente a $5/3$ de tortilla.

Algo que se puede investigar, muy interesante, es ver cuáles son las condiciones para que se dé lo que ocurre con el cinco para tres, es decir, que el proceso sea infinito (vamos, que salgo periódico).

Y venga, ahora empezamos a enlazar con la pregunta cebo. Un problema interesante es preguntarse por las condiciones iniciales de un reparto; es decir, el número de tortillas y el número de participantes, sabiendo la cantidad de tortilla que ha recibido cada uno.

Primer caso. La representación polinómica decimal es finita (o sea, número con decimales fijos). Por ejemplo, supongamos que cada participante recibe 2 tortillas enteras y 3 décimas, es decir, $2,3$ tortillas. Llamaré «a» al número de tortillas y «b» al de participantes.

En la primera fase, por tanto, tengo a tortillas. Como me dicen que cada uno recibe dos tortillas, y hay $b$ participantes, en total habré dado $2b$ tortillas. Me sobra lo que tenía al principio menos lo que he dado. $a-2b$ tortillas.

Corto lo que me sobra en 10 trocitos, por lo que tendré $10(a-2b)$ trocitos, es decir $10a-20b$ trocitos de tamaño $1/10$ (décimas). Doy tres a cada uno, dando en total $3b$ décimas (multiplico por el nº de participantes, $b$, que es desconocido).

Pero espera, porque el reparto terminaba ahí. No sobraba nada… por lo que $10a-23b$ tiene que ser cero. Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 23 tortillas y 10 personas. O cualquier reparto equivalente, como el 230 para 100.

Segundo caso. Cuando la representación polinómica decimal es infinita (números periódicos). Si has hecho divisiones o ejemplos como los que ponía antes, sabrás que te sale periódico y tienes que parar cuando se empiezan a repetir los restos, las partes sobrantes.

Intentemos averiguar las condiciones iniciales de un reparto en el que cada participante recibe 1 tortilla entera, 3 décimas, 3 centésimas, 3 milésimas, etc. Es decir, 1,33.. tortillas.

Podría seguir ad infinitum, pero el caso es que sé que las partes sobrantes se están repitiendo. De hecho, en este caso, son todas iguales. Voy a igualar las dos primeras.

$10a-13b = a-b$

Por lo tanto, las condiciones iniciales eran 12 tortillas y 9 personas, o cualquier reparto equivalente, como $4/3$. Observemos que si hubiésemos igualado $a-b$ con $100a-133b$ también nos habría salido. Y también si igualamos $10a-13b$ con $100a-133b$.

Si te has perdido en este punto, vuelve a donde se relaciona lo de la tabla (el reparto) con la división en caja. Ponte a dividir 12 entre 9 y trata de identificar el momento en que te das cuenta que “entras en bucle” y por qué.

Aquí irían diferentes situaciones. Cuando el período tiene más de una cifra resulta que los restos no son todos iguales, sino que van salteados. Cuando es periódico mixto, por ejemplo, se empiezan a repetir a partir de cierto momento…

Y el momento genial, ¡aha!, cumbre o como queráis llamarlo viene cuando pides encontrar las condiciones iniciales del reparto en que cada uno recibe $4,99…$ tortillas. Para mí, uno de los mejores momentos de toda la ESO.

Voy a merendar, que con tanta tortilla me ha entrado el gusanillo. Así, si alguien quiere hacerlo, tiene un ratito.

Venga, ¿empezamos?

Como lo que sobra es siempre igual, $a-4b$ tiene que ser igual a $10a - 49b$. Si hiciese una fila más, lo que sobrase también sería igual.

Y hete aquí que sale $45/9$; es decir, 45 tortillas para 9 personas, o 5 tortillas para una persona. En este momento:

Pablo, ya lo he hecho pero creo que lo tengo mal. No puede ser. Me sale cinco.

ESE ES EL MOMENTO.

¿Qué está pasando? ¿Cómo va esto de las representaciones decimales que acaban en 9 período? Aquí es donde tienen lugar unas cuantas discusiones y charlas de aula. La idea de fondo es que las representaciones polinómicas decimales que vienen de un reparto son únicas. Salvo…

… salvo en las representaciones finitas, ya que también admiten otra representación a base de nueves periódicos. Y esta noción, la de que un mismo número admite diferentes representaciones, es fundamental.

Como decía al principio, formas de argumentar sobre representación decimal y fraccionaria hay muchas. Si queremos que el alumnado vea la fracción como número no podemos dejar que el peso de la secuencia en el parte-todo. Este modelo dificulta esa conexión. Enlace para saber más

Y sobre todo. Esto no se explica. Se hace, y mientras se hace, se reflexiona sobre lo que se está haciendo.

Esta cuestión está desarrollada en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Y las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en @FacultadEducaUZ @dm_unizar #cosicasdeDAII.

Algunos me habéis preguntado por la notación de corchetes. Es herencia de Gairín y compañía y es la que usamos en @FacultadEducaUZ @dm_unizar. Se trata de enfatizar el control de los trozos. Da pie a un trabajo simbólico mayor que no he puesto en este hilo.

De hecho, para dejar más claro que es un significado diferente del de medida, en Didáctica de la aritmética II lo que se hace es escribir $(a,b)$ en lugar de $a/b$ cuando estamos con los repartos.

Para curiosos: $(2,3)[1/10]$, en cierta fase de un reparto, indicaría que tengo 2 trozos, de tamaño $1/10$, a repartir entre 3 personas.

Dejo aquí unos hilos de hace poco:

Sobre socialización de repartos, que te permiten indagar en el orden, comparación, densidad de los números racionales. Enlace
Aquí el hilo de la multiplicación de fracciones, desde el significado de medida. Enlace
Y aquí el de división de fracciones, desde la medida. Enlace

División de fracciones, unpacked

Tue, 22 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

La división de fracciones. Unpacked.

Parece que solo hay dos opciones de «dar» o «ver» esto. Una, como el producto cruzado; otra, multiplicando por la inversa.

¡Mucho mejor lo de la inversa! Claro, te aprendes la regla de la multiplicación de fracciones, y dividir es lo mismo dando la vuelta a una de ellas.

¡Pero yo prefiero la otra! Es como cuando miro si las dos fracciones son iguales, que se hace el producto cruzado. Déjate de inversas, ¿qué es eso de invertir?

He puesto comillas en dar y ver. Esto ni se da ni se ve, se hace, y mientras se hace, se reflexiona y se le da significado. De lo contrario, para ponernos a aplicar una regla que es magia, hay un atajo excelente que se llama calculadora.

Vamos a la faena. Aviso que conceptualmente es más complicado que el de la multiplicación. Por eso, sugiero haber visto este hilo antes de seguir, pero esto es como elige tu propia aventura.

Caso en que dos fracciones que representan cantidades de magnitud y que multiplicadas dan una cantidad de una nueva magnitud. Por ejemplo, el área de un rectángulo conocidos los lados (multiplico los lados, longitudes, para hallar el área).

Entonces, si conocemos el área y uno de los lados, veríamos que tenemos que dividir. Un ejemplo con números enteros: «Un rectángulo tiene área 15 u2 y uno de sus lados mide 5 u, ¿cuánto mide el otro?» Lo que sea, pero multiplicado por 5 tiene que dar 15.

Aquí, por tanto, la división tiene sentido combinatorio. Con fracciones: «Si tenemos un rectángulo de área 3/4 m2 y uno de los lados mide 7/5 m, ¿cuánto mide el otro?» Observemos que ahora nuestras unidades son metros y metros cuadrados (en genérico, antes las he llamado $u$ y $u^2$).

¿Tiene sentido aquí pensar en cuántas veces cabe el 7/5 en 3/4? ¿Tiene sentido aquí pensar en multiplicar la una por la inversa de la otra? ¿Qué significaría en este contexto 5/7m^-1 o 4/3 m^-2? 🤷🏻‍♂️.

Me construyo el lado conocido (7/5 m). He elegido una fracción impropia (pobrecitas) para que quede claro cómo se construyen. Comienzo con la unidad.

La divido en 5 partes iguales para tener quintos de metro.

Y añado dos más para tener los 7/5 m.

Me construyo un rectángulo de área 3/4 m2. Para ello, primero me construyo la unidad de área, el metro cuadrado.

Lo divido en cuatro para tener cuartos de metro cuadrado, y tres de ellas serán los tres cuartos de metro cuadrado. En rojo, a la derecha, he comenzado a dibujar el lado desconocido.

Esa misma área, la puedo expresar en veinteavos de metro cuadrado.

Y ahora lo que voy a hacer es recomponer ese área de 3/4 de metro cuadrado para formar un rectángulo que tenga como lado 7/5 de metro. Puedo mover cuatro de los veinteavos de metro cuadrado así, y me queda el azulito.

Tendré que repartir ese azulito a lo largo de todo el “ancho” del rectángulo. Por lo tanto, lo tengo que dividir en 7. Observemos las divisiones en el lado desconocido.

Y ya hemos resuelto el problema. El lado desconocido mide 15/28 m (7/28 + 7/28 +1/28). Esto responde a: 3/4 m2 : 7/5 m = 15/28 m

El denominador del resultado, 4x7, representa las subdivisiones que hemos tenido que hacer en el lado desconocido que queremos medir. Cada subunidad inicial, 1/4 m, se ha subdividido en 7 partes iguales, lo que da lugar a subunidades de tamaño 1/28 m.

El numerador, 3x5, se obtiene al buscar cuántas de estas subunidades de tamaño 1/28 deben aparecer en el lado buscado. Le acabamos de dar significado a la regla del producto cruzado para la división.

¿Vamos a por otro? Recordemos el caso de la multiplicación de fracciones, en que una fracción representa una cantidad de magnitud y la otra es un operador que la modifica. Ejemplo: «Hemos comprado 3/4 de 7/5 kg de harina».

Para hacer 3/4 de 7/5 kg ya vimos en el de la multiplicación que podíamos dividir primero entre cuatro y luego triplicar (tres cuartos de…) o triplicar primero y dividir luego entre cuatro (un cuarto del triple de…). En cualquier caso, 21/20 kg.

¿Qué ocurre si a 21/20 kg le aplico el operador inverso? Es decir, si antes he dividido entre 4 y luego he triplicado, ¿qué pasa si divido entre 3 los 21/20 kg y luego los cuadruplico?

Efectivamente, se obtiene la cantidad inicial. Aplicar el operador inverso (4/3 en lugar de 3/4) es lo mismo que, en sentido combinatorio, dividir los 21/20 kg entre la fracción del operador inicial.

Lo de antes podría responder a un enunciado de este tipo: «Hemos comprado 3/4 de un saquete de harina, y al irlo a pesar eso eran 21/20 kg. ¿Cuánto pesaba el saquete de harina».

Bueno pues si el saquete lo hemos dividido en cuartos y hemos cogido tres, ahora hago tercios de la cantidad que tengo y tomo cuatro. Le hemos dado sentido al operador inverso. Nótese que en el ejemplo del rectángulo no podíamos dar sentido a la fracción inversa.

Incido en el uso de magnitudes continuas porque todo esto con magnitudes discretas no tendría sentido. Se ha de poder fraccionar todo lo que queramos. Si hablamos de bolis, vacas o cualquier otro objeto no fraccionable (y hablo de vacas vivas), no tiene sentido la división.

Seguimos, que esto todavía no ha acabado. Tampoco voy a abordar exhaustivamente todo lo que quedaría, pero recuperemos la idea de división. La división no siempre indica reparto. Su significado como agrupamiento es algo que suele pasarse por alto. ¿Qué diferencia hay?

Comparad los enunciados «Tenemos 15 tortas y queremos repartirlas entre 5 personas, ¿cuántas tocan a cada una?» y «Tenemos 15 tortas y quiero hacer paquetes de 5 tortas. ¿Cuántos paquetes podré hacer?»

Efectivamente, ambos son 15:5, pero en el primero hacemos una división con significado de reparto (3 tortas por persona), mientras que el segundo es con significado de agrupación (3 paquetes de 5 tortas).

Vamos con las fracciones. Consideremos el contexto de las tortas (el gastronómico, no el pugilístico): «Tenemos una torta de 1/2 kg y quiero hacer trozos de 1/8 de kg. ¿Cuántos trozos podré hacer?»

Conecta con el significado de agrupamiento, ya que puede interpretarse como «¿Cuántos grupos de 1/8 kg puedo hacer con 1/2 kg?». Pero también con la medida: «Tengo una cantidad de 1/2 kg (expresada en fracciones de kg) y quiero medirla en porciones (nueva unidad) de 1/8 kg».

Sí, enlaza con la idea de «ver cuántas veces cabe el 1/8 en 1/2». Pero ojo, si lo hubiese planteado al revés, qué. ¿Cómo daría sentido a ver cuántas veces cabe el 1/2 en 1/8? La medida, de nuevo, permite abordar esto, porque simplemente se trataría de medir 1/8u con 1/2u. Es 1/4.

Es normal que el alumnado no perciba las fracciones como números. Trabajar las fracciones priorizando el parte-todo conlleva este y otros obstáculos. El modelo de medida, con las fracciones representando cantidades de magnitud, incide en las propiedades de los racionales.

Nos dejamos para otra ocasión el significado de razón, que también permitiría abordar la división de fracciones.

Como siempre, para ampliar. Sobre los obstáculos del parte-todo: aquí.

Y decir que estas cositas vienen abordadas de forma exhaustiva en el «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho de la Editorial Síntesis.

Me dejo guardado aquí el applet de @alegallardo28, que puede dar mucho juego si se discute lo que ocurre en torno a la medida.

Comparación y orden de fracciones, unpacked

Mon, 21 Dec 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Comparación y orden de fracciones. Unpacked.

Esto comenzaba con una pregunta.

¿Qué te sugiere esto de aquí?

A la cosita de arriba se le puede dar sentido desde el significado de reparto. Pero si recordáis, ayer vimos la multiplicación de fracciones desde el significado, o modelo, de medida. Ambos están relacionados, y no es que tengamos que decantarnos por uno o por otro.

En el de medida, lo de arriba (numerador) es el número de subunidades que necesitamos para medir una cantidad de magnitud. Lo de abajo (denominador), indica las partes iguales en que hemos dividido la unidad para hacer mi subunidad.

En el de reparto, el numerador son los objetos a repartir, mientras que el denominador son los participantes en el reparto, el cual ha de ser equitativo. Es decir, todos los participantes reciben la misma cantidad.

¿Cuál de estas fracciones es mayor?

Desde la medida, ambas representan cantidades de magnitud. Las dos utilizan subunidades del mismo tamaño, quintos de unidad. Es mayor 7/5 porque he tomado 7 subunidades en lugar de 6. Gráficamente, queda muy claro.

Desde el reparto. 7/5 representa la cantidad de, por ejemplo, tortilla que recibe cada participante en un reparto de 7 tortillas para 5 personas. En el otro reparto hay menos tortillas y son las mismas personas. Por lo tanto, 7/5 es mayor, porque reciben más cantidad.

Una diferencia entre el modelo de medida y el de reparto es que el primero hace referencia a acciones físicas (particionar la unidad, tomar tantas subunidades, etc.), mientras que el de reparto suele ser siempre más evocado.

Vamos con estas. Muchos alumnos van directos a hacer común denominador. ¿Really?

Desde la medida. En ambas fracciones tengo el mismo número de subunidades. Pero en una he dividido la unidad en 5 para hacer mi subunidad, y en la otra en 6. Son mayores los quintos porque he dividido mi unidad en menos partes iguales. Por lo tanto, es mayor 7/5.

Gráficamente también se ve muy bien. En verde, remarco la unidad de medida (ver hilo de la multiplicación unpacked).

Desde el reparto. En ambos repartos estoy repartiendo el mismo número de tortillas. Lo que ocurre, es que en uno hay 5 participantes y en otro hay 6. Reciben más cantidad los que participan en el 7 para 5.

¿Y si estamos en este caso? ¿Cuál será mayor? ¿Común denominador y nos lo quitamos de encima? Vamos a ver qué opciones tenemos.

Desde la medida, podríamos ver que ambas son un poquito mayores que media unidad. También, que a la primera le faltan 3/7 para la unidad y a la segunda 2/5. En fin, no sé, la primera son más subunidades pero más pequeñas.

Y gráficamente, o lo hago con precisión o con alguna aplicación o no está claro. Desde luego, con mis dibujines no salimos de dudas. ¿Lo hacemos con una app y ya? No. Mejor poner sobre la mesa que no está claro.

Tenemos que echar cuentas. Desde la medida podemos tratar de igualar el número de subunidades o igualar el tamaño de estas. Empecemos por el procedimiento más familiar: igualar el tamaño de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 20/35 u. Lo único que he hecho es tomar 5 veces más subunidades, las cuales son 5 veces más pequeñas (he partido en 5 los séptimos). 3/5 expresa la misma cantidad que 21/35. Por lo tanto, 3/5 es mayor. Sí, esto es común denominador.

Pero si os fijáis no hablo de numerador y denominador (que solo indican una posición en la notación, arriba y abajo), hablo en términos de medida. Y bueno, la equivalencia se habrá trabajado previamente. Vamos a hacerlo ahora igualando el número de subunidades.

4/7 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/21, mientras que 3/5 u expresa la misma cantidad de magnitud que 12/20. Al dividir la unidad en 20 partes iguales obtengo subunidades que son mayores que los que resultan al dividirla en 21. Por lo tanto, 3/5 es mayor.

Desde el reparto. También de dos maneras, puedo igualar el número de objetos a repartir o el número de participantes.

Igualo el nº de participantes. El reparto 4 para 7 es equivalente al 20/35, pues los participantes reciben la misma cantidad. Vamos, que hay 5 veces más tortillas y estamos 5 veces más personas. El 3/5 es equivalente al 21 para 35. Comeremos más en el 21 para 35. 3/5 es mayor.

Igualo el nº de tortillas. El reparto 4/7 es equivalente al 12/21, ya que hay el triple de tortillas y somos el triple de personas. Por lo mismo, el 3/5 es equivalente al 12/20. Comemos más en el 12/20, pues hay el mismo nº de tortillas, pero hay una persona menos. 3/5 es mayor.

Perdón por dejar la pregunta gancho para el final. Vamos con esto de aquí. Claro, no puse suma ni nada. Solo preguntaba que qué sugería. En el hilo de ayer hubo quien decía que le sugería un error muy común al tratar de sumar fracciones.

Estos errores, dificultades específicas aparte, suelen tener su origen en que no disponen de un modelo sobre el cual reconstruir lo que está pasando. Se aprenden unas reglas formales y ya. Si eres espabilado, pues vale. Si no, pues mal. Y en cualquier caso, es hacer malabares.

Desde el modelo de reparto, ¿qué significado tiene hacer (4+3)/(7+5)?

Antes de seguir, trata de imaginarlo.

En efecto, es un nuevo reparto en el que juntamos las tortillas de los dos repartos originales (pasamos a tener 7 tortillas) y juntamos los participantes (pasamos a estar 12).

Imaginaros que en una fiesta de cumpleaños, en la sala A, están los del 4/7. Y en la sala B, están los del 3/5. Ya sabemos, por lo de antes, que a los de la sala B les toca más tortilla.

Pero oye, resulta que se conocen y deciden juntarse. ¿Quién sale mejor parado en el nuevo reparto?

Los de la sala A, que tocaban a menos, ahora recibirán más cantidad de tortilla. Mientras que los de la sala B, que tocaban a más, recibirán menos cantidad. Es lo que tiene la socialización.

El reparto socializado está entre medias de los dos originales. Por eso, 7/12 es una fracción intermedia entre el 4/7 y el 3/5. Y si quiero buscar más fracciones intermedias, no tengo más que repetir el proceso. Por ejemplo, 11/19 es mayor que 4/7 y menor que 7/12.

Para encontrar fracciones intermedias, tanto desde el modelo de medida como en el de reparto, habríamos podido amplificar. Es otra técnica. Resumo. Ya sabemos que 4/7 es equivalente a 20/35 y que 3/5 lo es a 21/35. La primera a su vez es equivalente a 200/350 y la otra a 210/350.

De ahí podemos sacar varias fracciones intermedias.

Por el camino, además, está la idea de densidad de los números racionales. El significado parte-todo no permite lo esencial, que debería ser asumir que estamos ante un nuevo conjunto numérico.

Todo esto está desarrollado en el fantástico libro «Números y algoritmos» de Gairín y Sancho. Estas cosas las trabajamos dentro de la asignatura Didáctica de la aritmética II en FacultadEducaUZ.

Vuelvo a etiquetarlo con #cosicasdeDAII para que lo encuentren mis alumnos.

Enseñar matemáticas humanistas y enseñar matemáticas de forma humanista

Tue, 08 Dec 2020 00:00:00 +0000

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En un ensayo genial, Brown (1996) pone sobre la mesa que no es lo mismo enseñar matemáticas humanistas (1) que enseñar matemáticas de forma humanista (2).

Él mismo señala que plantearlo de esa manera es un poco artificial, puesto que podemos encontrarnos con programas que no sean ni lo uno ni lo otro, o que sean una mezcla de ambos enfoques.

(1) pone el foco en una visión reconstruida de las matemáticas per se. Al final, los estudiantes se familiarizarían con la idea de que las matemáticas son falibles. La historia de los conceptos revelaría cómo el significado matemático es construido socialmente.

(2) va orientado al estudiante, en lugar de en la disciplina. Se presta atención a cómo se aprende.

Precisamente para reflexionar acerca de la naturaleza de estos enfoques híbridos, plantea la siguiente matriz. A un lado, la concepción de las matemáticas: como algo absoluto, sin fisuras; o como algo falible.

El caso A está claro. Es un programa de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas que no incorpora ni (1) ni (2).

¿Qué pasa con la C? ¿Es posible pensar en las matemáticas como algo absoluto y sin fisuras cuando el aprendizaje se concibe como conocimiento que se va construyendo?

De hecho, sí. Y Brown pone como ejemplo una actividad que puso a sus estudiantes. Les presentó la clásica, y supuesta, anécdota sobre Gauss, ya sabéis, la de hallar la suma de 1+2+…+100, cosa que puede hacerse haciendo 50 parejas de números que suman 101.

Y los tuvo un tiempo buscando variaciones a este esquema, que puede sintetizarse algebraicamente como (n+1)·n/2. Con diferentes técnicas, algebraicas, geométricas, etc., las discutían, ponían en común, etc. Esto es constructivo. Algunos alumnos llegaron a expresiones así:

¿Por qué querría alguien recordar esa pedazo de fórmula? Brown, dice, tardó en darse cuenta de que lo que estaba encapsulando era la historia personal de ese estudiante con ese problema.

Y que, con esa tarea, la actividad matemática (que por cierto, era muy rica) podía ser vista también como una «excusa» para discutir sobre aspectos de una naturaleza más general y que tienen que ver con cómo uno mismo codifica y recuerda mejor sus experiencias.

Por lo tanto, es posible, desde la perspectiva de un educador, pensar en una experiencia matemática como algo instrumental para reflexionar sobre aspectos más generales en lugar de como un fin en sí misma.

Vayamos con la B. ¿Tiene sentido enfocarse en una naturaleza falible de las matemáticas cuando el aprendizaje se concibe como conocimiento explícito a ser recibido (monumentalista, que diría Chevallard)?

De nuevo, la respuesta es que sí. Y cita el movimiento progresista de los años 30, donde este enfoque era uno de sus emblemas. La mayoría de la gente asocia este movimiento exclusivamente con una aproximación al conocimiento centrada en el alumno.

Es decir, conciben que la principal preocupación de este movimiento es hacer de las aulas un lugar interesante en el que estar. Ahora, dentro de ese movimiento surgieron voces (Counts, 1932) que trataban de reducir las desigualdades sociales desde el aula, fuese como fuese.

Y al hacerlo de manera explícita, como un conocimiento a ser transmitido, le criticaron que estaba adoctrinando en lugar de educando.

Algo parecido, sin irse a esos extremos de carácter político, pasa con las matemáticas. Es posible diseñar un programa explícito que presente a las matemáticas como algo que tiene raíces históricas, dilemas, etc., en fin, como algo falible.

Finalmente, la opción D es la que desarrolla un programa humanista completo. Donde se conciben unas matemáticas falibles y socialmente construidas a partir de un aprendizaje que se construye.

Y hasta aquí la reflexión de hoy, gracias a la relectura del ensayo de Brown.

Brown S.I. (1996). Towards Humanistic Mathematics Education. En: Bishop A.J., Clements K., Keitel C., Kilpatrick J., Laborde C. (eds) International Handbook of Mathematics Education. Kluwer International Handbooks of Education, vol 4. Springer, Dordrecht.

Multiplicación de fracciones, unpacked

Thu, 03 Dec 2020 00:00:00 +0000

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La multiplicación de fracciones. Unpacked.

Lo voy a contar desde el modelo de medida. Y voy a empezar por la multiplicación de un número natural por una fracción, donde esta representa una cantidad de magnitud.

De esta manera, esta operación responde a enunciados donde se agregan cantidades de magnitud. Por ejemplo, 5 botellas de 4/3 de litro.

Ese 4/3 u son 4 subunidades de tamaño 1/3 u. En este caso hablamos de cuatro tercios de litro. Sí, vale, sé que sois mayores y os podéis inventar un enunciado más contextualizado. Como son 5 botellas, podría hacer 4/3+4/3+4/3+4/3+4/3.

Al fin y al cabo, ¿cuántas subunidades tendría ahora? Efectivamente, 5 veces 4 subunidades de tamaño 1/3 u son 20 subunidades de tamaño 1/3 u. En resumen, veinte tercios. Vamos a hacerlo gráficamente de manera que este discurso se alinee con los gráficos.

Primero representamos la unidad de medida (nuestra u, que en el ejemplo es un litro).

Pablo, has dibujado un rectángulo. Sin regla ni nada. Te habrás quedado ancho, ¿no? Pues es que es fundamental empezar representando la cantidad de magnitud, y para ello tiene que quedar clara cuál es la unidad de medida.

Seguimos. Como en el ejemplo estamos hablando de tercios de unidad, dividido la unidad en tres partes iguales.

Y luego, añado el tercio que me falta para hacer 4/3 u. Es decir, mis 4/3 de litro del ejemplo.

Ahora ya solo tengo que hacer 5 de estos. Y ya tengo unos gráficos que se alinean con lo que he dicho antes. ¿Cuántas subunidades hay ahí? ¿De qué tamaño? Efectivamente, 20 de tamaño 1/3u. 20/3 u. Pd. Sí, me he salido de la «pizarra».

He utilizado una fracción «impropia» para ilustrar que, mediante el significado de medida, aparecen de forma natural. Si me seguís, sabréis que no me gusta insultar a las fracciones con peyorativos de este calibre. Pobrecitas.

¿Acaso nos ha hecho falta poner un «partido por uno» para hacer esto? Pero es que ese uno es una ayuda… Una ayuda, ¿para qué exactamente?

Vamos con la división de una fracción por un número natural. Porque nos va a hacer falta antes de ir a la multiplicación de fracciones. Responde a enunciados del tipo «tenemos 4/3 de litro de agua y la repartimos de forma equitativa en 6 vasos, ¿cuánta agua toca en cada vaso?»

Si habéis estado atentos, ya sabéis cómo representar 4/3 de litro. Un método consiste en dividir cada subunidad en 6, cosa que se ilustra en este dibujo y que se corresponde con estas operaciones. ¿Qué tamaño tiene ese rectangulito gris?

Efectivamente, 1/18 u. Y aquí radica la importancia de tener clara cuál es la unidad de medida. ¿Alguien había pensado 1/24 u?

Finalmente, solo queda coger 4 de esos 1/18 u.

Segundo método. ¿Se podría haber hecho sin pasar por los dieciochoavos? No te hagas spoiler y piénsalo.

En el primer método hemos dividido el tamaño de subunidad por 6, de forma que a cada uno le tocan 4 de esos nuevos trocitos. Pero podíamos haber tratado de repartir el número de subunidades. No podemos repartir 4 subunidades de forma entera entre 6, así que amplifico.

Así tengo expresada la misma cantidad de magnitud en novenos. Y claro, 12 novenos sí que puedo repartirlos entre 6. Tocan a 2 novenos.

Cuando multiplicamos dos fracciones, pensando desde el modelo de medida, estas pueden tener dos significados: como operador y como cantidad de magnitud.

Caso 1. Una de ellas actúa como operador. Responde a enunciados del tipo «nos hemos comido 3/2 de 5/4 de kg de merluza, ¿cuánta merluza hemos comido?». El 3/2 es operador y el 5/4 es cantidad de magnitud.

Aclaración. Propongo 3/2 x 5/4 kg buscando que sean ambas impropias, que es el caso más llamativo. Pensemos que van en paquetes de 5/4 kg y que nos hemos comido tres medios.

El resultado va a ser otra cantidad de la misma magnitud que el 5/4. En este caso, masa o peso. Vamos a resolverlo de forma gráfica. Me salto los pasos que ya conocéis y represento los 5/4 kg.

Mostraré a la vez el discurso aritmético y el gráfico. Igual que antes, hay dos maneras de hacerlo.

El operador puede actuar primero disminuyendo y luego aumentando, o al revés. Pensemos en nuestro 3/2. Puedo disminuir dos veces la cantidad inicial y luego aumentarla tres veces (hacer la mitad y triplicar)

Represento la unidad (que resalto en verde fosfi), después construyo el 5/4 kg, y lo divido por la mitad. ¿Qué tamaño tiene el rectangulito gris? Recuerdo: son subunidades de kg.

Eso es, se trata de octavos de kg. Solo falta triplicar esa cantidad para construir el 3/2 de 5/4 kg. ¿Qué cantidad representa? 15 subunidades de tamaño 1/8 de kg. 15/8 kg.

La segunda manera consiste en aumentar tres veces la cantidad inicial y luego disminuirla dos veces (triplicar y luego hacer la mitad). La triplico.

Y luego la divido entre dos. Aquí tengo dos opciones, por la línea de puntos o a lo largo, relacionándose cada una de las opciones con lo que he comentado antes al dividir una fracción por un número natural.

No hay muchos applets que aborden esto desde la medida. Casi todos lo hacen desde el parte-todo, que para esto tiene limitaciones evidentes (¿hola impropias?). Os dejo el que preparó en GeoGebra nuestro compañero de @FacultadEducaUZ, Alberto Arnal.

Pero, ¿qué ocurre cuando multiplicamos dos fracciones en las que ambas son cantidades de magnitud? Pues que el resultado será una cantidad de OTRA magnitud. Por ejemplo, «cuál es el área de un rectángulo de lados 3/2m y 5/4 m».

Me empiezo representando esas cantidades de longitud. Esto es el 5/4 m.

Y esto es el 5/4 m y el 3/2 m.

El rectángulo de lados 5/4 m y 3/2 m, con la unidad de medida en que quiero expresar su área (metro cuadrado).

¿Cuánto miden cada uno de esos rectangulines? ¿En cuántos ha quedado dividida la unidad de área? ¿Cuántos de esos he tenido que usar para recubrir el rectángulo original?

Ahí tenéis el 15/8 de metro cuadrado. Necesito 15 subunidades de tamaño un octavo de metro cuadrado.

La división de fracciones es algo más compleja. Sin embargo, y a pesar de que el campo de problemas aumenta, aquí en el hilo están los elementos necesarios. Nos emplazamos para otro momento.

Eso sí, trabajar el significado de medida no es llegar y pum. Hay que articular todo un discurso basado en ciertas acciones físicas con diferentes magnitudes.

Y otro día puedo contar lo mismo desde el significado de reparto. En fin, cosas tontas que se ven en las facultades de educación. Aprovecho para etiquetar esto con #cosicasdeDAII, a modo de síntesis para el alumnado de @FacultadEducaUZ

Si quieres más lectura sobre esto de la medida y las fracciones para la merienda o el desayuno de mañana: enlace a obstáculos del parte-todo.

Recursos interesantes sobre medida: los materiales que prepararon @SergioMJGR y @auroradp64 para trabajar las fracciones desde el modelo de medida en ESO (adaptable a Primaria, claro): enlace.

Y sobre medida directa de áreas: enlace.

Sobre la resistencia al cambio en la cultura de aula

Sun, 18 Oct 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Ya van varias conversaciones este curso al respecto de la enseñanza a través de la resolución de problemas.

Es que se quedan ahí, ni leen. No saben hacer nada. Y termino explicando yo en la pizarra.

En esa frase hay dos elementos. Primero, ese «no saben hacer nada». Partiendo de que algo sí que sabrán hacer, lo que ocurre es que es posible que apenas se hayan visto en la tesitura de tener que leer y poner en juego lo que ya saben. Segundo, ese «termino explicando yo en la pizarra». Claro, nos vemos agobiados porque si no, parece que no se avanza. Y esto es una sensación muy común.

Esta resistencia inicial, que siempre he mencionado en mis tuits, no es cosa mía. Es una ruptura del contrato didáctico, un cambio en la cultura de aula. Se ha descrito múltiples veces en la literatura especializada: ¿Qué pasa si vas con un enfoque a través de la resolución de problemas a una clase acostumbrada a otra cosa?

Si observamos que el alumnado no lee el enunciado. ¿La solución pasa por leérselo nosotros?

Si observamos que el alumnado no pone en juego conocimientos que ya posee, ¿tenemos que ponerlos nosotros sobre la mesa?

¿Qué tipo de actividad matemática tiene lugar en clase? ¿Hay actividad matemática?

Ese cambio en la cultura de aula lleva tiempo. Es mucho más fácil, además, en un 1ºESO que en un 4ºESO. Pero un par de meses no te los quita nadie. Y durante esos dos meses has de ser implacable en tu planteamiento (si es lo que quieres).

Los objetivos cambian. A lo mejor el primero de ellos es leer el enunciado de la tarea y hacerse preguntas. El papel del profesor, también tiene que amoldarse a esos objetivos.

Desbloquear, gestionar las puestas en común, hacer preguntas (sobre todo, orientadas a aprender a hacer preguntas).

Esos logros sí que perduran. Es alucinante el nivel de interacción que mantienen este curso a pesar de las evidentes dificultades.

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Con lo de las sumas, restas, multiplicaciones en vertical y divisiones en caja, con rejilla o como sea

Wed, 14 Oct 2020 00:00:00 +0000

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Vamos a ver. Con lo de las sumas, restas, multiplicaciones en vertical y divisiones en caja, con rejilla o como sea. Nadie en su vida adulta, que yo sepa, y esto incluye a estudiantes de grados de matemáticas, ingenierías, etc. hace esas operaciones de esa manera.

O se pueden hacer mentalmente o se hacen con calculadora.

Si se pueden hacer mentalmente, genial. Fomentemos eso. Si se hacen con calculadora, conviene haber desarrollado el sentido numérico para estimar el resultado.

¿Esto significa que no hay que aprender los hechos numéricos elementales? Por supuesto que no. Si no, ya me dirás cómo estimas mentalmente que 48x4 tiene que ser menor que 200. Eso, si estás perezoso, porque si inviertes un pelín verás que tiene que ser 8 menos que 200.

¿Significa, acaso, que hay que desterrar los algoritmos? Pues no. Y aquí incluyo a cualquier algoritmo, incluidos los tradicionales, que no tienen la culpa de nada. Lo que significa, simplemente, es que hay que replantearse su papel en la enseñanza.

El objetivo debe ser desarrollar el sentido numérico y aumentar la comprensión del sistema decimal posicional, nuestra forma de escribir los números. La comprensión de la ‘llevada’ implica que 10 unidades de un orden equivalen a una de orden superior.

Y para eso hay muchas actividades más allá del martillo pilón, comenzando por la construcción de los hechos básicos y la justificación de esos algoritmos vía manipulables.

Eso, y que las matemáticas en primaria no son solo aritmética. Al igual que en secundaria no son solo álgebra.

No sabía si meterme en un jardín o no, pero, como siempre que hablo de estas cosas me nombran el ABN, voy a dar unas pinceladas sobre supuestos algoritmos alternativos.

Y comienzo por el final de la primera parte. En contra. He visto los libros de ABN y son casi todo aritmética. Por ejemplo, el tratamiento de la medida va mucho más allá del sistema monetario.

A favor. Obviamente, que se puede sumar descomponiendo y con manipulables. Me resulta llamativo que esto se siga considerando innovación hoy en día. Lleva décadas diciéndose desde la didáctica de la matemática y en pocas cosas habrá tanto consenso.

A ver si me van a pedir ahora el copyright si me da por usar palillos.

En depende. El ABN, y cualquier algoritmo, puede pecar exactamente de lo mismo que se acusa a los tradicionales. He visto hacer rejillas para descomponer números y hacer sumas que se deberían haber hecho verbalmente. No solo eso, también he visto hacerlas de forma poco flexible.

Vaya, antes de que salte nadie. Es que el ABN no dice eso, hay que hacer no sé qué. Bueno, vale, pero es lo que ocurre luego, por lo menos, en algunas aulas que dicen que hacen ABN. Que los algoritmos tradicionales también pueden usarse bien, teniendo claro lo que se persigue.

Reflexión. Alguna vez he hablado con maestros y maestras que querían hacer una especie de canal de comunicación para explicar el ABN a las familias y que pudieran ayudar a sus hijos. Loable.

Porque claro, es un follón. Pero, oye, ¿y si generamos situaciones de comunicación en torno a los algoritmos tradicionales (y otras formas de calcular)?

Me gustaría que el “conflicto” no estuviese generado por una forma u otra de calcular, sino por una u otra forma de concebir las matemáticas. Ya lo he mencionado alguna vez, enseñar a través de la resolución de problemas lleva aparejada una ruptura del contrato didáctico.

Esa ruptura, desde mi punto de vista, es más profunda y merece más la pena. Y creo que de momento ya vale por ahora. ¡Luego buceo en las interacciones!

A todo esto, muy interesante la reflexión de @IreneFerrando1 y @carsecor sobre los métodos milagro en matemáticas.

Una cosita más, por si me leen recién llegados. Lo de enseñar a través de la resolución de problemas lo tengo desarrollado entre mis hilos, en el perfil, y, específicamente, en este momento. Claro, también a lo largo y ancho de este blog.

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Una reflexiones sobre semipresencialidad en tiempos de la COVID

Mon, 12 Oct 2020 00:00:00 +0000

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Hoy he leído sobre las orientaciones en mi comunidad y voy a comentar unas cosas sobre esto del flipped. #VueltaSegura

Plantearlo como un «if semipresencial then flipped» es reduccionista, porque no es la única manera de enfocar la semipresencialidad.

Tampoco me queda claro qué se entiende por clase inversa en este contexto. En el resumen de la reunión con los directores que circuló hace poco, señalaban que, a partir de 3º ESO «Se primarán contenidos más teóricos en los días de atención presencial y más prácticos en los días en los que el alumnado esté en casa (salvo en FP que se primarán los contenidos de prácticas presenciales). Se fomentarán actividades de clase invertida y se dará formación al profesorado para ello.»

En general, como veremos, en la clase inversa se hace la teoría, o parte de ella, en vídeos, y actividades más prácticas, resolución de dudas, etc. en el aula. Así que lo de antes de primar teoría en presencial y flipped para práctico, no sé si es una errata o qué.

Anécdotas aparte. Al lío. ¿Encaja el flipped con un escenario de semipresencialidad? Pienso que la respuesta corta es sí. Si vamos a una de las fuentes originales del flipped, al Bergmann y Sams de 2012, se dice que «el flipped consiste en hacer en casa lo que tradicionalmente se hace en clase, y lo que tradicionalmente se hace como deberes se hace en el aula. Pero el flipped es mucho más que esto.»

Lo de clase tradicional es un constructo peliagudo de definir. Sin embargo, cuando ves lo que se entiende por flipped, tanto al ver todos los vídeos que cuelgan generosamente muchos docentes como al leer artículos sobre el tema, en general se identifica bien qué significa esto.

A saber: que lo que se hace tradicionalmente en clase es ver la teoría. Y lo que se hace tradicionalmente como deberes son ejercicios. Y que entonces queda tiempo para resolver dudas y problemas majos en el aula.

Por tanto, en semipresencialidad se mandarían vídeos para casa con la teoría y luego se hace la parte más práctica en el aula y se resuelven dudas. Encaja. Teniendo en cuenta, claro, que el profesor va a estar toda su jornada atendiendo y preparando actividades de aula.

Y que además tiene que plantear algo dinámico para los que no están en el aula. Porque sobre los vídeos, los que hacen flipped, plantean feedback y otras historias que no se hacen solas.

Vamos ahora al cuestionamiento, por lo menos, del flipped como solución única e innovadora, que es lo que me inquieta. Realmente, son cosas que ya he señalado en alguna ocasión.

En primer lugar, lo que llama la atención es el adjetivo «invertida». No invierte nada. Bueno, miento, invierte en términos espaciales. Pero temporalmente la secuencia didáctica sigue siendo igual.

En el propio discurso de Bergmann y Sams se observa que el flipped asume muchas de las prácticas habituales en eso que llaman clase tradicional. Por ejemplo, que el contenido se presenta de forma explícita al alumno antes de darle oportunidad de construirlo mínimamente

Esto es lo que me incomoda de la propuesta de semipresencialidad que motiva el hilo, a nivel didáctico. Es como si no hubiera otro modelo de enseñanza… ¡Y vaya si los hay!

Porque si se asume que va a haber cierto trabajo en casa, por supuesto que hay opciones más allá del flipped. Se puede comenzar la indagación en el aula, y seguir explorando en casa. O al revés. Se puede ser muy flexible.

Hilos donde comenté ejemplos de actividades que hicimos durante el confinamiento. Dentro de las claras limitaciones de ese escenario, contentos por mantener y seguir favoreciendo una actitud proactiva.

No olvidemos que lo que está detrás de todo esto es la visión de las matemáticas que tenemos y que queremos transmitir. Aquí una turra reciente sobre el tema:

¿Por qué enseñar matemáticas?

Todo esto lo comento desde el prisma de la educación matemática en etapas obligatorias y desde los aspectos puramente didácticos. Cuando he hablado con compañeros de otras materias, termino pensando que pasa 3/4 de lo mismo, con sus matices.

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La idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función

Wed, 07 Oct 2020 00:00:00 +0000

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A partir de esto de aquí, si os apetece os cuento algo sobre la idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función:

No hubo muchas interacciones, pero todas tienen en común lo mismo que las escenas del estupendo «Graphing Stories» de Desmos. A ver si descubrís qué es antes de continuar.

Efectivamente, todas las respuestas a mi tweet, al igual que las escenas de Desmos, presentan la magnitud tiempo como variable para el eje horizontal.

Vale, el día anterior había propuesto yo mismo una interpretación de gráfica que sí que llevaba el eje X etiquetado como tiempo. Y pedir inventarse una «historia» puede sugestionar demasiado en ese sentido, lo admito. Mea culpa.

Pero imaginad, como indica en el «Lenguaje de funciones y gráficas» del Shell Centre, que el eje X fuera hambre y el eje Y fuera ansiedad. Tratándose de un paseo por el campo, cuenta una historia diferente al «subir despacio, estar un rato en la cima, y bajar rápido».

Podría ser que la ruta fuera difícil, el GPS no nos funcionase y no consiguiéramos ver las señales en el camino (ansiedad creciente). Al cabo de un rato, vimos una referencia clara que nos puso en el camino correcto de vuelta. ¡Pero se nos habían olvidado los bocadillos!

Se podrían haber inventado muchas otras historias, considerando cosas como la batería del móvil, la preocupación de alguien que espera nuestro regreso, etc.

A lo que íbamos, Janvier (1998) introduce la idea de crónica. Una crónica, aquí, viene a entenderse como un registro de eventos ordenados en el tiempo. A Janvier le llamaba la atención lo que ocurría al pedir a los estudiantes completar e interpretar gráficos como este.

Se trata del Bacteria Puzzle de Karplus (1979). Cada punto, representa el estado final de un cultivo de bacterias que ha crecido bajo unas condiciones de temperatura determinadas. Cuando los estudiantes lo completan tenemos algo así.

Al interpretarlo, un grupo lo hace bien, usando el gráfico para determinar el efecto de las condiciones de temperatura en el crecimiento del cultivo. Observemos que para hacer el gráfico ideal necesitaríamos infinitos puntos, uno para cada hipotético experimento posible.

Sin embargo, otro grupo no escapa a la ‘trampa’, y lo interpretan como una población microbiana que crece durante cierto período de tiempo, y luego muere.

Janvier señala también las dificultades para interpretar las curvas de oferta y demanda. Representan una situación que se mantiene estable (salvo sucesos como huelgas, desastres, etc.), pero tanto profesores como estudiantes se ven tentados a usar crónicas en sus razonamientos.

La curva no cambia durante una transacción. Así que cuando se dicen cosas como que ‘si compras más, cada artículo te costará menos’ se cae en una excesiva simplificación de la gráfica.

La investigación de Janvier le llevó a clasificar este tipo de obstáculos como epistemológicos (que dependen de la naturaleza del objeto matemático en cuestión, ni ontogenéticos ni didácticos).

Una tarea que propuso fue la del ‘Vuelo de París a Montreal’. Os animo a que antes de continuar, la penséis. “Dibuja en los siguientes ejes cómo varía la duración del vuelo de un avión que va de Montreal a París con respecto a su velocidad”.

Estos son los tipos de respuestas que obtuvo:

Como piden t respecto a v, lo suyo es poner la v en el eje horizontal. Pero vemos que en la 2.e) cambian los ejes. Eso es porque realmente están contestando a otra pregunta (¡obstáculo epistemológico!): ‘cómo cambia la velocidad del avión respecto al tiempo durante el vuelo’.

De una muestra de 226 alumnos de instituto (antes de dar cálculo, ¿4ºESO?, la mayoría no da con la gráfica correcta (2.a). Muchos (35%) tienden a esbozar una recta (ilusión de linealidad, ¿necesidad de mostrar un viaje-trayecto?) y un 15% caen en el obstáculo de crónica.

No nos olvidemos de trabajar gráficas y relaciones funcionales variadas para dar significado a la idea de función y de variable, y preparar para situaciones de cambio que desembocarán en la noción de derivada.

Ni de restar importancia a la interpretación de gráficas y a la conversión entre diferentes registros, frente al omnipresente mundo algebraico.

Para terminar, si nos paramos a pensarlo, la gráfica ansiedad vs hambre, tal como la hemos contado al principio, es otra especie de crónica. No aparece la variable tiempo, pero usamos un marco temporal para ordenar los eventos.

Así que os emplazo a retomar la historia de la excursión por el monte y ver una ‘historia’ que no sea realmente una ‘crónica’.

Un par de referencias para profundizar, porque el artículo de Janvier da para tres o cuatro hilos.

Janvier, C. (1998). The notion of chronicle as an epistemological obstacle to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 79–103.

Glazer, N. (2011). Challenges with graph interpretation: A review of the literature. Studies in Science Education, 47(2), 183–210.

¿Por qué enseñar matemáticas?

Tue, 11 Aug 2020 00:00:00 +0000

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Como parece que en verano nos apetece ponernos filosóficos, vamos a poner sobre la mesa el “¿Por qué enseñar matemáticas?” de Paul Ernest.

Antes de ir a discutir sobre los objetivos de la educación matemática, tres ingredientes clave:

No existe LA matemática escolar. Más bien, hay una multiplicidad de matemáticas escolares, que dependen del contexto y el entorno cultural. Desde luego, no es lo mismo que la matemática académica ni la matemática a nivel de investigación, que por cierto, vuelve a ser algo diverso y múltiple en naturaleza. Hay elementos de las matemáticas escolares que pueden considerarse una selección recontextualizada de la disciplina “madre”, pero otros elementos, como los porcentajes, hunden más sus raíces en la vida cotidiana.
La utilidad de las matemáticas académicas está sobrevalorada. Sí, vivimos en una sociedad altamente matematizada, muy científica y tecnológica. Pero esas matemáticas están sobre todo en sus aplicaciones. Y que, más allá de que haya una élite responsable de todo ello, al común de los mortales el argumento de “utilidad” no le dice nada. El punto que señala Ernest es que, realmente, la gran mayoría de la población no necesita un conocimiento elevado de las matemáticas. Lo sintetiza de la siguiente manera: “Nuestra sociedad vive un incesante proceso de matematización, pero esto es algo que opera a un nivel invisible para la mayoría de los individuos”.
Los objetivos de la educación matemática no pueden considerarse de forma aislada a su contexto social. Un objetivo conlleva siempre una intencionalidad. Los objetivos educativos representan valores, intereses e ideologías de ciertos grupos e individuos. Que, por cierto, muchas veces entran en conflicto. Ernest distingue los siguientes cinco grupos: formadores industriales, pragmatistas tecnológicos, matemáticos humanistas (a la antigua usanza), docentes “liberales” y docentes públicos.

Ernest continúa señalando que los teóricos del currículo distinguen dos dimensiones: capacidad (o habilidad, o competencia, para entendernos) y apreciación de las matemáticas. La dimensión capacidad apenas necesita justificación, es universal y dominante.

Las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas: problemas, ejercicios, cálculos, etc. Está claro que esta dimensión es necesaria, por todo lo que implica, incluso para la dimensión apreciativa. Sin embargo, ¿es suficiente?

Ahí es donde Ernest se pone a precisar qué se entiende por apreciación de las matemáticas:

Comprender algunas de las grandes ideas de las matemáticas: infinito, simetría, recursividad, caos, aleatoriedad, ….
Comprender las principales ramas y conceptos de las matemáticas, así como sus interconexiones y dependencias.
Comprender que hay múltiples enfoques sobre la naturaleza de las matemáticas y que su hay controversia sobre sus fundamentos filosóficos.
Ser consciente de hasta qué punto el pensamiento matemático permea el día a día, a pesar de que a veces no se le llame “matemáticas”.
Comprender críticamente los usos de las matemáticas en nuestra sociedad.
Ser consciente del desarrollo histórico de las matemáticas, los contextos sociales de los orígenes de los conceptos matemáticos, su simbolismo, teorías y problemas.
Ser consciente de las matemáticas como un elemento central de la cultura, arte y la vida en general, presente y pasada, que permea y cimenta la ciencia, tecnología y todos los aspectos de la cultura humana.

Ernest señala estos siete puntos para poner el foco en que, normalmente, se presta muy poca atención a esta dimensión apreciativa.

Y, como conclusión, expone los cuatro objetivos que persiguen (o pueden perseguir) las matemáticas escolares. Realmente, es algo que va discutiendo a lo largo de todo el artículo:

Obj1. Reproducir habilidades matemáticas y capacidades basadas en el conocimiento. El obj1 es típico del currículo reproductivo. Como mucho, el alumno llega a ser capaz de responder preguntas formuladas por su profesor o su libro de texto. Ernest argumenta que esto no sirve solo para reproducir técnicas, sino el mismo orden social (y sus injusticias).
Obj2. Desarrollar habilidades creativas en matemáticas. Aprender a ser creativo y a expresarse vía trabajos de investigación, resolución de problemas, diferentes representaciones, etc. Esto permite al alumno plantearse preguntas, problemas y resolverlos. El obj2 añade ciertos aspectos frente al obj1, como el plantear cuestiones matemáticas, pero sigue atrapado en una visión individualista que sigue sin reconocer el contexto social en que tiene lugar la educación. Tácitamente, avala el status quo.
Obj3. Desarrollar habilidades matemáticas que empoderen y una apreciación crítica de las aplicaciones y usos sociales de las matemáticas. Aquí el alumno no es solamente capaz de plantear y resolver cuestiones matemáticas… Es capaz de abordar cuestiones importantes acerca de la amplia variedad de usos (y abusos) de las matemáticas. Esto ofrece una perspectiva radical de la que se derivan otros objetivos relacionados con el empoderamiento político y social y con el fomento de la justicia social. Sin embargo, el foco en la dimensión apreciativa del obj3 solo radica en los contextos sociales externos a las matemáticas. Puede incluir algo de historia de las matemáticas, contextos culturales pasados y presentes, pero no es un tratamiento completo de lo apreciativo.
Obj4. Desarrollar una apreciación interna de las matemáticas: sus grandes ideas y su naturaleza. Es decir, las matemáticas como una contribución única a la cultura humana, con unos conceptos y un sentido de la estética propios. Este obj4, señala Ernest, suele ignorarse en las matemáticas escolares tanto por matemáticos como “usuarios” de las matemáticas. Es común enfatizar la dimensión de capacidad frente a la apreciativa, y las aplicaciones externas frente a sus valores internos y su propia naturaleza. Un error común es la suposición de que no puede desarrollarse una apreciación interna de las matemáticas sin habilidades. De acuerdo con esto, un alumno jamás podrá apreciar el infinito, la idea de demostración, caos y otras ideas potentes, a no ser que haya desarrollado una gran habilidad en estos temas propios de las matemáticas de alto nivel, muchas veces fuera del ámbito escolar. Este obj4 cuestiona esta suposición y sugiere que una apreciación interna de las matemáticas no solo es posible, sino deseable, de alguna manera, para todos los alumnos.

Dicho todo esto, el problema de la justificación de las matemáticas es problemático, valga la redundancia. En parte, porque cualquier “solución” considerará un subconjunto de esos objetivos, siempre a merced de grupos que apoyen un punto de vista u otro. De ahí el otro problema, que es la inestabilidad de esos supuestos objetivos. Otra parte del problema radica en que las matemáticas están, al mismo tiempo, sobrevaloradas e infravaloradas en la sociedad occidental, como hemos visto antes.

Por otro lado, el desempeño matemático se identifica muchas veces (erróneamente) con la inteligencia y se emplea para calificar y seleccionar personas, tanto laboralmente como para el acceso a una enseñanza superior.

Y es que las matemáticas serán maravillosas, pero también pueden servir para discriminar y fomentar la desigualdad de oportunidades.

Ernest, en el fondo, plantea más interrogantes que soluciones. Porque, quizá, no las haya. Y lanza una pregunta dura: ¿deben las matemáticas enseñarse en la educación obligatoria? ¿Todos los alumnos tienen que seguir el mismo currículo? Pero claro, volviendo al principio. ¿De qué matemáticas estamos hablando?

Como este hilo ha sido escrito con ánimo meramente divulgador en una tormentosa tarde de verano y puede haber matices lost in translation, os invito a leer el artículo original de Ernest (2000).

A los pocos días de poner este hilo, y después del de la gamificación y el aprendizaje basado en juegos, puse este tuit:

«Si crees que tienes que disfrazar las matemáticas para hacerlas interesantes para tus alumnos, quizás tengas que preguntarte qué son las matemáticas para ti.»

Sin más ánimo que reflexionar sobre todo lo anterior.

Sobre gamificación, aprendizaje basado en juegos y motivación

Mon, 10 Aug 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. Siempre digo esto, por si el lector detecta un estilo de escritura peculiar, casi telegráfico. Vamos allá…

Es importante diferenciar entre gamificación y aprendizaje basado en juegos (ABJ). Me voy a permitir unos comentarios sobre el hilo de @MoisLlorente.

Creo que faltaría hablar de motivación extrínseca e intrínseca. Sintetizando, un alumno intrínsecamente motivado es aquel que tiene gusto por la materia. Siente curiosidad, ganas de aprender, etc. Un alumno extrínsecamente motivado necesitará elementos externos.

Estos elementos externos pueden ser variados: desde las calificaciones (sí, hay alumnos de “10” motivados de forma extrínseca exclusivamente) hasta privilegios.

La motivación intrínseca se puede perder. Un alumno motivado intrínsecamente hacia las matemáticas expuesto a determinado enfoque relacionado con una forma de ver las matemáticas que no es la misma que la suya, puede perder esa motivación. Y viceversa, puede adquirirse.

La definición de lo que es gamificación presenta diferentes matices incluso entre autores que se dedican a investigar sobre el tema. Más que nada, porque la propia definición de lo que es un juego es diversa y para nada única.

Fijaros que tengo escrito un capítulo en una monografía de gamificación (saldrá publicado en breve) describiendo algo que no creo que sea gamificación. Hay manipulaciones de objetos, un objetivo, pero tiene más que ver con la similitud de la actividad matemática con los juegos.

Pero vamos, que casi todos coinciden en hablar de gamificación cuando se introducen ciertos mecanismos, elementos, para proporcionar una experiencia de juego. Y creo que nos medio entendemos.

Hay estudios (Buckley & Doyle, 2016) que parecen señalar que la gamificación tiene efectos positivos en el aprendizaje en alumnos que ya están motivados intrínsecamente. En los que lo están de forma extrínseca, no tanto.

Así que utilizar la gamificación como zanahoria para ese alumnado que no tiene apenas interés por la materia, es, al menos, discutible. Ese alumnado (todos, realmente) lo que necesitan son enfoques didácticos que promuevan gusto intrínseco por la materia.

Aquí, claro, coincido con @MoisLlorente en que se puede gamificar cualquier “metodología”. Aunque personalmente prefiero no hablar de metodologías, y sí de enfoques didácticos, porque se puede considerar la gamificación como una metodología para intentar aumentar la motivación.

Ahora es donde voy a ir mi campo, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Porque esto, como todo, depende mucho de la didáctica específica. Puedo entender que en idiomas, por ej., una gamificación bien planteada (que las hay) te permita generar espacios para el diálogo.

Pero en matemáticas tiene muchísimo más interés el uso de juegos que la gamificación. Por un lado, tendríamos la similitud de los juegos con la actividad matemática. No solo por operaciones que van apareciendo, sino por la aplicación de reglas, razonamientos, manipulaciones…

Por otro lado, en el ámbito de la didáctica de las matemáticas se han propuesto diferentes clasificaciones de los juegos: libres vs reglados; individuales o colectivos… Y una muy interesante que distingue entre juegos de estrategia, azar y conocimiento.

Autores que hacen uso de esta última son Corbalán, Deulofeu, Gairín… Este último, añade que en los juegos de conocimiento existen tres niveles de aplicación: pre-instruccional, co-instruccional, post-instruccional.

El uso de juegos que hagan emerger conceptos matemáticos o los pongan en juego (sic) se alinea y complementa las secuencias didácticas de un enfoque de enseñanza y aprendizaje más amplio que persiga gusto por la materia, curiosidad, autonomía, iniciativa.

En un enfoque de ese estilo veo innecesario introducir un elemento extraño de “motivación”. En la enseñanza a través de la resolución de problemas, los juegos así entendidos serían un problema-tarea más.

Pienso que la gamificación conlleva muchas veces un coste de oportunidad. Veo gamificaciones que llevan un tiempo de preparación brutal, tanto para el profesor, como para los alumnos. Hay que dedicar un tiempo a exponer las instrucciones de la gamificación, etc.

Y luego entras a ver qué se hace en esa gamificación y es lo mismo que el libro de texto de turno. Hay excepciones, claro, vamos a dejar un margen para ello. Pero ahí lo relacionaría más con la forma de dar la clase del profesor, de presentar las actividades… Que no tenemos que “dar clase” todos igual, ni falta que hace, eh.

Algo que me ha chocado por las respuestas es que hay quien considera que Kahoot es ABJ y no gamificación. Para mí es un ejemplo claro de mini-gamificación. Lo puedes usar igual en una clase de Lengua que en una de Mates, y no aporta valor intrínseco.

Sin embargo, el juego del 21, que ahora explicaré (y que he comentado alguna vez, no lo puedes usar en Lengua. Es ABJ de Matemáticas, con valor intrínseco. Dos jugadores, en cada turno, cada jugador va sumando 1, 2 o 3 a la cantidad anterior. Y gana el primero que dice 21. Tras dos o tres partidas…

¿Quién gana? ¿El que empieza o el segundo?
¿Qué hay que hacer para ganar?
Describe la secuencia de resultados que te llevan a la victoria.
¿Y si ganase el primero en llegar a 50? ¿En qué cambiaría tu estrategia?
¿Y si sumamos 1, 2, 3 o 4?
Etc.

El juego (sic) que da esta tontería de juego en divisibilidad es alucinante. Y ahora pensemos. Es un juego, ¿tiene sentido añadir una capa de gamificación para animar a jugar? Todo esto, sin más ánimo que reflexionar. Con tener claros los objetivos (no siempre lo están) que perseguimos con nuestro enfoque de enseñanza y “metodologías” asociadas, ya habríamos dado un gran paso.

Comentarios a partir de lo que surgió en las interacciones

@Davidensombras menciona que le entran dudas a la hora de diferenciar una cosa y otra. Y pone como ejemplo el Catán. Realizar un análisis de probabilidades para explorar que no todas las casillas son iguales tiene un contenido matemático muy importante. Eso es ABJ. Ahí las matemáticas forman parte del juego, no se ha gamificado nada. En el aula, con el ABJ, no se trata de divertirse y ya (eso es un efecto, para mí, secundario, pero bienvenido), sino de reflexionar, sacar jugo, institucionalizar.

De todas maneras, entiendo que en otras ocasiones la frontera pueda ser más difusa. En esencia, lo que vengo a decir es que se persiguen objetivos distintos con una cosa que con otra.

¿Cómo fue mi primera clase como profesor?

Thu, 02 Jul 2020 00:00:00 +0000

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Recuerdo con cariño cómo fue mi primera clase como profesor. Un 1° ESO, en una sustitución. Estaban con el primer tema, de números y tal. Venga, de dividir os acordáis ¿no?

Hice una división en caja, desplegada, divisor de dos cifras 🤦🏻‍♂️ y tal, con todas las operaciones por escrito. En un afán por que quedara todo claro, clarito.

Más tarde aprendí que eso se conocía como el algoritmo extendido. Los chavales, no entendían qué leches estaba haciendo. Y yo…, en aquel momento llevaba más de una década sin hacer una división a mano. Y no me imaginaba cómo podía no entenderse aquello.

Y eso era lo que hacía que me observaran con una mezcla de cautela, sorpresa, e incomprensión: estaba escribiendo las restas completas.

También llegué a aprender la tontería que supone perder tiempo con según qué cosas. Como por ejemplo, dedicar esfuerzo a esa división por un número de dos cifras. Y a hacer divisiones, en general, porque sí.

Si alguien que ha trabajado el algoritmo de la división sabiendo por qué se procede así, no identifica el algoritmo desplegado… cuidado. Más adelante me percataría de que seguramente muchos de esos alumnos realmente no eran conscientes de que estaban restando en cada paso.

Aquella situación, aquella anécdota, se ha ido tornando extrañamente significativa para mí.

Fuente de la imagen: manelzaera.

Sobre la web australiana reSolve y libros de texto

Tue, 26 May 2020 00:00:00 +0000

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Esta mañana he puesto un enlace a una web que me parece increíble. Y me permite hablar sobre libros de texto y materiales.

Enlace a reSolve.

Un libro de texto, con su “teoría”, sus ejercicios y sus “problemas” es un obstáculo. Más por el hecho de la pauta de trabajo que marca que por el hecho de que suelen ofrecer una muestra de actividades muy pobre.

Sobre esto último hay muchos trabajos de investigación donde se analizan libros de texto. Que señalan importantes carencias. No obstante, aquí quiero criticar al modelo en sí.

Vale que es muy cómodo, aunque eso no debería ser razón para usarlo, más allá del obvio pragmatismo.

Vale también que no es más que un recurso y que se puede adaptar y utilizar de diversas maneras.

Sin embargo, para mí, la pinta que deben tener unos materiales es la que se muestra en esa página australiana. O en la del Shell Centre. O en la Guía Praxis (finales de los 90).

No son libros de texto. Por ejemplo, lo de funciones y lo de números de Shell son libros, sí, pero no son para el alumnado. Llevan cuadernillos imprimibles, sí. Pero es el profesor el que selecciona, adapta y gestiona las actividades.

Un libro de texto te da muy poco margen per se para realizar esa selección. ¡Si ya está seleccionado! ¿Cómo? ¿Sin saber a qué alumnos va dirigida la secuencia?

Esos materiales que menciono incluyen una justificación de las actividades, para el profesor, así como indicaciones que facilitan luego su puesta en marcha en el aula.

Vamos, que al docente se le trata como a un profesional. Esto es lo que hay, estas son las razones y aquí van algunas indicaciones. Coge lo que necesites y adáptalo para tu alumnado.

Atención a la diversidad a través de la resolución de problemas

Sat, 16 May 2020 00:00:00 +0000

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Un aspecto que me fascina de la enseñanza a través de la resolución de problemas es cómo permite la inclusión y la atención a la diversidad. Os cuento algo al respecto.

Si queremos atender a la diversidad, la opción, por sistema, de dar unas fichas para los que van más rezagados y material extra para los que tienen mayor capacidad, no hace sino excluir dentro del aula.

La inclusión y la igualdad de oportunidades tiene lugar cuando la tarea de clase es la misma para todos. Lo que se consigue con actividades del tipo “suelo bajo y techo alto” (low floor high ceiling).

El otro día puse el ejemplo de la actividad de la mediatriz, o del punto de encuentro. Empieza con tareas muy sencillas que puede abordar todo el mundo. Colocar un punto, medir distancias, observar…

De hecho, esa parte, que podría plantearse en primaria, no sobra para nadie. Porque contribuye a desarrollar el significado de mediatriz como lugar geométrico.

Conforme avanza la secuencia de actividades, hay puntos, como el que voy a comentar, que denotan que el aprendizaje no es el mismo para todos (no puede ser de otra manera).

En una de las actividades, se trata de averiguar el circuncentro de algunos cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

El del trapecio rectángulo no se puede hacer, claro, si trazas las mediatrices no se cortan en el mismo punto. Aquí es donde una alumna de 1º ESO ha realizado la siguiente observación. Interesante es poco.

En clase presencial puedes animar a los alumnos a realizar este tipo de observaciones, eligiendo bien las preguntas. Sin embargo, la interacción online es muchísimo más reducida. Por eso me alegro tanto cuando veo estos indicios.

Le pregunté que cómo podía estar segura de lo que decía, y que se animara a utilizar las herramientas de medida de geogebra.

Después, le propuse pensar acerca del porqué de que ocurra, que implica propiedades de la mediatriz y de ángulos, así como aspectos de perpendicularidad y semejanza.

En fin, que solo venía a compartir esta pequeña alegría en tiempos de crisis. Porque las matemáticas serán maravillosas, pero también pueden ser muy segregadoras, separando entre los que controlan y los que no.

Un aprendizaje inclusivo no implica que todos terminen aprendiendo lo mismo. Se trata de equidad y de permitir y buscar el máximo desarrollo de cada uno.

Spoiler de los enteros para primaria

Sun, 03 May 2020 00:00:00 +0000

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Hubo alguien que, después de leer los hilos sobre enteros, me preguntaba que qué pasa con primaria. Porque claro, la propuesta era muy algebraica, y los enteros se ven en primaria. ¿O no?

$-2-5=-7$

¿Qué sentido tiene aprender a hacer eso así, en primaria?

Para responder a esa pregunta, planteo un ejercicio: inventa un problema que se resuelva con esa operación.

Venga, no seas perezoso, inventa uno.

¿Se parece a este?

María perdió dos cromos por la mañana y otros cinco por la tarde. ¿Cuántos cromos ha perdido María?

¿En serio hace falta resolverlo con $-2-5$? Ha perdido $2+5$, que son 7 en total. Y punto.

A lo mejor has sido más pillo y has inventado algo así:

Por la mañana estábamos a dos grados bajo cero, y por la tarde ha bajado cinco grados. ¿Qué temperatura hacía por la tarde?

¿Hace falta ver enteros como estructura numérica o hace falta aprender cómo es la escala de temperatura?

En primaria toca trabajar la aritmética. Y eso no son solo cuentas. Son problemas donde el control semántico de lo que se está haciendo es fundamental.

Lo que no quita para hacer actividades de álgebra temprana, que no es solo usar letras. Sino trabajar generalizaciones, abstracciones, reconocimiento de patrones…

No nos perdamos en primaria en bosques que llegarán en secundaria. Hay mucho trabajo por hacer, y muy entretenido, más allá de reglas operativas como la que motivaba este pequeño spin-off de los enteros.

He dicho que es spin-off de lo de los enteros. Me refería a esta cosita de aquí y al entreacto de acá.

¡Feliz clase!

Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Sat, 02 May 2020 00:00:00 +0000

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Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

Los tres actos de los enteros

Tue, 28 Apr 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter, sobre los que además se han incorporado una serie de correcciones y ciertos matices que se pierden en el formato de los 280 caracteres.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

¿Qué modelos concretos existen?
Inconvenientes de los modelos concretos.
Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

Los modelos de neutralización se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas que se neutralizan entre sí. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay que quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle $a$ veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar $b$ fichas azules un número $a$ de veces y quedan $ab$ fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Esto obliga a una nueva interpretación de los signos. Tanto en la suma como en la resta, los signos que acompañan al número son signos predicativos, signos que indican el tipo de objetos al que nos referimos (fichas rojas o azules), mientras que los signos entre números son signos operativos binarios, indican las operaciones de suma o resta. Sin embargo, en (–a)(–b) el signo que acompaña al primer número no es un signo predicativo, es un signo operativo que indica la acción de quitar.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Son modelos en los que los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas,, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza $a$ casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0)$, $(0,b)$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro…

Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

Representar el origen.
Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento pasa lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave. Si queremos que nuestro alumnos sean capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas, tienen que pasar por la experiencia de verlas surgir en el seno de la resolución de problemas.

Lo primero que hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc. Este tipo de problemas se resuelven con mucha más economía de medios en el ámbito de los números naturales o racionales positivos.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Es allí donde la presencia de letras impide efectuar todas las operaciones y obliga a operar con términos que a su vez son operaciones indicadas. Pero las reglas de manipulación de estos términos desembocan rápidamente en reglas para operar con términos que hacen un papel de sumandos o sustraendos dentro de la expresión algebraica. Posteriormente la aparición de los sustraendos en las soluciones de las ecuaciones y las necesidades de establecer una teoría general de ecuaciones, por un lado, y de construir la recta real para dar paso a la geometría analítica, por otro, forzaron la aceptación de los sustraendos como nuevos números en un proceso histórico que duró alrededor de 1600 años. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico que verdaderamente justifique su necesidad.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica, porque alguno de los datos es desconocido.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Esto escenifica mejor que estamos en un mundo nuevo. Hasta ahora las soluciones de los problemas eran numéricas. A partir de ahora podrán ser fórmulas que se convertirán en números cuando nos den el valor numérico del dato desconocido o relaciones entre expresiones algebraicas. Y más adelante el establecimiento de igualdades entre expresiones algebraicas nos permitirá encontrar el valor de una incógnita. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

2 cromos.
No se sabe.
2 menos que al empezar.

Entonces el profesor les comenta que no siempre que se intenta resolver un problema se conocen todos los datos necesarios para resolverlo y que en ese caso se sustituyen los datos desconocidos por letras. Los alumnos discuten sobre qué letra utilizar y aparecen una variedad de soluciones:

$a – 2$
$c – 9 + 7$
Etc.

Esto plantea dos problemas a discutir en la clase: la equivalencia de las expresiones aunque se utilicen distintas letras, es decir, la convencionalidad de la letra, y la posibilidad de obtener la expresión $a – 2$ a partir de la expresión $a – 9 + 7$.

Esta última posibilidad no está nada clara para los alumnos porque para muchos de ellos $a – 9 + 7 = a – 16$, ya que interpretan los signos como operativos binarios, que es el significado que tienen en aritmética. El profesor interviene preguntando: si a una cantidad le tengo que restar 9 y después sumarle 7, ¿eso a qué equivale? Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Aquí los alumnos comprueban el interés de obtener una fórmula lo más simplificada posible y de utilizarla cuando se conoce el dato que falta. Los alumnos que obtienen la expresión p + 1 y la usan para rellenar la tabla acaban mucho antes que los que manejan una expresión menos simplificada o reproducen todos los cálculos para cada valor de la variable.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

En la primera etapa se sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden ni de separar positivos y negativos. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad. Las técnicas de cálculo algebraico no son algorítmicas, exigen toma de decisiones para realizarlas de la forma más económica posible. Po eso se pide a los alumnos que lean toda la expresión antes de tomar decisiones y que busquen la manera de hacer cálculos sencillos.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos. zº Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas anteriormente, pero ahora el dato desconocido puede tener uno u otro sentido. Esto obliga a incluir la consideración de sumando o sustraendo en los valores numéricos que puede tomar la letra.

Hasta ahora las letras tomaban siempre valores absolutos, pero en el ejemplo aparecen dos fórmulas distintas: –2 + a o –2 – a, según que a sea una ganancia o una pérdida. Para poder unificar las fórmulas es necesario admitir que una letra puede tomar valores positivos o negativos. También ahora aparece por primera vez un sustraendo aislado como solución de un problema.

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal.

Ahora ya tenemos razones para considerar a los sumandos y sustraendos como nuevos números: pueden ser solución de un problema, las letras pueden sustituirse por ellos y se pueden definir operaciones y un orden entre ellos. Son los números enteros.

Una vez establecido el carácter numérico de sumandos y sustraendos se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

Agradecimientos

Esta versión de los hilos de twitter sobre los enteros ha contado con las inestimables sugerencias de Eva Cid.

Sobre las matemáticas que se hacen estos días en casa

Tue, 31 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Coincido con la lectura que hace Lynne McClure @clm4d de la situación a la que nos ha llevado el coronavirus en @CambridgeMaths: Home truths about mathematics

Traduzco libremente a la vez que comento y pongo ejemplo de actividad.

Y es que percepción que tiene @clm4d es que se está poniendo el énfasis en que el alumnado haga en casa lo que se “supone” que deberían estar haciendo en la escuela:

Formularios con preguntas tipo, orientados a algún examen.
Ejercicios mecánicos de respuesta cerrada, proporcionando abundantes ejemplos del mismo tipo.
Tareas centradas en grabar lo que hacen en lugar de explicar y describir.

Dejando aparte la cuestión de que todo esto no debería ser el núcleo del trabajo habitual de aula, Lynne señala que, precisamente ahora, hay una oportunidad para intentar algo diferente (y mejor).

Una oportunidad para estudiantes de todas las edades para experimentar, con calma y a su ritmo, lo que significa pensar matemáticamente, ser creativo, “ensuciarse” con un problema.

Esto es posible con muy pocos recursos. Dados, peonzas, papel, tijeras, tapones… se puede explorar, estimar, predecir y hablar sobre lo que piensa cada uno en cada una de esas situaciones.

Lynne termina proponiendo alguna actividad de @nrichmaths, como Dotty six y Got it!. Ayer, @javiarrospide compartía un documento recopilando y traduciendo alguno de estos juegos. 😍

Por otro lado, Lynne llama a la tranquilidad recordando algún ejemplo donde esta forma de trabajar no deja en desventaja a los alumnos frente a una forma de trabajar más “formalista”.

De hecho, esa pregunta que me hacen a veces, me parece falaz.

¿Y qué pasa si al curso que viene les lleva un profesor que no trabaja así? Bueno, pues es que es peor al revés. Aunque de esto ya hemos hablado alguna vez, podemos volver a sacar el tema otro día.

Así que gracias @clm4d por compartir esa reflexión. Por otro lado, ayer recibimos aquí en Aragón las instrucciones actualizadas. Me gustan bastante, aunque no se mojan en la evaluación final que, entiendo, es todavía un tema peliagudo.

Aunque tardar en decir lo inevitable ocasiona una angustia innecesaria. Las instrucciones hablan de seleccionar contenidos, de evaluar para adaptar los futuros procesos de enseñanza y aprendizaje.

Os cuento algo que hemos mandado a los de 1º y 2º de ESO. Es una actividad basada en una práctica que hacemos en @dm_unizar, sobre las áreas de las figuras planas. Dejo en este enlace la ficha para descargar.

En esos cursos, es algo que ya han trabajado, normalmente limitándose al aprendizaje de las fórmulas ☹️. En esta tarea se introduce la idea de polígonos equivalentes y se les pide que se olviden de esas fórmulas (de las que se acuerden, claro…).

Se trata de coger las tijeras y convertir esas figuras en un rectángulo equivalente, con el mismo área, de forma que se pueda deducir la fórmula del área. Aquí, producción de una alumna para el paralelogramo y los triángulos (esta última se les ha atragantado a muchos).

Les hemos hecho dos vídeos (hablo en plural porque mi compi y yo decidimos compartir aula virtual):

Uno para el primer día, dedicado a los que no leen el enunciado o no se aclaran, introduciendo la del paralelogramo.
Otro, ya con muchas entregas realizadas, comentándolas. “Igual” que hacíamos en clase, donde este curso apenas estaba usando ya la pizarra. Por ejemplo, en las que he mostrado antes falta indicar qué son b y a en la figura original. Es decir, falta la conexión entre esas áreas.

Es una pena enorme no hacer esta actividad en clase, porque da para una sesión y pico, y puedes llegar a conectar con el área del círculo (cosa que aquí hemos quitado) e, incluso, con áreas de figuras cualesquiera. Aquí, podada, la hemos propuesto para una semana.

No es que se pierdan la explicación, porque no hay explicación, salvo una pequeña institucionalización al final. Es que se pierden todo el proceso de exploración en conjunto y discusión de diferentes soluciones, uso de vocabulario, etc.

Les hemos propuesto que hablen entre ellos, claro, pero no es lo mismo. Ni de lejos. Luego, además, están los que no pueden conectarse, los que no tienen las mismas facilidades, los que se la copian y ya, etc.

Creo que es un ejemplo de algo que tocaba ver este año, pero que todos “conocían” ya. Permite trabajar explorando y fomenta la autonomía. En algún momento hablaba de enriquecimiento horizontal, refiriéndome a este tipo de cosas.

Y nada más, que quería compartir esto por aquí. Hacer esto a distancia no es guay, es un parche de los gordos. Pero va en la línea que comentaba Lynn, y la que pienso que piden las instrucciones. Ya está.

Hablemos sobre este triángulo para la velocidad, espacio y tiempo

Mon, 02 Mar 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

¿Os apetece hablar de esto de aquí?

Me da igual si es para velocidad, espacio, tiempo o para la ley de Ohm. Aquí tenéis la versión óhmica y la representación pictórica de lo que seguramente esté ocurriendo en la mente de ese alumno que “necesita” usar esto.

Yo la descubrí de mano de un alumno hace ya unos años.

Mira Pablo, si es más fácil así. Pim, pam, pum.

Para los que no sepáis de qué va el triangulillo este, es una regla para despejar velocidad, espacio, tiempo en v=e/t. Tapas la de la izquierda y operas con lo que te queda.

Una bonita reflexión es pensar con qué queremos que se quede un alumno que parezca que necesita ese triángulo. Estamos un poco en lo de siempre, llevado al extremo. ¿Queremos un aprendizaje profundo, relacional…? ¿O queremos un aprendizaje instrumental?

Claro, si luego los problemas no son problemas, sino que son ejercicios para identificar v, e, t y luego operar, la regla esa funciona a tope. Mejor me lo ponéis con la ley de Ohm. Me imagino que interesa conocer la relación de proporcionalidad que hay entre esas magnitudes…

Si un alumno no puede razonar que si en cada hora recorro el mismo número de kilómetros, y he recorrido 12 km en dos horas, la velocidad es 6 km/h, no veo qué le va a solucionar el triángulo. Ah, sí, aprobar el examen y disimular que estamos haciendo matemáticas (o fyq).

Estáis diciendo algunos que un problema es que se equivoquen a la hora de poner las letras. Para mí el principal problema es que se anulan razonamientos como el del tuit anterior.

También me gustaría saber si a alguien que fomenta o no le importa el uso del uno en los denominadores o la regla de tres, fomenta o no le importan además este tipo de reglas. O por el contrario, lo otro sí o meh, y con esto 😱.

Libro: Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas

Sun, 01 Mar 2020 00:00:00 +0000

Cítese como:

Beltrán-Pellicer, P. (2020). Libro: Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. Didacticae, 7, 168-171. https://doi.org/10.1344/did.2020.7.168-171

Hablemos sobre el uno de los denominadores

Fri, 28 Feb 2020 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter. En este, sobre todo, son interesantes las respuestas al hilo y el debate que surgió.

Algún día también tendremos que hablar sobre este uno de aquí.

No pensaba yo tocar tanta fibra sensible con este tema, pero ha quedado una bonita discusión. Ese uno, ¡ay!, ese uno… Voy a intentar sintetizar en un pequeño hilo mi perspectiva aludiendo a alguna de las respuestas al tuit original.

Podemos pensar que es correcto formalmente y que no hace daño, que no molesta. Pero si fomentamos su uso estamos claudicando ante unas matemáticas muy de mecanizar. En mi opinión, y espero que en la de alguien más, unas matemáticas pobres.

Podemos pensar, como apunta alguien por aquí, que es hilar muy fino y que hay cosas más urgentes. No lo veo yo así. Esto forma parte de una visión de las matemáticas poco ligada a la comprensión. Viene a indicar que ese alumno apenas tiene sentido numérico.

Pero es que hay quien ha mencionado que ese uno, precisamente, indica comprensión. Que es el primer paso para hacer común denominador.

A lo mejor lo que toca es replantearse el papel que deben jugar los algoritmos en la educación matemática. Llegará un momento, y ya os digo que como muy tarde será en la EvAU, que todas esas cuentas las harán con calculadora. Así que, ¿qué poso debe dejar el trabajo anterior?

No estoy diciendo que no se hayan de ver algoritmos, sino que hoy en día, más que nunca, deberíamos tener claro que han de servir, como un elemento más, en el desarrollo de la comprensión y, en este caso, del sentido numérico.

Si quiero sumar fracciones, usar el “procedimiento de común denominador” es solo una de las maneras posibles. Poner ese uno de entrada anula considerar cualquier otra de las opciones. Así que no, no es el primer paso. Y mucho menos denota comprensión, por ahí no paso.

A veces, basta con amplificar fracciones. Otras, con simplificar. Sí, el método del común denominador sirve siempre, ya. Por cierto, cuando en clase pregunto por cómo se multiplicaban las fracciones (1º o 2º de ESO), casi todos dicen que en cruz. 🤦‍♂️ 🤦‍♀️

Otros dudan, y solo alguno asevera que es el de arriba con el de arriba y del de abajo con el de abajo. Y nadie te sabe argumentar mínimamente por qué. Lo de poner el uno para sumas de naturales y fracciones, mano de santo.

¿De qué ha servido entonces todo el tiempo que se ha dedicado en cursos anteriores a “Venga, numerador con numerador y denominador con denominador, ahora vosotros.”? ¿Qué se ha quedado en la mochila de esos alumnos?

¿Quitamos ese uno y ya? Como también han dicho por aquí, un alumno puede aprender la regla de que para sumar $3+\cfrac{1}{5}$ se puede hacer $3\cdot 5+1$, que es $16$, y decir $\cfrac{16}{5}$. Puestos a aplicar una regla, es más eficiente esta para hacerlo mentalmente.

No, si quitamos ese uno tenemos que estar dispuestos a cambiar nuestro discurso en torno a las fracciones. Es más, si quitamos ese uno, puede que sea el primer paso hacia unas matemáticas más ricas.

No es quitarlo y ya. Una fracción puede tener diferentes significados. Puede representar una parte de un todo, un proceso de medida, un reparto (cociente), una razón, etc. En el caso de la medida, el denominador ya no es solo lo que está debajo de la rayita.

Indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. Y el numerador no es ya lo que está encima de la rayita. Es el número esas partes iguales que se necesitan tomar para medir una cantidad de magnitud.

Y esa tontería cambia radicalmente todo el lenguaje que acompaña al aprendizaje de las fracciones. Que sí, las vamos a sumar, las vamos a restar, comparar, multiplicar y dividir. Sobre todo, vamos a aprender sobre ellas a través de situaciones y problemas.

Por otro lado, qué interesante es el dominio afectivo y cómo influye en nuestra práctica docente. En las respuestas se ha venido a constatar que entre los docentes de matemáticas hay diferentes sistemas de creencias hacia lo que es la matemática en sí.

Desde luego, no me creo poseedor de la definición absoluta de lo que es la matemática, ¡faltaría más! Así que no puedo dar una respuesta categórica a si está “bien” poner ese uno o no. Depende de nuestra visión de las matemáticas y de lo que pretendamos que aprenda el alumnado.

Matemáticas sin pizarra

Wed, 29 Jan 2020 00:00:00 +0000

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En la charla del otro día me permití un pequeño homenaje a un librito titulado “Matemáticas sin pizarra”, de 1986. Cuando hablas con Eva Cid, una de las autoras, te das cuenta de que sus preocupaciones y motivaciones siguen de plena actualidad.

A mí me gusta decir que lo que se busca es que haya actividad matemática en el aula. Indicios de vida inteligente. Para que quede claro, aquí no hablamos de formar matemáticos, que alguno habrá, sino de formar personas. Y el pensamiento matemático es fundamental para todos.

En el prólogo, exponen las razones que les llevaron a prepararlo. “Contenidos de 1º BUP excesivamente teóricos y sin relación con los intereses vitales del alumnado.” Ya entonces había quien cursaba el BUP por mero prestigio social o como extensión de la EGB.

Ahora, en 3º de ESO, tenemos lo de antes pero multiplicado por N, con N>1 y con la O de Obligatoria. Vamos, que lo tienen que cursar todos. Hemos de atender a todos y procurar el máximo desarrollo de nuestro alumnado.

Los autores continúan:

“Las clases se basan casi exclusivamente en explicaciones del profesor.” Con esto, se fomentan actitudes pasivas en los alumnos, que pasan más tiempo viendo hacer que haciendo. Imitando. 🙈🙉🙊

De esta manera, el profesor protege excesivamente al alumnado:

Explica con detalle el libro de texto, inhibiendo la competencia lectora del alumno. ¿Que luego no leen los enunciados? ¡Si es que muchas veces se les leen y se les explican!
El profesor dice cómo se tienen que resolver los ejercicios.
Avisa de los errores que no se deben cometer.
Resuelve dudas y preguntas antes de que ellos se las planteen.

Luego no nos quejemos de que de esta manera el alumno no desarrolla capacidad de crítica y evaluación de su trabajo. Es el profesor el que decide lo que está bien y lo que está mal. Esto es un contrato didáctico, “clásico”. Entre comillas. Que el libro este es de 1986.

Con este contrato, se produce una separación artificial entre la teoría y los ejercicios. Apenas se realizan problemas de verdad. No se trata de hacer problemas de “olimpíada”, que también. Medir una tira de tela es una situación-problema.

El librito incluye una colección de problemas para ir trabajando los contenidos mientras se van resolviendo tareas. El alumno lee. Discute con los compañeros. El profesor hace puestas en común e institucionaliza. Hay actividad matemática.

Por mi parte, entre otras cosas, cada vez uso menos la pizarra. Ya he comentado que lo que hago ahora es proyectar producciones de los alumnos y comentar sobre ellas. Incluyo alguna pequeña anotación, pero pocas.

Si no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas!

Sat, 14 Dec 2019 00:00:00 +0000

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No, es que mira, el chiquillo o la chiquilla no sabe ni sumar, ¡cómo vamos a ponernos con los problemas! │ └> Error

Es un error y es el comienzo de una historia de terror con las mates en el papel del villano.

Vía formal y vía concreta en paralelo, por favor. La prioridad es comprender. Por ejemplo, en las situaciones aditivas, no se trata de “adivinar” si se tiene que sumar o se tiene que restar.

Si el niño o la niña las resuelven contando hacia delante o hacia atrás, pero saben qué hacer, estupendo. Ya iremos asociando una cosa con la otra.

Esto lo vi muy, pero que muy claro, cuando estuve en adultos. Una persona con muchas dificultades, incapaz de hacer un solo problema. Todo que tuviera texto, de hecho, era un verdadero problema. Pero oye, sumas, multiplicaciones, divisiones escritas casi sin errores. ¿Para qué?

Algunas limitaciones del modelo parte-todo (tarta) a tener en cuenta

Sun, 08 Dec 2019 00:00:00 +0000

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El significado parte-todo del número racional positivo no tiene un origen histórico natural. Vale, permite introducir de forma inmediata la representación fraccionaria, pero provoca graves limitaciones de comprensión. Vamos con #DidMatCita de Escolano (2007) e hilo.

Es evidente que toda génesis escolar de un tópico matemático es artificial y que no tiene por qué reproducir siempre el origen histórico, que puede utilizar constructos que hoy en día resultan extraños y complicados para nuestro alumnado. No es este el caso que nos ocupa.

Los modelos habituales utilizados ahora en la escuela para introducir los números racionales no solo son contradictorios con la historia de dichas nociones, sino que además no son una opción más económica desde el punto de vista didáctico, ni más cercana a las matemáticas de hoy.

Hoy nos centraremos en tres aspectos, creo, muy curiosos.

¿Cuándo surge el modelo parte-todo?
¿Por qué tiene un significado diferente al de medida?
¿Qué obstáculos genera?

Para responder, he seleccionado unos fragmentos de la propia tesis de Escolano.

«El origen de la enseñanza de la fracción con el significado parte-todo lo encontramos en la primera mitad del siglo XX, como consecuencia de la pérdida de la referencia del proceso de medida de cantidades de magnitud.»

Escolano se sirve de un libro de Edelvives de 1934 para ejemplificar el tránsito de la utilización de modelos de medida aparente al de relación parte-todo. Esto pudo venir de la mejora en las técnicas de impresión de libros, que pasan a incluir gráficos.

El caso es que en el período comprendido entre los años 1950 a 1970 la relación parte-todo se consolida como el método prioritario con el que se enseña la fracción. En 1962 se encuentra esta sugerencia en documentos oficiales de enseñanza:

«En los enunciados se habla de “representar”, que invita al escolar a aplicar un convenio previamente establecido; no sugiere la realización de acciones, físicas o mentales, que favorezcan el aprendizaje autónomo.»

¿Por qué tiene el parte-todo un significado diferenciado?

Hay autores que lo han relacionado con el de medida. Por ejemplo, Behr (1986) señalaba que “el subconstructo medida del número racional representa una reconceptualización de la noción parte-todo de la fracción”.

Escolano señala que no tiene significado de medida, tanto por las exigencias cognitivas que exige resolver los problemas de cada uno de los campos como por las ideas matemáticas implicadas en las respectivas estrategias de resolución.

Tampoco tiene significado de razón. Ese doble recuento en que se basa el parte-todo impide definir una nueva magnitud, aspecto crucial en este significado.

Y no tiene, tampoco, significado de:

Cociente partitivo. Porque no expresa el resultado de un reparto.
Operador.
Cociente indicado.

Escolano aporta razones para cada uno de estos casos, concluyendo que estamos ante otro significado. Más pobre.

Obstáculos que se generan y que serían evitables:

Se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas de la fracción.

No existen las fracciones impropias (esto ya lo apuntaba Freudenthal).
Las fracciones son números no medida.

Kieren (1992) señalaba que el conocimiento que construyen de la parte-todo es inflexible y difícil de aplicar a la amplia gama de situaciones que organiza el número racional.

El “todo” o unidad no es un número. No se explicita el sentido y funciones de la unidad.

Se obstaculiza la separación conceptual del número racional y del natural.

Como el parte-todo se basa en un doble recuento (uno para numerador y otro para denominador…), resulta que:

La fracción está formada por dos números naturales. No se entiende como un nuevo tipo de número.

Y los decimales tampoco. ¿No os suena lo de “Profe, creo que está mal, me sale decimal?”

Las relaciones y operaciones con números racionales tienen el mismo significado que en los números naturales. Y aquí no hay concepto de siguiente, sin ir más lejos.

Se obstaculiza la formación de ideas abstractas.

Los conceptos son las técnicas o procedimientos asociados a los mismos. Si siempre se usa la misma técnica, se confunde lo uno con lo otro.
Los contenidos útiles son los procedimentales. Se memoriza el algoritmo y… 🤦🏻‍♂️

Una propuesta

Para solucionar todo esto, se propone utilizar el modelo de medida y el modelo de reparto. Pero ya hablaremos más sobre el tema, que es apasionante. De momento…

Dejo enlace a la tesis de Rafael Escolano. Va con anexos. Y estos, con un pequeño tesoro: el material que se les dio a los alumnos

Los he puesto más de una vez. El libro «Números y algoritmos» (Gairín y Sancho) aborda también esta cuestión, para secundaria.

En este artículo, orientado a primaria (válido también como “secundarios”, se cuenta algo similar y está en abierto aquí

Referencias

Berh, M. J., Lesh, R., Post, T.R., & Silver, E. A. (1983). Rational number concepts. En Lesh & Landau (Eds.) Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 91-126). Academic Press, New York.

Escolano, R. (2007). Enseñanza del número racional positivo en Educación Primaria: un estudio desde modelos de medida y cociente. Tesis doctoral. Universidad de Zaragoza.

Kieren, T. E. (1992). Rational and fractional numbers as mathematical and personal knowledge: Implications for curriculum and instruction. Analysis of arithmetic for mathematics teaching, 323-371.

Unas jugadoras de basket no tan parecidas (enseñanza de la dispersión)

Sun, 10 Nov 2019 00:00:00 +0000

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Partido de basket. Queda un minuto y el entrenador tiene que decidir a qué jugadora sacar. ¿A quién elegirá?

Si va perdiendo de 8 puntos.
Si va ganando de 2 puntos.

Dentro hilo con secuencia de aula sobre dispersión con pinceladas de didáctica de las matemáticas.

Con este hilo participo en el #HilosDC6.

Esto de la dispersión nos servirá como excusa para diferenciar una enseñanza para la resolución de problemas de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Y esto sirve tanto para primaria como para secundaria.

Por ubicarnos, las medidas de dispersión aparecen como contenido curricular por primera vez en 2º ESO (13-14 años). Luego hablaremos sobre currículo, libros de texto y otras cosas del montón. Ahora, me centraré en presentar la secuencia de aula

A ver si vais a pensar que soy super original. No. Esta actividad que voy a contar está sacada prácticamente tal cual de la Guía Praxis, que fue coordinada por Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu. Lo que he hecho simplemente es darle una razón de ser con las preguntas iniciales.

¿Se podría decir que es innovación? Yo creo que sí, aunque tiene tela decir que sigue siendo innovación algo sacado de una guía de finales de los 90. Pero es que queda mucho por hacer. Y vamos a usarla también para hablar de resultados de investigación.

Esto lo he hecho este curso en una clase de 2º ESO donde ya empiezan a estar habituados a trabajar A TRAVÉS de la resolución de problemas. Lo ideal aquí es tener al alumnado en parejas o grupos de hasta cuatro.

Luego profundizaré en eso de A TRAVÉS y las alternativas que hay. De momento, basta decir que se trata de presentar tareas (situaciones-problema) al alumnado, de manera que los contenidos emerjan conforme se avanza.

Podría decirse que es una enseñanza de descubrimiento guiado. Ello no implica dejar a los alumnos solos, sino que se para la clase cada cierto tiempo para hacer puestas en común y que el profesor negocie los significados de los objetos matemáticos que van apareciendo.

La tarea que va a motivar todo es la del primer tweet. Es una decisión que debe tomarse considerando los datos disponibles. ¿Sacamos al mismo tipo de jugadora cuando vamos ganando por poco que cuando el partido está prácticamente perdido, pero con alguna posibilidad de ganar?

¿Y qué datos son esos? Nada más que el porcentaje de aciertos de tiro exterior de cinco jugadoras durante los últimos diez partidos. Es decir, esta tabla. ¡Cuánto número! Algo habrá que hacer…

Aquí se puede mencionar cómo ha cambiado el baloncesto en los últimos años, y por qué equipos como los Golden State Warriors tiran tantos triples (y les ha ido bastante bien).

Primera pregunta, para entrar en calor y ver que hemos entendido el contexto. Y que va a tener miga. ¿En qué partidos consigue Alba un % por encima de sus compañeras? ¿Solo en los que sea la mejor de todas? ¿O en los que esté por encima de la media?

Ya que hablamos de la media, ahora vamos a calcular la media de los porcentajes de acierto para cada jugadora. ¿Qué observamos? Pues que todas las jugadoras… ¡tienen la misma media!

¿Qué hacer? El entrenador está en un aprieto… Ya que tenemos datos, vamos a tratar de representarlos gráficamente, a ver si con eso podemos decir algo. Se les proporciona a los alumnos el diagrama de puntos de una jugadora y se les deja trabajar y discutir a qué jugadora sacar.

Resulta que visualmente no se aprecia cuál es más regular, más fiable. En la puesta en común unos grupos defienden a Clara, otros a Sonia… Seguimos necesitando algo más.

En estas puestas en común a veces pasan cosas maravillosas. En un grupo decidieron emplear un código de colores y mostrar a todas las jugadoras en el mismo diagrama de puntos. Discutimos sobre si es más adecuado o no. Parece que se ve más claro por separado.

Sin embargo, tiene la ventaja de que te asegura la misma escala para todas las jugadoras. También, que los diagramas estén alineados para facilitar la inspección visual. En la foto vemos este error de representación.

Vamos ahora a medir, esto es, a asignar un número a cada jugadora, a cada uno de los diagramas de puntos. Lo más fácil es calcular la anchura. Esto se llama rango. ¡Todas lo tienen muy parecido! María, quizás, un poco más alto…

Pero… ¿qué pasaría con una jugadora que durante 8 días encestase el 58% de los tiros, pero un día le saliese malo y tuviese un 31% y otro día hiciese un gran partido con un 75% de acierto? ¿Cuál es su rango? ¿Su diagrama de puntos? ¿Es más o menos fiable que las anteriores?

Si lo comparamos con el de Sonia, por ejemplo, vemos que el de la nueva jugadora está mucho más concentrado en torno a la media, salvo esas dos excepciones. El de Sonia está más extendido. Atención a los gestos que hacen las jugadoras en los gifs.

Está claro entonces que el rango se queda corto y que necesitamos una medida mejor de la dispersión. No puede ser que una jugadora que tenga un rango de casi el doble sea más regular, fiable, menos dispersa. El rango, como medida, es una castaña.

El lenguaje, en sentido amplio, no solo verbal, es un elemento muy importante en todos los marcos teóricos en didáctica de la matemática. La articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticos (verbal, gráfico, simbólico…) en indicador de una alta idoneidad.

Los gestos no son una excepción y son parte de la actividad. Abriendo o cerrando los brazos, como en los dibujines, damos una idea de rango y dispersión. De hecho, los gestos ocupan un lugar de privilegio en enfoques teóricos como el Semiotic Bundle.

A lo que íbamos, necesitamos algo mejor que el rango. Así que planteamos medir las desviaciones de cada jugadora respecto a la media. Sin embargo, al sumarlas ocurre algo ¿inesperado?

Digo que puede ser inesperado si no se trabajan las propiedades de la media en 1º ESO o antes de esta secuencia. En 1º hemos visto cómo hacer un diagrama de barras buscando cierta media. Es el principio de las gallinas que entran por las que salen.

«Un anuncio de cajas de cerillas indica que el número medio de cerillas por caja es 35. Representa una gráfica de una posible distribución del número de cerillas en 10 cajas, de modo que la media sea igual a 35»

«La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38, 1,42, 1,60, 1,40. ¿Cuál sería la altura más probable del quinto estudiante?»

Estas dos últimas actividades se han seleccionado de los apuntes de Análisis de datos y su didáctica, de Batanero y Godino. En esta referencia se muestran tipos de actividades para englobar las diferentes propiedades de la media.

Por cierto, estas capturas las estoy tomando con un visor de documentos. Desde que vi los tweets de @followero al respecto no hago más que verle potencial. Así puedo mostrar la producción de un alumno a todos y corregirla en vivo, o explicar sobre mi cuaderno, entre otras cosas.

Volviendo al lío. La suma de las diferencias respecto de la media sale cero para cualquiera de las jugadoras. Es una propiedad de la media. Tiene sentido, pues, considerar la distancia a la media. Y hacer un promedio de estas. Así obtenemos la desviación media para cada jugadora.

Si ordenamos a las jugadoras de esta manera vemos que la menos regular es María (DM=7,8), y que las más regulares (menos dispersas) son Sonia y Clara (DM=5,4). En la puesta en común hablamos de qué significan ese 7,8 y esos 5,4.

Ahora consideramos el caso de una jugadora, Berta, que ha estado lesionada durante 2 partidos. Durante los otros 8 partidos ha acumulado una cantidad de dispersión de 67. ¿Es más regular que María?

Ninguna tarea está puesta al azar. Si dividimos 67 entre 10, obtendríamos una DM de 6,7, concluyendo que es más fiable Berta. Ahora, ¿hemos tenido en cuenta que no ha jugado dos partidos?

Ah, es que habrá que dividir para 8, ¿no?
Entonces sale… 8,375, no es nada regular.

Y llegamos a la varianza. A los alumnos les hace gracia esta palabra.

Sí, varianza. Con zzzzeta.

Toca proponer considerar los cuadrados de las desviaciones, como otra estrategia. Es un punto que, de entrada, puede parecer tener poco sentido, si ya tenemos la desviación media.

Sí, aparece un poco forzado, pero tiene alguna ventaja. Como que los datos que se alejen más de la media van a tener un peso algo mayor en la medida de la dispersión. En nuestro ejemplo, nos ayudan a desempatar entre Sonia y Clara como jugadoras más fiables.

La más regular, la menos dispersa, es Clara. A la hora de interpretar esa varianza de 49 y pico, ¿qué? Al ser desviaciones al cuadrado no podemos decir que lo normal es que se desvíe 49 de la media de acierto. Por eso hacemos la raíz cuadrada para obtener la desviación típica.

Algunos alumnos se apuntan que anulamos el “efecto de elevar al cuadrado”. Señales de que vamos bien son:

Oye… ¿qué es la dispersión? ¿La varianza?
¿No lo sabes? Si llevamos tres días con esto la dispersión.
Ya…, pero no sé si es la varianza o la desviación típica.

Toca otra puesta en común. Se suelen reservar momentos para ello, pero si surge algo interesante, es el docente el que decide parar la actividad. Podemos decir que la dispersión es lo concentrados o alejados que están los datos respecto de la media (recordamos los gestos).

Una cosa distinta es cómo midamos esas dispersión. De hecho, al principio lo hemos hecho sin medir, de forma visual con los diagramas de puntos. Luego, hemos medido el rango, que no vale para mucho. Después, la desviación media, la varianza y la desviación típica.

Entonces… ¿a quién elegimos si queda un minuto y ganamos de 2 puntos? A la más fiable, claro, no queremos pifiarla. El entrenador tiene que sacar a Sonia.

Pero… ¿si vamos perdiendo de 8 puntos? Necesitamos un milagro, no vale con no pifiarla. Sacaremos a María, que teniendo la misma media que Sonia, es mucho más irregular. ¡Le puede salir uno de esos partidos en que mete todo!

O también puede que no. Sin embargo, habremos tomado la decisión adecuada.

Aclaración: los enunciados de todas estas tareas se les dan fotocopiados a los alumnos, que los pegan en el cuaderno.

Estuvimos prácticamente tres días con este problema. Finalmente, la secuencia culmina con un par de actividades de práctica. En el examen, los alumnos se enfrentaron a un problema similar. En una competición de natación, tenemos que elegir al cuarto relevista.

Decía que lo todo esto es enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas (RP). Si remarco el A TRAVÉS, será que hay otra cosa, ¿no? Porque todos estamos de acuerdo en que la RP es lo más importante, pero hay varias tendencias. Gaulin lo describe bien.

Podemos enseñar SOBRE RP; es decir, técnicas y estrategias, con problemas que tampoco tienen por qué estar muy ligados a ningún contenido. Sin embargo, la alternativa opuesta a la actividad comentada se ubicaría en la enseñanza PARA la resolución de problemas.

Los puntos, en orden, que sigue una secuencia PARA la RP son:

1- Esto se hace así. 2- Ejercicios sin contexto. 3- Ejercicios con contexto, pero les llamamos “problemas”. 4- Con suerte, en una secuencia PARA la RP se proponen problemas de aplicación interesantes.

Nada más sencillo que tomar un libro de texto para comprobar esa secuencia. En la mesa tengo un bestseller de 2º de la ESO donde se identifican los tres primeros puntos. El cuarto, ni está ni se le espera.

Los autores parecen ser conscientes de la pérdida de tiempo que supone todo esto. En el margen: no te preocupes, ahora haz, que ya si eso, el curso que viene, los dominarás.

Este gif es por el tweet de antes. No, no los dominarán. He visto alumnado de bachillerato con dificultades enormes para distinguir las medidas estadísticas obtenidas de una tabla de frecuencias de los parámetros de una distribución.

Y alumnado que solo ha llegado a la varianza a partir de la tabla de frecuencias, con el xi^2fi^2. OMG. ¿Estamos locos? Que sí, que son menos cuentas, pero para llegar a esa fórmula coges un atajo de los gordos. Y en educación matemática, lo interesante suele estar en el camino.

Para llegar a esa fórmula se realizan ciertas manipulaciones algebraicas, utilizando propiedades nada triviales de la varianza y la esperanza. Que a veces se nos olvida la O de la ESO. Que tenemos que intentar, como docentes, que cada alumno alcance su máximo potencial.

Añadiendo de entrada una carga simbólica innecesaria para mostrar la idea de dispersión, nos estamos dejando atrás a muchos alumnos. Y casi todos los que consiguen sobrellevar con “éxito” la secuencia, habrán aprendido unas reglas y poco más.

Bromas aparte, algo bueno es que el libro presenta la desviación media. Visto el currículo, peor habría sido ver el rango porque sí y a otra cosa, que es lo que especifica al concretar los estándares de aprendizaje evaluables. El cómo lo hace es otra historia.

Todo mi respeto por los autores de los libros de texto. Entiendo que lo normal será estar condicionado por una línea editorial, restricciones en número de páginas y otros factores que desconozco.

¿La comprensión de la dispersión mejora con la mera repetición de ejercicios? No. Desde la didáctica de la matemática hay herramientas que permiten analizar la idoneidad de secuencias de enseñanza y aprendizaje y reflexionar sistemáticamente sobre ellas.

Indicadores de una elevada idoneidad a nivel de contenidos, sin entrar mucho en detalle: muestra representativa de situaciones-problema, articulación de diferentes registros y representaciones lingüísticas (verbal, gráfico, simbólico, etc.), modelización, problematización, …

Precisamente, en el último número de AIEM (revista de la @_seiem) hay un artículo que analiza la enseñanza de las medidas de dispersión en libros de texto de educación secundaria (3º y 4º ESO). Los resultados señalan las carencias de los libros de texto.

Hemos hablado sobre libros de texto. Son un recurso más y su uso depende de la competencia profesional del docente. Faltaría más. Sin embargo, marcan mucho el camino a seguir. Demasiado. Tanto, que algunos autores hablan de ellos como el currículo de facto. Y eso no puede ser.

Si ponemos el piloto automático con el libro, por comodidad, o porque nos empujan a ello las políticas educativas (horas lectivas, ratios, falta de formación en didáctica específica), hemos de ser conscientes de la escasa idoneidad del proceso de enseñanza y aprendizaje.

La enseñanza a través de la RP es rica, exigente y apasionante. Todo parece indicar su gran potencial, pero sigue siendo una línea abierta de investigación. Los dibujines y los gifs corren a cuenta de mi hermanita @creacionesbjara. ¿A que son geniales? 🔚

¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o un litro de leche desnatada?

Sat, 12 Oct 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

El enigma del litro de leche. ¿Qué pesa más? ¿Un litro de leche entera o uno de desnatada? 180 votos, y gana por poco la opción (correcta) de la desnatada (49% dice Twitter, supongo que 88 votos). Hilo.

Llevo 3 o 4 años haciendo esta pregunta en #cosicasdeDAII (Didáctica de la Aritmética II) en @FacultadEducaUZ, cuando acabamos el tema dedicado a magnitudes y su medida. Y me encanta. Porque da que pensar. Y en ESO cuando se tercia, también.

Durante ese tema se habla de las dificultades que tienen los niños para identificar magnitudes y ser “conservadores”. Ahí están los experimentos clásicos de Piaget. Un ejemplo, ¿qué pesa más? ¿esa pastilla de plastilina? ¿o esto? (y tomo la pastilla y hago una bola).

Cuando los niños se dan cuenta de que, a pesar de que cambien ciertos atributos o cualidades del objeto (forma, en este caso), hay algo que se conserva (aquí, la masa/peso), se dice que son conservadores para ese algo, esa magnitud.

Pues es preguntar lo de la leche y volver loco al personal. Porque claro, parece que ya somos personas adultas y que todo esto de la identificación y conservación de las magnitudes está superado.

Pero… un litro es un litro, ¿no? ¿qué pregunta es esa?
¿Un litro de hierro pesa lo mismo que un litro de agua?

De hecho, después de poner la encuesta he visto que tenía que haber puesto la opción de que pesan lo mismo. Al no haberla, la gente ha tenido que mojarse.

¡La leche entera pesa más! ¡Es más densa!

Aquí el silogismo es correcto, aunque la premisa, incorrecta. ¿Es más densa la leche entera? ¿Seguro?

En este punto, dejo pensar un poco, porque claro, choca mucho, y como el profesor insiste, es que algo ocurre.

No es que sea más densa. Será más viscosa, más “contundente” si queréis. Pero no es más densa, desde luego. ¿Cómo se hace la leche desnatada?

Simplificando mucho, que alguna vez me ha dado por leer sobre cómo se hace leche a nivel industrial y no es tan sencillo. *

Así es, la leche desnatada es leche entera a la que le han quitado la nata.

Aquí me ha gustado el comentario de @profebernabeu

¿No sería mejor llamar ‘semientera’ a la semidesnatada?

Me remito a lo de la industria lechera…

La nata flota. Es algo que todos hemos visto al calentar leche. Es grasa. Si quitamos la parte de la leche que menos pesa, nos quedará una leche más densa, la desnatada. Que sí, que será más aguachirri, lo que quieras, pero es más densa que la entera.

He hecho un experimento de andar por casa para incrédulos. Sí, es poco o nada científico. De hecho, uno de los briks es de semi. Marcas diferentes de leche, envases algo distintos… 🤦🏻‍♂️ Por lo menos prometo que están sin abrir.

Lo de “sin abrir” es interesante. Porque a veces, el litro en primaria se introduce así (libro de 1º de EP):

Esta tarea se plantea en la asignatura DAII como análisis de libros de texto.

Hay un litro. Pues ese brik está cerrado, bien podría estar vacío. Y esa botella, para empezar, tiene forma de las de litro y medio. Creo. No está claro.

Brik de un litro de capacidad que no tiene un litro de leche dentro.

Reconozco que no sé si la capacidad teórica será exactamente un litro. Si os habéis fijado, en los envases tampoco lo tienen muy claro: “Este producto contiene aproximadamente 4 porciones de 250ml”.

En el libro ese de texto es la primera vez que se habla de capacidad. Y se va directamente (mal) a la “enseñanza” de la unidad del sistema métrico decimal. Saltándose situaciones de identificación de magnitud, comparaciones con y sin objetos intermedios, ordenaciones…

¿En cuál cabe más? ¿Cuál tiene mayor capacidad? Esto en el aula se puede hacer con vasos de plástico con diferentes formas, primero comparaciones (dos elementos) y luego ordenaciones (tres o más), tratando de minimizar trasvasados. No hace falta medir.

Después sí, después llegan las situaciones de medida, primero con unidades arbitrarias o antropométricas. Cazoletas, cucharadas, vasitos, etc.

Vídeo: Tiempo BBDO, busca desvelar el enigma de las medidas de una madre con La Cocinera

Se pueden proponer situaciones de equivalencia y cambios de unidades. Muy al final, cuando ya se ha aprendido a identificar la magnitud, el vocabulario asociado (cabe, llenar, rebosar, etc.)… se introduce el SMD. Y siempre, motivado.

Ahí se pueden proponer situaciones en las que los alumnos midan la capacidad de objetos con cucharadas (por ejemplo), y que estas sean algo diferentes. Cada uno obtendrá una medida diferente. Es necesario ponernos de acuerdo.

Voy terminando. Ese “hay un litro” del libro de texto se complementa con una actividad a base de fotos que no están a escala y sin nada de vocabulario. Estas cosas hay que tocarlas, y hablar sobre ellas. Cabe, hay, rebosa, lleno, vacío…

¿Qué tendrá que ver esto con matemáticas? ¿No es más de experimentales? Lo que ocurre es que todo esto de las magnitudes se enmarca en el trabajo de la medida, y conduce, entre otras cosas, al número racional.

Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión. Un saludo y gracias a los que habéis participado en la encuesta.

Sobre el algoritmo de la suma y lo que pasa por correr

Mon, 07 Oct 2019 00:00:00 +0000

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Niño de 7 años.

¿900+400?
13 y dos ceros.
¿Ein?
¿Trece mil? Pues eso pasa por correr. Hilo.

Ese niño se sabe el algoritmo escrito de maravilla. Podríamos decir que es de los alumnos buenos. Leches, sacaría un 10 en el examen. ¿Podríamos decir que sabe sumar?

Es todo más complejo de lo que parece. Para dar respuesta a la pregunta, no hace falta irse a números tan “feos”. Simplemente diré que saber sumar no implica saberse el algoritmo escrito (cualquiera de los existentes) de la suma. Eso es solo una parte.

Pero dejémonos de si sabe resolver situaciones aditivas concretas y centrémonos en la vía formal, la de las operaciones. Recordemos, no obstante, la importancia de tratar ambas vías en paralelo. En este caso, sumas de números de tres cifras, terminados eventualmente en ceros.

Ese ejemplo que ponía al principio denota que se han saltado, posiblemente, varios pasos esenciales. Cada cosa a su debido tiempo, como suele decirse. ¿Se ha trabajado el algoritmo con material estructurado de base decimal, tipo billetes?

De base decimal, por favor, sin utilizar bases auxiliares como el 5. Tienen que ser unos “billetes” especiales, si utilizar los de 5, 50 o 500. Aquí preparé unos que se pueden descargar.

No es perder el tiempo el ver que 10 billetes de 1 hacen 1 billete de 10, una decena. Es invertirlo. No es perder el tiempo que el alumno vea y toque que 10 billetes de 10 (10 decenas) hacen 1 de 100 (1 centena). Es invertirlo.

Con ese material estructurado se da significado a las llevadas. ¡Anda! Tengo 14 de 1, que puedo cambiar por 1 de 10 y me quedan 4 de 1. Y así. La única consigna es emplear el menor número de billetes posible para representar un número.

Decía que me iba a centrar en la vía formal. No obstante, se pueden utilizar los billetes para ir resolviendo situaciones aditivas. Esto es algo que debe ir gestionando el docente. No, si ya me gusta a mí el término de ingeniería didáctica. Es por esto.

A ese trabajo con material estructurado le tendría que acompañar mucho trabajo verbal. Esto es, cálculo mental. Pero trabajando estrategias. Y hablar de decenas y centenas. 900 + 400 … si el chaval me responde 13 centenas en lugar de 13 y dos ceros es que vamos bien.

¿A dónde iba? Ah, sí. Que no hemos de ir teledirigidos a la enseñanza de una regla. Con alumnos que van bien pueden pasar cosas como esta. Estos, seguramente, más adelante se darán cuenta de su error y avanzarán. Ahora, para los menos aventajados será el comienzo del desastre.

Una secuencia que incorpore los elementos que he mencionado puede parecer más lenta. Creo que esta percepción depende del ojo con que se mire y que esa secuencia es beneficiosa para todo tipo de alumnado.

Me voy a adelantar antes de que surja. No hace falta irse a ningún método con siglas molonas o nombres llamativos. No. Manipulables utilizados con significado y cálculo mental con estrategias. Y situaciones concretas en paralelo. Se viene diciendo desde hace décadas.

Sobre las tablas de multiplicar

Sun, 15 Sep 2019 00:00:00 +0000

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A ver, que ayer por la noche me pareció leer un tuit sobre el canturreo de las tablas de la multiplicación que degeneró en una retahíla de loas, abundando el manido “pues a mí me enseñaron así y no he salido tan mal”. Abro hilo, especial para #primaria #AcRiMates

El aprendizaje de hechos numéricos básicos, como las tablas de la suma o de la multiplicación, permiten acometer tareas de cálculo con mayor eficiencia. Llegar a la adolescencia sin saber estos hechos es fuente de dificultades. Entonces, ¿qué hacer?, ¿cómo enseñar esto?

Me centraré en las tablas de multiplicar, que son las más problemáticas, pues no es nada raro encontrar alumnos en ESO que no las dominan. Tenemos la opción más socorrida, que llamaremos la del martillo pilón.

Efectivamente. Se trata de llegar a clase cierto lunes y presentar la tabla del 2. La cantamos y mañana la preguntamos. Unos días más tarde presentamos la del 3, la cantamos y la preguntamos. Como tareas para casa, cantarlas.

Esto se hace muchas veces con cierta periodicidad. Cada semana, una tabla, por ejemplo. Siguiendo un orden de menor a mayor, cuando la del 5, sin ir más lejos, es más fácil de recordar que la del 3.

La memorización a palo seco de estas tablas exige un gran esfuerzo. Por eso hay ciertos alumnos que no pasan el corte. Los que sí lo pasan, ¿qué han ganado en el proceso? ¿Han aprendido técnicas y estrategias de cálculo flexibles que les permitan cubrir posibles olvidos? ¿Han progresado en sentido numérico? ¿Las técnicas aprendidas les permiten manejarse mejor en la división entera? Es más, los alumnos que se saben los hechos… ¿necesitan canturrear esa parte de la tabla que se han olvidado?

Ay, el sentido numérico… ese gran olvidado. Meto anécdota que no viene muy al caso: en secundaria a muchos alumnos les explota la cabeza cuando al dividir por cero coma algo les da un número mayor que el de partida.

Y los que no pasan el corte de aprenderse las tablas, ¿qué? Esos están todavía peor.

Vale, entonces qué hacemos. La premisa básica va a ser priorizar el aprendizaje de estrategias, a la par que, obviamente, abordar situaciones multiplicativas para dar sentido a todo esto.

Esta doble vía en paralelo, situaciones concretas y formales, se puede abordar con:

La construcción de la tablas, con una rejilla en donde los alumnos escriben los hechos. Se reflexiona en común, se puede subrayar, colorear… (ej., la columna del 2 siempre acaba en 2…)

La construcción puede hacerse más veces, empleando manipulables, fijándose en diferentes regularidades, etc.

Práctica espaciada y “aleatoria” (pero cubriendo todas las tablas) y trabajando estrategias de cálculo mental.

Lástima que no se pueda subrayar en twitter. TRABAJANDO estrategias, no dejando a los alumnos en la selva. Estas estrategias pueden surgir de forma natural y todos tenemos preferencias, pero se aprenden. Hay actividades muy majas, tanto con lápiz y papel como con TIC.

A mí me gustan mucho las tablas de cálculo de J.J. Jiménez (ojo, tanto para Primaria como para ESO, hay de todo). En la web se explica muy bien de qué van y cómo usarlas. Fichas para descargar.

Esos son algunos tipos de actividades para ir trabajando la vía formal. Hay más, pero con esto creo que se pilla la idea. Esencial también el uso de manipulables, como he dicho, que tienen un lugar claro y directo en la construcción de las tablas.

En paralelo, la vía concreta. Esto es una de las cosas básicas que transmitimos en @FacultadEducaUZ en Didáctica de la Aritmética I y II. La cuestión es ir trabajando situaciones multiplicativas que, progresivamente, se hacen de forma más eficiente sabiéndose los hechos.

Al principio, los alumnos las resolverán mediante sumas o restas reiteradas. Poco a poco, jugando con las variables didácticas, con el tamaño de los números, se introduce la necesidad de ir empleando hechos conocidos.

No conviene hacer packs de ejercicios (aquí uso el término ejercicio, no situación) todos iguales. Introducir diferentes estructuras semánticas e incluso situaciones aditivas, que se resuelvan “sumando” o “restando”.

Uso las comillas porque en esta vía concreta se prima la comprensión. Sobre todo al principio, no importa tanto que elijan la operación correcta (que muchos alumnos eligen en plan random) como la comprensión de la situación.

Sugiero la lectura del artículo: Ter Heege, H. (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16(4), 375-388.

Voy a ver si me organizo la semana, que me lío con estas cosas y no puede ser, que yo estaba con cosicas de probabilidad y tal.

Dibujos animados y dominio afectivo en matemáticas

Wed, 21 Aug 2019 00:00:00 +0000

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Aprovechando que hace poco salió el último número de EDMA0-6 y que incluye la sección “Matemáticas animadas”, voy a dar la turra con un hilo sobre dibujos animados y dominio afectivo en #matemáticas. A ver lo que sale.

Si esperas leer sobre educación a lo Mr. Wonderful, este hilo no va de eso. Utilizando como excusa algunos fragmentos de dibujos animados que abordan este tema (a veces, de forma exquisita), vamos a tratar de reflexionar sobre el impacto que tiene lo afectivo en lo cognitivo.

Aunque me gusta explorar el uso de los dibujos animados y fragmentos de películas y series como recurso didáctico en #matemáticas, dejaremos eso para otra ocasión. Pensad en este hilo en relación con el análisis previo que se haría antes de usar un fragmento en clase.

En primer lugar, esto del afecto incluye emociones, actitudes, creencias y valores. Hay otras categorizaciones, pero esta está muy extendida y nos vale para lo que queremos mostrar.

La idea de escribir este artículo me vino cuando redactaba el anterior de “Matemáticas animadas”, sobre estimación. En el capítulo de Cyberchase que analizaba, ocurría algo maravilloso con Inez, uno de los personajes.

Al principio del episodio, vemos a Inez contando las gominolas de un tarro, una a una. Luego, se van sucediendo situaciones que tienen que superar los protagonistas, e Inez muestra su escepticismo ante las soluciones aproximadas. No le convence la estimación.

Sin embargo, poco a poco estas situaciones se suceden y se van resolviendo con técnicas de estimación en medida. Inez se va convenciendo y en las últimas ya es ella la que propone utilizar la estimación. Al final, se retoma la escena inicial del bote, y… ¿no es maravilloso?

Lo que se aprecia es un cambio en la creencia inicial de Inez. No es que no supiera sobre estimación, es que no daba como válidos los resultados así obtenidos. Esta evolución se produce porque comprueba in situ cómo la estimación les soluciona la papeleta una y otra vez.

Así que me pregunté si este tratamiento de lo afectivo se veía en más episodios de Cyberchase o de otras series. Y sí, en el 1x02, Castleblanca, sobre estadística (cada capítulo va sobre un contenido matemático en concreto), tenemos algo parecido.

Tiene la creencia de que los datos son una herramienta muy potente para sacar conclusiones. Aunque también intuye que no todo vale. Jackie tiene anotaciones sobre las casas donde consiguió dulces el pasado Halloween. ¡Pero no sabe qué hacer con ellos!

Ojo que esta creencia es más relevante de lo que parece en el mundo en que vivimos. Los medios de comunicación saben del poder de los datos y de las gráficas. Y si no, mirad cualquier campaña política y el material que genera para la clase de mates.

Motherboard llama a los protas para salvar el ciberespacio. Tienen que encontrar la ubicación del castillo donde Hacker (el malo malote) tiene preso al doctor Marbles. Y se les ocurre hacer un sondeo. Ya sabéis, el poder de los datos. Se separan y van haciendo la encuesta.

Siguen creyendo en el poder de los datos en bruto. Preguntaban a ver quién había visto a Hacker y dónde. Lo describían como mezquino, alto y con capa. Sin ser cuidadosos con la descripción, obtienen dos acumulaciones de puntos en la misma zona de los dos mapas.

Van a esa zona y… ¡no es el castillo de Hacker! Se trata del castillo de Drácula. Se dan cuenta de que tienen que ser más específicos y se ponen de acuerdo en preguntar quién ha visto un tipo alto, con capa, piel verde y barbilla puntiaguda.

Ahora, ninguno de los dos mapas de cada equipo de investigación muestra acumulaciones de puntos. No se dan por vencidos y piensan (actitud positiva hacia la resolución de problemas, no todo es llegar y triunfar).

Saben que lo han hecho bien esta vez, pero les falta algo. No tardan mucho en combinar ambas fuentes de datos y entonces sí, descubren la localización del castillo.

No vale todo con los datos. Sin ser cuidadosos, las conclusiones no son válidas. En otro episodio, 1x03, “Ciudad justa”, se suceden situaciones en las que las predicciones acerca del resultado de juegos de azar a veces resultan cumplirse y a veces no.

Por lo tanto, contribuye a combatir creencias relacionadas con el razonamiento probabilístico. Por muy alta que sea la probabilidad de ganar, no tienes por qué ganar. Al mismo tiempo, si decides jugar, por lo menos analiza si el juego es justo o no. Ojo con las casas de apuestas.

En el 1x18, “Resolviendo problemas en Shangri-La”, tanto Hacker como los niños protagonistas están prisioneros en Shangri-La y deben utilizar técnicas de resolución de problemas para conseguir su libertad. Es un episodio con mucho énfasis en lo actitudinal.

Su objetivo es transmitir que los problemas pueden tomarse como un reto, como un juego desafiante. Se tendrán más opciones de resolverlo si se sigue un plan de juego y, cuanto más se juegue, tanto mejor resolutor de problemas se será.

En Peg+Gato pasa algo parecido. Al igual que en Cyberchase, cada episodio se centra en un objeto primario y otro secundario y, aunque la resolución de problemas es contenido primario en alguno de ellos, todos los episodios giran en torno a la resolución de algún problema.

Tanto la frase “tenemos un gran problema” como la canción “problema resuelto” llevan camino de convertirse en clásicos. En “El problema del blabberwocky” se incide en la importancia de utilizar dibujos como técnica de resolución de problemas.

Los episodios de Peg+Gato duran la mitad que los de Cyberchase, por lo que la evolución del dominio afectivo con las situaciones que se van resolviendo no puede ser tan explícita como en Cyberchase. Eso sí, siempre se transmite una actitud de perseverancia ante los problemas.

Vamos ahora con dos series “no matemáticas” y sin intencionalidad educativa. Una muy reciente es Hilda, basada en la novela gráfica de Luke Pearson. En “La roca troll” la han liado y los amigos de Hilda le recuerdan situaciones curiosas con la profesora Hallgrim.

Como esta, donde ante un problema que se resuelve multiplicando decimales, Hilda cuestiona el enunciado: ¿Qué más da cuánto cuestan las manzanas? Lo importante es saber por qué un hombre necesita comprar tantas manzanas. ¿No será que está alimentando algún monstruo?

La actitud de Hilda es bastante matemática. No se trata simplemente de identificar los números y hacer la operación. Si son meros ejercicios, esto funciona, pero ante un problema es necesario cuestionarse el enunciado para ganar en comprensión.

Sí, Hilda se va por las ramas, pero la actitud de una buena resolutora de problemas está ahí, intentando leer más allá de los datos.

Las comillas de antes en el término “problema” son porque, dependiendo del curso, alumnado y contexto de enseñanza, el enunciado puede ser simplemente un ejercicio. Esto entroncaría con las creencias de los profesores sobre la enseñanza, que es otra cosa a tener en cuenta.

Cambiamos. En el primer episodio de “El príncipe dragón” hay un diálogo curioso:

CALLUM: Pienso ir contigo.
SOREN: Eres solo un niño, Callum.
CALLUM: ¡Cumpliré los quince en dos meses!
SOREN Uhh, catorce y tres cuartos… ¡hala!
CALLUM: Cinco sextos.

Es un fragmento breve, pero interesante y con humor, pero que contribuye a reforzar esa creencia de que solo eres inteligente si se te dan bien las mates, o viceversa. Esto adopta multitud de formas en el aula, como cuando un estudiante se excusa diciendo que “es de letras”.

¿Moralejas de todo esto? La importancia de lo afectivo. Determinadas creencias pueden provocar emociones de bloqueo o actitudes negativas que impidan avanzar. Si no se presta atención, luego no podemos quejarnos de que no saben resolver problemas.

Una enseñanza muy centrada en lo procedimental no permite desarrollar de forma adecuada lo afectivo. Estos alumnos terminan con una visión muy “estática” de las mates. Dime cómo se hace esto y lo repito. Las matemáticas no funcionan así.

El dominio afectivo es una línea de investigación consolidada en didáctica de las matemáticas. Tanto, que series especializadas y con un tratamiento muy cuidadoso lo tienen en cuenta.

Y ya termino. Prometo, más adelante, hilo sobre los dibujos como recurso. No es que fomente que se vea más tele de la que ya ven los niños, sino de aprovechar que la ven. Y partir del lenguaje y las situaciones que se abordan con personajes, muchas veces, conocidos.

Los capítulos de Cyberchase que he mencionado.

Si te interesa saber más sobre el tema, aquí dejo el enlace al artículo completo en la revista EDMA0-6, que incluye alguna referencia para profundizar.

Otro hilo relacionado.

Errores y sesgos de razonamiento en probabilidad

Mon, 13 Mar 2017 00:00:00 +0000

Es curioso cómo la probabilidad sigue siendo una rama de las matemáticas relegada al último tema del curso. Con suerte, porque si el calendario apremia, es lo primero que se descarta, como si fuera algo sencillo o poco útil. Y resulta que ni lo uno ni lo otro, pero esta forma de tratar a la probabilidad y la estadística desde las instituciones fomenta el asentamiento de una serie de concepciones erróneas. Y dichas concepciones son el origen de no pocas dificultades cuando nuestros estudiantes han de vérselas con situaciones en donde la probabilidad tiene algo que decir. Por ejemplo, en la toma de decisiones en contextos de riesgo o cuando se trata de continuar la formación en algunas disciplinas de conocimiento (matemáticas, ciencias de la salud, ciencias de la educación, ingeniería, etc.).

Vamos a dejar de lado la organización del currículo, para centrarnos en tratar aquí los sesgos y errores de razonamiento más comunes.

Heurística de la representatividad

Cuando alguien evalúa la probabilidad de un suceso exclusivamente a partir de su representatividad en la población de origen, está llevando a cabo un razonamiento heurístico, poco riguroso y que conduce a error. Es decir, no tiene en cuenta que el muestreo de la población presenta una variabilidad, que además depende del tamaño de la muestra. Las personas que razonan de este modo generalizan los resultados de muestras pequeñas al total de la población, o ven relaciones causales donde no tiene por qué haberlas.

###Sesgo de insensibilidad al tamaño de la muestra***

Este sesgo se aprecia en educación secundaria cuando, ante una situación en la que se estima de forma frecuencial una probabilidad (por ejemplo, probabilidad de obtener cara y cara en el lanzamiento simultáneo de dos monedas) no se tiene en cuenta el número de repeticiones del experimento. De hecho, incluso si los alumnos son conocedores del espacio muestral y de las probabilidades de cada suceso elemental, muestran sorpresa si la tasa obtenida no es la esperada (en el ejemplo, aparecerá p=1/4, sí, pero solo podremos asegurarlo con un N lo suficientemente grande).
Esto es debido a que, con los estadísticos habituales, la esperanza del estadístico muestral es la misma, sea cual sea el tamaño de la muestra, mientras que su varianza sí que depende de ello.

Concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias

Dentro de la heurística de la representatividad, nos encontramos con diversas concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias, ya que muchas personas consideran que una muestra, del tamaño que sea, ha de presentar las mismas características que la población de origen. Es común pensar que participaciones de lotería con secuencias de números “ordenadas”, como 11111 o 12345 son más difíciles de resultar premiadas, cuando la realidad es que su probabilidad es la misma que de cualquier otra combinación. Es el mismo sesgo que lleva a un apostador, que lleva una mala racha, a apostar una vez más porque cree que su suerte tiene que cambiar, que ya toca. Esto último se conoce como falacia del jugador.

Sesgo de equiprobabilidad

Es la creencia en que todos los sucesos de un experimento aleatorio presentan la misma probabilidad, sin tener en cuenta que puedan tratarse de sucesos compuestos o exista alguna asimetría, de carácter geométrico u otro, en la asignación de las probabilidades. Este sesgo se pone de manifiesto fácilmente, ante la pregunta de si es más probable obtener dos cincos o un cinco y un seis en el lanzamiento simultáneo de dos dados. Muchas personan optan por afirmar que sí. Es decir, no tienen en cuenta la descomposición del espacio muestral y la correcta asignación de probabilidades. La combinación formada por un cinco y un seis se puede obtener de dos formas distintas, mientras que el doble cinco solo de una.

Enfoque en el resultado aislado

Ante la pregunta explícita por la probabilidad de un suceso, hay personas que interpretan que tienen que predecir si el suceso en cuestión ocurrirá. Más que de un fallo de razonamiento, se trata de una ausencia de razonamiento probabilístico. Así, estas personas calificarán como seguros sucesos cuya probabilidad se acerque a 1. Por otro lado, los sucesos con probabilidad casi nula serán imposibles para ellos. Tienden a clasificar como aleatorios sucesos con probabilidades en torno a 0,5.

Por ejemplo, al interpretar una predicción meteorológica en la que se dan unas probabilidades de lluvia de un 70%, muchos sujetos indican que lloverá el día en cuestión. Si el día en cuestión no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones. Si llueve un 70% de días para los que se pronosticó un 70% de probabilidades de lluvia, pensarán que el meteorólogo es poco fiable.
Los estudiantes con este sesgo muestran verdaderas dificultades para asimilar la noción frecuentista de la probabilidad, pues no comprenden que cada resultado de un experimento aleatorio puede, y debe, estudiarse en el contexto del conjunto de repeticiones

Para saber más

Batanero, C., Chernoff, E. J., Engel, J., Lee, H. S., & Sánchez, E. (2016). Research on Teaching and Learning Probability. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Springer Netherlands.

Konold, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs About Probability. En E. von Glasersfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 139-156). Dordrecht: Kluwer.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive models and problem spaces in «purely random» situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Serrano, L., Batanero, C., & Ortiz de Haro, J. J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22, 43–50.

Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science, 185(4157), 1124-1131.

Créditos de imágenes:
Dice, por Steve Johnson.
Poker! por Viri G.
Portland Rain, por Gsloan

Los 5+1 mandamientos de las ecuaciones

Wed, 15 Apr 2015 00:00:00 +0000

La enseñanza de la resolución de ecuaciones de primer grado y una sola incógnita puede enfocarse de diferentes maneras. Por ejemplo, al principio pueden señalarse las diferencias entre lo que es una igualdad y lo que es una ecuación. Después, en qué consiste solucionar una ecuación. Y, finalmente, puede introducirse la metáfora de la balanza algebraica para justificar cómo proceder para despejar la incógnita.

Ahora bien, una vez superadas la primeras tareas, llega la fase de operacionalización. Es decir, automatizar la resolución de ecuaciones, olvidarnos de la balanza. Se puede plantear como una especie de juego con unas reglas básicas, siempre teniendo en cuenta que se ha llegado a este punto a través de situaciones ricas. El objetivo de dicho juego es dejar la incógnita, la x, sola a uno de los lados. ¿Y cuáles son las reglas? La siguiente colección de memes nos los explica, son los 5+1 mandamientos de la resolución de ecuaciones: