Sistemas numéricos

Un sistema de numeración no es una colección de dibujos exóticos: son tres datos. Si es aditivo, híbrido o posicional; cuál es la base; y qué símbolos usa. Con esos tres datos, la escritura de cualquier número está decidida. Este material está construido justo así —un solo motor y una tabla de datos por sistema—, y por eso el egipcio, el maya y el que se invente un alumno de quinto se manejan exactamente igual.

Por qué en pantalla y no en una ficha fotocopiada

Las tablas de jeroglíficos llevan décadas circulando y funcionan bien para copiar símbolos. Esta versión hace cuatro cosas que una fotocopia no hace:

• Lee lo que se escribe, no lo compara con la respuesta. Si alguien escribe el veinte egipcio con veinte trazos, el material no dice «mal»: dice que vale veinte, pero que no es así como se escribe, y que se puede con menos símbolos. Son dos errores distintos —uno de valor y otro de escritura— y confundirlos es justo lo que impide entender qué añade una regla de escritura a un montón de símbolos que suman.
• Cuando no acierta, dice si se ha pasado o se ha quedado corto, y nunca el número. Eso deja la pregunta abierta y da una pista de verdad. Escribir el número correcto en el mensaje de error convertiría el material en un corrector.
• Inventar un sistema es rellenar la misma tabla. El sistema nuevo aparece en el mismo desplegable que el egipcio, con su paleta, su lectura y su comprobación. No es una actividad artística de «dibuja tus propios números»: es elegir tipo y base y ver qué sale, y darse cuenta de que el egipcio no tiene nada de especial salvo esas dos decisiones.
• Los retos van por series. Con la misma serie salen los mismos números, así que toda la clase puede trabajar exactamente los mismos retos aunque cada cual esté en su ordenador, y comparar respuestas tiene sentido.

Los sistemas que trae

Los símbolos están dibujados dentro del propio archivo, trazo a trazo, y no son texto: así funciona igual en un ordenador de aula que no tenga instalada ninguna fuente de jeroglíficos ni de cuneiforme, que es lo que va a pasar. Los únicos que son texto son los que cualquier ordenador tiene: cifras, letras romanas y caracteres chinos y japoneses.

Cómo se usa

• Arriba se pone el número y abajo se vuelve a escribir en otro sistema. Las dos cajas funcionan igual: se pincha en la paleta para poner un símbolo y en un símbolo ya puesto para quitarlo. En la caja de arriba hay además una casilla para teclear el número directamente, y se escribe solo en el sistema que esté elegido.
• ⇅ Intercambiar pone abajo el sistema de arriba. Es lo que convierte «escribe 1386 en egipcio» en «lee este número egipcio», que es bastante más difícil.
• Comprobar dice si vale lo mismo, y si vale lo mismo pero no está escrito como se escribe. Con Intro también.
• En el babilonio y en el maya hay un botón de otra posición (otro piso, en el maya). Sin él no se sabría dónde acaba una cifra y empieza la siguiente: es la parte del sistema que en un libro se resuelve con un espacio en blanco.
• Retos propone números. La serie decide cuáles; el desplegable de abajo, hasta dónde llegan.
• ✎ Inventar un sistema pide el tipo, la base y los símbolos. Si abajo hay puesto un sistema inventado, el panel se abre para cambiar ese.
• Las dos casillas de la izquierda —cuánto vale y la escritura correcta— vienen apagadas a propósito. Encendidas, el material contesta antes de que nadie pregunte.

Preguntas que funcionan en clase

El mismo número, cuatro veces. Que cada equipo escriba 1386 en egipcio, en romano, en chino y en el nuestro, y anote cuántos símbolos ha necesitado. Salen cuatro números muy distintos. La pregunta buena no es cuál gana, sino: ¿qué está pagando cada sistema para ser más corto? Porque el que menos símbolos escribe no es el que menos símbolos distintos necesita, y ahí está el intercambio que explica los tres tipos de una vez.

El récord egipcio. ¿Cuál es el menor número que se escribe con 25 símbolos en egipcio? Es una pregunta de las de tantear, y tantear aquí es barato porque el material cuenta solo. Cuando salga, la de después: ¿y por qué ese?

Mil cinco. Escríbelo en chino y en japonés y compara. El chino mete un símbolo, 零, que no suma nada: solo dice que hay un hueco. Quitarlo no cambia lo que vale la escritura, y sin embargo hace falta. ¿Qué está haciendo ese símbolo? ¿A qué se parece eso de nuestro sistema?

Un clavo solo. En babilonio, pon un solo clavo y pregunta cuánto vale. Vale uno. Ahora pon un clavo, pulsa otra posición, y ya no hay nada más: vale sesenta. Y en una tablilla de arcilla, con el paso de los siglos, ¿cómo se distinguían? No se distinguían: ese es el problema que el cero resuelve, y por eso el maya, que sí lo tiene, no lo padece.

Los marcianos. En un planeta escriben el diecisiete como «21». ¿Cuántos dedos tienen? Con Otra base se prueba en dos minutos, pero conviene pedir que lo razonen antes de probar.

El mismo número en muchas bases. Pon 100 en Otra base y ve bajando la base de 20 a 2. ¿Qué le pasa a la longitud de la escritura? ¿Y al número de símbolos distintos que hacen falta? Las dos cosas se mueven, pero en sentidos contrarios.

Inventa dos. Haz un sistema aditivo de base 5 y otro híbrido de base 5, con símbolos distintos. Escribe el mismo número en los dos. ¿Cuál es más corto? ¿Cuántos símbolos distintos necesita cada uno? Y la de rematar: ¿cuántos símbolos distintos necesitaría uno posicional de base 5? Ahí se ve por qué el posicional ganó.

El cero, otra vez. Intenta escribir el cero en romano, en egipcio y en babilonio. No se puede. En maya y en el nuestro, sí. ¿Qué tienen en común los dos que pueden?

De dónde sale

Los sistemas, los ejemplos y la clasificación en aditivo, multiplicativo y posicional están tomados del capítulo de sistemas de numeración de Cid, Godino y Batanero, Sistemas numéricos y su didáctica para maestros, que a su vez se apoya en Georges Ifrah, Historia universal de las cifras. Los números 243 688, 79 564 y 174 012 que aparecen en el material como ejemplos son los de ese capítulo.

Este material se lleva bien con Billetes, que trabaja lo mismo por el otro lado: allí se agrupa y se desagrupa para descubrir las cifras, y aquí se les pone nombre y símbolo. El orden que funciona es ese: primero agrupar, después escribir.