Billetes

Un billete no vale un número: vale un orden. El de 100 no es «cien» porque lo ponga escrito, sino porque diez de 10 se cambian por él, y él se cambia por diez de 10. Ese cambio —y solo ese— es toda la regla del sistema de numeración posicional, y es lo único que hace este material.

Por qué en pantalla y no recortados en cartulina

Los billetes de papel funcionan muy bien y no hay ninguna prisa por sustituirlos. Esta versión hace tres cosas que con la cartulina no salen:

• La base se cambia con un selector, y el tablero no se mueve. Los mismos billetes que valían 1, 10, 100 pasan a valer 1, 6, 36 sin que nadie los toque. Con cartulina, trabajar en base seis obliga a recortar otra colección entera, y entonces parece que la base seis es «otro material» en vez de la misma idea con otro número. Aquí se ve que el tablero es el mismo y lo que cambia es cuántos hacen un cambio.
• La última opción del selector de base es b, la base que no se dice: los billetes pasan a rotularse 1, b, b², b³… y dejan de decir cuánto valen. El dibujo de dentro se vuelve coherente con eso y pierde las divisiones —una barra lisa, un cuadrado liso, un cubo liso—, porque la forma sí se sabe pero en cuántos trozos se parte, no. El material se maneja exactamente igual, porque para hacer un cambio hay que contar billetes y no leer lo que ponen. Y entonces lo que hay sobre la mesa se lee como un polinomio: 4b² + 6b + 9. Eso en papel no existe de ninguna manera, y es el puente entre la numeración de primaria y el álgebra de secundaria, recorrido sin cambiar de material.
• Los cambios son exactos y se deshacen. Cuando un cambio se hace mal con billetes de papel, el error se queda y nadie sabe dónde empezó. Aquí, un cambio se lleva exactamente los billetes que dice la base y trae exactamente uno del orden siguiente, y Ctrl+Z vuelve atrás.

Y algo que no es una ventaja técnica sino de aula: los billetes nunca se montan unos encima de otros. Si la casilla está ocupada, el billete se va al hueco libre más cercano. Un montón de billetes de papel apilados no se puede contar desde la última fila; aquí siempre se ven todos.

Cómo se usa

• Arrastra billetes de la columna izquierda al tablero. En la casilla de cantidad se escribe un número —siempre en base diez, porque es cuánto vale— y salen los billetes justos para esa cantidad en la base que esté puesta.
• ✥ Mover arrastra billetes; arrastrando el fondo se mueve la vista. ▭ Marcar hace un recuadro por el fondo que marca todos los que toca. Con Mayúsculas o Ctrl y un clic se marca y desmarca de uno en uno, y ▭ Los de este orden marca de golpe todos los iguales al marcado. Los billetes marcados se mueven todos juntos.
• ⇧ Agrupar (tecla G) se lleva los billetes marcados y trae uno del orden siguiente. Hacen falta exactamente los que diga la base y todos del mismo billete.
• ⇩ Desagrupar (tecla D, o doble clic encima) hace el cambio del revés. Un billete de 1 no se puede desagrupar.
• Base decide cuántos hacen un cambio, y su última opción es b, que rotula los billetes 1, b, b², b³… sin decir cuánto valen. Órdenes es cuántos billetes distintos hay en la caja.
• Carriles pone de fondo una franja por orden, como una tabla de valor posicional. Puesto en «y cada billete al suyo», cada billete cae siempre en el carril que le toca y solo se puede elegir la fila. Ese es el modo para montar algoritmos: una fila por sumando.
• Puntos y placas dibuja dentro de cada billete los del orden anterior: un punto, una barra de b puntos, una placa de b×b y un bloque de b×b×b. Con bases grandes deja de dibujarse, porque una placa que no se puede contar no dice nada. Y con la base b se dibujan la barra, la placa y el bloque lisos, sin divisiones: la forma se sabe, pero en cuántos trozos se parte es justo lo que la base b no dice.

En Comprobaciones hay una casilla que escribe cuánto hay en el tablero y un botón ⇮ Al mínimo que hace todos los cambios de golpe. Vienen apagados, y conviene dejarlos así mientras esa cuenta sea justo lo que se está preguntando: encendidos, el material contesta antes de que nadie pregunte.

Los algoritmos, que es para lo que se hizo

Este material es el que hay detrás de dos hilos sobre por qué los algoritmos tradicionales son como son: la suma y la resta y la multiplicación y la división. Con los carriles imantados, cada algoritmo se monta así:

Sumar 356 + 878. Saca 356 y luego 878; caen en filas distintas. Junta los billetes del mismo carril y cuenta lo que hay en cada uno. Donde haya diez o más, marca diez y agrupa. La llevada del algoritmo escrito es ese cambio, y el orden en que se hacen los cambios es libre: se puede empezar por las unidades o por las centenas, y salen dos algoritmos distintos que dan lo mismo.

Restar 425 − 178. Hay dos caminos, y los dos se ven. En el del desagrupamiento, solo se toca el minuendo: para quitar 8 unidades de 5, se desagrupa una decena y quedan 15. En el de la compensación —el que se enseña en España—, se añaden diez unidades arriba y una decena abajo; el material enseña por qué eso vale, porque los dos números crecen lo mismo.

Multiplicar por una cifra. Saca el multiplicando con el mínimo de billetes y duplícalo o triplícalo carril a carril. Cuando un carril pasa de la base, se cambia. Por dos cifras, la segunda fila se desplaza un carril a la izquierda, y ahí se ve que eso es multiplicar por diez.

Dividir. Se empieza por los billetes de mayor valor y se reparte entre los que sean. Lo que sobra en un carril se desagrupa y se junta con el siguiente. Llevar la cuenta de qué se está repartiendo en cada momento es lo que evita comerse el cero del cociente.

Preguntas que funcionan en clase

¿De cuántas maneras se puede poner 24? Con billetes de base diez, y sin límite de cuántos se usan. Que cada equipo busque una distinta y luego se pongan todas en común. Después, la pregunta buena: de todas las que han salido, ¿cuál es la que usa menos billetes? ¿Hay más de una que use el mínimo? Y con eso ya se puede decir qué es lo que escribimos cuando escribimos «24».

El cero. Saca 305 con los carriles a la vista. Un carril se queda vacío. ¿Por qué hay que escribir un cero ahí, si no hay ningún billete? ¿Qué pasaría si no se escribiera? Es la pregunta más rentable de todo el material, porque el cero deja de ser «nada» y pasa a ser lo que dice que un carril está vacío.

El mismo tablero en dos bases. Pon unos cuantos billetes, apunta cuánto vale en base diez, y cambia la base a seis sin tocar el tablero. ¿Ha cambiado el número de billetes? ¿Ha cambiado lo que vale? ¿Por qué? Y ahora, ¿está puesto con el menor número de billetes posible? Casi seguro que no, y ahí hay trabajo.

Cien. Saca 100 en base diez: un billete. Desagrúpalo todo hasta dejar cien unidades, cambia la base a seis y vuelve a agrupar. ¿Cuántos billetes quedan? La cantidad no se ha movido en ningún momento; lo único que ha cambiado es cómo se agrupa.

¿Cuál es el número que necesita más billetes? Fija cuatro órdenes en base diez y busca la cantidad que, puesta con el mínimo de billetes, necesita más. Luego repítelo en base seis. Y luego, si se anima el grupo: ¿se puede decir la respuesta sin probar, sabiendo la base y el número de órdenes?

En la base b. Pon la base en b y monta dos filas. Junta los carriles y lee lo que hay: 4b² + 6b + 9. Ahora agrupa donde se pueda y vuelve a leer. Sale otro polinomio que vale lo mismo. Esto es reducir términos y llevar, y es la misma operación. La pregunta que lo remata: si los billetes ya no dicen cuánto valen, ¿cómo sabes cuántos hacen falta para un cambio? No hay más remedio que contar uno del orden siguiente en trocitos, y eso es exactamente lo que significa la base.

De dónde sale

El material clásico de billetes se usa en aula desde hace décadas; lo más parecido con nombre propio son los bloques multibase de Zoltan Dienes, que son justamente el punto, la barra, la placa y el bloque que van dibujados dentro de cada billete. Dienes insistió en trabajar varias bases precisamente para que la estructura del sistema no se confundiera con el número diez, que es lo que el selector de base de aquí intenta poner a mano.