¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

¿Por qué (-8) es menor que (-2)?

• (Docente) Fácil, dibuja una recta numérica y lo verás.

• (Estudiante) A ver si me aclaro. Yo dibujo la recta, marco el cero y luego escribo los números a la derecha, que van aumentando, cada vez son mayores. Luego me pongo a escribir los números de la izquierda, que también irán aumentando, ¿no? 😖

• (Docente) A lo mejor es porque te lo he puesto en horizontal. Vamos a verlo con un termómetro. Las temperaturas aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo, ¿no?

• (Estudiante) Sí, pero a -8 ºC tienes más sensación de frío que a -2ºC. De toda la vida, digo yo… 😖

• (Docente) ¿Y si pensamos en un garaje subterráneo?

• (Estudiante) Cada vez estás a mayor profundidad, ¿no será que el -8 es mayor que el -2? 😖

• (Docente) Espera, que lo podemos hacer con estas fichas azules y rojas. Puedes pensar que son cargas eléctricas. Si tienes 5 rojas y 7 azules, 5 de ellas se neutralizan y te quedan 2 azules, que son negativas. ¿No es mejor tener menos de estas azules?

• (Estudiante) 😖

Nota: nos vamos a encontrar obstáculos de este tipo intentando argumentar así con cualquier modelo concreto. Otro ejemplo que me compartía esta mañana @charotaber es esta balanza numérica

Para esto que pretendemos aquí, esa balanza también es un obstáculo. Si puedo compensar el +2 y el +6 con el -8, es que este es mayor, “pesa” más (ya sé que aquí la cosa va de momentos, pero los alumnos en este nivel argumentan legítimamente en estos términos).

¿QUÉ HACEMOS ENTONCES? 😱

Oye, Pablo, que no es para tanto, se enseñan las reglas de los signos y ya lo entenderán más adelante. Bueno, es una opción, pero este “pequeño” gesto se orienta hacia cierta visión de las mates, que a lo mejor no es la que queremos transmitir.

Por ejemplo, cuando en primaria se enseña a dividir con decimales y se habla de bajar ceros, es posible que se piense que:

a) Ya lo entenderán. b) No hace falta que lo entiendan.

Pues con esto lo mismo.

Venga, ¿qué hacemos? Y ojo, que vienen curvas.

• (Docente) Deja que piense… Antes hemos aprendido a calcular diferencias de expresiones algebraicas, ¿verdad? Vamos a ver qué tal con esta situación que te voy a plantear. En la primera semana de curso, Alberto consigue ahorrar cuatro euros, mientras que en la segunda semana no recuerda si consiguió ahorrar o no. Por otro lado, María gastó dos euros en la primera semana y tampoco recuerda qué ocurrió en la segunda.
• (Docente) ¿Cuál es la diferencia entre lo ahorrado por uno y por otra en la primera semana?
• (Estudiante) Hay una diferencia de 6 euros a favor de Alberto… ¿4 - -2?
• (Docente) Usaremos paréntesis para no escribir esos dos signos seguidos. Además, así dejamos claro que ese (-2) modeliza la pérdida de euros.
• (Estudiante) Vale, entonces 4-(-2)=6. Puedo decir que restar un número que resta equivale a sumar ese número.
• (Docente) ¿Y teniendo en cuenta lo que ocurre también en la segunda semana?
• (Estudiante) Como no sabemos lo que ocurre, la diferencia será 6+a-m, siendo a lo que ahorra o gasta Alberto y m lo que ahorra o gasta María.
• (Docente) Analicemos qué puede ocurrir en la SEGUNDA semana, donde la diferencia es a-m.
• (Estudiante) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María ahorra 4,la diferencia es de 2 euros a favor de Alberto. a-m = 6 - (+4) = 2
• (Docente) Si Alberto ahorra 6 en una semana y María gasta 4.
• (Estudiante) a-m = 6 - (-4) = 10. La diferencia es de 10 euros a favor de Alberto.
• (Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María ahorra 4.
• (Estudiante) a-m = -6 - (+4) = -10. La diferencia es de 10 euros a favor de María. Y por cierto, entonces restar un número que suma es lo mismo que restarlo, ¿no?
• (Docente) Si Alberto gasta 6 en una semana y María gasta 4.
• (Estudiante) a-m = -6 - (-4) = -2. La diferencia es de 2 euros a favor de María.
• (Docente) Y volviendo a la pregunta que motivaba todo esto… La diferencia nos sale positiva cuando es mayor el primer término, ¿no?
• (Estudiante) Sí. Por ejemplo, 8-5= 3. El 8 es mayor que el 5.
• (Docente) Y cuando la diferencia sale negativa es porque es mayor el segundo término, ¿no?
• (Estudiante) Sí. Por ejemplo, 5-8 = -3. El 8 es mayor que el 5.
• (Docente) Vamos a hacer la diferencia de esos números. (-8) - (-2) = -6
• (Estudiante) Mmm, ¡sale negativa! ¡Eso quiere decir que el (-2) es mayor que el (-8)!

Disclaimer. Esto forma parte de una secuencia didáctica mucho más amplia en la que, poco a poco, se van construyendo los números enteros en un entorno algebraico.

La secuencia ideal no es tan dialógica (ni breve) como la que he dramatizado en estos tuits, sino que hay momentos en que los alumnos se enfrentan a estas y otras situaciones y después se comentan sus soluciones y argumentos.

Si quieres saber más sobre los obstáculos de los modelos concretos para la enseñanza de los negativos (es un tema apasionante de la didáctica), aquí enlazo el artículo de Eva Cid. http://quadernsdigitals.net/datos/hemeroteca/r_40/nr_460/a_6233/6233.pdf

Y la secuencia de la que hablo está basada en la que describe Cid en su tesis, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015.

Veo comentarios que surgen, obviamente, de un conocimiento matemático avanzado, como lo de extender ciertas propiedades de los naturales. Quizás no he remarcado, culpa mía, que se trata de introducir los enteros, pensemos en estudiantes de 1º o 2º de ESO (12-13 años aprox.)

La idea de la secuencia, entre otras, es evitar presentar a los enteros como un monumento. Y mientras se introducen, fíjate, hacemos matemáticas, en una etapa obligatoria.

Si este hilo os ha sabido a poco, intenté capturar la esencia de la propuesta de la tesis de Cid en este post, aunque la fuente original siempre será mucho mejor.