Los tres actos de los enteros

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Los tres actos de los enteros.

1️⃣ Presentación de personajes y puesta en escena. ¿Qué modelos concretos hay?

2️⃣ El nudo. Inconvenientes.

3️⃣ Desenlace. Una propuesta.

Introducción

Vamos con una de película, porque hoy toca ver números enteros.

  • Hola alumnos: $(+1)+(-3)+(-4)-(-5)=¿?$
  • No os preocupéis que esto se ve muy bien con ascensores, termómetros, pócimas, fichas, …

¿Y si os dijera que los modelos concretos, aquí, patinan?

«Actualmente, parece haber un consenso general en que la introducción de los números negativos en el aula debe basarse en modelos concretos: deudas y haberes, temperaturas, movimiento en dos sentidos, etc. Se supone que estos modelos, al ser familiares al alumno y poseer un grado de abstracción adecuado a su edad, le ayudarán a dar sentido a los números negativos y a justificar sus reglas de cálculo. Tanto los libros de texto como la mayor parte de las propuestas de los investigadores en el tema van en esa línea, diferenciándose únicamente en la elección del modelo. A continuación, ponemos en duda la pertinencia de una introducción de los números negativos por medio de modelos concretos, analizando los efectos no deseados que produce.»

Demoledor, ¿verdad? Pues bien, el párrafo anterior está copiado literalmente del resumen de una ponencia de Eva Cid en las JAEM de 2001.

Lo que voy a hacer aquí es desgranar algunos resultados de su investigación, en tres actos.

  1. ¿Qué modelos concretos existen?
  2. Inconvenientes de los modelos concretos.
  3. Líneas generales de una propuesta que los evita.

Como esto es muy largo, serán tres hilos. Previsiblemente, hoy por la mañana, este, que no es más que la presentación de los personajes. Por la tarde, el segundo acto, el nudo. Y ya mañana, el desenlace.

Tengo la inmensa suerte de conocer a Eva Cid y haber hablado con ella sobre lo que he observado al llevar su propuesta con mi alumnado. Al final, para las mentes más inquietas, dejaré las referencias. Solo espero, por lo menos, motivar, al menos, la reflexión de los lectores.

Primer acto - LOS MODELOS CONCRETOS: presentación de los personajes

Hay dos tipos de modelos concretos: los de neutralización y los de desplazamiento.

Modelos de neutralización

El modelo de neutralización se basa en la manipulación de fichas de dos colores (rojas y azules) y se supone que cada ficha de un color neutraliza a una ficha del otro color. ¿Os suena?

Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc. Veamos cómo se interpretan las operaciones aritméticas.

La suma es sencilla. Es una agregación de fichas seguida del correspondiente proceso de neutralización para obtener la representación canónica formal del resultado. $+2+(-3)$ implica hacer dos parejas de fichas. Al final, me queda una del color que representa los negativos.

La resta se relaciona con la acción de quitar o separar fichas. Si hay quitar más fichas de un color que las que hay, se añaden pares de fichas azules y rojas convenientemente. Reflexión: quitar fichas de un color equivale a añadir el mismo número de fichas del otro color.

Antes de ir con la operación estrella, veamos qué pasa con el orden. Resulta que para justificar la ordenación aquí hay que jugar con juicios morales, como que lo positivo es mejor que lo negativo. Es mejor tener fichas rojas que azules, o haberes que deudas.

Porque… ¿quién prefiere que le pongan puntos negativos pudiendo recibir positivos? Vamos a ver, quién.

Inciso. En los ejemplos usaremos el convenio de que las fichas rojas son las positivas y las azules, las negativas. Que es el que se suele emplear para representar cargas eléctricas.

Una manera de justificar el producto de enteros desde la neutralización es diciendo que $(–a)(–b)$ significa que a una situación cero hay quitarle a veces $b$ fichas azules.

Esto lo conseguimos introduciendo $ab$ parejas de fichas rojas y azules, lo que permite quitar b fichas azules un número a de veces y quedan ab fichas rojas. Es decir, $(–a)(–b)=+ab$. Y de forma similar para los casos: $(+a)(+b)$, $(–a)(+b)$ y $(+a)(–b)$.

Otra forma de justificar el producto a partir de la neutralización es mediante la noción de ganancia (aumento de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) o pérdida (disminución de la cantidad de magnitud en el sentido positivo) por unidad de tiempo.

De esa manera, uno de los términos del producto indica la ganancia o pérdida por unidad de tiempo y el otro el número de unidades de tiempo pasado o futuro a considerar, mientras que el resultado es la pérdida o ganancia total.

Modelos de desplazamiento

Vamos con los modelos de desplazamiento. Aquí se utiliza un camino dividido en casillas, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, añadiendo el signo $+$ o $-$ según sea el sentido del recorrido.

Ejemplo de modelos de desplazamiento: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Un desplazamiento de $+a$ casillas aplicado a una ficha, significa que esta se desplaza a casillas en el sentido positivo de recorrido. Y si es $-a$ casillas, en sentido contrario (negativo). Así, los números enteros pueden indicar tanto posiciones como desplazamientos.

Para cada desplazamiento existe un desplazamiento opuesto. Es decir, un desplazamiento que devuelve la ficha a su posición original.

La suma de enteros se justifica como:

  • Un desplazamiento aplicado a una posición para obtener otra posición.
  • Una composición de desplazamientos que da como resultado otro desplazamiento.
  • O como una composición de desplazamientos que se aplica a una ficha situada en la casilla cero y da como resultado la nueva posición.

La resta de enteros se interpreta como la operación inversa de cualquiera de las anteriores.

El orden se justifica interpretando los números enteros en términos de posiciones. Un entero es menor que otro si, utilizando el sentido de recorrido definido como positivo, la posición que representa al primer número es anterior a la correspondiente al segundo número.

En algunos modelos de desplazamiento, como el del termómetro, el sentido positivo no se define solo por convenio (algo habitual en estos modelos), sino que vuelve a responder a un juicio de valor. Es mejor estar a 3 grados sobre cero que estar a 10 grados bajo cero.

El producto se interpreta como composición repetida de desplazamientos para obtener un desplazamiento resultante al que se le cambia o no el sentido según que el entero que indica la repetición sea negativo o positivo.

Es decir, $(-2)(+3)$ es un desplazamiento de 6 posiciones, pero en sentido negativo (como 3 es en sentido positivo, hay que cambiarle el sentido). También puede interpretarse que el desplazamiento resultante se aplica a una ficha situada en la posición cero.

Así, el producto representa la nueva posición de la ficha. A veces, se considera que el producto $(\pm a)(\pm b)$ indica la posición resultante de transformar una posición inicial $\pm a$.

El valor numérico de la nueva posición pasa a ser $ab$ y, dependiendo de que el signo que acompañe a $b$ sea positivo o negativo, estará situada en la misma semirrecta que $\pm a$ o en la semirrecta opuesta.

Otros autores incorporan a los modelos de desplazamiento la noción de velocidad positiva o negativa y tiempo pasado y futuro y entonces los términos del producto indican desplazamientos y tiempos y el resultado es una posición.

En ocasiones, cuando el modelo de desplazamiento es el de la recta real, se justifica el producto de enteros utilizando dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera.

También hay quien interpreta el producto $ab$, con $a$ y $b$ enteros, como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas $(a,b)$, $(a,0$, $(0,b$ y $(0,0)$ acompañada del signo $+$ o $–$ según el cuadrante en que esté situado.

Segundo acto: INCONVENIENTES DE LOS MODELOS CONCRETOS PARA LOS ENTEROS

Y ahora se pone interesante, llegamos al nudo de esta historia en tres actos.

Estructura aditiva

Del primer acto, se desprende que parece que los modelos concretos permiten justificar bien la estructura aditiva de los enteros (sumas y restas).

Pero no nos llevemos a engaño. Solo parece, porque realmente es el conocimiento que tenemos los profesores sobre los enteros lo que permite elegir argumentos para justificar las reglas de operación.

No resultan tan eficaces como medio de reconstrucción de dicha estructura en caso de olvido. Es muy fácil seguir una argumentación correcta dentro del modelo que lleve a cometer errores si no se conoce el comportamiento de los enteros. Veamos.

  • Alumno: $(+70)-(-10)=+70$ porque si tengo 70€ y me perdonan una deuda de 10 € sigo teniendo 70 €.
  • Profe: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10€. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego $(+70)-(-10)=+80$.

No se puede negar que el argumento del alumno es perfectamente válido desde el sentido común, que es a lo que intenta apelar el uso de modelos concretos. Pasa algo parecido con la versión termómetro

  • Alumno: $(-6)-(-2)=+4$, porque entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 de diferencia y $4$ es lo mismo que $+4$.
  • Profe: No, necesito disminuir en 4 grados una temperatura de 2 bajo cero para obtener una temperatura de 6 grados bajo cero, luego $(-6)-(-2)=-4$.

Lo que está pasando en ese momento por la cabeza del alumno. Con razón.

Orden

Con el orden de los enteros se complica mucho más. Ya hemos dicho que estos modelos obligan a efectuar juicios morales. ¿Qué alumno va a aceptar que tener 5 fichas azules es peor (o menos) que tener 2 fichas azules?

¿O que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 5 casillas es peor (o menos) que efectuar un desplazamiento hacia la izquierda de 2 casillas?

La mayor parte de los modelos no permite hacer creíble esa valoración adicional que califica las situaciones de “mejores” o “peores”. Algunos, como las deudas y haberes o el termómetro, sí que admiten este tipo de argumentos.

Por ejemplo, $-10<-5$ porque deber 10 € es peor que deber 5 € o porque 5 grados bajo cero es una temperatura más alta que 10 grados bajo cero. Pero incluso en estos casos, se encuentran argumentos igualmente válidos que justifican lo contrario.

Porque podemos decir que una deuda de 10 € es mayor que una de 5 € o que el que debe 10 € debe más que el que debe 5 €, concluyendo que $-10>-5$.

O, en versión termómetro, que 10 grados bajo cero es una temperatura más baja que 5 grados bajo cero y, por lo tanto, mayor, en el sentido de que supone un aumento del frío.

En los de desplazamiento se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo.

En el caso de la recta numérica se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que $-8<-5$ porque $-8$ está a la izquierda de $-5$.

Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

  1. Representar el origen.
  2. Hacia la derecha, van representando los puntos $+1$, $+2$, $+3$, etc.
  3. Después, dibujan los puntos $-1$, $-2$, $-3$, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, $-5$ se dibuja antes que $-8$, lo que sugiere que $-5<-8$.

O sea, que los modelos concretos justifican mal la estructura ordinal de los números enteros (desde luego, mucho peor todavía que la suma o la resta) y fomentan la aceptación de un orden de izquierda a derecha para los enteros positivos y al revés para los negativos.

El producto de enteros

Y llegamos a la operación estrella, el producto de enteros.

Casi todos los investigadores coinciden en que las justificaciones del producto basadas en modelos concretos son tan artificiosas y tan alejadas de la experiencia de los niños, tan poco creíbles, como el hecho mismo de afirmar, sin más explicaciones, que “menos por menos es más”.

En el modelo de neutralización hay que ver $(-3)(-2)$ como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que $(-3)(-2)=+6$.

Esto significa que $-3$ ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término $-2$ (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser “quitado” de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número $3$ es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número $2$ es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado $+6$ con la frase “añadir 6 fichas rojas” obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

Con los modelos de desplazamiento para lo mismo. En el producto $(-3)(-2)$ el $-3$ no puede interpretarse como un desplazamiento o una posición, sino que ha de entenderse como un multiplicador que reitera un multiplicando (el desplazamiento o la posición $-2$), cambiando su sentido.

La confusión entre signos operativos y predicativos se produce tanto en los modelos de neutralización como en los de desplazamiento.

Por último, la posibilidad de justificar el producto de números enteros introduciendo una noción de ganancia o pérdida por unidad de tiempo o de velocidad resulta tan artificiosa como las anteriores.

Sintetizando este segundo acto, existen indicios suficientes para afirmar que los modelos concretos que se utilizan en la enseñanza de los números enteros no cumplen satisfactoriamente la doble función de justificación y reconstrucción de la noción en caso de olvido.

Para profundizar sobre este primer y segundo acto, el artículo de referencia es Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos, de Eva Cid (2001). De hecho, este hilo no deja de ser una especie de versión tuitera.

A continuación, el tercer acto, o desenlace. Donde comento la propuesta de Eva Cid, que evita estos obstáculos y que he llevado al aula con muy pocas variaciones. Aviso, vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas.

Tercer acto. El desenlace: UNA PROPUESTA

Venimos de describir los modelos concretos para los enteros y sus inconvenientes. Entonces, ¿qué?

A continuación, voy a intentar reflejar la esencia de la propuesta de Eva Cid. Por lo menos, ilustrar en qué consiste para que, si alguien quiere, se dedique a profundizar en las referencias que voy poniendo.

Su propuesta se basa principalmente en un análisis sistemático de la génesis histórica y en una investigación de aula. No es una propuesta del tipo “hago esto y me funciona bien”. No. Tampoco es algo que se piense ni se escriba en un fin de semana.

Vuelve a ser una secuencia a través de la resolución de problemas. Ya siento dar la turra con este tema, pero es lo que toca. Este enfoque no es nada nuevo. Eva, entre otros, lo tenía claro en 1986. Para mí, es la clave.

Un aviso: se invierte el recorrido escolar habitual en cuanto a notaciones. Así, la notación completa va al final, en lo que ya sería 2º ESO. Empezar enfatizándola, con expresiones del tipo $(-200)+(300)+(-100)+(-100)$ tiene su origen en un excesivo (e innecesario) formalismo.

Empezar con la notación completa y con las instrucciones que promueven suprimir el signo + predicativo, en lugar del signo + operativo binario, dificulta las prácticas habituales de cálculo. ¿Quién no ha oído lo de quitar signos y agrupar positivos y negativos por separado?

Todo esto es herencia de las denominadas matemáticas modernas. Ya no vemos teoría de conjuntos en primaria y ESO, como en EGB, pero la aritmética se algebrizó para siempre, centrando la atención en el estudio de estructuras. Por eso se ven los enteros en el bloque de aritmética.

Algo que también hay que tener presente es que la aritmética elemental no necesita de los números negativos. No hacen falta para modelizar aritméticamente sistemas en los que intervienen deudas y haberes, temperaturas, etc.

Entonces, ¿por qué se inventaron?, ¿qué es lo que obligó a los matemáticos a ampliar el campo de los números positivos? La respuesta, sintetizando, está en el álgebra. Por eso se trata de presentar los enteros en un entorno algebraico.

La secuencia está estructurada en cuatro etapas, cada una con un objetivo (razón de ser). Las tres primeras están pensadas para 1º ESO, y la última para 2º ESO. No deja de ser algo orientativo y, por ejemplo, la tercera etapa podría situarse a caballo entre ambos cursos.

Etapa 1

Aquí se trata de trabajar prácticas de cálculo económicas y justificar el quehacer algebraico, en paralelo. Se comienza aprendiendo cómo construir expresiones algebraicas, con problemas aritméticos en los que la solución ya no es un número, sino una expresión algebraica.

Parece una tontería, pero lo anterior es una de las claves de la propuesta. Los literales representan variables desde el principio, no incógnitas. Veamos el primero de estos problemas…

Laura se llevó sus cromos al colegio para jugar varias partidas. En la primera perdió 9 cromos y en la segunda ganó 7 cromos. ¿Cuántos cromos le quedaron después de jugar?

Las respuestas de los alumnos son variadas y dan pie a discusiones de aula muy ricas.

  • 2 cromos.
  • No se sabe.
  • 2 menos que al empezar.

Se siguen planteando situaciones-problema donde la solución es una expresión algebraica.

Y algo de problem posing (inventar problemas) que, por cierto, es algo sobre lo que ya hemos hablado alguna vez y que tiene un potencial enorme.

La primera etapa sigue aprendiendo cómo simplificar expresiones algebraicas. Se plantean situaciones como las siguientes:

Otro ejemplo. A la hora de simplificar esta expresión:

$45 - f + g - 10 + 500 + f - 500 + 19 + 27 - 19$

Nada de ir en orden. Hay que inspeccionarla entera, y ver si se está sumando y restando el mismo número o cantidad.

Etapa 2

El objetivo ahora es pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia y del significado operativo generalizado de los signos + y - al significado operativo unario.

En otras palabras, va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos. Se comienza con situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Veamos cómo es el primer problema, cuya estructura semántica está pensada a propósito…

Javier tiene cierto número de cromos, Carmen tiene cinco más que Javier y Carlos el doble que Javier. Si Javier y Carmen juntan sus cromos, ¿tendrán entre los dos más o menos cromos que Carlos? ¿Quién tiene más cromos, Javier, Carmen o Carlos? ¿Y quién tiene menos?

Que puede resolverle teniendo en cuenta el trabajo realizado en la etapa anterior. Javier tiene $a$ cromos. Por lo tanto, Carmen tiene $a+5$ y Carlos $2a$. Entre Javier y Carmen tienen $2a+5$, que son 5 cromos más que los que tiene Carlos.

Tras unos problemas profundizando en esto, se plantean tareas como estas.

La etapa termina aprendiendo a encontrar la diferencia entre expresiones algebraicas. Las primeras tareas en este sentido se apoyan en un trabajo sobre cálculo mental que suele ser inexistente y que habría que reforzar.

Digo que habrá que reforzar si vemos a principio de curso que hay dificultades con, por ejemplo, para hacer 567+99, donde lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para hacer 67-29, que se puede hacer restando 30 y sumando 1.

Si se ha trabajado bien lo anterior, el siguiente ejercicio se puede realizar leyendo las expresiones.

Y eso da paso a una de las tareas clave donde, observemos, que no se ha hablado de deshacer nada. Solo de leer expresiones y analizarlas. Eso es lo que permite decir que restar $(a-b)$ es lo mismo que restar $a$ y sumar $b$. Ahí tienes la regla de los signos.

Y es algo que se formaliza de la siguiente manera:

Más tareas que obligan a reflexionar qué hacer con los paréntesis.

Etapa 3

El objetivo es introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos. Comienza con situaciones para aprender a multiplicar expresiones algebraicas.

El trabajo de los alumnos consiste en trabajo por parejas o pequeños grupos… y puestas en común.

Etapa 4

Ya en 2º ESO, tras un recordatorio de lo realizado, es donde se aceptan los sumandos y sustraendos como nuevos números que amplían los conjuntos numéricos ya conocidos. Se recuperan situaciones ya vistas…

Se reinterpreta la estructura aditivo-multiplicativa de sumandos y sustraendos en términos de estructura numérica.

También se establece la estructura ordinal y se retoma la consideración de los signos $+$ y $-$ como símbolos operativos binarios entre números.

Se introduce la notación completa.

A todo esto, ¿qué es un número? También se atiende a esto y se revisan las propiedades que caracterizan la condición de número, con actividades de este tipo.

Nótese que solo he puesto alguna actividad ilustrativa. Como se ha podido ver, espero, una de las claves está en empezar a trabajar los literales como variables, en lugar de como incógnitas. Y en cambiar el orden habitual de la secuencia.

¿Está “mal” entonces usar modelos concretos con los enteros? Depende de muchos factores. Por eso, la respuesta a la pregunta de si la didáctica debe tener un carácter prescriptivo, dictar normas, es tan compleja. Sí y no. Up to you.

En mi opinión, lo que sí que está mal es, si elegimos un modelo, no reflexionar sobre los obstáculos que genera. Porque las dificultades de los alumnos pueden tener que ver tanto con la naturaleza del objeto a enseñar como con nuestras elecciones como profesores.

También es éticamente cuestionable no tener en cuenta los conocimientos de partida de los alumnos y plantear nuestras clases como un proceso de negociación de significados. Pero ese es otro melón, más complejo si cabe.

Por cierto, ya que estamos de confinamiento. Este tipo de propuestas no pueden hacerse a distancia. A nosotros nos ha pillado justo cuando íbamos a empezar en 1º ESO con esto. Hemos decidido tirar por geometría a partir de lo que ya conocen o deberían conocer.

El curso que viene la idea es centrarnos más en el trabajo algebraico. Para allanar el camino, continuamos trabajando estrategias de cálculo mental orientadas a la secuencia de enteros, con cuestionario como este. ¿Te animas a hacerlo?

Formulario

Estos son los resultados que hemos obtenido en nuestro 1º ESO para el cuestionario anterior. ¿Sorprende ver cuáles son las preguntas que más han fallado?

La tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, del año 2015, está disponible en este enlace. En los anexos va la propuesta de aula completa (aquí solo he puesto retazos).

Y hasta aquí. Si has seguido los tres actos, mi gratitud. Y mi más sincera enhorabuena, porque creo que han sido densos. Te dejo en spoiler que tengo un entreacto, pero ya para la semana que viene.

¡Feliz clase!

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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