Manteles y servilletas

En una secuencia didáctica este material va después de Tiras de papel: la misma idea —la fracción como resultado de medir— pero cambiando la magnitud. Ahora la unidad es el área de una servilleta (que casualmente, solo casualmente, es cuadrada) y lo que hay que medir son manteles rectangulares. Ese cambio, que parece solo un cambio de escenario, trae consigo una dificultad nueva que no existía con las longitudes. Y medir deja de ser concatenar: con áreas, es cubrir.

Lo que cambia al medir áreas

Con una tira, «un cuarto de unidad» solo podía ser una cosa. Con una servilleta, no: un cuarto puede ser una tira vertical, una tira horizontal o un cuadradito, y los tres tienen exactamente la misma área. Pero no sirven igual. Unos embaldosan el mantel y otros se salen por un lado, aunque midan lo mismo.

Por eso aquí la servilleta no se dobla «en cuatro partes», sino en columnas y en filas por separado. Elegir cuántos trozos no basta: hay que elegir también de qué forma. Y averiguar qué forma sirve para cada mantel es precisamente la actividad.

Esto pone sobre la mesa, de manera muy física, una distinción que después cuesta mucho: que la misma cantidad de área admite formas distintas, y que dos cosas de la misma área no tienen por qué encajar una en el hueco de la otra.

Cómo se usa

• Arrastra servilletas (unidades) desde la izquierda, tantas como necesites. Todas son iguales.
• Con una servilleta seleccionada, los botones + y − de Columnas y de Filas la doblan en cada dirección por separado, hasta 8 en cada una. desdoblar quita todos los dobleces.
• Pide un mantel, al azar en tres niveles o escribiendo tú las medidas de los lados: 3/2 x 5/4. Si prefieres dar el área y que él busque un rectángulo que la tenga, escribe solo 15/8. En pantalla no aparece por ningún lado cuánto mide.
• Coloca servilletas sobre el mantel. Con ◑ Transparencia se vuelven translúcidas y se ve el mantel por debajo, que es como se cuenta. El imán engancha por los bordes y por las marcas de los dobleces.
• Al pinchar, seleccionar tiene dos modos, los mismos de Tiras de papel. Con Pieza (tecla 1) se elige la pieza entera. Con Subunidad (tecla 2) se elige solo el trozo en el que se pincha de una servilleta doblada. En los dos, arrastrando se mueve la pieza entera.
• ⧉ Duplicar (tecla D) saca una copia de la pieza seleccionada, con sus dobleces. Si lo seleccionado es una subunidad, saca una copia suelta de ese trozo, con su misma forma, que aparece justo debajo de la servilleta.
• ✂ Cortar (tecla C) separa la subunidad seleccionada: cae debajo de la servilleta y lo demás se queda en su sitio, en los rectángulos que queden. Con la servilleta entera seleccionada, la corta por todas sus marcas. Los trozos son del color de la servilleta, conservan sus marcas, enganchan con el imán y ya no se doblan más. El mantel no se corta.
• Quitar (tecla Supr) quita la pieza seleccionada.
• Con el mantel seleccionado, escribe el área como una fracción de la unidad (u): a la izquierda los trozos que lo cubren, a la derecha en cuántos trozos has partido la servilleta. Se admite cualquier fracción equivalente; si la que se escribe se puede simplificar, dice cuál es la irreducible y propone volver a medir el mantel con esa subunidad. Si no es, dice solo si te has quedado corto o te has pasado.

La casilla Etiquetas escribe dentro de cada trozo cuánto mide, en unidades (u), y recuerda en el menú en cuántos trozos ha quedado la servilleta. Conviene tenerla apagada al principio: encendida, regala el denominador, que es justo lo que hay que averiguar doblando.

Preparar los manteles de una sesión

Como docente, puedes dejar preparado un archivo con los manteles que quieras trabajar. Crea cada uno escribiendo sus medidas en la casilla y pulsando Crear, colócalos en el tablero, cámbiales el color si quieres, y pulsa ⤓ Guardar: se descarga un archivo manteles-y-servilletas.json con todo lo que hay en el tablero, incluidas las servilletas que hayas sacado, sus dobleces y los trozos cortados.

Ese archivo sirve luego de dos maneras. En clase, ⤒ Abrir lo carga en el tablero (también vale arrastrarlo encima), y ＋ añade sus piezas a las que ya haya. Y se puede compartir con el alumnado, por el aula virtual o como sea: cada cual abre el manipulativo, abre el archivo y se encuentra los mismos manteles, con las mismas letras y colores, para que toda la clase hable de «el mantel B».

Una advertencia: en pantalla la medida no se ve, pero dentro del archivo van escritos los lados de cada mantel. Quien lo abra con un editor de texto los puede leer.

Algunas preguntas

• ¿Hay manteles que se puedan medir doblando la servilleta de varias maneras distintas? ¿Y alguno que solo admita una?
• Si un doblez no encaja, ¿sirve de algo doblar más? ¿O hay que cambiar de forma?
• Dos manteles con la misma área, ¿tienen que tener la misma forma? ¿Y al revés?
• Un mantel de 3/2 x 4/3 mide 12/6 u, que son 2 u. ¿Se puede cubrir con dos servilletas sin doblar, tal como están? ¿Qué habría que hacerles?
• Al medir con trozos más pequeños salen más trozos. ¿Cambia eso el área del mantel? Esta es la pregunta que separa la medida del número que la expresa.

Si quieres saber más sobre esto de la fracción como resultado de medida, por la página tienes más de una entrada. Además, ¿conoces el grupo de Telegram de Números racionales?