Tiras a medida

En Tiras de papel se daba la unidad y había que averiguar cuánto medía cada tira. Aquí se da la medida y lo que falta es la tira: llega un encargo —«una tira que mida 5/6 u»— y hay que fabricarla. Es el mismo giro que en Manteles a medida, pero con longitudes en vez de áreas, y ese cambio de magnitud no es solo un cambio de escenario.

Lo que cambia al pasar del área a la longitud

Merece la pena ponerlo el primero, porque es lo que distingue este material de su hermano. En una tira, doblar vuelve a ser una sola cosa.

Con el mantel había que elegir columnas y filas: un cuarto de unidad podía ser una franja vertical, una horizontal o un cuadradito, los tres con la misma área y ninguno intercambiable con los otros a la hora de cubrir. Elegir cuántas partes no bastaba, había que elegir también la forma. En una tira, un cuarto de unidad solo puede ser una cosa. Se dobla en cuatro y ya está.

Esa simplificación tiene su contrapartida, y aparece al recomponer. Los trozos del mantel podían embaldosar un rectángulo de muchas maneras distintas y todas valían. Una tira es un segmento: solo hay una manera de recomponerla, y por eso unir exige que los trozos estén en la misma fila y seguidos, sin huecos y sin montarse unos sobre otros. Poner los mismos trozos en dos filas, que en el mantel sería una solución legítima, aquí no es una tira.

Usar los dos materiales seguidos y comparar qué se puede hacer en cada uno vale más que cualquier explicación de la diferencia entre longitud y superficie.

Los dos modos

Se eligen en el desplegable de arriba del panel, y son dos problemas distintos aunque el encargo esté escrito igual.

Desde la unidad. En el tablero está la tira unidad, la del cartel u —amarilla, la misma de siempre—. Todo lo que se construya sale de ella.

Desde otra tira. La unidad no aparece por ningún lado. En su lugar hay una tira A de la que sí se sabe lo que mide, y lo dice su cartel: «A · 3/4 u». El encargo sigue estando escrito en unidades. Hay más de un camino para llegar, y no cuestan lo mismo; averiguar cuál se toma es parte de la tarea.

También se puede escribir el encargo a mano: 5/6, y en el segundo modo 5/6 desde 3/4 si se quieren fijar los dos datos para preparar una sesión.

Los niveles no son solo números más grandes

Un nivel no pone un tope a los números: elige de qué denominadores se sortea el encargo. En fácil son mitades, tercios y cuartos; en normal entran quintos, sextos, octavos, décimos y doceavos; en difícil son séptimos, novenos y onceavos, que no se dejan doblar por mitades y obligan a contar. Los denominadores 13, 17 y 19 se quedan fuera a propósito, como en Tiras de papel: doblar una tira en trece partes no enseña nada que no enseñe doblarla en siete, y desespera.

En el modo desde otra tira hay una segunda palanca. En fácil y en normal, la tira pedida siempre sale de un solo doblez de la referencia. En difícil, no: el nivel escoge a propósito referencias con las que ese doblez no cabe en una tira, así que hay que construirla por etapas. Averiguar cuál es la etapa intermedia es justo lo que el nivel quiere que se piense.

Esa decisión llega hasta el banco de pruebas: allí tampoco se podrá doblar el patrón de una vez, y habrá que medir con partes de algo construido por el camino. El programa lleva la cuenta igual, diciendo cuánto vale cada uno de esos trozos.

Dos sitios: uno para construir y otro para probar

No hay botón de comprobar, ni verde, ni rojo, ni «casi». Lo que hay, debajo del tablero —debajo y no al lado, porque las tiras son largas y el sitio que escasea es el horizontal—, es un banco de pruebas, y la prueba es medir.

Cuando el alumno tiene montada su tira, la selecciona y pulsa ▶ Llevar al banco. Allí aparecen dos copias limpias, sin ninguno de los dobleces que se hayan hecho para construir: su tira fundida en una sola pieza, rotulada «tu tira» y sin ningún número, y debajo la referencia otra vez entera, que ahí hace de patrón. Lo de arriba se queda intacto, y volver a pulsar rehace el banco.

Y ahí ya se mide como se ha medido siempre: se dobla el patrón, se saca una parte y se cubre la tira con ella. El patrón entero también sirve; puesto encima cuenta como lo que él mide. Si lo que se pone cubre la tira sin huecos ni sobrantes, ahí está su medida.

Al banco se puede llevar cualquier cosa que se haya construido, no solo lo que uno crea que es la respuesta. Eso permite parar a medio camino y comprobar una pieza intermedia antes de seguir.

La casilla Comprobaciones, en la barra de arriba, está apagada de entrada. Encendida, el programa lleva él la cuenta: en cuántas partes se ha doblado el patrón, cuánto vale cada una en unidades y cuánto se ha puesto encima, con la fracción sin simplificar —arriba las partes que caben, abajo en las que se dobló—. Ni siquiera entonces mira si cubre o no.

Cómo se usa

• Nuevo encargo saca uno al azar en el modo y el nivel elegidos, y reinicia el tablero con él. El encargo se lee en el recuadro de arriba del panel, y también en el rótulo del banco mientras se mide.
• Se selecciona una tira pinchándola, y + y − la doblan en partes iguales. ×2 y ×3 multiplican los dobleces de golpe, que es como se dobla el papel de verdad, hasta 24 partes. Son marcas: la tira sigue entera.
• ✂ Sacar un trozo (S) trae al tablero una copia de una de esas partes y la deja en la fila de debajo. Si la tira está sin doblar, la copia es entera.
• ⧉ Duplicar a la derecha (D) pone otra copia ya enganchada al final. Es la manera rápida de repetir un trozo muchas veces.
• ⬒ Unir en una tira (J) funde en una sola pieza el trozo seleccionado y todos los pegados a él, si están seguidos y en la misma fila. ⁙ Separar en trozos (E) hace lo contrario. La referencia ni se une ni se rompe.
• ▶ Llevar al banco (P) monta el banco con el trozo seleccionado y todos los pegados a él.
• Reiniciar vuelve a empezar el mismo encargo, dejando la referencia sola.

Las etiquetas, que miden en unidades

Al encender Etiquetas, cada trozo escribe dentro lo que vale en unidades, y cambiar el doblez las cambia todas a la vez. Conviene tenerla apagada al principio, porque encendida regala buena parte de la cuenta. Tu tira no lleva etiqueta nunca: cuánto mide es justo lo que está en juego.

Lo demás

El imán engancha extremos con extremos y marcas con marcas, y pone las tiras en la misma fila o en la de al lado; es lo que permite ir encadenando trozos sin pulso. ◑ Transparencia viene encendida de entrada, al revés que en los manteles: una tira puesta sobre otra la tapa entera, y sin ver lo de debajo no hay manera de saber si se está cubriendo o pasándose. Se guarda y se abre en un archivo, se exporta a PNG, y ↶ o Ctrl+Z deshace. Es un único archivo HTML: se descarga, se mete en el Moodle del centro o en un USB y funciona sin conexión.

Algunas preguntas

• ¿De cuántas formas distintas se puede entregar el mismo encargo? ¿Todas se pueden llevar al banco?
• ¿Hay encargos que se hagan sin doblar nada? ¿Y alguno que no obligue a repetir ningún trozo?
• Si al medir en el banco sale una fracción distinta de la del encargo, ¿la tira se ha quedado larga o corta? ¿Cuánto? ¿Qué habría que hacerle?
• En el modo desde otra tira: ¿hace falta rehacer la unidad para llegar, o se puede ir directo de A a la tira pedida? ¿Cuántas partes de A hay que juntar entonces, y de dónde sale ese número?
• Con el mismo encargo, ¿es más fácil partir de la unidad o partir de una tira A? ¿Hay algún A que lo ponga especialmente fácil?
• Una tira encargada sirve luego como referencia para otro encargo. ¿Qué encargos se dejan hacer a partir de ella y cuáles no?
• Y comparando con Manteles a medida: el mismo encargo, ¿cuesta lo mismo en tira que en mantel? ¿Qué se puede hacer allí que aquí no, y al revés?

Si te interesa esto de la fracción como resultado de medir, por la página hay más de una entrada. Y está el grupo de Telegram de Números racionales.