La idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

A partir de esto de aquí, si os apetece os cuento algo sobre la idea de «crónica» como obstáculo para el concepto de función:

No hubo muchas interacciones, pero todas tienen en común lo mismo que las escenas del estupendo «Graphing Stories» de Desmos. A ver si descubrís qué es antes de continuar.

Efectivamente, todas las respuestas a mi tweet, al igual que las escenas de Desmos, presentan la magnitud tiempo como variable para el eje horizontal.

Vale, el día anterior había propuesto yo mismo una interpretación de gráfica que sí que llevaba el eje X etiquetado como tiempo. Y pedir inventarse una «historia» puede sugestionar demasiado en ese sentido, lo admito. Mea culpa.

Pero imaginad, como indica en el «Lenguaje de funciones y gráficas» del Shell Centre, que el eje X fuera hambre y el eje Y fuera ansiedad. Tratándose de un paseo por el campo, cuenta una historia diferente al «subir despacio, estar un rato en la cima, y bajar rápido».

Podría ser que la ruta fuera difícil, el GPS no nos funcionase y no consiguiéramos ver las señales en el camino (ansiedad creciente). Al cabo de un rato, vimos una referencia clara que nos puso en el camino correcto de vuelta. ¡Pero se nos habían olvidado los bocadillos!

Se podrían haber inventado muchas otras historias, considerando cosas como la batería del móvil, la preocupación de alguien que espera nuestro regreso, etc.

A lo que íbamos, Janvier (1998) introduce la idea de crónica. Una crónica, aquí, viene a entenderse como un registro de eventos ordenados en el tiempo. A Janvier le llamaba la atención lo que ocurría al pedir a los estudiantes completar e interpretar gráficos como este.

Se trata del Bacteria Puzzle de Karplus (1979). Cada punto, representa el estado final de un cultivo de bacterias que ha crecido bajo unas condiciones de temperatura determinadas. Cuando los estudiantes lo completan tenemos algo así.

Al interpretarlo, un grupo lo hace bien, usando el gráfico para determinar el efecto de las condiciones de temperatura en el crecimiento del cultivo. Observemos que para hacer el gráfico ideal necesitaríamos infinitos puntos, uno para cada hipotético experimento posible.

Sin embargo, otro grupo no escapa a la ‘trampa’, y lo interpretan como una población microbiana que crece durante cierto período de tiempo, y luego muere.

Janvier señala también las dificultades para interpretar las curvas de oferta y demanda. Representan una situación que se mantiene estable (salvo sucesos como huelgas, desastres, etc.), pero tanto profesores como estudiantes se ven tentados a usar crónicas en sus razonamientos.

La curva no cambia durante una transacción. Así que cuando se dicen cosas como que ‘si compras más, cada artículo te costará menos’ se cae en una excesiva simplificación de la gráfica.

La investigación de Janvier le llevó a clasificar este tipo de obstáculos como epistemológicos (que dependen de la naturaleza del objeto matemático en cuestión, ni ontogenéticos ni didácticos).

Una tarea que propuso fue la del ‘Vuelo de París a Montreal’. Os animo a que antes de continuar, la penséis. “Dibuja en los siguientes ejes cómo varía la duración del vuelo de un avión que va de Montreal a París con respecto a su velocidad”.

Estos son los tipos de respuestas que obtuvo:

Como piden t respecto a v, lo suyo es poner la v en el eje horizontal. Pero vemos que en la 2.e) cambian los ejes. Eso es porque realmente están contestando a otra pregunta (¡obstáculo epistemológico!): ‘cómo cambia la velocidad del avión respecto al tiempo durante el vuelo’.

De una muestra de 226 alumnos de instituto (antes de dar cálculo, ¿4ºESO?, la mayoría no da con la gráfica correcta (2.a). Muchos (35%) tienden a esbozar una recta (ilusión de linealidad, ¿necesidad de mostrar un viaje-trayecto?) y un 15% caen en el obstáculo de crónica.

No nos olvidemos de trabajar gráficas y relaciones funcionales variadas para dar significado a la idea de función y de variable, y preparar para situaciones de cambio que desembocarán en la noción de derivada.

Ni de restar importancia a la interpretación de gráficas y a la conversión entre diferentes registros, frente al omnipresente mundo algebraico.

Para terminar, si nos paramos a pensarlo, la gráfica ansiedad vs hambre, tal como la hemos contado al principio, es otra especie de crónica. No aparece la variable tiempo, pero usamos un marco temporal para ordenar los eventos.

Así que os emplazo a retomar la historia de la excursión por el monte y ver una ‘historia’ que no sea realmente una ‘crónica’.

Un par de referencias para profundizar, porque el artículo de Janvier da para tres o cuatro hilos.

Janvier, C. (1998). The notion of chronicle as an epistemological obstacle to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 79–103.

Glazer, N. (2011). Challenges with graph interpretation: A review of the literature. Studies in Science Education, 47(2), 183–210.