Ay, la nostalgia de las matemáticas modernas

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Hala, pues vamos a hablar un poco de la «new math», aquí llamadas «matemáticas modernas». Si hiciste la EGB, es posible que te suenen cosas como esta (de mi libro de séptimo).

  • Buaf, eso sí que era nivel, no como ahora.
  • Es que a ver cómo quieren que veamos probabilidad sin teoría de conjuntos con rigor.
  • Rigor, eso es lo que hace falta. Yo demuestro, eh, a mí que no me miren, que luego llegan a primero de carrera sin haber visto una demostración.

Ay, la nostalgia, otra vez la nostalgia… (un poco de banda sonora)

Cada vez que se menciona el asunto de las matemáticas modernas por aquí es habitual ver interacciones parecidas a las anteriores. Tranquilidad, que no va a ser tan destroyer la cosa, pero sí que pediría tomar distancia. Somos supervivientes y podemos estar sesgados.

Dibujar un diagrama de Venn no es ver teoría de conjuntos

Antes de entrar en faena sí que diré un par de cosas para quitármelas de encima. Usar diagramas de Venn no es ver teoría de conjuntos, así que aparquemos por favor lo de que por dios qué hacemos con la probabilidad en secundaria.

Anda, mira, una actividad de clasificación la mar de maja con diagramas de Venn en infantil.

📷 Howse, T. D., & Howse, M. E. (2014). Linking the Van Hiele Theory to Instruction. Teaching Children Mathematics, 21(5), 304-313.

En la mente del docente claro que puede estar la idea de clase de equivalencia, conjunto de referencia, etc. ¡Debe estar! Pero a la hora de llevar al terreno la actividad, pues tiene lugar un proceso de transposición didáctica (Chevallard).

Vamos, que el objeto a nivel académico se trata con el rigor que se quiera, pero para su enseñanza en la etapa X, se adapta.

La otra cosa que quería quitarme de encima es el «yo demuestro, eh, que ahora es que no se demuestra nada de nada». Los que tienen que desarrollar la capacidad (competencia, pero parece que esto a veces produce urticaria) de conjeturar y probar es el alumnado.

Parece una tontería, pero no. ¿Habéis probado a demostrar a palo seco la fórmula de la ecuación de 2º grado «delante» del alumnado? No se enteran más que dos o tres, y uno de ellos se limitaría a repetirte la demostración.

Pues eso no es porque no se hagan nunca demostraciones delante de ellos, sino porque no se les ha puesto en la tesitura de conjeturar anteriormente ni de elaborar pruebas con un rigor relajado.

¿Una ida de olla?

Venga, que decía que no iba a ser tan destroyer. Y es verdad, no es justo quitarse de encima la matemática moderna diciendo que era una ida de olla que nunca tuvo que haber ocurrido, que cómo estaban las cabezas, etc.

Ocurrió porque se produjo una conjunción del estructuralismo de Bourbaki con los estudios de Piaget y con que la didáctica de la matemática no estaba desarrollada (surge a finales de los 70 y a «consolidarse» a mitad de los 80, aunque lleva teniendo que justificarse desde entonces).

Además, ocurrió porque se quiso mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, ofreciendo a todos algo más que lo básico. Pero estoy corriendo mucho y me estoy dando cuenta de que a lo mejor no todos los lectores saben muy bien qué fue esto de la new math.

Pues fue un movimiento que intentó cambiar la forma en la que se veían las matemáticas escolares, desde mediados de los años 50 a mediados de los años 70, llegando a los años 80 en ciertos lugares. Nos podemos imaginar esto como un péndulo.

Se partía de una situación en la que el contenido en la escuela primaria se reducía prácticamente a la aritmética básica y, en la secundaria, a álgebra tradicional, algo de geometría euclídea y trigonometría. También, un enfoque muy del yo explico y tú repites.

Se quiso introducir álgebra moderna (conjuntos, funciones, vectores, etc.), matemáticas computacionales (otras bases), geometría moderna (transformaciones) y probabilidad y estadística.

Fuente: Kilpatrick (2012)

¿Y esta necesidad de cambio? Pues es la misma que lleva a los muchachos de un pueblecito de EE.UU. a hacer un cohete para una feria científica en la película Cielo de octubre: el lanzamiento del Sputnik.

En el contexto de la Guerra Fría, se quiso mejorar la enseñanza de las matemáticas a ambos lados del atlántico. Esto lo recoge Kilpatrick (2012) en su artículo en la ZDM.

Espera que en la captura de antes he visto las siglas malditas de la OCDE. ¿Cómo? Curioso que ahora haya quien critique a esta organización por querer una enseñanza más ¿competencial? ¿utilitarista? cuando en tiempos buscaba lo más lejano posible.

Las conspiraciones y opiniones sobre las políticas comerciales mundiales me las guardáis para otros hilos, porfa. Con el anterior tuit solo resalto una curiosidad.

Es verdad que los esfuerzos reformistas estuvieron dirigidos primero a cursos de la secundaria orientados a la preparación universitaria, pero no tardó en extenderse el movimiento a la escuela primaria y a países fuera de la OCDE.

¿En la Unión Soviética qué se estaba haciendo? Allí fue Kolmogorov quien, a principios de los 60, sentó las bases de los nuevos currículos. Si bien estos incluían algo de teoría de conjuntos, ni de lejos tanto ni en un lugar tan central como en la new math de la OCDE.

De momento vemos que la motivación de la new math incluye un factor político nada desdeñable. Pronto surgieron dificultades, como en la adaptación de los materiales a los diferentes contextos educativos de los diversos países.

Llegan las críticas

Y llegan las críticas, tanto de personajes no implicados en el movimiento reformista de la matemática moderna, como de otros dentro de las comisiones e, incluso, parte de Bourbaki.

La más sonada fue, quizás, la de Kline (1973), con su Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math. Pero antes, en 1962, Kline, Bers, Polya (sí, el del modelo de resolución de problemas) y Schiffer ya habían escrito un memorando firmado por otros 61 matemáticos.

Se titulaba «On the Mathematics Curriculum of the High School» y venía a señalar que el currículo debía abordar unas matemáticas para todos y no solo para los que fueran a hacer matemáticas en la universidad.

Esto es un poco confuso, porque precisamente la new math tenía un lema que rezaba «unas matemáticas para todos». Los objetivos eran loables, sí, pero el énfasis en las estructuras matemáticas generales y los conceptos teóricos fundamentales jugaban en su contra.

Hace poco hablaba de Chevallard y a cómo usaba el término monumentalismo para referirse a ese tipo de enseñanza que se reduce a presentar una especie de obra ya construida que el alumnado solo puede visitar, sin participar de ella. Y que tiene que maravillarse, claro.

Ese estructuralismo también fue fuertemente criticado por Freudenthal, quien lo calificó de «inversión antididáctica». Es decir, no hay nada didáctico en dar todo ya construido de forma estática y axiomática.

Todo esto no se sabía entonces, claro. Antes hablaba del movimiento pendular, aunque en el fondo no es muy apropiado, ya que es un problema multidimensional. Pero estirémoslo un poquito. Las críticas ocasionaron una reacción llamada «back to basics», la vuelta a lo básico.

Es decir, déjate de tonterías y vamos a la matemática para la vida real, junto con el enfoque del «yo explico y tú repites» (que, ojo, era el elefante en la habitación y tampoco se abandonó durante la matemática moderna).

Luego llegarían los nuevos movimientos reformistas y las math wars, pero eso es otra historia. Que la nostalgia por la matemática moderna debería estar superada no quiere decir que no tuviera su relevancia. Antes de ella se pensaba que las matemáticas escolares eran las que eran.

A pesar de que los reformistas de la new math no sabían gran cosa de diseño curricular (pero esto no lo sabían), pusieron sobre la mesa cuestiones importantes y ya nada volvió a ser lo mismo.

Además, calificar de fracaso a la matemática moderna no es tampoco justo. Davis (2003) pone en duda que existiera algo como tal, ya que la cosa varió mucho de un cole o instituto a otro, al menos en EE.UU. Incluso, que hubo muchos centros que apenas se vieron influidos.

Davis, de hecho, va más lejos y se anima a señalar que hubo centros donde el programa se implementó de forma cuidadosa por docentes muy bien formados, y que comprendían lo que se traían entre manos, obtuvieron buenos resultados.

Yo qué sé, tomemos la actividad que ponía al principio de los diagramas de Venn para clasificar bloques lógicos. No hay capas de abstracción innecesarias ni formalismos que oculten la chicha. Las ideas potentes están ahí.

Ese era el problema que tan bien describen, aunque escueza, Chevallard o Freudenthal. No habrá capas de abstracción extra, pero esos niños y niñas identifican características y clasifican con criterios lógicos. Trabajan con el material, se familiarizan con él, discuten y piensan.

A nosotros, como docentes que conocemos la maravillosa construcción que son las matemáticas nos puede tentar el exponerla así. Tenemos que superar ese síndrome de Stendhal. No solo eso, sino asumir que son eso, una construcción, donde los procesos son muy importantes.

Epílogo y referencias

Pero, ¿se habla alguna vez de esto en los congresos de didáctica? @carlosyedma lleva un tiempo fuera de Twitter, pero en tiempos comentaba esto, que es ilustrativo. Básicamente, que una vuelta a la teoría de conjuntos ni se contempla:

El año pasado asistí en un congreso de Didáctica de las Matemáticas a una comunicación (en una sesión no evaluada por pares) en la que proponían recuperar la teoría de conjuntos. Produjo tanto bochorno que al final no hubo preguntas ni comentarios. En instantes quedó la sala así.

Aquí un documento gráfico que me llega vía @chussiabaleston

Justo hoy, @mallemar hablaba del sesgo del superviviente. Si viviste como alumno la matemática moderna y te ha resultado útil, ¿cómo no?

@totipm tiene unos hilos muy personales narrando su experiencia vital con todo este tema que merece la pena leer.

Teorema, lema o algo

A modo de teorema, lema o algo. El talento prospera en las condiciones más insospechadas. ☺️

Tom Lehrer

@CMCI2M nos recuerda esta canción de Tom Lehrer.

Recreación de algunos personajes

En este hilo, podéis poner gifs a los personajes de esta historia.

Algunas referencias

Kilpatrick, J. (2012). The new math as an international phenomenon. ZDM, 44(4), 563-571.

Phillips, C. J. (2015). The new math: A political history. The University of Chicago Press.

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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