Longitud × Área

En «2/3 u × 5/4 u²» la primera fracción es una cantidad de longitud y la segunda una cantidad de área: lo que se levanta una pared y lo que ocupa en el suelo, por ejemplo. Lo que sale no es ni una longitud ni un área, y por eso el tablero es aquí el suelo de un espacio de tres dimensiones. Se empieza, igual que en Longitud × Longitud, por la unidad de longitud, un segmento de 1 u. Las demás longitudes, el rectángulo y el prisma hay que construirlos. Las unidades de área y de volumen se pueden construir también, o sacarlas ya hechas para tenerlas de referencia.

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Por qué no basta con dibujarlo

Dibujar en el cuaderno un prisma metido dentro de un cubo, con los dos partidos en trozos iguales y con las rayas de uno cayendo sobre las del otro, está fuera del alcance de casi cualquiera. Aquí las partes salen iguales siempre, el imán hace coincidir las rayas, y el dibujo de dos piezas que se cruzan lo resuelve el programa. Lo que queda por decidir es lo que importa: qué se parte, en cuántas partes y por qué dirección, y qué se mete dentro de qué.

No hay pasos que seguir. Hay un suelo, una unidad de longitud y unas pocas herramientas que valen para cualquier pieza. El programa no construye nada a partir del enunciado ni compara lo construido con lo que se pedía.

Tres clases de piezas

Las longitudes son segmentos con un tope en cada extremo: tendidos en el suelo a lo largo o a lo ancho, o de pie. Los rectángulos salen de dos longitudes, y pueden estar tendidos o de pie. Los prismas salen de un rectángulo y una longitud.

Las longitudes se dibujan y se pinchan siempre por encima de los rectángulos y de los prismas, porque suelen quedar justo en una arista.

Lo que queda tapado se dibuja de puntos, como en un dibujo técnico: las tres aristas de atrás de cada prisma, el trozo de arista que tapa otra pieza, y el trozo de longitud que queda detrás de algo.

Mover y mirar

Arrastrando, una pieza se mueve por el suelo. Con ↕ Altura encendido, o manteniendo pulsada la tecla Mayús, el arrastre la sube y la baja. De lo que está levantado del suelo se dibuja la huella, en línea de puntos, para que no se confunda una pieza alta con una que está más atrás.

Las piezas se atraviesan: una se puede meter dentro de otra, igual que en el plano un rectángulo se pone sobre otro. Donde dos prismas ocupan el mismo sitio, se ve el que se haya tocado el último.

Abajo a la derecha, junto a la brújula, ⟲ vista y ⟳ vista (Q y W) giran la vista un cuarto de vuelta alrededor de la vertical; siempre se mira desde arriba, y de cada prisma se ven tres caras. La brújula dice hacia dónde quedan, con la vista de ese momento, el largo, el ancho y el alto. Girar la vista no mueve ninguna pieza.

Las unidades

La de longitud es el segmento de 1 u con el que empieza el tablero. Con De longitud (U) se sacan más.

La de área es el cuadrado de 1 u de lado, y la de volumen, el cubo de 1 u de arista. Van en verde y su rótulo dice, siempre, que son 1 u² y 1 u³; los demás rectángulos y prismas van en color arena. Se consiguen de dos maneras: construyéndolas, como cualquier otro rectángulo o prisma, o sacándolas ya hechas con De área (A) y De volumen (V). Son la misma pieza de una manera y de la otra.

Las herramientas

Seleccionar pieza y Seleccionar subunidad son dos maneras de pinchar. Con la primera se elige la pieza entera; con la segunda, solo la subunidad en la que se pincha. Una subunidad es el trocito más pequeño que dejan las marcas de la pieza, las de ahora y las que le quedan de antes: en una longitud es un tramo; en un rectángulo, un rectangulito; en un prisma, un prisma pequeño. De un prisma se pinchan las subunidades que dan a las caras que se ven; para llegar a las de detrás se gira la vista. En los dos casos, arrastrando se mueve la pieza entera.

Partir. Los botones parten la pieza seleccionada en partes iguales por cada una de las direcciones en que se extiende: a lo largo, a lo ancho y a lo alto. Una longitud solo tiene una; un rectángulo, dos; un prisma, las tres. Son marcas: la pieza sigue entera.

✂ Cortar (C). Con una subunidad seleccionada, la separa del resto de la pieza, y lo demás se queda en los trozos que resulten. Con la pieza entera seleccionada, la deshace en las partes en que está partida ahora.

⧉ Duplicar (D). Saca una copia de lo seleccionado: de la pieza entera o de una sola subunidad. La pieza original no cambia.

⟲ Girar (G). Le da a la pieza un cuarto de vuelta sin levantarla del suelo: lo que medía a lo largo pasa a medirlo a lo ancho.

⤵ Volcar (O). Vuelca la pieza un cuarto de vuelta: una longitud tendida se pone de pie y una de pie se tiende; un rectángulo tendido se pone de pie y uno de pie se tiende; un prisma cambia su alto por su ancho. La pieza se queda apoyada a la misma altura.

⬒ Unir lo pegado (J). Funde en una sola las longitudes que están pegadas una a continuación de otra, sobre la misma recta; los rectángulos pegados que están en el mismo plano, si entre todos forman un rectángulo; o los prismas pegados, si entre todos forman un prisma. Si no, avisa y no hace nada. Piezas de distinta clase no se unen. El imán engancha extremos, bordes y marcas al soltar —y, en altura, también al suelo—, que es lo que permite pegar las piezas sin pulso.

▭ Rectángulo (R). Con una longitud seleccionada que tenga otra pegada por un extremo, en ángulo recto, construye el rectángulo que las tiene por lados: tendido si las dos están en el suelo, de pie si una lo está.

◫ Prisma (P). Con un rectángulo y una longitud que salga de una de sus esquinas, en ángulo recto con él, construye el prisma que tiene ese rectángulo por base y esa longitud por arista. Da igual cuál de las dos piezas esté seleccionada.

En los dos casos las piezas de partida se quedan donde estaban, y la pieza nueva nace lisa: no hereda sus marcas. Si hay más de una candidata —1 u y 2/3 u saliendo de la misma esquina, por ejemplo—, vale la que se haya tocado la última. Donde dos longitudes se pisan, al pinchar se coge la más corta.

▨ Resaltar subunidad (3) es la tercera manera de pinchar, y es para rectángulos y prismas. Con ella, pinchar en una subunidad la deja rayada en naranja, sin sacarla de la pieza; pinchar otra vez se lo quita. Arrastrando se resaltan, o se dejan de resaltar, todas las que se pisen. En este modo las piezas no se mueven.

▢ Solo el borde (B) deja el rectángulo o el prisma seleccionado sin relleno y sin etiquetas, en sus aristas, y siempre dibujado por encima de los demás: metido en otro, se ve por dónde cae sin tapar nada. Una pieza así se coge por el borde; pinchando dentro se llega a lo que haya detrás. La otra manera de ver lo de dentro y lo de detrás es ◑ Transparencia, que vuelve translúcidos todos los rectángulos y prismas; con ella se ven también las subunidades resaltadas del interior de un prisma.

Los rótulos y las fracciones

Con la casilla Rótulos, cada longitud lleva al lado una cota con lo que mide; cada rectángulo lleva encima lo que miden sus dos lados; y cada prisma, lo que mide de alto y, entre paréntesis, los lados de su base. Al girar o volcar la pieza, el rótulo cambia con ella. La cota de una longitud va por debajo de ella, o a su izquierda si está de pie; si ahí cae encima de un rectángulo o de un prisma y al otro lado no, va al otro lado.

Las piezas se ponen unas sobre otras y unas dentro de otras, y sus rótulos no: cuando se estorbarían, se apilan encima de todas ellas, un renglón por pieza, con un cuadradito de su color delante para saber de cuál habla cada uno. Las piezas que dirían lo mismo, como los trozos iguales de un corte, comparten renglón.

Las fracciones se escriben tal como salen, sin simplificar: dos cuartos unidos son 2/4 u.

El enunciado

Está escrito arriba. Se escribe a mano en la casilla del panel —2/3 x 5/4, primero la longitud y luego el área— o se pide uno al azar. No se simplifica: quien escribe 2/4 x 6/8 trabaja con eso. Con la casilla vacía se trabaja sin enunciado.

Los tres niveles del azar cambian qué cantidades pueden salir: las dos menores que la unidad; una de las dos mayor; o las dos, con denominadores hasta octavos.

Las otras casillas

Etiquetas u escribe lo que mide, en unidades de longitud, cada tramo que dejan las marcas de una longitud. Empieza apagada.
Etiquetas u² escribe lo que mide, en unidades de área, cada trocito que dejan las marcas de un rectángulo. Empieza apagada.
Etiquetas u³ escribe lo que mide, en unidades de volumen, cada trocito que dejan las marcas de un prisma, en las caras que se le ven. Empieza apagada, y regala buena parte de la cuenta.
Resultado añade al rótulo de cada rectángulo lo que mide en unidades de área y al de cada prisma lo que mide en unidades de volumen, con la fracción tal como sale; y, en el mismo renglón y con un cuadradito rayado delante, lo que mide lo que tenga resaltado. Empieza apagada, y conviene que siga así un buen rato.

Lo demás

Las flechas del teclado parten la pieza seleccionada: una longitud, por su única dirección; un rectángulo, por las dos suyas; un prisma, a lo largo con las flechas de los lados y a lo alto con las de arriba y abajo, y a lo ancho con Re Pág y Av Pág. 1, 2 y 3 cambian lo que hace un pinchazo, y Supr quita la pieza. Reiniciar deja una unidad de longitud sola; ↶ o Ctrl+Z deshace. Se guarda y se abre en un archivo, se exporta a PNG, y es un único archivo HTML: se descarga, se mete en el Moodle del centro o en un USB y funciona sin conexión.

Algunas preguntas

¿Cómo se fabrica la longitud del enunciado a partir de la unidad de longitud?
¿Y un rectángulo que tenga el área del enunciado? ¿Cómo se sabe que la tiene? ¿Hay más de uno?
La longitud, ¿dónde hay que ponerla, y cómo, para que con el rectángulo dé un prisma? ¿Por qué no vale tendida en el suelo?
El prisma ya está construido. ¿Con qué se mide? ¿Sirve la unidad de longitud? ¿Y la de área?
La unidad de volumen que saca el botón, ¿se podría haber construido? ¿Con qué piezas? ¿Por qué esa y no otra?
Con el prisma metido en la unidad de volumen: ¿cuál de los dos es mayor? ¿Qué habría que hacerle a la unidad para poder contar?
¿En cuántas partes hay que partir la unidad de volumen a lo largo, a lo ancho y a lo alto para que sus rayas sirvan? ¿De dónde salen esos números? ¿Hay más de una manera?
Un trocito de los que quedan, ¿cuánto mide? ¿Mide lo mismo que uno de los trocitos del prisma? ¿Cómo se sabe sin las etiquetas?
¿Cuántos de esos trocitos tiene el prisma? ¿Y la unidad? ¿Qué tienen que ver esos dos números con las fracciones del enunciado?
Si el prisma se construye sobre otro rectángulo que tenga la misma área, ¿mide lo mismo? ¿Se parecen los dos prismas?
Si se vuelca el prisma, ¿qué dice ahora el rótulo? ¿Cuál es ahora la longitud y cuál el área? ¿Mide lo mismo?
¿Hay enunciados en los que el prisma mida más que la unidad de volumen? ¿Y en los que una de las dos cantidades sea mayor que su unidad y aun así mida menos?
¿Qué cambia respecto a «2/3 u × 5/4 u»? ¿Qué mide allí la segunda fracción, y qué mide aquí? ¿Qué significa en cada caso la unidad con la que se mide el resultado?

Si te interesa esto de la fracción como resultado de medir, por la página hay más de una entrada. Y está el grupo de Telegram de Números racionales.