Para despejar x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de unos hilos publicados en Twitter(X): este y este otro.

Es desolador encontrarse en un libro de 2º ESO, al respecto de la fórmula de la ecuación de segundo grado, que:

La justificación de esta fórmula queda para cursos superiores. Por ahora, conviene que la memorices y que aprendas su manejo como se muestra en los siguientes ejemplos.

Más todavía, ver que, en el curso inmediatamente superior, lo prometido se queda en agua de borrajas (el subtexto es añadido mío):

Para despejar $x$, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver aquí. Es lo que parece sugerir el currículo, pero como ni el profesorado está en condiciones de plantear situaciones al respecto ni el alumnado de aprender a razonar, disimulemos que hacemos matemáticas.

No me lo estoy inventando, no:

Nótese que en ese subtexto que me he permitido añadir no utilizo el verbo explicar. Ocurre que, a veces, se explica la demostración y, claro, solo se enteran un par, con suerte. Va de plantear situaciones donde el alumnado razone, represente y, en el proceso, emerja el completar cuadrados. Como he dicho muchas veces, y lo mantengo: uno de los problemas en la educación matemática es que se explica demasiado.

Sobre ecuaciones y funciones cuadráticas

• No pasa nada por taladrar a palo seco la fórmula de la ecuación de segundo grado. Es muy importante aunque en otros países o no se vea o se aborde dos o tres cursos más tarde que aquí. Por cierto, cada vez que un alumno hace $(a+b)^2=a^2+b^2$ muere un gatito.
• ¿Cómo dices?

Sostener las dos afirmaciones anteriores al mismo tiempo es incoherente. Si las identidades notables se quedan a vivir en su tema correspondiente y no muestran su gracia en ningún momento más, el calificativo de notables se les muda a «aquellas del tema ese que yo qué sé».

Una conexión intramatemática muy clara es aprovecharse de estas identidades para resolver ecuaciones de segundo grado. Vaya por dios, sin la fórmula. O que esta aparezca más adelante al generalizar este tipo de técnicas. Vamos a dar sentido aquí al cuadrado de una suma. Considera un rectángulo de lados $3$ y $b$, su área es $3b$, ¿no?

¿En cuánto aumenta su área si aumentamos el lado que mide $b$ en $3$ unidades?

En efecto, aumenta en $9$ unidades de área. Ahora tenemos un rectángulo de lados $3$ y $(b+3)$, con lo que hemos descubierto que $3·(b+3)=3b+3^2$. Si ahora, además, aumentamos el lado original que medía $3$ en $b$ unidades, ¿en cuánto aumenta el área?

Ahora a lo que hemos llegado es que el área del cuadrado de lado $(b+3)$ es igual a $b^2+3b+3b+3^2$; es decir:

$$(b+3)^2= b^2+6b+3^2$$

Y ya podemos decir lo que aumenta el área, cuánto es ese área, etc.

Basta generalizar permitiendo que el lado que mide $3$ pueda variar, para llegar a nuestro querido $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$.

En otras palabras, el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Lo mismo se puede hacer con $(a-b)^2$ y con $(a+b)(a-b)$, conectando lenguaje algebraico con gráfico y consideraciones geométricas. Si tenemos cierta soltura (aka competencia). Con esto, convertir $f(x)=x^2+3x+2$ en $f(x)=(x+p)^2+q$ es bastante directo.

No hay más que jugar un poco. Si pienso que $x^2+3x$ forma parte del cuadrado de una suma, vendría a ser el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, lo estaría viendo como $x^2+2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$.

Como resulta que $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$, tengo que gestionar ese $\frac{9}{4}$, quitándolo (como estoy añadiéndolo, hay que restarlo):

$$f(x)=x^2+3x+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+2 = \left( x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Si lo que quiero es resolver la ecuación $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0$, ya está a huevo:

$$\left( x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Hago la raíz cuadrada y blablabla. Pero es que, además, tener $f(x)$ como $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ visibiliza qué está pasando aquí:

¡Anda! Más conexiones intra matemáticas. El eje de simetría me lo está dando el que acompaña a la $x$ dentro del paréntesis. Y la ordenada del vértice, su coordenada en $Y$, me la está dando el número que va suelto, $-\frac{1}{4}$.

Para que todo quede más claro, ¿no sería mejor convertirla en $f(x)=(x-p)^2+q$? Nótese el cambio de signo donde $p$. Claro que sí, porque entonces el vértice no sería $(-p,q)$ sino directamente $(p, q)$. Pero es que esto también es hacer matemáticas, discutir, hacer conexiones.

Si vamos teledirigidos a la fórmula y a hacer cosas con la fórmula nos dejamos muchas matemáticas por el camino. Y resulta que lo interesante está en el camino. Además, ojo, resolver la ecuación de segundo grado completando el cuadrado se hace también en una línea.

No digo nada nuevo, esto se puede ver en materiales de, por ejemplo, el año 1981, Grup Zero, donde se asume también un trabajo previo en identidades (que lleve a algún sitio, claro).

Había una página con todos los libros del Grup Zero: www.grupzero.cat/llibres/, pero parece estar caída. He conseguido recuperar algunos en el archive.