Sistemas de ecuaciones en 2º ESO

¡Pero si no había subido este hilo a la página! Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Sistemas de ecuaciones en 2º ESO. Elige tu propia aventura como profesor:

A. Esto es sustitución, esto es igualación y esto reducción. Ejemplos y ejercicios.

B. ¿Cuánto vale un croissant?

Los problemas como el del croissant vienen de la tesis de Abraham de la Fuente. Había hecho cosas parecidas anteriormente, pero el desarrollo gradual y explotación que permite su propuesta es tremendo. Aquí solo muestro las líneas generales. Referencias al final.

Vamos allá. La opción A es propia de un enfoque PARA resolver problemas. En este caso la consecuencia habitual es que no se contempla con cuidado el paso de la aritmética al álgebra y todo esto desemboca en malabares mentales y aprendizaje de procedimientos con poco significado.

No es una cuestión trivial. En el de sustitución, por ejemplo, se sustituye una variable por una expresión más compleja. ¿Se ha hecho esto antes? ¿Qué significa? Y si vamos al de reducción, vemos que juntamos expresiones alegremente.

La opción A también te permite «pulirte» el currículo en un par de días.

Vamos a la opción B, que es la que me interesa contaros. No comienza exactamente con el problema del tuit inicial, sino que arrancamos con algo más sencillo que enlaza con los conocimientos previos del alumnado. Esta aparente sencillez lleva asociada ya una carga de profundidad.

Primer problema

Somos tres amigos que han comprado dos ensaladas y tres pizzas para cenar. Solo tenemos el precio total, 19,90 €.

a) ¿Podemos saber el precio de una ensalada y una pizza por separado?

Esta pregunta se podría discutir entre todos, a modo de charla de aula, como calentamiento. Después lo ideal es trabajar en pequeños grupos de 3 o 4 alumnos. Dejar que vayan discutiendo (importante que sea el alumnado), pasar por las mesas y luego al final puestas en común.

Vale, no, no podemos saber cuánto vale una pizza o una ensalada por separado. Sin embargo, con esta información, seguro que podemos decir algo más.

b) Razona que dos ensaladas no pueden costar más de 20 euros.

c) Razona que una pizza no puede costar más de 7 euros.

No os hagáis el remolón. Os invito a tratar de razonar estas preguntas para poneros en el lugar del alumno que trata de abordarlas. Muy pegado al razonamiento aritmético todavía.

d) Razona que cuatro ensaladas y siete pizzas cuestan más de 39 euros.

Hay que estar muy atento a cómo se expresan al responder todas estas cuestiones. Claro, aquí ocurre que 4 ensaladas y 7 pizzas son más del doble.

Y en la siguiente se pregunta exactamente por el doble.

e) ¿Puedo saber cuánto cuestan 4 ensaladas y 6 pizzas? ¿Por qué?

f) ¿Puedes saber cuánto cuestan una ensalada y dos pizzas? Razona la respuesta.

Vaya, resulta que puedo conocer el precio de algunas combinaciones.

h) ¿De qué otras combinaciones puedes saber el precio? Explica.

Aún más. Si supiera el precio de la ensalada, podría decirte el precio de la pizza. ¿No?

i) Di 5 posibles precios de la ensalada y los correspondientes de cada pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la pizza a partir del precio de la ensalada.

INCISO. Con estos grupos habíamos trabajado proporcionalidad incidiendo mucho en la necesidad de asumir una condición de regularidad antes de comparar cantidades de magnitud o encontrar el valor faltante. Pues bien, aquí hubo alumnos que volvieron a hacerlo explícito.

No me lo esperaba. Pero es lo bueno que tiene que esto no sean «unidades» al uso, que facilitan conexiones que ni te esperas.

• Si cada ensalada cuesta lo mismo…

Seguimos con un problema similar

a) Razona si con la información que tenemos podemos saber el precio de una porción y una bebida.

Preguntas que siempre hay que discutir y razonar.

b) ¿Podemos saber el precio de 8 porciones y 12 bebidas? ¿Y de 4 bebidas y 2 porciones? ¿De qué combinaciones podemos saber el precio?

c) ¿Podemos saber el precio máximo para una pizza y una bebida?

Por ejemplo, se puede decir el precio de 2 porciones y de 3 bebidas, porque es la mitad.

Se deja algo de libertad para explorar.

d) Di 5 cosas que podemos asegurar del precio de las porciones de pizza, de la bebida o de alguna combinación a partir de la información que tenemos. Esta información puede incluir valores máximos.

e) Di 5 posibles precios de la bebida y los correspondientes de cada porción de pizza. Explica cómo encuentras la forma de saber el precio de la porción de pizza a partir del precio de la bebida.

Aquí viene otra estructura…

Preguntas similares a las anteriores, donde la clave es…

Si somos tres amigos, ¿puedo decir cuánto hemos de pagar cada uno? Es decir, ¿puedo saber cuánto vale una porción y una bebida? ¿Podemos conocer más cosas?

Y vamos con un saltito. Si juntamos la información sobre el precio de las dos compras, ¿podemos saber el precio de una porción y tres bebidas? ¿Hay alguna otra combinación de la que podamos conocer el precio? Razonadlo

Con esta información, puedes saber el precio de cada porción y el precio de cada bebida. Explica cómo los encontrarías. ¿Hay más de una forma de saberlo?

En este momento están empleando estrategias verbales que se alinearán con las algebraicas. Es clave que se exploren alternativas y se juegue con la información disponible.

Ahora lo que viene ya son problemas similares donde esas diferentes formas de resolverlo se relacionan con diferentes técnicas algebraicas. Yo en 2º de ESO no les pondría ni nombre, pero veréis que son los clásicos sustitución, igualación y reducción.

Vamos con el del tuit inicial. ¿Cuánto vale un croissant? ¿Cuánto vale un café? Venga, daros un tiempo para pensar un par de formas sin usar álgebra.

Como sé que 2 croissants y un café son 2,8 €, lo que falta hasta 4,8 € serán 2 €.

Me voy a la de arriba y averiguo el precio de un croissant, porque sé que un croissant y un café son 2 euros. Lo que falta hasta los 2,80 € del precio será el precio del croissant.

Veníamos de trabajar lenguaje algebraico con la secuencia de enteros desde el álgebra de Cid. Ningún problema en expresar lo de arriba como $2c+t=2,8$. Lo que hemos hecho antes es sustitución de expresiones algebraicas.

Pero se pueden hacer más cosas. Como sé el precio de 2 croissants y 1 taza de café (por eso la t, que ojo, esto de los literales que uso no es trivial tampoco), puedo saber el precio del doble, es decir, de 4 croissants y 2 tazas.

¡Anda! A qué me suena (como profesor) este método. Ya tengo la c, el precio del croissant, como $5,6-4,8 = 0,8€$.

$4c+2t=5,6$

$3c+2t=4,8$

¿Cuál es la diferencia?

No quiero alargarme mucho más, solo dar a conocer esta aproximación. La cosa sigue con problemas similares. Similares, pero que van introduciendo giros interesantes. Aquí, por ejemplo, el hecho de que ambos conjuntos valgan lo mismo… es uno de mis momentos favoritos.

• Es que sé cuántos sombreros valen lo que una gafa.

Ahí lo dejo. Y cuando vemos el siguiente problema entendemos más cosas. ¿Puedo hacer algo similar al anterior? Sí, pero habrá que igualarlos antes…

La evaluación

No quiero alargarme en exceso, solo dar a conocer esta aproximación. Pero sí que me gustaría enseñaros la evaluación. Además de lo que se va viendo en clase, que ya es una evidencia (y se ve mucho si los dejas trabajar), la autoevaluación que hicimos era básicamente esto.

Eso es más que de sobra. Había una tarea extra:

Tarea 2. (EXTRA) Inventa un problema de dos ecuaciones de dos incógnitas y que tenga solución. Resuélvelo, al menos, de una manera. Y bueno, lo llamamos autoevaluación porque van sin nota e indican su percepción.

Esas autoevaluaciones se comentan en clase. Dan mucho juego. Aquí por ejemplo vemos un uso extraño del lenguaje algebraico (los números que multiplican a las letras se suelen poner antes, como coeficientes, para no dar lugar a equívocos).

En general, esa sesión de comentarios es sumamente interesante para poner en común errores o imprecisiones y métodos alternativos de resolución.

Y hasta aquí. Faltaría conectar con la representación gráfica y alguna cosa más, pero eso da para varios hilos y creo que con esto nos hacemos a la idea. Vuelvo a dar crédito a Abraham de la Fuente, a su director de tesis, Jordi Deulofeu por los problemas (imágenes incluidas, salvo la de las palmeras). Es algo que también aparece desarrollado en el libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de C. Calvo, J. Deulofeu, J. Jareño y L. Morera (2016). El enfoque es similar al que puede verse, por ejemplo, en los trabajos del Grup Vilatzara.

Os remito a su tesis Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor, disponible en el siguiente enlace

Y a la presentación de su ponencia en la #IVJEMA de la @sapmciruelos. «Aprender a usar el álgebra mediante la resolución de problemas. Una propuesta de Abraham de la Fuente». Enlace a la presentación

Por mi parte, si os interesan hilos como este, sabed que los tengo bien cosidos en mi tuit fijado.

¡Feliz clase!

Pd. Leches, se me olvidaba. Justo hoy me preguntaban por las adaptaciones significativas y atención a la diversidad. Pues bien. Estas tareas son para todos, no tienes que hacer materiales aparte. Suelo bajo y techo alto.

El problema de esas ACS, que no se nos olvide, es que tal como están las cosas prácticamente imposibilitan la titulación. Pero eso sí que es otro melón.