Entreacto de los enteros: características de su introducción con modelos concretos

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de varios hilos de Twitter.

Entreacto, en algún lugar entre el segundo y el tercero. Una vez presentados los personajes, para completar la reflexión faltaría exponer cuáles son las características de la introducción en el aula de los enteros por medio de modelos concretos.

Dentro spin-off.

1️⃣ Supone que los enteros se ven en el ámbito de la aritmética

¿Cómo? ¿No son números? Ya vimos que una característica fundamental de la resolución aritmética de problemas es el control semántico del contexto.

Esto quiere decir que es el significado de cada número el que nos permite decidir qué operaciones ir haciendo en cada momento. Una consecuencia es que no se necesita incluir nuevos símbolos que los empleados ya para los naturales.

Resolver un problema de este tipo acudiendo a los enteros, con todo lo que conlleva, no hace sino aumentar innecesariamente la complejidad de la notación. Hay ejemplos de problemas de deudas y haberes desde épocas remotas (vete a decírselo a los escribas del faraón).

2️⃣ Se invierte el proceso de modelización matemática

En las ciencias experimentales o sociales lo que se estudia es un fenómeno o situación, que se representa mediante un modelo matemático, que permite obtener información, hacer predicciones, etc.

En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (ej, manipulables) para naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida.

Ahora, los enteros surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Ya vimos en los tres actos que los modelos concretos no consiguen reproducir de forma intuitiva su estructura.

Además, el uso de modelos concretos aquí refuerza la idea de los números enteros como medida de cantidades de magnitud relativas o con dos sentidos y relaciona sus operaciones con ciertas acciones físicas.

3️⃣ La utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden y la estructura multiplicativa de los enteros

Esta es breve. Ya vimos el porqué.

4️⃣ Las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos

¿Cómo? ¿No queda claro que estamos ante un nuevo conjunto numérico? En la enseñanza de la aritmética elemental se peca habitualmente de un reduccionismo que consiste en definir las operaciones entre cualquier tipo de números como operaciones entre naturales. Ya lo hemos comentado aquí con el modelo parte-todo de las fracciones, que no hace sino considerarlas como un doble recuento. Lo mismo con las reglas de manejo de la coma decimal. Y este reduccionismo alcanza, por supuesto, a los enteros.

¿Quién no ha oído lo de sumar positivos por un lado y negativos por otro? Todo esto es un obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico.

5️⃣ Las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan

No se busca el modo más simple de operar. Esto es un aspecto de las expresiones numéricas, que no es sino el preludio de una característica elemental del quehacer algebraico.

Descuidar el punto anterior tiene importantes consecuencias a la hora de establecer buenas prácticas de cálculo algebraico.

6️⃣ La presentación inicial de la notación completa impide el desarrollo de las prácticas de cálculo habituales

Ya comentamos lo que implicaba esto de la notación completa y las instrucciones que promueven la supresión del signo + predicativo, en lugar del signo + binario.

7️⃣ Se introducen las notaciones sin considerarlas objetos de estudio

El alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones. Y sí, esto es herencia todavía de las matemáticas modernas de los años 60 y 70.

Símbolos que antes eran exclusivos del dominio algebraico (símbolos de operaciones, de relaciones, etc.) ahora se ven como si nada en el campo de la aritmética. Y el significado de estos, presenta matices importantes en cada uno de estos ámbitos.

8️⃣ No se explicitan las diferencias existentes entre los enteros y los naturales

La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Pobre, ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.

La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no, no es lo mismo. También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.

O que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo, o que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores, o que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente…

O que no existen números menores que cero, etc. Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien pensada y articulada. No hacerlo puede hacer creer que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

A modo de conclusión

La próxima vez que alguien te diga que son sencillas las matemáticas de primaria o de 1º y 2º de ESO, ten presente este tipo de consideraciones.

Ahora, por ejemplo, se menciona que el curso que viene se trabajará en 1º de ESO por ámbitos. Adelante, pero con dos especialistas trabajando de forma coordinada y flexible.

Referencia, al igual que en los tres actos, la tesis de Eva Cid, titulada Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos (2015).

Esto ha sido un spin-off de los tres actos de los enteros.

¡Feliz clase!

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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