Geotiras

Las geotiras son tiras rígidas perforadas que se unen con encuadernadores por sus agujeros. Hay versiones comerciales, pero es fácil construirse un set casero o reutilizar algún juego tipo Mecano. A diferencia de una figura dibujada en papel, que es estática, la construcción se puede deformar y hacerse dinámica. Ahí está la gracia del material, y es lo que esta versión virtual intenta respetar. He utilizado como referencia el modelo comercial de Invicta Education, que es el que tenemos por la facultad.

Cómo se usa

• Arrastra las piezas desde la columna de la izquierda.
• Al acercar dos agujeros se atraen y el encuadernador se coloca solo.
• Arrastrando una tira se mueve todo el grupo unido; con el tirador ⟳ giras solo esa tira.
• Arrastrando un encuadernador se deforma la figura, como si empujaras el modelo de plástico.
• La casilla Ángulos marca el ángulo en cada encuadernador y también donde dos tiras se cruzan sin estar unidas.
• El cordel elástico une agujeros para marcar diagonales, lados o puntos medios.
• El fijador de ángulos tiene marcas cada 15°: sujeta la tira por el centro y, al girarla, se detiene sola en cada múltiplo.
• El clavo sujeta un agujero a un punto fijo: con un clavo la tira sigue girando alrededor de él, con dos se queda quieta.
• La polea tiene el eje fijo pero gira, y arrastra la tira que le montes encima; la correa obliga a dos poleas a girar el mismo ángulo.
• El rotulador se engancha en un agujero, o en el punto donde se cruzan dos tiras, y va dejando su rastro mientras mueves la construcción.

El clavo

Con las tiras en la mano hay una cosa que se da por supuesta y que en la pantalla no existe: la mesa. Cuando montas un cuadrilátero articulado sobre la mesa y lo deformas, en realidad estás sujetando un lado con una mano y empujando con la otra. Ese lado sujeto es lo que convierte un montón de barras en un mecanismo, porque es el que da la referencia respecto a la cual se mueve todo lo demás.

El clavo es esa mano. Se pone con la herramienta ⊕ Clavo haciendo clic en un agujero, y ahí se queda ese agujero, pase lo que pase. Un solo clavo deja que la tira siga girando alrededor de él, como una chincheta; con dos clavos en agujeros distintos la tira ya no se mueve y hace de suelo.

Cambia además cómo se arrastra. Si en el grupo hay algún clavo, arrastrar una tira ya no mueve el conjunto entero: tiras del punto que has agarrado y el mecanismo se articula, que es lo que hace el material de verdad cuando lo tienes sujeto contra la mesa.

El rotulador

Es lo que le falta al material de plástico. Con las tiras en la mano ves cómo se mueve la figura, pero cuando la sueltas no queda nada; el movimiento se va con ella. El rotulador deja huella: enganchas uno en un agujero, mueves la construcción y en el papel aparece el camino que ha recorrido ese agujero. Deja de ser un dibujo de la figura para ser un dibujo del movimiento.

Se pone y se quita con la herramienta ✎ Rotulador, haciendo clic en el agujero y volviendo a hacer clic encima. Puedes tener varios a la vez, cada uno de un color: el selector de color de la barra vale para el rotulador y para la goma. El trazo tiene vida propia, así que puedes quitar el rotulador, e incluso desmontar la construcción entera, y el dibujo se queda. Para borrarlo, la herramienta ✕ Borrar quita el trazo sobre el que hagas clic, uno a uno; Limpiar se lo lleva todo.

Lo interesante es que el trazo es el lugar geométrico de ese agujero: no lo dibujas tú, lo dibuja la restricción que has montado con las tiras y los encuadernadores. Cambiar una longitud cambia la curva.

El rotulador también se puede poner donde se cruzan dos tiras, y entonces no sigue a ningún agujero, sino al punto de corte, que va deslizando por las dos mientras se mueven. Se dibuja hueco para distinguirlo. Hace falta para el modelo de la sección siguiente, y en general para todos los lugares geométricos que se definen como intersección de dos cosas que se mueven a la vez.

Poleas, correas y el arco capaz

Esta parte viene de un modelo que describe Puig Adam en su Didáctica de la matemática, y que él construía con dos bobinas de cinta de máquina de escribir. Dos varillas giran alrededor de dos puntos fijos P y Q, que son los ejes de dos poleas. Un hilo tendido entre las dos gargantas y bien arrollado obliga a las dos poleas a girar el mismo ángulo. Como las dos varillas giran lo mismo, el ángulo que forman entre ellas no cambia nunca, y su punto de corte B describe el arco capaz de ese ángulo sobre el segmento PQ.

Para montarlo: pon dos poleas con la herramienta ◎ Polea, arrastra una tira larga hasta que uno de sus agujeros caiga sobre el eje de cada una —el imán te ayuda— y móntala con el encuadernador. Une las dos poleas con la ⊃ Correa. Pon el rotulador en el cruce de las dos tiras.

Hay dos giros distintos, y la diferencia es justo la que hay entre montar el aparato y usarlo. Arrastrando una tira montada la giras solo a ella, que se desliza sobre su polea: así se cala cada varilla y se decide el ángulo que van a formar. Arrastrando la polea giras el mecanismo entero —esa polea, la que tenga por correa y todas las tiras montadas—, que es darle a la manivela. El ángulo entre las varillas solo cambia con lo primero; lo segundo lo respeta, y por eso el punto de corte describe un arco.

La gracia de este modelo es que la propiedad que se quiere enseñar no está dibujada por ninguna parte: está garantizada por la correa. El ángulo se mantiene porque hay un hilo que lo obliga, no porque lo hayamos medido.

• Cala las dos varillas en el ángulo que quieras y activa la casilla Ángulos. Ahora dale a la polea: el vértice se mueve, el ángulo no. ¿Por qué?
• Antes de mover nada: ¿por qué la correa hace que el ángulo no cambie? ¿Qué pasaría si el hilo estuviera cruzado en ocho?
• Coloca las dos varillas de manera que formen 90° y traza. ¿Qué circunferencia sale, y por dónde pasa? ¿De qué teorema te suena?
• Gira las poleas 40° y mira cuánto arco ha recorrido el punto de corte. ¿Casualidad?
• Cambia el ángulo entre las varillas antes de poner la correa y vuelve a trazar, sin borrar lo anterior. Con tres o cuatro arcos de colores distintos sobre los mismos P y Q, ¿qué se ve?
• ¿Qué pasa cuando el punto de corte se sale de las tiras? ¿Es un fallo del modelo o del material?

Las medidas del material

Tomando como unidad la longitud de la tira roja pequeña (R1), las rojas miden 1, 2 y 4 unidades, con los agujeros cada media unidad. Las azules son R1·√2 y R2·√2; las amarillas, R1·√3 y R2·√3, con los dos agujeros contiguos al central dividiendo la tira en tres partes iguales; y las blancas, R1·√5 y la diagonal mayor del octógono de lado R1.

Esas longitudes tienen su razón de ser. Con dos tiras rojas de 4 y 2 unidades cruzadas por sus centros como diagonales, el rombo que resulta tiene el lado exactamente igual que la tira blanca pequeña. El material está pensado para que esas coincidencias aparezcan. Conviene observar que es un material excelente y dinámico, pero no tanto como puede serlo una construcción de GeoGebra, que no estaría sujeta a los condicionantes de las longtitudes de las tiras.