Empezar lenguaje algebraico definiendo monomio: por ahí no es

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de un hilo publicado en BlueSky y en Twitter(X).

Recuerdo aquellos hilos que hacía de «Elige tu propia aventura». Pues para empezar lenguaje algebraico en, digamos, 1º ESO, habría varios caminos, pero el peor de todos es el que empieza definiendo monomio. Al mismo nivel que la regla de tres para proporcionalidad. Va hilo.

Ese camino empieza por ahí y sigue explicando muy claro (¿?) lo de la parte literal (aka las letras) y lo de, mira, hay monomios que tienen la misma parte literal y se les llama semejantes. Resulta que esos los puedes sumar y restar. Los demás no.

Inciso. A que mola el meme del mono mío. Pues tiene dos niveles de lectura. O es un mono mío a secas o un monomío semejante al monogrande. ☂️☂️☂️☂️☂️

‪ Hay varios enfoques o visiones del álgebra escolar, sobre los que hay multitud de literatura científica (al final pondré alguna referencia) y ninguno contempla empezar por el camino descrito anteriormente. Ninguno. Sin ser exhaustivo y teniendo en cuenta que hay autores que solapan algunos enfoques y que estos no son para nada excluyentes:

• Aritmética generalizada. Expresar las leyes o propiedades de la aritmética en términos generales.‪
• Identificación y generalización de patrones. Hay quien unifica el estudio de patrones con el anterior, pues también va de generalizar regularidades. Estructura.
• Enfoque funcional, donde las letras, cuando llegan, tienen el significado de variables. Expresar relaciones, que pueden emanar de un contexto intramatemático o físico.
• Modelización de situaciones físicas. Puede verse como incluido en el punto anterior.
• Álgebra para resolver problemas. Ecuaciones, etc. Donde las letras, cuando llegan, tienen significado de incógnita. Las reglas algebraicas, una vez establecidas, permiten resolver tipos específicos de problemas, una vez identificados. En efecto, la regla de tres puede verse como un método algebraico para resolver problemas de valor faltante o perdido.
• Álgebra como lenguaje. Para comunicar. Para explicar. El álgebra con literales me ayuda a explicar una regularidad.

El álgebra es mucho más que hacer cosas con letras. Por eso, antes, he ido poniendo la coletilla cuando llegan a las letras. Porque, sí, el pensamiento algebraico arranca desde la más tierna infancia, en infantil. ¿Acaso no hay patrones en infantil? Pues eso. Sin embargo, vamos a centrarnos en ese punto de ruptura que suele estar en 1º ESO que es cuando se empieza a hacer álgebra con letras. Cuando se introduce un contenido (sí, los saberes son contenidos) lo mejor es que sea motivado por algo.

‪No me refiero a algo extrínseco como tratar de encajar el camino del principio en una gamificación sobre la serie de streaming que esté de moda. No. ¿Por qué aprender álgebra? Eso tiene que apreciarse en la mismísima primera actividad. Los que me habéis ido siguiendo, sabéis de mi predilección por el enfoque de la propuesta de Eva Cid, donde a la vez que se introduce el álgebra con literales, se van construyendo los enteros como estructura numérica. Eso sería una aproximación funcional con tintes de aritmética generalizada. Funcional porque las letras aparecen en los primeros problemas como variables. Y aritmética generalizada porque echa mano de estrategias de cálculo oral. Pero dejemos eso a un lado, porque hoy quiero hablar de patrones. Que, por cierto, no es incompatible con lo anterior. Imaginemos que la primera actividad de la unidad «lenguaje algebraico», que es un clásico de 1º de ESO, fuera un patrón de los de visualpatterns.org (otra de esas páginas especializadas en un tipo de recurso), como este:

La actividad consiste en continuar un par de pasos la serie, y dar el número de elementos del paso <un número suficientemente grande como para que me resulte cansado dibujarlo> (en visualpatterns.org lo hacen con 43). Eso ya es trabajo algebraico. Reconocer la regularidad y explicarla. ¿Cómo los cuentas? ¿Cómo explicas cómo lo has hecho a un compañero? Si estamos en un ambiente #thinkingclassroom con pizarras verticales, cómo lo registramos para que un compañero comprenda cómo lo hemos hecho?

‪En el patrón anterior vemos que la sucesión es 5, 10, 15, etc. Ah, siempre es 5 veces el número del paso. ¿Cómo será el paso $n$? ¿Escribirlo así ayuda a explicarlo? Dos observaciones. Este patrón es demasiado sencillo y apenas requiere del dibujo. Sin embargo, aparecen otras formas de contar. ‪ Y hay quien lo expresa como $4·n+n$. ¿Será lo mismo eso que $5·n$? Bueno, pues ahí tienes ya una forma de empezar a manipular expresiones algebraicas. Tras una charla de aula más que rica y más que llena de matemáticas.

¿Qué puede pasar si propones esta actividad después de una aproximación como la de los primeros posts? Pues varias cosas, que cuando se pide generalizar, sin más, el alumnado no sabe qué se le pide. ¿Por qué no pedir el paso $n$? ‪ Pero lo más llamativo es que, si después de dos o tres semanas con las cantinelas de parte literal y operaciones con monomios semejantes, se pone sobre la mesa la cuestión de si $4·x+x$ es lo mismo que $5·x$ y un alumno se arranca a decir que no, que $4·x+x$ es lo mismo que $4·2x$, vamos apañados. Porque en general, estar varias sesiones dando estirando patrones como el anterior y como estos, y discutiendo diferentes maneras de contar y expresar esos conteos, se ve como pérdida de tiempo. Sin embargo, lo otro no tanto, porque parece que es lo que toca.

Pues lo siento, pero no.

Inciso. Probad diferentes maneras de abordar este de aquí. Y que una de ellas sea fijándoos en los incrementos. Tremendo.

Y nada más. Como había prometido alguna referencia, esta de aquí es amplia, relativamente reciente y viene a hablar de todo un poco: The Learning and Teaching of Algebra de Abraham Arcavi, Paul Drijvers y Kaye Stacey. No obstante, como lectura introductoria, suelo recomendar este texto de Marta Molina sobre concepciones del álgebra escolar, que está accesible en abierto).

¡Feliz clase!