La regla de tres debería desaparecer de las aulas

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

En este caso, te recomiendo fervientemente bucear entre los comentarios.

La regla de tres debería desaparecer de las aulas. Y ya.

Hacia el final del hilo pondré referencias sobre los obstáculos y dificultades que ocasiona esta forma de presentar la proporcionalidad. Ignorarlos sería, cuando menos, poco responsable como profesionales. No obstante, no adelantemos acontecimientos y vayamos poco a poco.

  • No lo entiendo. Con lo útil que es la regla de tres, mi profe de matemáticas no nos deja usarla. ¡Qué manía!
  • ¡La mía tampoco! ¡Mira que son especialitos! Lo que no saben es que con eso de las fracciones equivalentes hago lo mismo: este por este entre este.

Si estás pensando que la regla de tres es muy útil y que por qué no enseñarla, es fundamentalmente por:

  • Se asocia a situaciones que son muy cotidianas. Recetas de cocina, repartos, ofertas, porcentajes, etc.
  • Es lo que te han enseñado.
  • Evita pensar.

Sí, pensar cuesta y por eso tendemos a evitarlo. Por eso, la solución a «es que la regla de tres es caca» no puede pasar simplemente por un «usamos igualdad de razones y lo planteamos como fracciones equivalentes». Porque entonces se hace producto en cruz y chispún.

Yo es que les enseño todos los métodos: reducción a la unidad, fracciones equivalentes, regla de tres y constante de proporcionalidad… y luego ya que elijan el que quieran.

El que quieran. Claro.

Para empezar, cómo no van a optar por la regla de tres si es con el que menos piensas. Total, luego los ejercicios a realizar o son directamente proporcionales (a más, más) o inversamente proporcionales (a más, menos).

No voy a profundizar en esto porque ya doy bastante la turra de normal. No se trata de mostrarles las ««matemáticas»» (y con esto de la regla de tres no hay comillas suficientes en el universo) y luego pretender que sepan resolver problemas.

Ahora bien, en este caso es más flagrante todavía. Los objetos matemáticos que están detrás de la proporcionalidad directa y la inversa están más alejados de lo que parece. ¿Habéis visto cómo son las representaciones gráficas de uno y otro?

La inversa, además, requiere de unos razonamientos más complejos desde el punto de vista cognitivo. Pero centrémonos en la proporcionalidad directa: el «a más, más» y «a menos, menos», no vale.

«A más, más» no funciona porque cualquier modelo funcional que sea creciente, lo cumpliría. Piensa en el crecimiento exponencial en el comienzo de las olas de la COVID. Cada día hay más casos, pero no responde a un modelo de proporcionalidad directa.

Aunque no fuera estrictamente creciente, el «a más, más» se cumpliría. Imagina una tarifa telefónica, que ya pongo adrede para ver que al «a doble, doble» habría que exigirle algo más:

  • Gratis hasta los 3'.
  • 2 € cuando la duración de la llamada esté entre 3' y 6'.

Si observas la tarifa anterior, con 4' estás pagando el doble que con 2'. Y con 8' el doble que con 4'. Coste y duración de las llamadas son magnitudes que están relacionadas, pero no son directamente proporcionales.

La clave, por tanto, es reflexionar sobre las condiciones que hemos de exigir a una relación entre dos magnitudes para que sean directamente proporcionales.

Primero, que sean dos magnitudes. Porque, a veces, en la descripción de una situación aparecen números que no indican cantidades de magnitud. En 2º de ESO hay 80 alumnos en el instituto, ¿cuántos alumnos habrá en 4º de ESO?

Y si son cantidades de magnitud y están relacionadas, habrá que explorar cómo es esa relación. Veamos, ¿se puede asumir que a una unidad de una de las magnitudes le corresponde siempre la misma cantidad de la otra?

Por ejemplo, he ido a una tienda y he comprado 15 productos, que me han costado 30 euros. ¿Cuánto cuesta cada producto? ¿Cuántos productos puedo comprar por un euro? Piensa, por favor, sobre las preguntas anteriores antes de seguir.

Solo se pueden responder si suponemos algo. Hemos de asumir una condición. Que cada producto cueste lo mismo, o que pueda comprar la misma cantidad de productos por un euro. Es lo que, en términos de Gairín, Oller-Marcén, Martínez-Juste y otros se llamacondición de regularidad.

Pero vamos, reflexionar sobre la relación entre las magnitudes que intervienen es un elemento común en distintos autores.

Si no asumes dicha condición, es que no puedes ni plantear 30/15=2 ni 15/30=1/2. Si la asumes, entonces puedes dar significado al 2 y al 1/2 (o 0,5 si quieres). Venga, qué significan esos números.

Vale, dos qué. Como he repartido los 30 productos entre los 15 euros, puedo comprar dos productos con un euro. Y el un medio qué. Pues que cada producto me cuesta medio euro, o 0,5 euros.

Y una vez das significado a esas razones (lo cual constituye un significado propio del número racional), ya puedes abordar situaciones de valor desconocido (los que abundan en libros de texto y mucha gente llama problemas de regla de tres) y de comparación de razones.

Si sé que cada producto me cuesta 0,5 euros, ¿cómo no voy a poder decir cuánto me costarán 20 productos? Si sé que por cada euro puedo comprar 2 productos, ¿cómo no voy a poder decir cuántos compraré con 30 euros?

O si, en otra tienda, compro 20 productos por 15 euros, ¿cómo no voy a poder decir qué productos son más caros, si los de esta o los de la otra?

Pablo, pero es que todo esto que me estás contando es más complicado que presentar la regla, preguntar si es directa o inversa y este por este entre este. GOTO 10 primeros tuits.

Y me alegro de que me hagas esa pregunta, porque, dejando de lado el hecho de que la regla de tres como instrumento «matemático» ejem, estás poniendo sobre la mesa una de las grandes diferencias entre el quehacer en matemáticas y el quehacer en experimentales.

En matemáticas se trata de construir el objeto matemático en cuestión. Aquí, la proporcionalidad directa. Podemos fijarnos en contextos reales que reproducen de forma intuitiva sus propiedades, pero el objetivo es construir y justificar ese objeto.

Sin embargo, en experimentales es al revés. Se da por hecho el modelo matemático y se aplica a una situación o fenómeno para extraer nueva información y predecir su comportamiento.

En matemáticas, por tanto, no nos podemos «conformar» con revolver correctamente problemas en donde intervienen magnitudes directamente proporcionales. La justificación de esa estructura multiplicativa, la exigencia de las condiciones, etc. son objetivos de aprendizaje.

Por cierto, ya que hablo de experimentales. Los factores de conversión, que muchas veces se plantean como alternativa rigurosa a la regla de tres y la odiosa escalera para cambios de unidades, no son la panacea.

Introducidos de prematuramente (casi siempre lo es) constituyen un atajo que facilita no dar significado completo a lo que se está haciendo. Si sé que cada hora tiene 3600 segundos, ¿dónde está el problema para saber que he de multiplicar por 3600 para pasar de horas a segundos?

Vamos, que terminan muchas veces en una serie de trucos de magia para que al final te salgan las unidades correspondientes. Pero como decía Michael Ende, eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

Terminaré aludiendo a los obstáculos de pasar de todo esto y arrojarse a los brazos de la regla de tres porque es muy útil porque patatas.

Autores como De Bock, Van Dooren, Jannsens y Verschaffel hablan de la ilusión de linealidad. Esto consiste en aplicar el modelo de proporcionalidad en situaciones que no lo permiten.

Hay muchísimos ejemplos. En geometría los hay muy claros. Si duplico el radio de esta circunferencia, ¿cuánto será el área? Pues el doble. Pos va a ser que no.

Aquí dejo enlace a una traducción en español del trabajo de estos autores: La búsqueda de las raíces de la ilusión de linealidad.

Pero es que el mojón de la regla de tres y la consecuente ilusión de linealidad planearán como una sombra incluso cuando se aborde la probabilidad.

O cuando se exploren las tasas de variación, etc. En fin, ¿qué queremos? ¿Dar una receta para salir del paso y disimular o construir las matemáticas con los alumnos?

Evidentemente, los alumnos con más talento podrán salir inmunes, ya que el talento prospera en las condiciones más adversas. En todo caso, habrán perdido el tiempo. ¿Y los demás? Peor, claro.

No he hablado de la compuesta. Aunque vaya, os podéis imaginar.

En fin, enlazo los elementos básicos de una propuesta innovadora, que tiene en cuenta todos estos elementos, de mis compañeros de la Facultad de educación de Unizar, Martínez-Juste, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén, junto con Pecharromán.

Esta propuesta me parece maravillosa, y arranca del trabajo sobre racional de gente como Gairín y Escolano.

Por si no queda clara todavía la relación de la regla de tres con la ilusión de linealidad y los obstáculos que se genera. La regla de tres es el paradigma de estrategia que fomenta eso porque no le da significado a lo que haces. Y esto no solo lo mencionan los autores que he ido citando, es una constante: Freudenthal, Schoenfeld, etc.

De verdad, pasaros por las interacciones en twitter. No sé si existe otro objeto en la educación matemática que desate tantas pasiones (a favor y en contra) como esto de la regla de tres. Cuando escribí el megahilo sobre la regla de tres, en una sola tarde vi cómo se elevaba a rango de teorema, se ponía al nivel de las leyes de Newton, se ignoraba su contribución a futuras dificultades de los alumnos y se me tachaba de talibán.

Con este hilo participo en el #CarnaMat12_2: Carl Friedrich Gauss del @CarnaMat, que en esta ocasión organiza @gaussianos.

Un saludo y… ¡feliz clase!

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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