Recuerdos del ayer

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

«Recuerdos del ayer» (Takahata, 1991) es una película preciosa de Ghibli. Pero es que se marca la escena más impactante sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de la historia del cine. Visionado obligado. Y punto. Va hilo.

Dedicado a los que cuando se habla de comprensión (relacional) preguntan que qué problema hay con la mecanización. O que no pasa nada por ver primero la técnica y luego ya, si eso. Que si se pierde tiempo.

O que por qué entonces desde la mecanización hay alumnos que avanzan y progresan estupendamente (a pesar de y de aquella manera, diría yo). Etc.

Pongamos primero un poco de contexto. «Recuerdos del ayer» no puede decirse que sea una película para el público infantil. Desde luego, no solo. No porque haya violencia o imágenes poco apropiadas para los más pequeños, pues no hay nada de eso.

Sino porque se trata de una película serena, sosegada e intimista, que aborda temas que exigen cierta madurez. Podría decirse que el tema central es la nostalgia, aunque eso sería simplificar mucho las cosas.

Hay espacio para poner en juego el contraste entre el mundo rural y el urbano (temas clásicos en Ghibli), la relación de la civilización con la naturaleza o, como veremos, la ideología que subyace a los objetivos que nos planteamos en la educación, sean explícitos o implícitos.

Taeko, la protagonista, es una joven de 27 años que vive en Tokyo. Solicita un permiso de vacaciones para poder pasar unos días trabajando en el campo, donde pasó algunos de los momentos más felices de su vida.

La película irá intercalando el presente con los recuerdos del pasado de Taeko, cuando tenía 10 años. En este sentido, hay que reconocer la labor de Takahata, ya que desde el punto de vista narrativo no resulta sencillo hilvanar ambos períodos temporales y que el relato fluya.

Y lo consigue, vaya que si lo consigue. Cada recuerdo de Taeko surge del presente y, al mismo tiempo, presiona para tambalear su vida, llegando un momento en el que ya no sabe qué hacer. Es entonces cuando su nostalgia se vuelve fuerza transformadora.

En cierto momento de la película, Taeko conversa con Toshio, un joven del pueblo con el que entabla amistad y comparte muchos de sus recuerdos y reflexiones, y le saca el tema de las matemáticas escolares. Es algo que hace completamente a bocajarro.

No esperas que alguien te pregunte si aprendiste con facilidad a dividir fracciones, ¿no?

  • Por cierto, Toshio, cuando ibas a la escuela ¿aprendiste enseguida a dividir fracciones?
  • ¿Ein?
  • Sí, lo de intercambiar numerador y denominador para después multiplicarlo.

¿Que a qué viene esa pregunta? Atención a la bomba que deja caer la buena de Taeko, como si nada:

  • Creo que los que pueden dividir fracciones sin dificultades después tienen pocos problemas en la vida. ¿Y eso?

  • Tenía una compañera que no era muy buena en matemáticas, pero intercambiaba numerador y denominador como le decían y sacó un 10. Creció haciendo caso de lo que le decían y no tuvo ningún problema. Ahora es madre de dos niños. Yo era muy mala en eso.

Taeko señala que no era especialmente lista 🤷‍♀️. Pero sí que le gustaba preguntar y cuestionarse. La película no se limita a mencionar el asunto de la división de fracciones, sino que, en consonancia con su estilo intimista, se deleita en ello.

Entonces Takahata vuelve al ayer de Taeko y nos muestra sus intentos por comprender la división. Rememora aquel día en que suspendió un examen de matemáticas y su madre instó a su hermana mayor a que se lo explicara.

Veamos qué significa dividir fracciones para Yaeko y por dónde empieza su explicación.

  • Siéntate. Dime las tablas de multiplicar.
  • ¿Las tablas? Ya me las sé, que estoy en quinto.
  • Entonces si te las sabes por qué te has equivocado.
  • Lo que se me da mal es dividir fracciones.

Yaeko lo ve tan sencillo que no entiende qué le pasa a Taeko.

  • Tienes que intercambiar el numerador con el denominador. Y luego lo multiplicas. Solo eso, te lo han enseñado en el colegio, ¿no? Entonces, ¿por qué te has equivocado?

Y aquí viene la pregunta clave que lanza Taeko y que descoloca a su hermana.

  • ¿Qué sentido tiene dividir una fracción por otra?

  • ¿Ein?

  • Si dos tercios de una manzana los dividimos entre un cuarto… Es decir, si dos tercios de una manzana los dividimos entre 4 personas, se trata de saber cuántos trozos de manzana le tocarán a cada una, ¿no? Entonces, 1, 2, 3, 4, 5… Les toca una sexta parte de la manzana.

Claro, esto a Yaeko le vuela la cabeza.

  • No, no, no, ¡eso es multiplicar!
  • ¿Sí? ¿Por qué? ¿Cómo va a ser más pequeño un número cuando lo multiplicas?
  • Mira, dos tercios de una manzana dividido por un cuarto significa que…

CRI CRI

Lo que estamos viendo es que Yaeko, la hermana mayor no posee el conocimiento especializado del contenido.

  • ¡Eso no importa! No te compliques pensando en manzanas, solo memoriza esto. Al multiplicar lo dejas igual, al dividir lo inviertes.

Y YA ESTÁ

Esto de las fracciones es una excusa para tratar temas que van desde el papel de la mujer en la sociedad nipona de aquellos años hasta cómo nos dejamos abrazar, a veces, por la seguridad reconfortante de saber que estamos haciendo simplemente lo que nos piden, sin cuestionarlo.

Más adelante, Taeko vuelve a recordar el episodio de las fracciones, mostrando cómo se resistía a darlo por imposible, por mucho que le dijera su hermana. Y es que actitudes como la de Taeko son inhibidas en multitud de ocasiones sin darnos cuenta.

Desconocemos si el profesor o profesora de Taeko era capaz de proponer una situación que diese significado a la división de fracciones. Es decir, no sabemos si carecía de conocimiento didáctico-matemático para ello o que, simplemente, se dedicaba a enseñar la técnica.

Lo que está claro es que en clase no se le había dotado de significado a la división de fracciones. Y que, desde luego, su hermana Yaeko tampoco era capaz de darle significado, aunque a ella no le importaba. Asumía el contrato didáctico.

La división de fracciones tiene miga. Es curioso el paralelismo que encontramos con algo que escribió Ma acerca de esto en su libro, cuya primera edición data de 1999, sobre las matemáticas fundamentales para la enseñanza, tanto en China como en EE.UU. a modo de comparación.

Uno de los ejemplos que más le llama la atención a Ma es, precisamente, la división de fracciones. Y, ya en la introducción hace referencia a la sorpresa que le causaron las dificultades que mostraban los docentes de EE.UU para calcular el resultado de la operación 1¾ : 1/2.

No nos distraigamos por el hecho de que aparezca un número mixto, ya que en ambos países están acostumbrados a ellos. Ma señala que prácticamente todos los docentes chinos calculaban el resultado sin vacilar, mientras que en EE.UU. solo lo hacían correctamente la mitad.

Ma sitúa el origen de estas dificultades en que los docentes estadounidenses no habían llegado a construir un significado adecuado de la división de fracciones, debido a que su conocimiento al respecto carecía de conexiones y relaciones.

En otras palabras, no era una comprensión relacional, sino que se basaba únicamente en una idea: el modelo partitivo de la división entera. ¿Acaso no es complejo entender la división de fracciones? Claro que sí.

Probad a pensar en situaciones contextualizadas que respondan a la operación anterior de 1¾ : 1/2 (o, lo que es lo mismo, 7/4 :1/2). Son estas situaciones las que permiten desarrollar esa comprensión a nivel conceptual.

Ma pone el siguiente ejemplo:

Corta una manzana en cuatro piezas del mismo tamaño. Toma tres de estas piezas y ponlas junto a una manzana entera. Consideremos que 1/2 manzana será una ración. ¿Cuántas raciones podremos obtener de 7/4 de manzana (1 manzana y tres cuartos)?

Hay muchas más historias que responden a la división de fracciones. Se puede jugar con las magnitudes involucradas, si ambas fracciones indican medidas o una de ellas actúa como operador, etc.

Todo este conocimiento forma parte del conocimiento especializado del contenido. Es conocimiento didáctico-matemático. En otras palabras, siguen siendo matemáticas, aunque orientadas a la enseñanza.

Y los primeros que debemos procurar poseer este tipo de conocimiento, así como las competencias que lo ponen en juego, somos los docentes. Si queremos que nuestro alumnado desarrolle una comprensión relacional, claro.

Volvamos a Japón, cuna de nuestra película. Llama la atención que hayan sabido sobreponerse a esa tradición tan estricta que permea «Recuerdos del ayer». Al igual que Taeko, han sabido respirar y tomar perspectiva.

Akihiko Takahashi rememora en su reciente libro cómo recogieron en los años 80 y principios de los 90 las ideas de los estándares que iba publicando el NCTM, asumiendo que eso era lo que se estaba haciendo mayoritariamente en Estados Unidos. Nada más lejos de la realidad.

Después de veinte años de experiencia y habiéndose establecido el lesson study como un verdadero plan de desarrollo profesional, volvió a EE.UU., comprobando que no se estaba haciendo enseñanza a través de la resolución de problemas de forma extendida. 🤷‍♂️

Actualmente vivimos una etapa de cambio curricular. Las orientaciones internacionales siguen empujando en la misma línea de aprender a través de la resolución de problemas, puesto que no se puede concebir de forma aislada. Aunque claro, depende de a lo que llamemos matemáticas.

Me permito enlazar el hilo ¿Se da clase de dos asignaturas diferentes bajo el mismo nombre? que va precisamente sobre lo anterior.

Voy terminando. Como decía, para mí estamos ante una de las escenas de cine más profundas, si no la que más, sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Va a ser un fragmento de visionado obligado, tanto en Magisterio como en el Máster ESOb.

Da pie a montar un pequeño debate donde, al igual que Taeko, intentamos recordar cómo vivimos aquellas matemáticas escolares.

Comento todo esto en el artículo de la sección «Matemáticas animadas» del reciente número de EDMA0-6, donde aprovecho para hacer un repaso de anteriores entregas.

No os perdáis ese último número y guardad la revista EDMA0-6 en favoritos como referencia en educación matemática para infantil (especialmente) y primaria 😊.

Y con esto… hilo-novela terminado. ¡Felices fiestas!

¡Pero si la revista EDMA0-6 tiene nueva casa digital en la Universidad de Valladolid! 👏

Créditos

📷 El copyright de las imágenes pertenece a sus respectivos autores y/o productoras/distribuidoras.

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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