Unas tareas de comparación de repartos

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Momentos estelares de esta semana en 2º ESO con tareas de este tipo.

Considerando que a/b representa un reparto igualitario, compara las siguientes fracciones.

¿Dónde hay más tortillas? ¿Dónde menos? ¿Dónde hay más personas? ¿Dónde menos? ¿En qué reparto recibe cada participante una cantidad mayor de tortilla?

Son preguntas spoiler que se guarda uno en la recámara solo por si acaso. Porque al haber trabajado ya comparaciones desde este punto de vista entre:

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{7}{5}$

$\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

$\cfrac{3}{5}$ y $\cfrac{4}{7}$

ya se han puesto en juego todos los elementos.

De hecho, para fomentar el razonamiento desde la idea de reparto los hemos presentado con otra notación.

Sí, entre paréntesis. El primer elemento indica el número de tortillas (o de objetos fraccionables a repartir) y el segundo, el número de participantes. Más adelante se relaciona (es algo que queda evidente) con las fracciones.

Bueno, el (4,5) es menor que el (7,5) porque tenemos menos tortillas para el mismo número de personas, de manera que los participantes reciben una cantidad menor de tortilla.

El (4,5) es mayor que el (4,7) porque hay el mismo número de tortillas en ambos repartos, pero en uno participan 5 personas y en otro 7, por lo que en el (4,5) se come más.

Y qué hacemos para comparar (3,5) y (4,7). Pues hay varias formas. Podemos buscar repartos equivalentes en los que se iguale el número de participantes o el número de tortillas, reduciendo esto a uno de los casos anteriores.

Por ejemplo, (3,5)=(21,35) y (4,7)=(20,35). En el primero hay más tortillas para las mismas personas, por lo tanto es mayor.

O también, (3,5)=(12,20) y (4,7)=(12,21). En el primero hay menos personas para la misma cantidad de tortilla, por lo tanto, es mayor.

Pero no es la única forma. En clase ha surgido que en el de (3,5) se come más porque cada participante recibe media tortilla más la media que falta a repartir entre 5. Mientras que en el (4,7) reciben media tortilla más la media que falta, pero a repartir entre 7.

Con lo dicho hasta aquí hay material de sobra para resolver el 1) del tuit inicial.

¿Y si vamos al ejercicio 2) del principio? Queremos comparar a/b y (a+1)/(b+4)

Una forma es, como hemos hecho antes, obtener repartos equivalentes con el mismo número de participantes o de tortillas. Por ejemplo, amplificando el primero por (b+4) y el segundo por b.

En clase ha surgido la idea de que si a/b=1/4, esos repartos son equivalentes. Y una vez establecido eso, se observa que si aumento el número de tortillas (me voy a fracciones mayores que 1/4), se recibe más en el a/b.

Una justificación plena de este razonamiento es vía la idea de socialización. El reparto (a+1)/(b+4) viene de juntar los repartos a/b y 1/4. Es decir, que hemos socializado las tortillas de esos dos repartos (a+1) y las personas (b+4), para hacer un nuevo reparto (a+1)/(b+4).

Y ese nuevo reparto está entre los dos originales. Porque los participantes del mayor de ellos, pasarán a comer menos en el socializado. Y los participantes del menor de ellos, pasarán a comer más.

Por tanto, una de tres:

$\cfrac{a}{b} < \cfrac{a+1}{b+4} < \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} > \cfrac{a+1}{b+4} > \cfrac{1}{4} $

$\cfrac{a}{b} = \cfrac{a+1}{b+4} = \cfrac{1}{4} $

Entonces:

  • Si a/b < 1/4, cosa que ocurre cuando b>4a, resulta que estamos en el primero de los casos anteriores y, por tanto, a/b será menor que (a+1)/(b+4).
  • Si a/b=1/4 serán iguales.
  • Y si b<4a, será a/b >(a+1)/(b+4)

Y fin.

Como parece que suscita interés, debo decir que esto ha de verse como otro ejemplo de cómo introducir los conceptos desde la atención a la diversidad con un enfoque a través de la resolución de problemas.

Es decir, un punto de entrada accesible que establece conexiones y con el que llegas a ideas matemáticas potentes y profundas. Y todos están en condiciones de participar en esos razonamientos.

Hay que tener en cuenta que no es llegar un día a clase y soltar estas cuestiones (u otras) esperando que el alumnado se implique, participe y podamos construir a partir de sus aportaciones. Es un trabajo que comenzó el curso pasado con estos grupos.

Esto del racional, por otro lado, es un ejemplo claro de conocimiento didáctico-matemático. De hecho, es conocimiento especializado del contenido que no verás ni en el grado de Matemáticas, ni en Física, Ingenierías, etc.

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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