La mediatriz a través de la resolución de problemas

Lo que viene a continuación es una versión blog o desplegada de este hilo de Twitter.

Eres profe de mates y toca introducir “la mediatriz”, digamos en 1º ESO. Elige tu propia aventura.

A. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. B. Coloca 5 o 6 puntos en el mapa que estén a la misma distancia de dos amigos.

Si has optado por A, has elegido una enseñanza PARA la resolución de problemas. En principio, ahora toca explicar el procedimiento para dibujarla y, después, plantear unos ejercicios para ver si el alumnado ha “entendido”.

Estos ejercicios pueden ser, dados dos puntos A y B por sus coordenadas, trazar el segmento que los une. Luego, pueden venir ejercicios de aplicación, tal vez problemas.

Por ejemplo: si m es la mediatriz del segmento AB y C es un punto de la recta m, ¿cuál es la distancia del punto C al punto A, sabiendo que la distancia de C a B es 4 cm?

Por supuesto, aquí, una muestra variada de situaciones enriquecerá algo la propuesta. Pero veamos qué pasa si optamos por la B.

La opción B forma parte de una enseñanza a través de la resolución de problemas. Que, como ya hemos dicho aquí, no es dejar al alumnado en la selva. Hay descubrimiento guiado, y hay un andamiaje.

Se les proporciona a los alumnos un geogebra con un mapa y dos puntos fijos. Sin ejes ni cuadrícula. No cuesta nada maquearlo para su localidad ( enlace a ggb).

Ana y María están en los puntos de la localidad que tienes marcados en la foto. Tienes que encontrar varios puntos (al menos cuatro) que estén a la misma distancia de las dos. Puedes comprobar las distancias midiendo con Geogebra. Marca los puntos en la hoja.

Esta actividad puede servir como introducción a geogebra. Colocar puntos, medir, arrastrar…

Una vez que tienes situados al menos cuatro puntos, contesta:

  1. ¿Qué tipo de forma o figura se formará al dibujarlos todos?
  2. ¿Podrías encontrarlos todos?

  1. ¿Qué nombre recibe el conjunto de puntos que has encontrado?
  2. Escribe una definición de este conjunto de puntos.
  3. ¿Podrías escribir otra definición diferente?

Observemos que, hasta ahora, a los alumnos no se les ha mencionado el nombre de “mediatriz”, ni siquiera está en el título. Sin embargo, en la pregunta 3 ya aparece. Es posible que algún alumno lo conozca y asocie esta actividad con algo anterior.

Atención a las preguntas 4 y 5. En lugar de dar una definición, no se da ninguna. Y no contentos con eso, preguntamos por otra definición. ¿Estamos locos?

Para nada. Aquí la idea es que surjan dos definiciones. Una, relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico, que es lo que subyace intuitivamente en la tarea. Ejemplo de respuesta: “Es la recta que tiene puntos que están a la misma distancia de otros dos”.

Otra, relacionada con alguna propiedad. “Es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento”. Aquí se les suele olvidar el adjetivo perpendicular. Ocasión de oro para hablarlo en el aula.

Pero también hay respuestas curiosas, e interesantes por lo que nos cuentan acerca de las creencias de los alumnos. Alguno, ante la pregunta de si hay otra definición, dice que no. Que solo hay una. Claro. Ya.

En las puestas en común, el profesor puede institucionalizar el lenguaje. Así, puede hablar, explícitamente, de lugar geométrico. La diferencia está en que venimos de verlo intuitivamente y solo hay que poner nombre a las cosas

Es muy importante captar la esencia de recta como lugar geométrico. No es trivial. Que luego vienen esas dificultades para identificar la solución de un sistema como punto en común de dos rectas.

Vamos con la segunda tarea. Se vuelve a trabajar con el mismo archivo ggb. Y se les pide repetir la tarea, pero utilizando la herramienta “mediatriz”.

Tercera tarea. Ahora lo mismo, pero con tres amigos ( enlace al ggb).

Preguntas que se hacen.

  1. ¿Cuántas rectas has empleado para hallar ese punto? ¿Cómo se llaman?
  2. ¿Podrías haber determinado el mismo punto con menos rectas?
  3. ¿Podrías haber determinado el mismo punto con más rectas?

Las preguntas dos y tres son para discutir si hacen falta dos o tres rectas. Con dos es suficiente, claro. Hay que argumentar por qué.

Cuarta tarea. Institucionalizamos ese punto que está a la misma distancia de los tres amigos. Se llama circuncentro (el nombre se dice, pero no es lo más importante) y podemos dibujar una circunferencia (llamada circunferencia circunscrita) que pase por los tres.

Observemos que, cuando decimos que la enseñanza a través de la resolución de problemas permite atender a la diversidad, tiene que ver con esto. Hemos empezado con algo muy intuitivo. Y poco a poco vamos introduciendo todo el contenido matemático. Las formalizaciones, además, llegan después de trabajar las ideas, y no suponen un obstáculo. Lo fundamental aquí es seguir enfatizando la idea de lugar geométrico.

Quinta tarea. ¿Qué ocurre con el circuncentro cuando el triángulo que forman los tres amigos es acutángulo? ¿Y si es obtusángulo? ¿O rectángulo? Prueba a mover los puntos. Aquí se pasa el ggb con los puntos sin fijar ( enlace al ggb).

Maravilloso. Geogebra para explorar y conjeturar.

Sexta tarea. ¿Qué ocurre si añadimos un cuarto amigo? ¿Te valdría el circuncentro como punto a la misma distancia de los cuatro?

Séptima tarea. ¿Puedes encontrar el circuncentro (punto a la misma distancia de todos los vértices) en el caso de que los cuatro amigos formen las siguientes figuras? Cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo.

Se les proporcionan los ggb de cada figura. Tienen que hacer las comprobaciones abriendo el archivo correspondiente y construyendo el circuncentro, cuando sea posible.

- Cuadrado. - Rectángulo. - Trapecio isósceles. - Trapecio rectángulo.

Octava tarea. Más problemas. ¿Puedes encontrar dónde puede estar el tercer amigo si tenemos como dato la ubicación de dos de los amigos y el circuncentro del triángulo formado por los tres? Se vuelve a proporcionar un ggb. Es importante dibujar y justificar el razonamiento ( enlace al ggb).

Novena tarea. Trata de encontrar el circuncentro sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”.

Terminando. Recordad que veníamos de elegir la opción B (a través de la resolución de problemas), que he desarrollado a lo largo de todo el hilo.

Una actividad relacionada con el significado de mediatriz como lugar geométrico es trazar la mediatriz en geogebra, sin hacer uso de la herramienta “mediatriz”. Pero no hacerlo y ya, sino argumentar por qué se traza tal o cual arco.

Por ejemplo: trazo este arco desde este punto para encontrar todos los puntos que están a la misma distancia de él. Ahora, trazo este otro arco desde el otro punto, para ver cuántos… Y el corte está a la misma distancia de ambos…

Aquí se plantea en la tarea 9, pero debería ser el núcleo de otra actividad, donde se enfatice el porqué del procedimiento de construcción de la mediatriz.

Todo esto viene de una práctica que se hace desde hace tiempo en el área de Didáctica de la matemática de la Facultad de Educación de Zaragoza, en Didáctica de la geometría, en Magisterio de Educación Primaria. También la tratamos en el máster de ESO.

El otro día, con @lolamenting comentábamos la actividad que hay en Desmos sobre la mediatriz, y cómo la introducían ahí. Con esto cumplo mi autopromesa de escribir sobre el tema 😊.

Hasta aquí, que hacía mucho que no me daba por hacer un hilo de estos. Espero que lo hayáis disfrutado.

Y bueno, si os interesan más propuestas a través a resolución de problemas, las voy dejando en el tuit fijado de mi perfil o en mi blog.

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Pablo Beltrán-Pellicer
Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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